Fractions irrationnelles. Nombre irrationnel

Le contenu de cet article fournit des informations initiales sur nombres irrationnels... Tout d'abord, nous allons donner une définition des nombres irrationnels et l'expliquer. Voici des exemples de nombres irrationnels. Enfin, examinons quelques approches pour savoir si un nombre donné est irrationnel ou non.

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Définition et exemples de nombres irrationnels

Lors de l'étude des fractions décimales, nous avons considéré séparément des fractions décimales non périodiques infinies. De telles fractions surviennent lorsque des longueurs décimales de segments sont mesurées, ce qui est incommensurable avec un segment unitaire. Nous avons également noté que des fractions décimales non périodiques infinies ne peuvent pas être converties en fractions (voir conversion de fractions ordinaires en décimales et vice versa), par conséquent, ces nombres ne sont pas des nombres rationnels, ils représentent les nombres dits irrationnels.

Alors nous sommes arrivés à définition des nombres irrationnels.

Définition.

Les nombres qui, en notation décimale, représentent des fractions décimales non périodiques infinies sont appelés nombres irrationnels.

La définition sonore permet exemples de nombres irrationnels... Par exemple, la fraction décimale non périodique infinie 4.10110011100011110000… (le nombre de uns et de zéros augmente de un à chaque fois) est un nombre irrationnel. Donnons un autre exemple de nombre irrationnel: −22,353335333335 ... (le nombre de triplets séparant les huit augmente de deux à chaque fois).

Il convient de noter que les nombres irrationnels se trouvent rarement précisément sous la forme de fractions décimales non périodiques infinies. Ils se trouvent généralement sous la forme, etc., ainsi que sous la forme de lettres spécialement saisies. Les exemples les plus célèbres de nombres irrationnels dans cette notation sont la racine carrée arithmétique de deux, pi \u003d 3,141592 ..., e \u003d 2,718281 ... et le nombre d'or.

Nombres irrationnels peut également être défini par des nombres réels, qui combinent des nombres rationnels et irrationnels.

Définition.

Nombres irrationnels Ce sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels.

Ce nombre est-il irrationnel?

Lorsqu'un nombre n'est pas donné sous la forme d'une fraction décimale, mais sous la forme de certains, racine, logarithme, etc., il est alors assez difficile de répondre à la question de savoir s'il est irrationnel dans de nombreux cas.

Sans aucun doute, pour répondre à cette question, il est très utile de savoir quels nombres ne sont pas irrationnels. Il découle de la définition des nombres irrationnels que les nombres rationnels ne sont pas des nombres irrationnels. Ainsi, les nombres irrationnels ne sont PAS:

fractions décimales périodiques finies et infinies.

De plus, toute composition de nombres rationnels reliés par des signes n'est pas un nombre irrationnel opérations arithmétiques (+, -, ·, :). C'est parce que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Par exemple, les valeurs des expressions et sont des nombres rationnels. Ici, nous notons que si dans de telles expressions parmi les nombres rationnels il y a un seul nombre irrationnel, alors la valeur de l'expression entière sera un nombre irrationnel. Par exemple, dans l'expression, le nombre est irrationnel et le reste des nombres est rationnel, donc un nombre irrationnel. S'il s'agissait d'un nombre rationnel, alors la rationalité du nombre en découlerait, mais ce n'est pas rationnel.

Si l'expression qui spécifie le nombre contient plusieurs nombres irrationnels, des signes racines, des logarithmes, fonctions trigonométriques, nombres π, e, etc., alors il est nécessaire de prouver l'irrationalité ou la rationalité d'un nombre donné dans chaque cas spécifique... Cependant, il existe un certain nombre de résultats déjà obtenus qui peuvent être utilisés. Énumérons les principaux.

Il est prouvé qu'une racine de degré k à partir d'un entier n'est un nombre rationnel que si le nombre sous la racine est la k-ème puissance d'un autre entier; dans d'autres cas, une telle racine définit un nombre irrationnel. Par exemple, les nombres et sont irrationnels, car il n'y a pas d'entier dont le carré est 7, et il n'y a pas d'entier dont l'élévation à la cinquième puissance donne le nombre 15. Et les chiffres et ne sont pas irrationnels, ainsi que.

Quant aux logarithmes, il est parfois possible de prouver leur irrationalité par contradiction. A titre d'exemple, prouvons que log 2 3 est un nombre irrationnel.

