Comment trouvez-vous la racine carrée? Propriétés, exemples d'extraction de racine. Racine carrée

Formules racines. Propriétés des racines carrées.

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matériaux dans la section spéciale 555.
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Et pour ceux qui sont "très uniformes ...")

Dans la leçon précédente, nous avons compris ce qu'est une racine carrée. Il est temps de savoir lesquels existent formules racineque sont propriétés de la racine, et ce que vous pouvez faire avec tout cela.

Formules racine, propriétés racine et règles pour les actions avec racines sont, en substance, la même chose. Formules pour racines carrées étonnamment peu. Ce qui, bien sûr, fait plaisir! Au contraire, vous pouvez écrire beaucoup de toutes sortes de formules, mais pour un travail pratique et confiant avec des racines, seules trois suffisent. Le reste de ces trois flux. Bien que beaucoup de gens se perdent dans les trois formules racines, oui ...

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Cet article est une collection d'informations détaillées relatives au sujet des propriétés racine. Compte tenu du sujet, nous commencerons par les propriétés, étudierons toutes les formulations et fournirons des preuves. Pour corriger le sujet, nous allons considérer les propriétés du n-ième degré.

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Propriétés de la racine

Nous parlerons des propriétés.

1. Propriété nombres multipliés une et b, qui est représentée par l'égalité a b \u003d a b. Il peut être représenté sous forme de facteurs, positifs ou égaux à zéro a 1, a 2,…, a k comme a 1 · a 2 ·… · a k \u003d a 1 · a 2 ·… · a k;
2. à partir du quotient a: b \u003d a: b, a ≥ 0, b\u003e 0, on peut aussi l'écrire sous cette forme a b \u003d a b;
3. Propriété de la puissance d'un nombre une avec un exposant pair a 2 m \u003d a m pour tout nombre une, par exemple, une propriété du carré du nombre a 2 \u003d a.

Dans n'importe laquelle des équations présentées, vous pouvez permuter les parties avant et après le tiret par endroits, par exemple, l'égalité a b \u003d a b est transformée en a b \u003d a b. Les propriétés d'égalité sont souvent utilisées pour simplifier des équations complexes.

La preuve des premières propriétés est basée sur la définition de la racine carrée et les propriétés des exposants naturels. Pour justifier la troisième propriété, il faut se référer à la définition du module d'un nombre.

La première étape consiste à prouver les propriétés de la racine carrée a b \u003d a b. Selon la définition, il faut considérer que a b est un nombre, positif ou égal à zéro, qui sera égal à un Blors du montage dans un carré. La valeur de a · b est positive ou égale à zéro en tant que produit de nombres non négatifs. La propriété du degré de nombres multipliés vous permet de représenter l'égalité sous la forme (a b) 2 \u003d a 2 b 2 Par la définition de la racine carrée a 2 \u003d a et b 2 \u003d b, alors a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

De la même manière, on peut prouver qu'à partir du produit k multiplicateurs a 1, a 2,…, a k sera égal au produit des racines carrées de ces facteurs. En effet, a 1 · a 2 ·… · a k 2 \u003d a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 \u003d a 1 · a 2 ·… · a k.

De cette égalité il s'ensuit que a 1 · a 2 ·… · a k \u003d a 1 · a 2 ·… · a k.

Regardons quelques exemples pour solidifier le sujet.

Exemple 1

3 5 2 5 \u003d 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 \u003d 4, 2 13 1 2 et 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) \u003d 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Il faut prouver la propriété de la racine carrée arithmétique du quotient: a: b \u003d a: b, a ≥ 0, b\u003e 0. La propriété vous permet d'écrire l'égalité a: b 2 \u003d a 2: b 2, et a 2: b 2 \u003d a: b, avec a: b étant un nombre positif ou égal à zéro. Cette expression deviendra la preuve.

Par exemple, 0: 16 \u003d 0: 16, 80: 5 \u003d 80: 5 et 3 0, 121 \u003d 3 0, 121.

Considérez la propriété de la racine carrée du carré d'un nombre. Elle peut s'écrire comme une égalité comme un 2 \u003d a Pour prouver cette propriété, il faut considérer en détail plusieurs égalités pour a ≥ 0 et à une< 0 .

Evidemment, pour a ≥ 0, l'égalité a 2 \u003d a est vraie. Quand une< 0 l'égalité a 2 \u003d - a sera vraie. En fait, dans ce cas - a\u003e 0 et (- a) 2 \u003d a 2. On peut conclure que a 2 \u003d a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Regardons quelques exemples.

