Formules trigonométriques pour convertir un produit en somme. Leçon "Conversion de produits de fonctions trigonométriques en sommes"

dans ce cas, les coordonnées de ses points sont fixées par des expressions rationnelles dans la variable t? La réponse à cette question dépend de l'équation de la courbe. Si les deux côtés de l'équation contiennent des polynômes en x et y de degré au plus deux, alors il est toujours possible de définir les points de la courbe en utilisant des fonctions rationnelles d'une variable (exemples dans le problème 21.11). Si la courbe est donnée par une équation de degré supérieur à 2, alors, en règle générale, il est impossible de spécifier les coordonnées de ses points par des fonctions rationnelles: c'est déjà le cas pour la courbe x3 + y3 \u003d 1.

Tâche 21.11. Spécifiez les coordonnées des points des courbes suivantes à l'aide de fonctions rationnelles:

a) une ellipse avec l'équation x2 + 4y2 \u003d 1;

b) les hyperboles d'équation xy \u003d 1;

c) les hyperboles d'équation x2 - y2 \u003d 1.

Instructions. b) Si x \u003d t, alors y \u003d 1 / t. c) Factorisez le côté gauche.

Tâche 21.12. a) Indiquez cinq solutions de l'équation x2 + y2 \u003d 1 en nombres rationnels positifs.

b) Indiquez cinq solutions de l'équation a2 + b2 \u003d c2 en nombres naturels.

§ 22. Conversion d'une œuvre en somme et d'une somme en œuvre

Écrivons l'une sous les autres formules pour le sinus de la somme et le sinus de la différence:

sin (α + β) \u003d sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) \u003d sin α cos β - cos α sin β.

En additionnant ces formules, on obtient sin (α + β) + sin (α - β) \u003d 2 sin α cos β, ou

sin α cos β \u003d 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)).

En procédant de la même manière avec les formules du cosinus de la somme et de la différence, on obtient:

cos (α + β) + cos (α - β) \u003d 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) \u003d −2 sin α sin β,

d'où ces formules sont obtenues:

cos α cos β \u003d 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β \u003d 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Nous avons obtenu des formules nous permettant de passer du produit fonctions trigonométriques à leur somme. Apprenons maintenant à faire la transition dans l'autre sens: de la somme au produit.

Prenons, par exemple, la formule

2 sin α cos β \u003d sin (α + β) + sin (α - β).

Sur le côté droit de cette formule, on note α + β par x, et α - β par y. En additionnant et en soustrayant les égalités α + β \u003d x et α - β \u003d y, nous trouvons que α \u003d (x + y) / 2, β \u003d (x - y) / 2. En substituant ces expressions dans le côté gauche de la formule et en lisant la formule de droite à gauche, nous obtenons finalement:

sin x + sin y \u003d 2 sin x + y cosx - y. 2 2

En substituant dans la formule juste obtenue −y au lieu de y,

sin x - sin y \u003d 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Si nous traitons les formules pour cos α cos β et pour sin α sin β de la même manière que nous l'avons fait avec la formule pour sin α cos β, nous obtenons ceci:

(notez le signe moins dans la deuxième formule).

Tâche 22.1. Prouvez ces formules.

Des formules pour convertir la somme des fonctions trigonométriques en un produit peuvent également être obtenues géométriquement. Dans le très

Par contre, puisque OA \u003d OB \u003d 1, le parallélogramme OACB est un losange. Par conséquent, OC est la bissectrice de l'angle AOB,

conformément à nos formules dérivées.

Tâche 22.2. Prouvez les identités:

a) sin (α + β) sin (α - β) + sin (β + γ) sin (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) \u003d 0;

b) 4 sin α sin (π / 3 - α) sin (π / 3 + α) \u003d sin 3α;

c) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α \u003d 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Tâche 22.3. Sous l'hypothèse que α + β + γ \u003d π, prouver les égalités:

c) sin2 α + sin2 β + sin2 γ \u003d 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Tâche 22.4. Soit les angles α, β, γ dans le triangle opposé aux côtés a, b, c. Prouvez les formules:

Ces formules sont appelées formules de Regiomontan, ou théorème tangent.

Tâche 22.5. a) Sous l'hypothèse que α + β + γ + δ \u003d π, prouver l'identité:

sin α sin γ + sin β sin δ \u003d sin (α + β) sin (β + γ).

b) Le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle. Montrer que AB CD + BC AD \u003d AC BD (dans un quadrilatère inscrit, la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales - théorème de Ptolémée).