Supposons que log 2 3 soit un nombre rationnel, pas un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il peut être représenté comme une fraction ordinaire m / n. et vous permettent d'écrire la chaîne d'égalités suivante:. La dernière égalité est impossible, puisque sur son côté gauche nombre impair, et sur la droite - même. Nous sommes donc arrivés à une contradiction, ce qui signifie que notre hypothèse s'est avérée fausse, et cela a prouvé que log 2 3 est un nombre irrationnel.

Notez que lna est un nombre irrationnel pour tout rationnel a positif et différent de l'unité. Par exemple, et sont des nombres irrationnels.

Il a également été prouvé que le nombre e a pour tout rationnel non nul a est irrationnel, et que le nombre π z pour tout entier z non nul est irrationnel. Par exemple, les chiffres sont irrationnels.

Les nombres irrationnels sont également des fonctions trigonométriques sin, cos, tg et ctg pour toute valeur rationnelle et non nulle de l'argument. Par exemple, sin1, tg (−4), cos5,7 sont des nombres irrationnels.

Il y a d'autres résultats avérés, mais nous nous limiterons à ceux déjà listés. Il faut également dire que dans la preuve des résultats évoqués ci-dessus, la théorie associée à nombres algébriques et nombres transcendantaux.

En conclusion, nous notons qu'il ne faut pas tirer de conclusions hâtives sur l'irrationalité des nombres donnés. Par exemple, il semble évident qu'un nombre irrationnel à un degré irrationnel est un nombre irrationnel. Par contre, ce n'est pas toujours le cas. Comme confirmation du fait exprimé, nous donnons le diplôme. On sait que c'est un nombre irrationnel, et il a également été prouvé que c'est un nombre irrationnel, mais c'est un nombre rationnel. Vous pouvez également donner des exemples de nombres irrationnels dont la somme, la différence, le produit et le quotient sont des nombres rationnels. De plus, la rationalité ou l'irrationalité des nombres π + e, π - e, π · e, π π, π e et bien d'autres n'a pas encore été prouvée.

Bibliographie.

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Les mathématiciens antiques savaient déjà avec un segment de longueur unitaire: ils connaissaient, par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, ce qui équivaut à l'irrationalité d'un nombre.

Irrationnel sont:

Exemples de preuve d'irrationalité

Racine de 2

Supposons le contraire: rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté comme une fraction irréductible, où et sont des entiers. Mettons au carré l'égalité supposée:

D'où il s'ensuit que même signifie même et. Laissez où est le tout. Puis

Par conséquent, même signifie même et. Nous avons obtenu cela et sommes égaux, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. Cela signifie que l'hypothèse originale était fausse, et - un nombre irrationnel.

Logarithme binaire de 3

Supposons le contraire: rationnel, c'est-à-dire représenté sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers. Depuis, et peut être choisi positif. Puis

Mais même et étrange. Nous obtenons une contradiction.

e

Histoire

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manava (vers 750 avant JC - vers 690 avant JC) a constaté que racines carrées certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne peuvent pas être exprimés explicitement.

La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Metapontus (vers 500 av.J.-C.), un Pythagore qui a trouvé cette preuve en étudiant les longueurs des côtés du pentagramme. À l'époque des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui entre dans n'importe quel segment un nombre entier de fois. Cependant, Hippase a prouvé qu'il n'y a pas d'unité unique de longueur, puisque l'hypothèse de son existence conduit à une contradiction. Il a montré que si l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle contient un nombre entier de segments unitaires, alors ce nombre doit être à la fois pair et impair. La preuve ressemblait à ceci:

Le rapport de la longueur de l'hypoténuse à la longueur de la jambe d'un triangle rectangle isocèle peut être exprimé comme une:boù une et b sélectionné comme le plus petit possible.
Par le théorème de Pythagore: une² \u003d 2 b².
Parce que une² même, une doit être pair (puisque le carré d'un nombre impair serait impair).
Parce que le une:b irréductible, b doit être étrange.
Parce que une même, dénoter une = 2y.
Puis une² \u003d 4 y² \u003d 2 b².
b² \u003d 2 y², donc bEst même, alors b même.
Cependant, il a été prouvé que b impair. Contradiction.

