Problèmes d'addition et de soustraction de fractions. Problèmes d'addition et de soustraction de fractions Thème 1 fractions algébriques opérations arithmétiques

Thème:

Leçon: Conversion d'expressions rationnelles

1. Expression rationnelle et méthode de sa simplification

Rappelons d'abord la définition de l'expression rationnelle.

Définition. Expression rationnelle - une expression algébrique qui ne contient pas de racines et ne comprend que les actions d'addition, de soustraction, de multiplication et de division (élévation à une puissance).

Par le concept de «transformer une expression rationnelle», nous entendons tout d'abord sa simplification. Et cela se fait dans l'ordre des actions que nous connaissons: d'abord les actions entre parenthèses, puis produit de nombres(exponentiation), division des nombres, puis actions d'addition / soustraction.

2. Simplification des expressions rationnelles avec la somme / différence des fractions

L'objectif principal de la leçon d'aujourd'hui sera d'acquérir de l'expérience dans la résolution de problèmes plus complexes afin de simplifier les expressions rationnelles.

Exemple 1.

Décision. Au début, il peut sembler que les fractions indiquées peuvent être annulées, puisque les expressions dans les numérateurs des fractions sont très similaires aux formules pour les carrés parfaits de leurs dénominateurs correspondants. Dans ce cas, il est important de ne pas se précipiter, mais de vérifier séparément si tel est le cas.

Vérifions le numérateur de la première fraction:. Maintenant, le numérateur est le deuxième :.

Comme vous pouvez le voir, nos attentes ne se sont pas réalisées, et les expressions dans les numérateurs ne sont pas des carrés parfaits, puisqu'elles n'ont pas un doublement du produit. De telles expressions, si l'on se rappelle le cours de la 7e année, sont appelées carrés incomplets. Vous devez être très prudent dans de tels cas, car mélanger la formule d'un carré complet avec un incomplet est une erreur très courante, et de tels exemples testent l'attention de l'élève.

Comme l'annulation n'est pas possible, nous ajouterons les fractions. Les dénominateurs n'ont pas de facteurs communs, ils sont donc simplement multipliés pour obtenir le plus petit dénominateur commun, et le facteur supplémentaire pour chacune des fractions est le dénominateur de l'autre fraction.

Bien sûr, vous pouvez ouvrir les crochets et donner des termes similaires, cependant, dans ce cas, vous pouvez vous en tirer avec moins d'effort et remarquer dans le numérateur le premier terme est la formule de la somme des cubes et le second est la différence des cubes. Pour plus de commodité, nous rappelons ces formules sous forme générale:

Dans notre cas, les expressions du numérateur se réduisent comme suit:

, la deuxième expression est la même. On a:

Répondre..

Exemple 2. Simplifier l'expression rationnelle .

Décision. Cet exemple est similaire au précédent, mais ici vous pouvez immédiatement voir qu'il y a des carrés incomplets dans les numérateurs des fractions, donc une réduction au stade initial de la solution est impossible. De la même manière que dans l'exemple précédent, ajoutez les fractions:

Ici, similaire à la méthode indiquée ci-dessus, nous avons remarqué et réduit les expressions selon les formules pour la somme et la différence des cubes.

Répondre..

Exemple 3. Simplifiez l'expression rationnelle.

Décision. Vous pouvez voir que le dénominateur de la deuxième fraction est factorisé à l'aide de la formule de la somme des cubes. Comme nous le savons déjà, la factorisation des dénominateurs est utile pour trouver le plus petit dénominateur commun des fractions.

Indiquons le plus petit dénominateur commun des fractions, il est: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif "alt \u003d" (! LANG: http: //d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/ 23332 /.png" width="624" height="70">.!}

Répondre.

3. Simplification des expressions rationnelles avec des fractions complexes "multi-niveaux"

Regardons un exemple plus complexe avec des fractions «multi-niveaux».

Exemple 4. Prouvez l'identité https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif "alt \u003d" (! LANG: http: //d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bd.ngp1738" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Éprouvé.

Dans la prochaine leçon, nous examinerons de plus près des exemples plus complexes de transformation d'expressions rationnelles.

Thème: Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon: Conversion d'expressions rationnelles plus complexes

1. Un exemple pour prouver une identité à l'aide de transformations d'expressions rationnelles

Dans cette leçon, nous examinerons la transformation d'expressions rationnelles plus complexes. Le premier exemple sera consacré à la preuve d'identité.

