Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques. Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques

Laisser être
(1)
est une fonction différentiable de la variable x. Tout d'abord, nous le considérerons sur l'ensemble des x valeurs pour lesquelles y prend des valeurs positives:. Dans ce qui suit, nous montrerons que tous les résultats obtenus sont applicables à valeurs négatives.

Dans certains cas, afin de trouver la dérivée de la fonction (1), il convient de la pré-logarithme
,
puis calculez la dérivée. Ensuite, selon la règle de différenciation d'une fonction complexe,
.
D'ici
(2) .

Le dérivé du logarithme d'une fonction est appelé dérivé logarithmique:
.

La dérivée logarithmique de la fonction y \u003d f (x) est le dérivé du logarithme naturel de cette fonction: (ln f (x)) ′.

Le cas des valeurs y négatives

Considérons maintenant le cas où une variable peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives. Dans ce cas, nous prenons le logarithme du module et trouvons sa dérivée:
.
D'ici
(3) .
Autrement dit, dans le cas général, vous devez trouver la dérivée du logarithme du module de la fonction.

En comparant (2) et (3), nous avons:
.
Autrement dit, le résultat formel du calcul de la dérivée logarithmique ne dépend pas du fait que nous ayons pris modulo ou non. Par conséquent, lors du calcul de la dérivée logarithmique, nous n'avons pas à nous soucier du signe de la fonction.

Vous pouvez clarifier cette situation en utilisant des nombres complexes. Soit, pour certaines valeurs de x, une valeur négative:. Si nous ne considérons que des nombres réels, alors la fonction n'est pas définie. Cependant, si nous introduisons des nombres complexes en considération, nous obtenons ce qui suit:
.
Autrement dit, les fonctions et diffèrent par une constante complexe:
.
Puisque la dérivée de la constante est zéro, alors
.

Propriété dérivée logarithmique

Il découle de cette considération que la dérivée logarithmique ne change pas si la fonction est multipliée par une constante arbitraire :
.
En effet, appliquer propriétés du logarithme , formules somme dérivée et dérivée de la constante , nous avons:

.

Application de la dérivée logarithmique

Il est pratique d'utiliser la dérivée logarithmique dans les cas où la fonction originale consiste en un produit de puissance ou de fonctions exponentielles. Dans ce cas, l'opération de prise du logarithme transforme le produit des fonctions en leur somme. Cela simplifie le calcul de la dérivée.

Exemple 1

Trouvez le dérivé d'une fonction:
.

Décision

Logarithme la fonction d'origine:
.

Nous différencions par rapport à la variable x.
Dans le tableau des dérivés, nous trouvons:
.
Nous appliquons la règle de différenciation d'une fonction complexe.
;
;
;
;
(A1.1) .
Multiplier par:

.

Donc, nous avons trouvé le dérivé logarithmique:
.
De là, nous trouvons la dérivée de la fonction d'origine:
.

Remarque

Si nous ne voulons utiliser que des nombres réels, nous devons prendre le logarithme du module de la fonction d'origine:
.
ensuite
;
.
Et nous avons la formule (A1.1). Par conséquent, le résultat n'a pas changé.

Répondre

Exemple 2

En utilisant le dérivé logarithmique, trouvez le dérivé de la fonction
.

Décision

Logarithme:
(A2.1) .
On différencie par rapport à la variable x:
;
;

;
;
;
.

Multiplier par:
.
De là, nous obtenons la dérivée logarithmique:
.

Dérivée de la fonction d'origine:
.

Remarque

Ici, la fonction d'origine est non négative:. Il est défini à. Si vous ne supposez pas que le logarithme peut être déterminé pour des valeurs négatives de l'argument, alors la formule (A2.1) doit être écrite comme suit:
.
Dans la mesure où

et
,
cela n'affectera pas le résultat final.

Répondre

Exemple 3

Trouvez le dérivé
.

Décision

La différenciation est effectuée à l'aide de la dérivée logarithmique. Prenons le logarithme, considérant que:
(A3.1) .

En différenciant, nous obtenons la dérivée logarithmique.
;
;
;
(A3.2) .

Depuis

.

