Différenciation de la fonction exponentielle. Dérivé logarithmique

Travail terminé

TRAVAUX DE DIPLÔME

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TRAVAUX DE COURS

Le projet de cours est le premier travail pratique sérieux. C'est avec la rédaction d'un article de session que commence la préparation au développement des projets de fin d'études. Si l'étudiant apprend à présenter correctement le contenu du sujet dans le projet de cours et à le concevoir correctement, à l'avenir, il n'aura aucun problème ni avec la rédaction de rapports ni avec la compilation. thèses, ni avec la mise en œuvre d'autres tâches pratiques. Afin d'aider les étudiants à rédiger ce type de travail étudiant et de clarifier les questions qui se posent lors de sa préparation, en effet, cette section d'information a été créée.
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DISSERTATIONS DE MAÎTRE

Actuellement, le niveau de l'enseignement supérieur est très courant dans les établissements d'enseignement supérieur du Kazakhstan et des pays de la CEI. formation professionnelle, qui suit après le baccalauréat - le master. Dans la magistrature, ils étudient dans le but d'obtenir une maîtrise, qui est reconnue dans la plupart des pays du monde plus qu'une licence, et est également reconnue par les employeurs étrangers. Le résultat d'étudier dans une maîtrise est la défense d'une thèse de maîtrise.
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RAPPORTS DE PRATIQUE

Après avoir complété tout type de pratique étudiante (pédagogique, industriel, pré-diplôme), un rapport est requis. Ce document sera une confirmation des travaux pratiques de l'étudiant et la base pour la formation d'une évaluation pour la pratique. Habituellement, pour rédiger un rapport sur la pratique, vous devez collecter et analyser des informations sur l'entreprise, considérer la structure et le calendrier de travail de l'organisation dans laquelle se déroule la pratique, établir un plan de calendrier et décrire votre pratique.
Nous vous aiderons à rédiger un rapport sur le stage en tenant compte des spécificités de l'activité d'une entreprise particulière.

Lors de la différenciation, il est important fonction de puissance ou expressions fractionnaires encombrantes, il est pratique d'utiliser le dérivé logarithmique. Dans cet article, nous examinerons des exemples de son utilisation avec des solutions détaillées.

Une présentation plus poussée implique la capacité d'utiliser la table des dérivés, les règles de différenciation et la connaissance de la formule de la dérivée d'une fonction complexe.

Dérivation de la formule du dérivé logarithmique.

Tout d'abord, nous faisons le logarithme à la base e, simplifions la forme de la fonction en utilisant les propriétés du logarithme, puis trouvons le dérivé de la fonction implicitement donnée:

A titre d'exemple, trouvons la dérivée d'une fonction exponentielle x à la puissance x.

Prendre le logarithme donne. Par les propriétés du logarithme. La différenciation des deux côtés de l'égalité conduit au résultat:

Répondre: .

Le même exemple peut être résolu sans utiliser la dérivée logarithmique. Vous pouvez effectuer quelques transformations et passer de la différenciation d'une fonction exponentielle à la recherche de la dérivée d'une fonction complexe:

Exemple.

Trouver le dérivé d'une fonction .

Décision.

Dans cet exemple, la fonction est une fraction et sa dérivée peut être recherchée en utilisant les règles de différenciation. Mais en raison de la lourdeur de l'expression, cela nécessitera de nombreuses transformations. Dans de tels cas, il est plus sage d'utiliser la formule du dérivé logarithmique ... Pourquoi? Vous comprendrez maintenant.

Trouvons-le d'abord. Dans les transformations, nous utiliserons les propriétés du logarithme (le logarithme de la fraction est égal à la différence des logarithmes, et le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes, et la puissance de l'expression sous le signe du logarithme peut être prise comme coefficient devant le logarithme):

Ces transformations nous ont conduit à une expression assez simple, dont la dérivée est facile à trouver:

Nous substituons le résultat obtenu dans la formule à la dérivée logarithmique et obtenons la réponse:

Pour consolider le matériel, nous donnerons quelques exemples supplémentaires sans explications détaillées.

Exemple.

Trouvez la dérivée de la fonction exponentielle

Sujet de la leçon: "Différenciation des exponentiels et fonction logarithmique... La primauté de la fonction exponentielle "dans les tâches de l'UNT

objectif : développer les compétences des étudiants dans l'application des connaissances théoriques sur le thème «Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques. La primitive de la fonction exponentielle "pour résoudre les problèmes UNT.

Tâches

Éducatif: systématiser les connaissances théoriques des étudiants, consolider les compétences de résolution de problèmes sur ce sujet.

Développement: développer la mémoire, l'observation, pensée logique, le discours mathématique, l'attention, l'auto-évaluation et la maîtrise de soi des élèves.

Éducatif: promouvoir:

favoriser une attitude responsable envers l'apprentissage chez les élèves;

développer un intérêt soutenu pour les mathématiques;

créer un positif motivation intrinsèque à l’étude des mathématiques.

Méthodes d'enseignement: verbal, visuel, pratique.

Formes de travail:individuel, frontal, par paires.

Pendant les cours

Épigraphe: "L'esprit consiste non seulement dans la connaissance, mais aussi dans la capacité d'appliquer les connaissances dans la pratique" Aristote (diapositive 2)

JE. Organisation du temps.

II. Résoudre un puzzle de mots croisés. (diapositive 3-21)

Le mathématicien français du 17ème siècle Pierre Fermat a défini cette ligne comme "la droite la plus proche de la courbe dans un petit voisinage d'un point".

Tangente

La fonction donnée par la formule y \u003d log une X.