Exemple 1

Prouvez l'identité:.

Preuve:

Tout d'abord, lors de la transformation d'expressions rationnelles, il est nécessaire de déterminer l'ordre des actions. Rappelez-vous que les actions entre parenthèses sont effectuées en premier, puis la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction. Par conséquent, dans cet exemple, l'ordre des actions sera le suivant: nous exécutons d'abord l'action dans les premiers crochets, puis dans les seconds crochets, puis divisons les résultats obtenus, puis ajoutons une fraction à l'expression résultante. À la suite de ces actions, ainsi que de la simplification, vous devriez obtenir une expression.

Cette leçon présente le concept de fraction algébrique. Une personne rencontre des fractions dans les situations les plus simples de la vie: lorsqu'il est nécessaire de diviser un objet en plusieurs parties, par exemple, coupez un gâteau également en dix personnes. De toute évidence, tout le monde aura sa part du gâteau. Dans ce cas, nous sommes confrontés au concept de fraction numérique, mais une situation est possible lorsqu'un objet est divisé en un nombre inconnu de parties, par exemple, par x. Dans ce cas, le concept d'expression fractionnaire se pose. Vous avez déjà rencontré des expressions entières (ne contenant pas de division en expressions avec des variables) et leurs propriétés en 7e année. Ensuite, nous considérerons le concept de fraction rationnelle, ainsi que les valeurs admissibles des variables.

Thème:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon:Concepts de base

1. Définition et exemples de fractions algébriques

Les expressions rationnelles sont divisées en expressions entières et fractionnaires.

Définition. Fraction rationnelle - expression fractionnaire de la forme, où sont les polynômes. - Numérateur dénominateur.

Exemples de expressions rationnelles: - expressions fractionnaires; - des expressions entières. Dans la première expression, par exemple, il agit comme numérateur et dénominateur.

Valeur fraction algébriquecomme n'importe qui expression algébrique, dépend de la valeur numérique des variables qui y sont incluses. En particulier, dans le premier exemple, la valeur de la fraction dépend des valeurs des variables et, et dans le second uniquement de la valeur de la variable.

2. Calcul de la valeur d'une fraction algébrique et deux problèmes de base sur la fraction

Considérez le premier problème typique: calculer la valeur fraction rationnelle pour différentes valeurs des variables qui y sont incluses.

Exemple 1. Calculez la valeur de la fraction en a), b), c)

Décision. Remplacez les valeurs des variables par la fraction indiquée: a), b), c) - n'existe pas (car vous ne pouvez pas diviser par zéro).

Réponse: 3; 1; n'existe pas.

Comme vous pouvez le voir, il existe deux problèmes typiques pour toute fraction: 1) calculer la fraction, 2) trouver valeurs valides et non valides variables alphabétiques.

Définition. Valeurs de variable valides - les valeurs des variables pour lesquelles l'expression a un sens. L'ensemble de toutes les valeurs admissibles des variables est appelé ODZ ou domaine.

3. Valeurs autorisées (ODZ) et non valides des variables en fractions avec une variable

La valeur des variables littérales peut être invalide si le dénominateur de la fraction de ces valeurs est zéro. Dans tous les autres cas, les valeurs des variables sont valides, puisque la fraction peut être calculée.

Exemple 2. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.

Décision. Pour que cette expression ait un sens, il est nécessaire et suffisant que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à zéro. Ainsi, seules les valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro seront invalides. Le dénominateur de la fraction, résolvons donc l'équation linéaire:

Par conséquent, lorsque la valeur de la variable, la fraction n'a pas de sens.

La solution de l'exemple implique la règle pour trouver les valeurs invalides des variables - le dénominateur de la fraction est égal à zéro et les racines de l'équation correspondante sont trouvées.

Regardons quelques exemples similaires.

Exemple 3. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.

Décision. ...

Exemple 4. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.

Décision..

Il existe d'autres formulations de ce problème - pour trouver domaine ou plage de valeurs valides d'une expression (ODZ)... Cela signifie - trouver toutes les valeurs de variable valides. Dans notre exemple, ce sont toutes les valeurs sauf. Il est pratique de tracer la région de définition sur l'axe des nombres.