Exemple 2

5 2 \u003d 5 \u003d 5 et - 0,36 2 \u003d - 0,36 \u003d 0,36.

La propriété prouvée aidera à justifier un 2 m \u003d un m, où une - réel, et m -entier naturel. En effet, la propriété d'élever une puissance permet de remplacer la puissance un 2 m expression (un m) 2, alors a 2 m \u003d (a m) 2 \u003d a m.

Exemple 3

3 8 \u003d 3 4 \u003d 3 4 et (- 8, 3) 14 \u003d - 8, 3 7 \u003d (8, 3) 7.

Propriétés de la racine n-ième

Tout d'abord, vous devez considérer les propriétés de base des n-ièmes racines:

1. Propriété du produit des nombres une et b, qui sont positifs ou égaux à zéro, peuvent être exprimés comme l'égalité a b n \u003d a n b n, cette propriété est valable pour le produit k Nombres a 1, a 2,…, a k comme a 1 · a 2 ·… · a k n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
2. à partir d'un nombre fractionnaire a la propriété a b n \u003d a n b n, où une - tout nombre réel positif ou égal à zéro, et b - nombre réel positif;
3. Pour toute une et même des indicateurs n \u003d 2 m a 2 m 2 m \u003d a, et pour impaire n \u003d 2 m - 1 l'égalité a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a est valable.
4. Propriété d'extraction de a m n \u003d a n m, où une - tout nombre, positif ou égal à zéro, n et m - nombres naturels, cette propriété peut également être représentée par. ... ... a n k n 2 n 1 \u003d a n 1 n 2. ... ... · N k;
5. Pour tout a non négatif et arbitraire n et m, qui sont naturelles, vous pouvez également déterminer la juste égalité a m n · m \u003d a n;
6. Diplôme de propriété n de la puissance du nombre unequi est positif ou égal à zéro, en degré naturel mdéfini par l'égalité a m n \u003d a n m;
7. Propriété de comparaison qui ont les mêmes indicateurs: pour tout nombre positif une et b tel que une< b , l'inégalité a n< b n ;
8. Propriété de comparaison qui ont les mêmes nombres sous la racine: si m et n -nombres naturels qui m\u003e n, puis à 0 < a < 1 l'inégalité a m\u003e a n est vraie, et pour a\u003e 1 un m< a n .

Les égalités données ci-dessus sont valides si les parties avant et après le signe égal sont permutées. Ils peuvent être utilisés tels quels. Ceci est souvent utilisé lors de la simplification ou de la conversion d'expressions.

La preuve des propriétés ci-dessus de la racine est basée sur la définition, les propriétés du degré et la définition du module d'un nombre. Ces propriétés doivent être prouvées. Mais tout est en ordre.

1. Tout d'abord, nous prouvons les propriétés de la nième racine du produit a b n \u003d a n b n. Pour une et b quisont positif ou égal à zéro , la valeur a n · b n est également positive ou égale à zéro, car elle est une conséquence de la multiplication de nombres non négatifs. La propriété du produit en degré naturel nous permet d'écrire l'égalité a n b n n \u003d a n n b n n. Par définition de la racine n-ème degré a n n \u003d a et b n n \u003d b, donc a n b n n \u003d a b. L'égalité qui en résulte est exactement ce qu'il fallait prouver.

Cette propriété est prouvée de manière similaire pour le produit k facteurs: pour les nombres non négatifs a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Donnons des exemples d'utilisation de la propriété root n-ème degré du produit: 5 2 1 2 7 \u003d 5 7 2 1 2 7 et 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 \u003d 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

1. Prouvons la propriété de la racine du quotient a b n \u003d a n b n. Quand a ≥ 0 et b\u003e 0la condition a n b n ≥ 0 est satisfaite, et a n b n n \u003d a n n b n n \u003d a b.

Montrons des exemples:

Exemple 4

8 27 3 \u003d 8 3 27 3 et 2, 3 10: 2 3 10 \u003d 2, 3: 2 3 10.