Logarithmique

La fonction donnée par la formule y \u003d une X.

Indicatif

En mathématiques, ce concept est utilisé pour trouver la vitesse de déplacement d'un point matériel et la pente de la tangente au graphique d'une fonction en un point donné.

Dérivé

Quel est le nom de la fonction F (x) pour la fonction f (x) si la condition F "(x) \u003d f (x) est satisfaite pour tout point de l'intervalle I.

Primordial

Quel est le nom de la relation entre X et Y, dans laquelle chaque élément de X est associé à un seul élément de Y.

Dérivée de déplacement

La vitesse

La fonction qui est donnée par la formule y \u003d e x.

Exposant

Si la fonction f (x) peut être représentée par f (x) \u003d g (t (x)), alors cette fonction est appelée ...

III. Dictée mathématique (diapositive 22)

1. Notez la formule de la dérivée de la fonction exponentielle. ( une x) "\u003d une x ln une

2. Notez la formule de la dérivée de l'exposant. (e x) "\u003d e x

3. Écrivez la formule de la dérivée du logarithme naturel. (ln x) "\u003d

4. Notez la formule de la dérivée de la fonction logarithmique. (Journal une x) "\u003d

5. Notez la forme générale des primitives pour la fonction f (x) \u003d une X. F (x) \u003d

6. Notez la forme générale des primitives pour la fonction f (x) \u003d, x ≠ 0. F (x) \u003d ln | x | + C

Vérifiez le travail (réponses sur la diapositive 23).

IV. Résolution des problèmes UNT (simulateur)

A) N ° 1, 2, 3, 6, 10, 36 sur le tableau noir et dans le cahier (diapositive 24)

B) Travaillez par paires n ° 19.28 (simulateur) (diapositive 25-26)

V. 1. Trouvez des erreurs: (diapositive 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f (x) \u003d log 5 (7x + 1), f "(x) \u003d

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

Vi. Présentation des étudiants.

Épigraphe: "La connaissance est une chose si précieuse qu'il n'est pas honteux de l'obtenir de n'importe quelle source" Thomas d'Aquin (diapositive 28)

Vii. Affectation du ménage n ° 19.20 p. 116

VIII. Test (tâche de sauvegarde) (diapositives 29-32)

IX. Résumé de la leçon.

«Si vous voulez participer à la grande vie, remplissez votre tête de mathématiques pendant que vous le pouvez. Elle vous apportera ensuite une aide précieuse tout au long de votre vie »M. Kalinin (diapositive 33)

Algèbre et début de l'analyse mathématique

Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques

Compilé par:

professeur de mathématiques MOU SOSH №203 HEC

ville de Novossibirsk

T.V. Vidutova

Nombre e. Fonction y \u003d e x , ses propriétés, graphique, différenciation

1. Construisons des graphiques pour différentes bases: 1. y \u003d 2 x 3. y \u003d 10 x 2. y \u003d 3 x (option 2) (option 1) "width \u003d" 640 "

Considérez la fonction exponentielle y \u003d a x , où un 1.

Construisons pour différentes bases une graphique:

1. y \u003d 2 x

3. y \u003d 10 x

2. y \u003d 3 x

(Option 2)

(Option 1)

1) Tous les graphiques passent par le point (0; 1);

2) Tous les graphiques ont une asymptote horizontale y \u003d 0

à x  ∞;

3) Ils font tous face à la convexité vers le bas;

4) Ils ont tous des tangentes à tous leurs points.

Trouvons une tangente au graphique de la fonction y \u003d 2 x à ce point x \u003d 0 et mesurez l'angle que forme la tangente avec l'axe x

À l'aide d'un tracé précis des lignes tangentes aux graphiques, vous pouvez voir que si la base une fonction exponentielle y \u003d a x la base augmente progressivement de 2 à 10, puis l'angle entre la tangente au graphe de la fonction au point x \u003d 0 et l'abscisse augmente progressivement de 35 'à 66,5'.

Il y a donc une raison une , pour lequel l'angle correspondant est de 45 '. Et ce sens une est compris entre 2 et 3, car à une \u003d 2 l'angle est de 35 ', pour une \u003d 3 il est égal à 48 '.

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que ce fondement existe, il est d'usage de le désigner par la lettre e.

Déterminé que e – nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fraction décimale non périodique infinie:

e \u003d 2, 7182818284590 ... ;

En pratique, on suppose généralement que e ≈ 2,7.

Graphique de fonction et propriétés y \u003d e x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) augmente;

4) non limité par le haut, limité par le bas

5) n'a ni le plus grand ni le moins

valeurs;

6) continu;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) convexe vers le bas;

9) différenciable.

Fonction y \u003d e x appelé exposant .

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction y \u003d e x a un dérivé à tout moment x :

(e x ) \u003d e x

(e 5x ) "\u003d 5e 5x

(e x-3 ) "\u003d e x-3

(e -4x + 1 ) "\u003d -4e -4x-1

Exemple 1 . Tracez une tangente au graphique de la fonction au point x \u003d 1.

2) f () \u003d f (1) \u003d e

4) y \u003d e + e (x-1); y \u003d ex

Répondre:

Exemple 2 .

x = 3.

Exemple 3 .

Examiner la fonction pour extremum

x \u003d 0 et x \u003d -2

x \u003d -2 - point maximum

x \u003d 0 - point minimum

Si la base du logarithme est le nombre e , puis ils disent que un algorithme naturel ... Pour logarithmes naturels une désignation spéciale a été introduite ln (l est le logarithme, n est naturel).