Pour ce faire, nous allons pointer un point dessus, comme indiqué sur la figure:

De cette façon, le domaine de la fraction sera tous les nombres sauf 3.

Exemple 5. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.

Décision..

Dessinons la solution résultante sur l'axe des nombres:

4. Représentation graphique de la zone autorisée (ODV) et des valeurs invalides des variables en fractions

Exemple 6. Déterminez pour quelles valeurs des variables la fraction n'a pas de sens.

Solution .. Nous obtenons l'égalité de deux variables, nous donnons des exemples numériques: ou, etc.

Tracez cette solution dans un système de coordonnées cartésien:

Figure: 3. Graphique de fonction.

Les coordonnées de tout point situé sur ce graphique ne sont pas incluses dans la plage des valeurs acceptables de la fraction.

5. Le cas de la "division par zéro"

Dans les exemples considérés, nous sommes tombés sur une situation de division par zéro. Considérons maintenant le cas où une situation de division de type plus intéressante se produit.

Exemple 7. Déterminez pour quelles valeurs de variables la fraction n'a pas de sens.

Décision..

Il s'avère que la fraction n'a pas de sens pour. Mais on pourrait soutenir que ce n'est pas le cas, car: .

Il peut sembler que si l'expression finale est égale à 8 à, alors l'original peut également être calculé, et, par conséquent, il a du sens à. Cependant, si nous le substituons dans l'expression originale, nous obtenons - cela n'a aucun sens.

Pour comprendre cet exemple plus en détail, résolvons le problème suivant: à quelles valeurs la fraction spécifiée est-elle égale à zéro?

(la fraction est nulle lorsque son numérateur est zéro) ... Mais il est nécessaire de résoudre l'équation d'origine avec une fraction, et cela n'a pas de sens à, car à cette valeur de la variable, le dénominateur est zéro. Par conséquent, cette équation n'a qu'une seule racine.

6. La règle de recherche du DLD

Ainsi, on peut formuler une règle exacte pour trouver la plage de valeurs admissibles de la fraction: trouver ODZfractions il est nécessaire et suffisant d'assimiler son dénominateur à zéro et de trouver les racines de l'équation résultante.

Nous avons couvert deux tâches principales: calculer la valeur d'une fraction pour les valeurs spécifiées des variables et trouver la plage de valeurs acceptables d'une fraction.

Examinons maintenant quelques problèmes supplémentaires qui peuvent survenir lorsque vous travaillez avec des fractions.

7. Différents objectifs et conclusions

Exemple 8. Prouvez que pour toutes les valeurs de la variable, la fraction.

Preuve. Le numérateur est un nombre positif. ... En conséquence, le numérateur et le dénominateur sont des nombres positifs, par conséquent, la fraction est également un nombre positif.

Éprouvé.

Exemple 9. On sait que, trouvez.

Décision. Divisez le terme de fraction par terme. Nous avons le droit de réduire de, en tenant compte de la valeur inacceptable de la variable pour cette fraction.

Dans cette leçon, nous avons couvert les concepts de base associés aux fractions. Dans la prochaine leçon, nous examinerons propriété de base d'une fraction.

Liste de références

1. Bashmakov M. I. Algèbre grade 8. - M.: Éducation, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - 5e éd. - M.: Éducation, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algèbre grade 8. Manuel pour les établissements d'enseignement. - M.: Éducation, 2006.

1. Festival d'idées pédagogiques.

2. Vieille école.

3. Portail Internet lib2.podelise. ru.

Devoirs

1. N ° 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev GV, Suvorova S.B., Bunimovich EA et al.Algebra 8. - 5e éd. - M.: Éducation, 2010.

2. Écrivez une fraction rationnelle dont le domaine est: a) un ensemble, b) un ensemble, c) l'axe des nombres entier.

3. Montrer que pour toutes les valeurs admissibles de la variable, la valeur de la fraction est non négative.

4. Trouvez la portée de l'expression. Astuce: considérez séparément deux cas: lorsque le dénominateur de la fraction inférieure est zéro et lorsque le dénominateur de la fraction d'origine est zéro.