Remarque

Faisons les calculs sans supposer que le logarithme peut être déterminé pour des valeurs négatives de l'argument. Pour ce faire, prenez le logarithme du module de la fonction d'origine:
.
Alors au lieu de (A3.1) nous avons:
;

.
En comparant avec (A3.2), nous voyons que le résultat n'a pas changé.

Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques

1. Nombre e. Fonction y \u003d e x, ses propriétés, graphique, différenciation

Considérez un indicatif fonction y \u003d ax, où a\u003e 1. Pour différentes bases a, nous obtenons différents graphiques (Fig. 232-234), mais vous pouvez voir qu'ils passent tous par le point (0; 1), ils ont tous une asymptote horizontale y \u003d 0 à , tous sont convexes vers le bas et, enfin, ils ont tous des tangentes en tous leurs points. Par exemple, dessinez la tangente à graphique fonction y \u003d 2x au point x \u003d 0 (Fig.232). Si vous effectuez des constructions et des mesures précises, vous pouvez vous assurer que cette tangente forme un angle de 35 ° avec l'axe x (environ).

Tracez maintenant la tangente au graphique de la fonction y \u003d 3 x également au point x \u003d 0 (Fig. 233). Ici, l'angle entre la tangente et l'axe des x sera plus grand - 48 °. Et pour la fonction exponentielle y \u003d 10 x dans un
situation, nous obtenons un angle de 66,5 ° (Fig. 234).

Ainsi, si la base a de la fonction exponentielle y \u003d ax augmente progressivement de 2 à 10, alors l'angle entre la tangente au graphique de la fonction au point x \u003d 0 et l'axe des abscisses augmente progressivement de 35 ° à 66,5 °. Il est logique de supposer qu'il existe une base a pour laquelle l'angle correspondant est de 45 °. Cette base doit être comprise entre les nombres 2 et 3, car pour la fonction y-2x l'angle qui nous intéresse est de 35 °, ce qui est inférieur à 45 °, et pour la fonction y \u003d 3 x il est de 48 °, ce qui est déjà un peu plus de 45 °. La base qui nous intéresse est généralement désignée par la lettre e. Il a été établi que le nombre e est irrationnel, c'est-à-dire est une décimale infinie non périodique fraction:

e \u003d 2,7182818284590 ...;

en pratique, on suppose généralement que e \u003d 2,7.

Commentaire(pas très grave). Il est clair que L.N. Tolstoï n'a rien à voir avec le nombre e, néanmoins, dans la notation du nombre e, notez que le nombre 1828 est répété deux fois de suite - l'année de naissance de L.N. Tolstoï.

Le graphique de la fonction y \u003d ex est illustré à la Fig. 235. Il s'agit d'un exposant, qui diffère des autres exponentielles (graphes de fonctions exponentielles avec d'autres bases) en ce que l'angle entre la tangente au graphe au point x \u003d 0 et l'axe des abscisses est de 45 °.

Propriétés de la fonction y \u003d e x:

1)
2) n'est ni pair ni impair;
3) augmente;
4) non limité par le haut, limité par le bas;
5) n'a ni les valeurs les plus élevées ni les plus basses;
6) continu;
7)
8) convexe vers le bas;
9) différenciable.

Revenez au § 45, regardez la liste des propriétés de la fonction exponentielle y \u003d ax pour a\u003e 1. Vous y trouverez les mêmes propriétés 1-8 (ce qui est tout à fait naturel), et la neuvième propriété associée
différentiabilité de la fonction, nous n'avons pas mentionné alors. Discutons-en maintenant.

Dérivons une formule pour trouver la dérivée y-ex. Dans ce cas, nous n'utiliserons pas l'algorithme habituel que nous avons développé dans la section 32 et que nous avons utilisé avec succès plus d'une fois. Dans cet algorithme, au stade final, il est nécessaire de calculer la limite, et notre connaissance de la théorie des limites est encore très, très limitée. Par conséquent, nous nous appuierons sur des prérequis géométriques, en considérant, en particulier, le fait même de l'existence d'une tangente au graphe de la fonction exponentielle sans aucun doute (c'est pourquoi nous avons si bien noté la neuvième propriété dans la liste de propriétés ci-dessus - la différentiabilité de la fonction y \u003d ex).