Les mathématiciens grecs ont appelé ce rapport de quantités incommensurables aalogos (ineffable), cependant, selon les légendes, ils n'ont pas donné à Hippas le respect qu'il méritait. La légende raconte qu'Hippase a fait une découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres Pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et à leurs relations." La découverte d'Hippase a confronté les mathématiques de Pythagore problème sérieux, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et inséparables.

voir également

Remarques

Systèmes numériques
Compte multitudes	Nombres naturels () Entiers ()

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté sous forme de fraction, où ... Q est l'ensemble de tous les nombres rationnels.

Les nombres rationnels sont subdivisés en positif, négatif et zéro.

Chaque nombre rationnel peut être associé à un seul point de la ligne de coordonnées. Le rapport «à gauche» pour les points correspond au rapport «moins» pour les coordonnées de ces points. On peut observer que chaque nombre négatif est inférieur à zéro et chaque nombre positif; de deux nombres négatifs, le moins est celui dont le module est le plus grand. Donc, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction périodique décimale. Par exemple, .

Les algorithmes pour les actions sur les nombres rationnels découlent des règles de signe des actions correspondantes sur les fractions nulles et positives. En Q, la division est effectuée, sauf la division par zéro.

Toute équation linéaire, c'est-à-dire une équation de la forme ax + b \u003d 0, où, est résoluble sur l'ensemble Q, mais pas une équation quadratique de la forme , est décidable en nombres rationnels. Tous les points de la ligne de coordonnées n'ont pas de point rationnel. Même à la fin du VIe siècle. n. À l'école de Pythagore, il a été prouvé que la diagonale d'un carré n'est pas à la mesure de sa hauteur, ce qui équivaut à l'affirmation: «L'équation n'a pas de racines rationnelles». Tout ce qui précède a conduit à la nécessité d'élargir l'ensemble Q, le concept d'un nombre irrationnel a été introduit. Notons l'ensemble des nombres irrationnels par la lettre J .

Sur la ligne de coordonnées, les coordonnées irrationnelles ont tous les points qui n'ont pas de coordonnées rationnelles. , où r sont des ensembles de nombres réels. Les fractions décimales sont une manière universelle de spécifier des nombres réels. Les fractions décimales périodiques sont des nombres rationnels et les décimales non périodiques sont des nombres irrationnels. Ainsi, 2.03 (52) est un nombre rationnel, 2.03003000300003 ... (la période de chaque chiffre suivant "3" s'écrit un zéro de plus) est un nombre irrationnel.

Les ensembles Q et R ont des propriétés positives: entre deux nombres rationnels quelconques, il y a un nombre rationnel, par exemple isoi a

Pour chaque nombre irrationnel α on peut indiquer une approximation rationnelle avec à la fois un déficit et un excès avec une précision quelconque: a< α

L'opération de prise de racine de certains nombres rationnels conduit à des nombres irrationnels. Extraire une racine de degré naturel est une opération algébrique, i.e. son introduction est associée à la résolution d'une équation algébrique de la forme ... Si n est impair, i.e. n \u003d 2k + 1, où, alors l'équation a une seule racine. Si n est pair, n \u003d 2k, où, alors pour a \u003d 0 l'équation a une seule racine x \u003d 0, pour a<0 корней нет, при a>0 a deux racines opposées. Extraire une racine est l'opération inverse de l'élévation à une puissance naturelle.

Une racine arithmétique (par souci de concision, une racine) du nième degré à partir d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif b qui est la racine de l'équation. La racine n-ième du nombre a est désignée par le symbole. Pour n \u003d 2, le degré de la racine 2 n'est pas indiqué:.

Par exemple, depuis 2 2 \u003d 4 et 2\u003e 0; puisque 3 3 \u003d 27 et 3\u003e 0; n'existe pas parce que -4<0.

Pour n \u003d 2k et a\u003e 0, les racines de l'équation (1) s'écrit comme suit. Par exemple, les racines de l'équation x 2 \u003d 4 sont 2 et -2.

Lorsque n est impair, l'équation (1) a une racine unique pour tout. Si a≥0, alors est la racine de cette équation. Si un<0, то –а>0 et est la racine de l'équation. Ainsi, l'équation x 3 \u003d 27 a une racine.

Un grand nombre de nombres irrationnels sont généralement indiqués par une lettre latine majuscule I (\\ Displaystyle \\ mathbb (I)) en gras, pas de remplissage. De cette façon: I \u003d R ∖ Q (\\ Displaystyle \\ mathbb (I) \u003d \\ mathbb (R) \\ backslash \\ mathbb (Q)), c'est-à-dire que l'ensemble des nombres irrationnels est la différence entre les ensembles de nombres réels et rationnels.