1. Pour l'étape suivante, il est nécessaire de prouver les propriétés du nième degré du nombre au degré n... Nous représentons cela comme l'égalité a 2 m 2 m \u003d a et a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a pour tout réel une et naturel m... Quand a ≥ 0 on obtient a \u003d a et a 2 m \u003d a 2 m, ce qui prouve l'égalité a 2 m 2 m \u003d a, et l'égalité a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a est évidente. Quand une< 0 on obtient respectivement a \u003d - a et a 2 m \u003d (- a) 2 m \u003d a 2 m. La dernière transformation du nombre est valide selon la propriété du degré. C'est ce qui prouve que l'égalité a 2 m 2 m \u003d a, et a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a sera vraie, puisque pour un degré impair on considère - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m - 1 pour n'importe quel nombre c,positif ou égal à zéro.

Afin de consolider les informations reçues, considérons plusieurs exemples d'utilisation de la propriété:

Exemple 5

7 4 4 \u003d 7 \u003d 7, (- 5) 12 12 \u003d - 5 \u003d 5, 0 8 8 \u003d 0 \u003d 0, 6 3 3 \u003d 6 et (- 3, 39) 5 5 \u003d - 3, 39.

1. Prouvons l'égalité suivante a m n \u003d a n · m. Pour ce faire, vous devez changer les nombres avant le signe égal et après celui-ci aux endroits a n · m \u003d a m n. Cela signifiera la bonne entrée. Pour une,ce qui est positif ou égal à zéro , de la forme a m n est un nombre positif ou égal à zéro. Passons maintenant à la propriété d'élever un degré en exposant et en définition. Ils peuvent être utilisés pour transformer des égalités sous la forme a m n n · m \u003d a m n n m \u003d a m m \u003d a. Cela prouve la propriété considérée d'une racine à partir d'une racine.

D'autres propriétés sont prouvées de la même manière. En effet,. ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... N k \u003d. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... N k \u003d. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... N k \u003d. ... ... \u003d a n k n k \u003d a.

Par exemple, 7 3 5 \u003d 7 5 3 et 0, 0009 6 \u003d 0, 0009 2 2 6 \u003d 0, 0009 24.

1. Prouvons la propriété suivante a m n · m \u003d a n. Pour ce faire, il faut montrer qu'un n est un nombre, positif ou égal à zéro. Lorsqu'il est élevé à la puissance n m est un m... Si le nombre une est positif ou égal à zéro, alors n-ème degré de une est un nombre positif ou égal à 0. De plus, a n · m n \u003d a n n m, selon les besoins.

Afin de consolider les connaissances acquises, considérons quelques exemples.

1. Prouvons la propriété suivante - la propriété d'une racine d'un degré de la forme a m n \u003d a n m. Evidemment, pour a ≥ 0 le degré a n m est un nombre non négatif. De plus, son n-le degré est un men effet, a n m n \u003d a n m n \u003d a n n m \u003d a m. Cela prouve la propriété du diplôme considéré.

Par exemple, 2 3 5 3 \u003d 2 3 3 5.

1. Il est nécessaire de prouver que pour tout nombre positif une et b la condition une< b ... Considérons l'inégalité a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию une< b ... Par conséquent, un n< b n при une< b .

Par exemple, donnons 12 4< 15 2 3 4 .

1. Considérez la propriété racine n-ème degré. Premièrement, nous devons considérer la première partie de l'inégalité. Quand m\u003e n et 0 < a < 1 vrai a m\u003e a n. Supposons a m ≤ a n. Les propriétés simplifieront l'expression en a n m · n ≤ a m m · n. Alors, selon les propriétés du degré d'exposant naturel, l'inégalité a n m n m n ≤ a m m n m n est satisfaite, c'est-à-dire a n ≤ a m... La valeur obtenue à m\u003e n et 0 < a < 1 ne correspond pas aux propriétés ci-dessus.

De la même manière, on peut prouver que pour m\u003e n et a\u003e 1la condition a m< a n .

Afin de consolider les propriétés ci-dessus, considérons plusieurs exemples spécifiques. Considérez les inégalités en utilisant des nombres spécifiques.

Exemple 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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La superficie d'un terrain carré est de 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté d'un carré soit x décimètres. Ensuite, la zone du site est x² décimètres carrés. Puisque, par condition, cette surface est de 81 dm², alors x² \u003d 81. La longueur du côté du carré est un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Lors de la résolution du problème, il était nécessaire de trouver le nombre x, dont le carré est 81, c'est-à-dire pour résoudre l'équation x² \u003d 81. Cette équation a deux racines: x 1 \u003d 9 et x 2 \u003d - 9, puisque 9² \u003d 81 et (- 9) ² \u003d 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés racines carrées de 81.

Notez que l'une des racines carrées x \u003d 9 est un nombre positif. Elle est appelée la racine carrée arithmétique de 81 et est notée √81, donc √81 \u003d 9.