1. Notez que pour la fonction y \u003d f (x), où f (x) \u003d ex, on connaît déjà la valeur de la dérivée au point x \u003d 0: f / \u003d tan45 ° \u003d 1.

2. Introduire en considération la fonction y \u003d g (x), où g (x) -f (x-a), c'est-à-dire g (x) -ex "a. La figure 236 montre le graphique de la fonction y \u003d g (x): il est obtenu à partir du graphique de la fonction y - fx) en décalant le long de l'axe des x de | a | unités d'échelle. La tangente au graphique de la fonction y \u003d g (x) dans point x-a est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point x -0 (voir Fig. 236), ce qui signifie qu'elle forme un angle de 45 ° avec l'axe des x. En utilisant la signification géométrique de la dérivée, nous pouvons écrire que g (a) \u003d tan45 °; \u003d 1.

3. Revenons à la fonction y \u003d f (x). On a:

4. Nous avons établi que pour toute valeur de a, la relation est valide. Au lieu de la lettre a, vous pouvez naturellement utiliser la lettre x; alors nous obtenons

Cette formule donne la formule d'intégration correspondante:

A.G. Algèbre de Mordkovich Grade 10

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Sujet de la leçon: «Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques. La primauté de la fonction exponentielle "dans les tâches de l'UNT

objectif : développer les compétences des étudiants dans l'application des connaissances théoriques sur le thème «Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques. La primitive de la fonction exponentielle "pour résoudre les problèmes d'UNT.

Tâches

Éducatif: systématiser les connaissances théoriques des étudiants, consolider les compétences de résolution de problèmes sur ce sujet.

Développement: développer la mémoire, l'observation, la pensée logique, le discours mathématique des élèves, l'attention, l'auto-évaluation et la maîtrise de soi.

Éducatif: contribuer:

favoriser une attitude responsable envers l'apprentissage chez les élèves;

développer un intérêt soutenu pour les mathématiques;

créer une motivation intrinsèque positive pour étudier les mathématiques.

Méthodes d'enseignement: verbal, visuel, pratique.

Formes de travail:individuel, frontal, par paires.

Pendant les cours

Épigraphe: "L'esprit n'est pas seulement dans la connaissance, mais aussi dans la capacité d'appliquer les connaissances dans la pratique" Aristote (diapositive 2)

JE. Organisation du temps.

II. Résoudre un puzzle de mots croisés. (diapositive 3-21)

Le mathématicien français du 17ème siècle Pierre Fermat a défini cette ligne comme "la droite la plus proche de la courbe dans un petit voisinage d'un point".

Tangente

La fonction donnée par la formule y \u003d log une X.

Logarithmique

La fonction donnée par la formule y \u003d et X.

Indicatif

En mathématiques, ce concept est utilisé pour trouver la vitesse de déplacement d'un point matériel et la pente de la tangente au graphique d'une fonction en un point donné.

Dérivé

Quel est le nom de la fonction F (x) pour la fonction f (x) si la condition F "(x) \u003d f (x) est satisfaite pour tout point de l'intervalle I.

Primordial

Quel est le nom de la relation entre X et Y, dans laquelle chaque élément de X est associé à un seul élément de Y.

Dérivée de déplacement

La vitesse

La fonction qui est donnée par la formule y \u003d e x.

Exposant

Si la fonction f (x) peut être représentée par f (x) \u003d g (t (x)), alors cette fonction est appelée ...

III. Dictée mathématique (diapositive 22)

1. Notez la formule de la dérivée de la fonction exponentielle. ( et x) "\u003d et x ln une

2. Écrivez la formule de la dérivée de l'exposant. (e x) "\u003d e x

3. Écrivez la formule de la dérivée du logarithme naturel. (ln x) "\u003d

4. Notez la formule de la dérivée de la fonction logarithmique. (Journal une x) "\u003d

5. Notez la forme générale des primitives pour la fonction f (x) \u003d et X. F (x) \u003d

6. Notez la forme générale des primitives pour la fonction f (x) \u003d, x ≠ 0. F (x) \u003d ln | x | + C

Vérifiez le travail (réponses sur la diapositive 23).