Les mathématiciens antiques connaissaient déjà l'existence de nombres irrationnels, plus précisément des segments incommensurables avec un segment de longueur unitaire: ils connaissaient, par exemple, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, qui équivaut à l'irrationalité d'un nombre.

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Irrationnel sont:

Exemples de preuve d'irrationalité

Racine de 2

Supposons le contraire: 2 (\\ Displaystyle (\\ sqrt (2))) rationnel, c'est-à-dire représenté sous forme de fraction m n (\\ Displaystyle (\\ frac (m) (n)))où m (\\ Displaystyle m) est un entier, et n (\\ Displaystyle n) - entier naturel .
Mettons au carré l'égalité supposée:
2 \u003d mn ⇒ 2 \u003d m 2 n 2 ⇒ m 2 \u003d 2 n 2 (\\ displaystyle (\\ sqrt (2)) \u003d (\\ frac (m) (n)) \\ Rightarrow 2 \u003d (\\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \\ Flèche droite m ^ (2) \u003d 2n ^ (2)).
Histoire

Antiquité

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manava (vers 750 avant JC - vers 690 avant JC) a compris que les racines carrées de certains nombres naturels comme 2 et 61, ne peuvent être explicitement exprimés [ ] .
La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Metapontus (vers 500 avant JC), un Pythagore. À l'époque des Pythagoriciens, on croyait qu'il y avait une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui est un nombre entier de fois dans n'importe quel segment ] .
Il n'y a pas de données exactes sur l'irrationalité dont le nombre a été prouvé par Hippasus. Selon la légende, il l'a trouvé en étudiant les longueurs des côtés du pentagramme. Par conséquent, il est raisonnable de supposer qu'il s'agissait du nombre d'or [ ] .
Les mathématiciens grecs ont appelé ce rapport de quantités incommensurables aalogos (ineffable), cependant, selon les légendes, ils n'ont pas donné à Hippas le respect qu'il méritait. La légende raconte qu'Hippase a fait une découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres Pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et à leurs relations." La découverte d'Hippase a posé un problème sérieux aux mathématiques de Pythagore, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et indivisibles.

Nombre rationnel - un nombre représenté par une fraction ordinaire m / n, où le numérateur m est un entier et le dénominateur n est un nombre naturel. Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale infinie périodique. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Si le nombre réel n'est pas rationnel, alors il nombre irrationnel... Les fractions décimales exprimant des nombres irrationnels sont infinies et non périodiques. L'ensemble des nombres irrationnels est généralement désigné par la lettre majuscule I.

Le nombre réel est appelé algébriques'il s'agit d'une racine d'un polynôme (degré non nul) avec des coefficients rationnels. Tout nombre non algébrique est appelé transcendantal.

Quelques propriétés:
Lors de la résolution de problèmes, il peut être pratique, avec le nombre irrationnel a + b√ c (où a, b sont des nombres rationnels, c est un entier qui n'est pas un carré d'un entier naturel), de considérer le nombre «conjugué» a - b√ c: sa somme et son produit avec l'original - les nombres rationnels. Donc a + b√ c et a - b√ c sont les racines d'une équation quadratique à coefficients entiers.

Problèmes de solutions

1. Prouvez que

a) nombre √ 7;

b) le nombre lg 80;

c) nombre √ 2 + 3 √ 3;

est irrationnel.

a) Supposons que le nombre √ 7 soit rationnel. Alors, il y a des coprimes p et q tels que √ 7 \u003d p / q, d'où on obtient p 2 \u003d 7q 2. Puisque p et q sont premiers, p vaut 2, et donc p est divisible par 7. Alors p \u003d 7k, où k est un nombre naturel. D'où q 2 \u003d 7k 2 \u003d pk, ce qui contredit le fait que p et q sont premiers.

Donc, l'hypothèse est fausse, ce qui signifie que le nombre √ 7 est irrationnel.

b) Supposons que le nombre lg 80 soit rationnel. Alors il existe des entiers naturels p et q tels que lg 80 \u003d p / q, ou 10 p \u003d 80 q, d'où on obtient 2 p - 4q \u003d 5 q - p. En tenant compte du fait que les nombres 2 et 5 sont premiers, on obtient que la dernière égalité n'est possible que pour p - 4q \u003d 0 et q - p \u003d 0. D'où p \u003d q \u003d 0, ce qui est impossible, puisque p et q sont choisis naturels.