Racine carrée arithmétique d'un nombre et est un nombre non négatif dont le carré est et.

Par exemple, 6 et - 6 sont les racines carrées de 36. Dans ce cas, 6 est la racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² \u003d 36. Le nombre - 6 n'est pas une racine arithmétique.

Racine carrée arithmétique d'un nombre et noté comme suit: √ et.

Le signe est appelé le signe de la racine carrée arithmétique; et - s'appelle une expression radicale. Expression √ etlis donc: racine carrée arithmétique d'un nombre et. Par exemple, √36 \u003d 6, √0 \u003d 0, √0.49 \u003d 0.7. Dans les cas où il est clair que nous parlons d'une racine arithmétique, ils disent brièvement: «la racine carrée de et«.

L'action de trouver la racine carrée d'un nombre est appelée extraction de racine carrée. Cette action est l'inverse de la quadrature.

N'importe quel nombre peut être au carré, mais tous les nombres ne peuvent pas être des racines carrées. Par exemple, vous ne pouvez pas extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors, en la désignant par la lettre x, nous aurions une égalité incorrecte х2 \u003d - 4, car il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.

Expression √ etn'a de sens que lorsque un ≥0. La définition de la racine carrée peut être brièvement écrite comme suit: √ un ≥0, (√et)² = et... Égalité (√ et)² = etvalable un ≥0. Ainsi, pour s'assurer que la racine carrée d'un nombre non négatif et est égal b, c'est-à-dire que √ et =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies: b ≥0, b² = et.

Racine carrée de fraction

Calculons. Notez que √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, et vérifiez si l'égalité est vraie.

Car et, alors l'égalité est vraie. Donc, .

Théorème: Si un et ≥ 0 et b \u003e 0, c'est-à-dire que la racine de la fraction est égale à la racine du numérateur divisée par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que: et .

Depuis √ et ≥0 et √ b \u003e 0, alors.

Par la propriété d'élever une fraction à une puissance et la définition d'une racine carrée le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.

Calculer, par le théorème prouvé .

Deuxième exemple: prouver que , si un et ≤ 0, b < 0. .

Un autre exemple: calculer.

.

Conversion de racines carrées

Suppression du facteur du signe racine. Laissez l'expression être donnée. Si un et ≥ 0 et b ≥ 0, alors par le théorème de la racine du produit on peut écrire:

Une telle transformation s'appelle retirer un facteur du signe racine. Regardons un exemple;

Calculer à x \u003d 2. Substitution directe x \u003d 2 à une expression radicale conduit à des calculs complexes. Ces calculs peuvent être simplifiés en supprimant d'abord les facteurs du signe racine:. En remplaçant maintenant x \u003d 2, nous obtenons:.

Ainsi, en supprimant le facteur sous le signe racine, l'expression radicale est présentée comme un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont des carrés de nombres non négatifs. Ensuite, le théorème de racine du produit est appliqué et la racine de chaque facteur est extraite. Prenons un exemple: Simplifiez l'expression A \u003d √8 + √18 - 4√2 en supprimant les facteurs du signe racine dans les deux premiers termes, nous obtenons:. Nous soulignons que l'égalité valable uniquement pour et ≥ 0 et b ≥ 0. si et < 0, то .

Les mathématiques sont nées lorsqu'une personne a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. L'envie de mesurer, comparer, calculer ce qui vous entoure - c'est ce qui sous-tend l'une des sciences fondamentales de nos jours. Au début, il s'agissait de particules de mathématiques élémentaires, qui permettaient d'associer les nombres à leurs expressions physiques, les conclusions ultérieures ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur abstrait), mais après un certain temps, comme le disait un scientifique, «les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité quand elles ont disparu. tous les nombres. " Le concept de «racine carrée» est apparu à un moment où il pouvait être facilement étayé par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.

Comment tout a commencé

La première mention d'une racine qui est ce moment noté √, a été enregistré dans les travaux des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ne ressemblaient pas à la forme actuelle - les scientifiques de ces années utilisaient pour la première fois des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire avant JC. e. ils ont proposé une formule de calcul approximative qui montrait comment extraire la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle les scientifiques babyloniens ont gravé le processus d'inférence √2, et elle s'est avérée si correcte que la divergence dans la réponse n'a été trouvée qu'à la dixième décimale.