Dans cette leçon, nous continuerons à considérer les opérations les plus simples avec des fractions algébriques - leur addition et leur soustraction. Aujourd'hui, nous nous concentrerons sur l'examen d'exemples dans lesquels la partie la plus importante de la solution sera la factorisation du dénominateur de toutes les manières que nous connaissons: avec la suppression d'un facteur commun, la méthode de regroupement, la sélection d'un carré complet, à l'aide de formules de multiplication abrégées. Au cours de la leçon, plusieurs problèmes assez difficiles sur les fractions seront considérés.

Thème:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon:Problèmes d'addition et de soustraction

Dans la leçon, nous considérerons et généraliserons tous les cas d'addition et de soustraction de fractions: avec les mêmes et avec des dénominateurs différents. En général, nous résoudrons des problèmes de forme:

Nous avons déjà vu que dans l'addition ou la soustraction de fractions algébriques, l'une des opérations les plus importantes est la factorisation des dénominateurs. Une procédure similaire est effectuée pour les fractions ordinaires. Rappelons à nouveau combien il est nécessaire de travailler avec des fractions ordinaires.

Exemple 1.Calculer.

Décision.Nous utiliserons, comme précédemment, le théorème principal de l'arithmétique selon lequel tout nombre peut être décomposé en facteurs premiers: .

Déterminons le plus petit multiple commun des dénominateurs: - ce sera le dénominateur commun des fractions, et, sur cette base, nous déterminerons des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions: pour la première fraction , pour la deuxième fraction , pour la troisième fraction.

Répondre..

Dans cet exemple, nous avons utilisé le théorème principal de l'arithmétique pour factoriser les nombres. De plus, lorsque les polynômes jouent le rôle de dénominateurs, ils devront être factorisés par les méthodes suivantes que nous connaissons: suppression d'un facteur commun, méthode de regroupement, attribution d'un carré complet, utilisation de formules de multiplication abrégées.

Exemple 2. Ajouter et soustraire des fractions .

Décision.Les dénominateurs des trois fractions sont des expressions complexes qui doivent être factorisées, puis trouver le plus petit dénominateur commun pour elles et indiquer des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions. Faisons toutes ces étapes séparément, puis substituons les résultats dans l'expression d'origine.

Dans le premier dénominateur, on retire le facteur commun: - après avoir retiré le facteur commun, on peut remarquer que l'expression entre parenthèses est repliée selon la formule du carré de la somme.

Dans le deuxième dénominateur, on retire le facteur commun: - après avoir retiré le facteur commun, on applique la formule de la différence des carrés.

Au troisième dénominateur, on retire le facteur commun:.

Après avoir factorisé le troisième dénominateur, vous pouvez voir que dans le deuxième dénominateur, vous pouvez sélectionner un facteur pour une recherche plus pratique du plus petit dénominateur commun des fractions, nous le ferons en mettant le moins en dehors des parenthèses, dans la deuxième parenthèse, nous avons changé les emplacements des termes pour plus forme pratique records.

Définissons le plus petit dénominateur commun des fractions comme une expression qui est divisée par tous les dénominateurs en même temps, elle sera égale à:.

Nous indiquons des facteurs supplémentaires: pour la première fraction , pour la deuxième fraction - le moins pris dans le dénominateur n'est pas pris en compte, puisque nous l'écrirons à la fraction entière, pour la troisième fraction .

Maintenant, effectuons des actions avec des fractions, sans oublier de changer le signe avant la deuxième fraction:

À la dernière étape de la solution, nous avons donné des termes similaires et les avons notés par ordre décroissant de puissances de la variable.

Répondre..

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons de nouveau, comme dans les leçons précédentes, démontré un algorithme pour additionner / soustraire des fractions, qui est le suivant: factoriser les dénominateurs des fractions, trouver le plus petit dénominateur commun, des facteurs supplémentaires, effectuer la procédure d'addition / soustraction et, si possible, simplifier expression et coupe. Nous utiliserons cet algorithme à l'avenir. Regardons maintenant des exemples plus simples.

Exemple 3.Soustraire des fractions .

Décision. Dans cet exemple, il est important de voir la possibilité de réduire la première fraction avant de l'amener à un dénominateur commun avec la seconde fraction. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur de la première fraction sont factorisés.

Numérateur: - dans la première action, une partie de l'expression a été développée en utilisant la formule de la différence des carrés, et dans la seconde, le facteur commun a été supprimé.