IV. Résolution des problèmes UNT (simulateur)

A) N ° 1, 2, 3, 6, 10, 36 sur le tableau noir et dans le cahier (diapositive 24)

B) Travaillez par paires n ° 19.28 (simulateur) (diapositive 25-26)

V. 1. Trouvez des erreurs: (diapositive 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f (x) \u003d log 5 (7x + 1), f "(x) \u003d

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

Vi. Présentation étudiante.

Épigraphe: "La connaissance est une chose si précieuse qu'il n'est pas honteux de l'obtenir de n'importe quelle source" Thomas d'Aquin (diapositive 28)

Vii. Affectation du ménage n ° 19.20 p. 116

VIII. Test (tâche de sauvegarde) (diapositives 29-32)

IX. Résumé de la leçon.

«Si vous voulez participer à la grande vie, remplissez votre tête de mathématiques pendant que vous le pouvez. Elle vous apportera ensuite une aide précieuse tout au long de votre vie »M. Kalinin (diapositive 33)

Algèbre et début de l'analyse mathématique

Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques

Compilé par:

professeur de mathématiques MOU SOSH №203 HEC

ville de Novossibirsk

T.V. Vidutova

Nombre e. Fonction y \u003d e x , ses propriétés, graphique, différenciation

1. Construisons des graphiques pour différentes bases: 1. y \u003d 2 x 3. y \u003d 10 x 2. y \u003d 3 x (option 2) (option 1) "width \u003d" 640 "

Considérez la fonction exponentielle y \u003d a x , où un 1.

Construisons pour différentes bases et graphique:

1. y \u003d 2 x

3. y \u003d 10 x

2. y \u003d 3 x

(Option 2)

(Option 1)

1) Tous les graphiques passent par le point (0; 1);

2) Tous les graphiques ont une asymptote horizontale y \u003d 0

à x  ∞;

3) Ils font tous face à la convexité vers le bas;

4) Ils ont tous des tangentes à tous leurs points.

Trouvons une tangente au graphique de la fonction y \u003d 2 x à ce point x \u003d 0 et mesurez l'angle que forme la tangente avec l'axe x

À l'aide d'un tracé précis des lignes tangentes aux graphiques, vous pouvez voir que si la base et fonction exponentielle y \u003d a x la base augmente progressivement de 2 à 10, puis l'angle entre la tangente au graphe de la fonction au point x \u003d 0 et l'abscisse augmente progressivement de 35 'à 66,5'.

Il y a donc une raison et , pour lequel l'angle correspondant est de 45 '. Et ce sens et est compris entre 2 et 3, car à et \u003d 2 l'angle est de 35 ', pour et \u003d 3 il est égal à 48 '.

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que ce fondement existe, il est d'usage de le désigner par la lettre e.

Déterminé que e – nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fraction décimale non périodique infinie:

e \u003d 2, 7182818284590 ... ;

En pratique, on suppose généralement que e ≈ 2,7.

Graphique de fonction et propriétés y \u003d e x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) augmente;

4) non limité par le haut, limité par le bas

5) n'a ni le plus grand ni le moins

valeurs;

6) continu;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) convexe vers le bas;

9) différenciable.

Fonction y \u003d e x appelé exposant .

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction y \u003d e x a un dérivé à tout moment x :

(e x ) \u003d e x

(e 5x ) "\u003d 5e 5x

(e x-3 ) "\u003d e x-3

(e -4x + 1 ) "\u003d -4e -4x-1

Exemple 1 . Tracez une tangente au graphique de la fonction au point x \u003d 1.

2) f () \u003d f (1) \u003d e

4) y \u003d e + e (x-1); y \u003d ex

Répondre:

Exemple 2 .

x = 3.

Exemple 3 .

Examiner la fonction pour extremum

x \u003d 0 et x \u003d -2

x \u003d -2 - point maximum

x \u003d 0 - point minimum

Si la base du logarithme est le nombre e , puis ils disent que un algorithme naturel ... Pour logarithmes naturels une désignation spéciale a été introduite ln (l - logarithme, n - naturel).