Les formules que nous avons traitées dans cette section sont utilisées dans l'ingénierie radio. Supposons que nous devions transmettre la voix de l'annonceur par radio à une fréquence de, disons, 300. À des fréquences aussi basses, la transmission radio est impossible: les fréquences des ondes radio utilisées pour la diffusion peuvent se mesurer en millions. Vagues

ces fréquences sont utilisées comme suit. Pendant que l'annonceur est silencieux, seules les ondes radio de haute fréquence ω sont diffusées (fréquence porteuse - voir le graphique de la Fig. 22.2 a).

Aucune information n'est transmise avec ce signal. Maintenant, le locuteur commence à émettre des sons avec une fréquence η (η est bien inférieure à ω); alors le signal u \u003d (A sin ηt) sin ωt passe à l'antenne. Son graphique approximatif est illustré à la Fig. 22.2 b. On peut dire que l'amplitude des oscillations d'une haute fréquence ω subit elle-même des oscillations de basse fréquence η. Comme on dit, un signal haute fréquence est modulé par un signal basse fréquence (tout cela n'est qu'un schéma approximatif de ce qui se passe réellement dans le récepteur).

Nous transformons l'expression du signal modulé:

u \u003d A sin ηt sin ωt \u003d A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Comme vous pouvez le voir, notre signal modulé n'est rien de plus que la somme des signaux de fréquences ω + η et ω - η. Ainsi, lorsqu'ils disent qu'une station radio émet à une fréquence, disons ω \u003d 10, alors nous devons nous rappeler qu'en fait non seulement les ondes radio de fréquence ω vont dans l'air, mais aussi les ondes de toutes les fréquences de l'intervalle [ω −η; ω + η] où η est la fréquence maximale du signal utile émis par la station radio. Cela signifie que les fréquences porteuses des différentes stations radio ne peuvent pas être trop proches les unes des autres: si les segments [ω −η; ω + η] se chevaucheront, les stations de radio interféreront les unes avec les autres.

Une autre application des formules de cette section est le calcul de la somme des cosinus ou sinus des nombres qui forment l'arithmétique

la progression mathématique (en physique, de tels calculs sont utilisés pour étudier le phénomène de diffraction).

Supposons que nous ayons besoin de simplifier l'expression

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h).

Tout d'abord, résolvons ce problème géométriquement, puis nous montrerons comment nos formules peuvent lui être appliquées. Considérons les vecteurs suivants: a0 \u003d (cos α; sin α), a1 \u003d (cos (α + h); sin (α + h)) ,. ... ... , a10 \u003d (cos (α + 10h); sin (α + 10h)). Evidemment, la somme requise est l'abscisse du vecteur a0 + a1 +. ... ... + a10. Trouvons cette somme de vecteurs.

Pour ce faire, nous reportons OA1 \u003d a0 à partir de l'origine, A1 A2 \u003d a1 à partir du point A1, et ainsi de suite (Figure 22.3). Puis a0 + a1 +. ... ... + a10 \u003d OA11.

Figure: 22.3. OA1 \u003d a0, A1 A2 \u003d a1 ,. ... ... , A10 A11 \u003d a10.

Pour trouver les coordonnées du vecteur OA, on trouve sa longueur et son angle d'inclinaison par rapport à l'axe des abscisses. Pour ce faire, notez que chacun des segments OA1, A1 A2 ,. ... ... a une longueur de 1 et pivote par rapport au précédent du même angle h radians. Par conséquent, les points O, A1, A2 ,. ... ... , A11 se trouvent sur le même cercle. Son centre Z est le point d'intersection des perpendiculaires aux segments OA1 et A1 A2. Si F Z et GZ sont ces perpendiculaires, alors F ZG \u003d h, de sorte que F ZA1 \u003d h / 2 et le rayon du cercle R est égal à F A1 / sin F ZA1 \u003d 1/2 sin (h / 2) (rappelons que les longueurs de

les coupes OA1 et A1 A2 sont égales à un). Puisque, évidemment, OZA1 \u003d \u003d A1 ZA2 \u003d. ... ... \u003d A10 ZA11 \u003d h, alors OZA11 \u003d 11h, et à partir du triangle isocèle OZA11 on a

Pour trouver l'angle d'inclinaison du vecteur OA11 par rapport à l'axe des abscisses, remplacez

notez que l'angle central A1 ZA11 \u003d 10h, de sorte que l'inscrit

l'angle A11 OA1 reposant sur l'arc A1 A11 est 10h / 2 \u003d 5h, et A11 OX \u003d A11 OA1 + α \u003d α + 5h. C'est,

En comparant les deux enregistrements pour les coordonnées du vecteur OA11, nous obtenons les formules:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) \u003d

La première de ces formules est ce que nous visions, la seconde est sortie comme sous-produit.