Dénominateur: - dans la première action, une partie de l'expression a été développée selon la formule du carré de la différence, et dans la seconde, le facteur commun a été supprimé. Remplacez le numérateur et le dénominateur résultants dans l'expression d'origine et annulez la première fraction par un facteur commun:

Répondre:.

Exemple 4.Effectuer des actions .

Décision.Dans cet exemple, comme dans le précédent, il est important de remarquer et de mettre en œuvre la réduction de la fraction avant d'effectuer les actions. Factorisons le numérateur et le dénominateur.

Questions de test

• 
  Formulez la propriété principale d'une fraction.
• 
  Formuler
  1. 
     Algorithme pour trouver un facteur supplémentaire à une fraction algébrique.
  2. 
     Règles d'addition et de soustraction pour les fractions algébriques de même dénominateur.
  3. 
     Algorithme pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions
  4. 
     La règle d'addition (soustraction) de fractions algébriques avec différents dénominateurs.
  5. 
     Règle de multiplication pour les fractions algébriques
  6. 
     Règle de division pour les fractions algébriques.
  7. 
     La règle pour élever une fraction algébrique à une puissance.

Section de mathématiques. À travers la ligne.

• 
  Nombres et calculs
• 
  Expressions et transformations

• 
  Fraction algébrique.
• 
  Réduire les fractions.
• 
  Actions avec des fractions algébriques.

• 
  Être capable de réduire les fractions algébriques.
• 
  

• 
  Être capable d'effectuer des opérations de base avec des fractions algébriques.
• 
  Être capable d'effectuer des exercices combinés pour des actions avec des fractions algébriques.

Thème 2. Fonction quadratique. Fonction ... (18 heures)

 Fonction

Contenu minimum obligatoire du domaine éducatif des mathématiques

Programme. Suivi de sa mise en œuvre

Exigences pour la formation mathématique

Le niveau de formation obligatoire de l'étudiant

Le niveau de formation possible de l'étudiant

Fonction du sujet 3 ... Propriétés racine carrée (11 heures)

Section de mathématiques. À travers la ligne

• 
  Nombres et calculs
• 
  Expressions et transformations
• 
  Les fonctions

 Racine carrée d'un nombre. Racine carrée arithmétique.

 Le concept de nombre irrationnel... Irrationalité du nombre.

 Des nombres réels.

 Propriétés racines carrées et leur application dans les calculs.

 Fonction.

Programme. Suivi de sa mise en œuvre

^ Exigences pour la formation mathématique

Le niveau de formation obligatoire de l'étudiant

 Trouvez la signification des racines dans des cas simples.

 Connaître la définition et les propriétés d'une fonction , être en mesure de construire son emploi du temps.

 Être capable d'appliquer les propriétés des racines carrées arithmétiques pour calculer les valeurs et les conversions les plus simples d'expressions numériques contenant des racines carrées.

Le niveau de formation possible de l'étudiant

 Connaître le concept de la racine carrée arithmétique.

 Être capable d'appliquer les propriétés de la racine carrée arithmétique lors de la transformation d'expressions.

 Être capable d'utiliser les propriétés d'une fonction lors de la résolution de problèmes pratiques.

 Ayez une idée des nombres irrationnels et réels.

^ Sujet 4 Équations quadratiques (21 heures)

Section de mathématiques. À travers la ligne

 Équations et inégalités

Contenu minimum obligatoire du domaine éducatif des mathématiques

• Équation quadratique: la formule des racines d'une équation quadratique.

 Résolution d'équations rationnelles.

 Résoudre des problèmes de mots en utilisant des équations rationnelles quadratiques et fractionnaires.

Programme. Suivi de sa mise en œuvre

^ Exigences pour la formation en mathématiques

Le niveau de formation obligatoire de l'étudiant

 Être capable de résoudre des équations quadratiques, des équations rationnelles et irrationnelles simples.

 Être capable de résoudre des problèmes de mots simples à l'aide d'équations.

Le niveau de formation possible de l'étudiant

• 
  Comprenez que les équations sont un appareil mathématique pour résoudre divers problèmes de mathématiques, de domaines de connaissances connexes, de pratique.
• 
  Être capable de résoudre des équations quadratiques, des équations rationnelles et irrationnelles qui se réduisent au quadratique.
• 
  Être capable d'appliquer des équations quadratiques et des équations rationnelles lors de la résolution de problèmes.