Donc, l'hypothèse est fausse, ce qui signifie que le nombre lg 80 est irrationnel.

c) On note ce nombre par x.

Alors (x - √ 2) 3 \u003d 3, ou x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Après avoir quadrillé cette équation, nous trouvons que x doit satisfaire l'équation

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Seuls les nombres 1 et -1 peuvent être ses racines rationnelles. La vérification montre que 1 et –1 ne sont pas des racines.

Ainsi, le nombre donné √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200best irrationnel.

2. On sait que les nombres a, b, √ a –√ b, - rationnel. Prouve-le √ a et √ bSont également des nombres rationnels.

Considérez le produit

(√ a - √ b) (√ a + √ b) \u003d a - b.

Nombre √ a + √ b, qui est égal au rapport des nombres a - b et √ a –√ b, est rationnel, puisque le quotient de division de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. La somme de deux nombres rationnels

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- nombre rationnel, leur différence,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

est également un nombre rationnel, selon les besoins.

3. Montrer qu'il existe des nombres irrationnels positifs a et b pour lesquels le nombre a b est naturel.

4. Existe-t-il des nombres rationnels a, b, c, d satisfaisant l'égalité

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2,

où n est un nombre naturel?

Si l'égalité donnée dans la condition est vérifiée et que les nombres a, b, c, d sont rationnels, alors l'égalité est vraie:

(un B √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

Mais 5 - 4√2 (a - b√2) 2n + (c - d√2) 2n\u003e 0. La contradiction qui en résulte prouve que l'égalité originelle est impossible.

Réponse: n'existent pas.

5. Si les segments de longueurs a, b, c forment un triangle, alors pour tout n \u003d 2, 3, 4 ,. ... ... les segments de longueurs n √ a, n √ b, n √ c forment également un triangle. Prouve le.

Si les segments de longueurs a, b, c forment un triangle, alors l'inégalité du triangle donne

Par conséquent, nous avons

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Les autres cas de vérification de l'inégalité triangulaire sont considérés de manière similaire, d'où la conclusion découle.

6. Démontrez que la fraction décimale infinie 0.1234567891011121314 ... (après la virgule décimale dans une ligne sont écrits tous les nombres naturels dans l'ordre) est un nombre irrationnel.

Comme vous le savez, les nombres rationnels sont exprimés en fractions décimales, qui ont une période à partir d'un certain signe. Par conséquent, il suffit de prouver que la fraction donnée n'est périodique d'aucun signe. Supposons que ce ne soit pas le cas et qu'une séquence T, composée de n chiffres, soit une période d'une fraction, à partir de la mième décimale. Il est clair que parmi les chiffres après le m-ème caractère, il y a des nombres différents de zéro, donc il y a un chiffre différent de zéro dans la séquence de chiffres T Cela signifie qu'à partir du mème chiffre après la virgule décimale, parmi tous les n chiffres d'affilée, il y a un chiffre différent de zéro. Cependant, la notation décimale de cette fraction doit contenir la notation décimale du nombre 100 ... 0 \u003d 10 k, où k\u003e m et k\u003e n. Il est clair que cette entrée apparaîtra à droite du m-ème chiffre et contient plus de n zéros d'affilée. Ainsi, nous obtenons une contradiction qui complète la preuve.

7. On vous donne une fraction décimale infinie 0, a 1 a 2 .... Prouvez que les nombres dans sa notation décimale peuvent être réorganisés de sorte que la fraction résultante exprime un nombre rationnel.

Rappelons qu'une fraction exprime un nombre rationnel si et seulement s'il est périodique, en commençant par un certain signe. Nous divisons les nombres de 0 à 9 en deux classes: dans la première classe, nous incluons les nombres qui apparaissent dans la fraction d'origine un nombre fini de fois, dans la deuxième classe - ceux qui apparaissent dans la fraction d'origine un nombre infini de fois. Commençons par écrire la fraction périodique, qui peut être obtenue à partir de la permutation originale des nombres. Tout d'abord, après zéro et une virgule, nous écrivons dans un ordre aléatoire tous les nombres de la première classe - chacun autant de fois qu'il apparaît dans la fraction initiale. Les premiers chiffres de classe enregistrés précéderont la période dans la partie fractionnaire de la fraction décimale. De plus, nous écrivons dans un certain ordre, une fois les nombres de la deuxième classe. Nous déclarerons cette combinaison comme une période et la répéterons un nombre infini de fois. Ainsi, nous avons écrit la fraction périodique requise, qui exprime un certain nombre rationnel.