De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver le côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d'équations quadratiques, vous ne pouvez pas vous éloigner de l'extraction de la racine.

Avec les œuvres babyloniennes, l'objet de l'article a été étudié dans l'ouvrage chinois "Mathématiques en neuf livres", et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine n'est pas extraite sans reste donne un résultat irrationnel.

L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre: les scientifiques anciens croyaient que le carré d'un nombre arbitraire se développe à partir de la racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (vous pouvez tracer un motif - tout ce qui a une charge sémantique «racine» est consonne, que ce soit radis ou radiculite).

Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée, en la qualifiant de Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée d'un nombre arbitraire a était extraite, ils écrivaient R 2 a. Le "tick", familier au look moderne, n'apparaît qu'au XVIIe siècle grâce à René Descartes.

Nos jours

Mathématiquement, la racine carrée de y est le nombre z dont le carré est y. En d'autres termes, z 2 \u003d y équivaut à √y \u003d z. Cependant, cette définition n'est pertinente que pour racine arithmétiquepuisqu'elle implique la valeur non négative de l'expression. En d'autres termes, √y \u003d z, où z est supérieur ou égal à 0.

En général, ce qui est valable pour la définition d'une racine algébrique, la valeur de l'expression peut être positive ou négative. Ainsi, du fait que z 2 \u003d y et (-z) 2 \u003d y, on a: √y \u003d ± z ou √y \u003d | z |.

En raison du fait que l'amour pour les mathématiques n'a fait que croître avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'affection pour elles, non exprimées dans des calculs secs. Par exemple, en plus de phénomènes amusants comme le jour de pi, les vacances de la racine carrée sont également célébrées. Ils sont célébrés neuf fois en cent ans, et sont déterminés selon le principe suivant: les nombres qui désignent le jour et le mois dans l'ordre doivent être la racine carrée de l'année. Donc, la prochaine fois, cette fête sera célébrée le 4 avril 2016.

Propriétés de la racine carrée sur le champ R

Presque toutes les expressions mathématiques sont géométriquement basées, ce destin n'est pas passé et √y, qui est défini comme le côté d'un carré d'aire y.

Comment trouver la racine d'un nombre?

Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez lourd, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant:

1) les nombres impairs sont soustraits du nombre dont nous avons besoin, à son tour, jusqu'à ce que le reste à la sortie soit inférieur au soustrait ou même zéro. Le nombre de coups deviendra finalement le nombre requis. Par exemple, calculer la racine carrée de 25:

Le prochain nombre impair est 11, nous avons le reste suivant: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pour de tels cas, il existe une extension de la série Taylor:

√ (1 + y) \u003d ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, où n va de 0 à

+ ∞ et | y | ≤1.

Représentation graphique de la fonction z \u003d √y

Considérons une fonction élémentaire z \u003d √y sur le corps des nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son graphique ressemble à ceci:

La courbe croît à partir de l'origine et coupe nécessairement le point (1; 1).

Propriétés de la fonction z \u003d √y sur le champ des nombres réels R

1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).

2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).

3. La fonction prend la valeur minimale (0) uniquement au point (0; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.

4. La fonction z \u003d √y n'est ni paire ni impaire.

5. La fonction z \u003d √y n'est pas périodique.

6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphe de la fonction z \u003d √y avec les axes de coordonnées: (0; 0).

7. Le point d'intersection du graphe de la fonction z \u003d √y est également le zéro de cette fonction.

8. La fonction z \u003d √y croît continuellement.

9. La fonction z \u003d √y ne prend que des valeurs positives, par conséquent, son graphique occupe le premier angle de coordonnées.

Variantes de la fonction z \u003d √y

En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, ils utilisent parfois la forme puissante de l'écriture de la racine carrée: √y \u003d y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance: (√y) 4 \u003d (y 1/2) 4 \u003d y 2. Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, car grâce à elle la racine carrée est représentée par une fonction de puissance ordinaire.

Et en programmation, le remplacement du symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.

Il est à noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle est incluse dans la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez complexe et est basé sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).

Racine carrée dans un champ complexe C

En gros, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du champ des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question de l'obtention d'une racine paire à partir d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'apparaît l'unité imaginaire i, caractérisée par une propriété très intéressante: son carré vaut -1. Pour cette raison, les équations quadratiques et avec un discriminant négatif ont obtenu une solution. En C, les mêmes propriétés sont pertinentes pour la racine carrée que pour R, la seule chose est que les restrictions ont été supprimées de l'expression radicale.