8. Prouvez que dans chaque fraction décimale infinie il y a une séquence de décimales de longueur arbitraire, qui se produit un nombre infini de fois dans l'expansion de la fraction.

Soit m un nombre naturel arbitraire. Décomposons la fraction décimale infinie donnée en segments, avec m chiffres dans chacun. Il y aura une infinité de tels segments. En revanche, il n'existe que 10 m de systèmes différents composés de m chiffres, c'est-à-dire un nombre fini. Par conséquent, au moins un de ces systèmes doit être répété ici une infinité de fois.

Commentaire. Pour les nombres irrationnels √ 2, π ou e nous ne savons même pas quel chiffre est répété une infinité de fois dans les fractions décimales infinies qui les représentent, bien que chacun de ces nombres, comme on peut facilement le prouver, contienne au moins deux chiffres différents.

9. Prouvez de manière élémentaire que la racine positive de l'équation

est irrationnel.

Pour x\u003e 0, le côté gauche de l'équation augmente avec l'augmentation de x, et il est facile de voir que pour x \u003d 1,5 il est inférieur à 10, et pour x \u003d 1,6 - plus de 10. Par conséquent, la seule racine positive de l'équation se trouve dans l'intervalle (1,5 ; 1.6).

Nous écrivons la racine comme une fraction irréductible p / q, où p et q sont des nombres naturels premiers. Alors pour x \u003d p / q l'équation prendra la forme suivante:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

d'où il suit que p est un diviseur de 10, par conséquent, p est égal à l'un des nombres 1, 2, 5, 10. Cependant, en écrivant des fractions avec des numérateurs 1, 2, 5, 10, nous remarquons immédiatement qu'aucune d'entre elles ne tombe dans l'intervalle (1,5; 1,6).

Ainsi, la racine positive de l'équation d'origine ne peut pas être représentée comme une fraction ordinaire, ce qui signifie qu'il s'agit d'un nombre irrationnel.

10. a) Y a-t-il trois points A, B et C sur le plan tels que pour tout point X la longueur d'au moins un des segments XA, XB et XC soit irrationnelle?

b) Les coordonnées des sommets du triangle sont rationnelles. Montrer que les coordonnées du centre de son cercle sont également rationnelles.

c) Existe-t-il une telle sphère sur laquelle il y a exactement un point rationnel? (Un point rationnel est un point où les trois coordonnées cartésiennes sont des nombres rationnels.)

a) Oui, il y en a. Soit C le milieu du segment AB. Alors XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Si le nombre AB 2 est irrationnel, alors les nombres XA, XB et XC ne peuvent pas être rationnels en même temps.

b) Soit (a 1; b 1), (a 2; b 2) et (a 3; b 3) les coordonnées des sommets du triangle. Les coordonnées du centre de son cercle circonscrit sont données par un système d'équations:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Il est facile de vérifier que ces équations sont linéaires, ce qui signifie que la solution du système d'équations considéré est rationnelle.

c) Une telle sphère existe. Par exemple, une sphère avec l'équation

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Le point O de coordonnées (0; 0; 0) est un point rationnel situé sur cette sphère. Le reste des points de la sphère est irrationnel. Prouvons-le.

Supposons le contraire: soit (x; y; z) un point rationnel de la sphère, différent du point O. Il est clair que x est différent de 0, car à x \u003d 0 il y a une solution unique (0; 0; 0), ce que nous ne sommes pas maintenant intéressé. Développons les crochets et exprimons √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

qui ne peut pas être pour rationnel x, y, z et irrationnel √ 2. Ainsi, O (0; 0; 0) est le seul point rationnel sur la sphère considérée.

Tâches sans solutions

1. Prouvez que le nombre

\\ [\\ sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

est irrationnel.

2. Pour quels entiers m et n l'égalité (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n vaut-elle?

3. Existe-t-il un nombre a tel que les nombres a - √ 3 et 1 / a + √ 3 soient des entiers?

4. Les nombres 1, √ 2, 4 peuvent-ils être des membres (pas nécessairement adjacents) d'une progression arithmétique?

5. Montrer que pour tout entier naturel n l'équation (x + y√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 n'a pas de solutions en nombres rationnels (x; y).