Comme vous pouvez le voir, les calculs se sont avérés assez longs. De plus, le lecteur pédant peut remarquer que le dessin de la figure 22.3 n'est obtenu que pour un h suffisamment petit, et pour un grand h la ligne brisée OA1 · · · A10 A11 peut faire le tour du cercle entier, et plus d'une fois, le dessin sera donc différent. En fait, notre formule est vraie pour tous les α et h (sauf si le dénominateur sin (h / 2) est nul; mais ce dernier n'est possible que si h \u003d 2πn pour un entier n, et alors sans aucune formule, il est clair que la somme est

- sin α + m -

En remplaçant cela dans notre formule, nous voyons que la somme est

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sin α + 9 + 2

si vous ouvrez les crochets, tous les termes seront annulés, à l'exception de

(nous avons converti la somme en produit). En annulant deux dans le numérateur et le dénominateur, nous obtenons la même formule que nous avons trouvée géométriquement.

Notre deuxième calcul est plus court et plus simple que le premier, mais moins naturel. Lorsque nous nous familiariserons avec les nombres complexes, nous apprendrons à trouver de telles sommes de la manière la plus naturelle (mais pas la plus courte).

En dixième année, les élèves passeront par une section d'algèbre telle que la trigonométrie. Il sera étudié sur un grand nombre de leçons.

La trigonométrie elle-même, en tant que science, est apparue il y a plus de deux millénaires. Depuis ordinaire opérations algébriques il ne suffirait pas d'exprimer des fonctions trigonométriques, les scientifiques ont dû introduire une nouvelle notation. Cette science étudie la relation entre les côtés d'un triangle et ses angles. Dans de nombreux problèmes géométriques et algébriques, il devient nécessaire de traiter cette zone. Les problèmes de physique conduisent aussi parfois à des fonctions trigonométriques.

Les écoliers ont déjà étudié les fonctions trigonométriques de base, appris à construire leurs graphiques, transformer, formules de base en trigonométrie, utiliser un tableau de valeurs d'arguments souvent trouvés en trigonométrie, etc. Pour étudier cette leçon vidéo, ils ont déjà fait face à grande quantité expressions et équations trigonométriques.

Dans certains exemples, il devient nécessaire de convertir la formule de la somme d'une fonction trigonométrique en un produit. Avec cette action, vous pouvez raccourcir et simplifier d'énormes expressions, résoudre des équations, des systèmes d'équations, etc.

L'enregistrement vidéo "Conversion des sommes des fonctions trigonométriques en œuvres" est un excellent matériel d'accompagnement dans l'étude de ce sujet. Les enseignants peuvent utiliser les exemples fournis dans la ressource, les définitions et les formules. Le fichier multimédia est d'excellente qualité. Il peut être joué pendant la leçon. Cela aidera les étudiants à se concentrer sur le sujet étudié.

Au début de la leçon vidéo, l'annonceur dit que certaines formules de somme seront affichées à l'écran, ce qui aidera à résoudre équations trigonométriques.

Tout d'abord, la somme des sinus est considérée. La première expression est la somme du sinus de la somme de deux arguments et du sinus de la différence entre les mêmes arguments. Chaque membre signe selon les formules étudiées précédemment. Ils sont affichés sur le côté droit de l'écran afin de rappeler aux élèves.

Avec la notation complète, l'expansion et la simplification des parenthèses, nous obtenons un travail. Le remplacement par des variables est effectué. X-ème désigne la somme des arguments, y-ème - la différence. En remplaçant dans l'expression résultante, nous obtenons la première formule pour convertir des sommes en un produit en trigonométrie.

Pour que les écoliers se souviennent de la formule, il ne suffit pas de montrer comment l'obtenir. Il faut essayer de résoudre avec un exemple. La somme des sinus de certaines valeurs est donnée. Converti par formule en produit.

La deuxième formule, dont la réception sera montrée étape par étape, est la différence des sinus. Afin de ne pas faire les étapes précédentes en plus, vous pouvez utiliser la formule déjà obtenue pour le montant. N'oubliez pas que sinus est une fonction étrange. Si nous écrivons la différence sous forme de somme et substituons un moins dans la formule de la somme, nous obtenons une nouvelle règle pour convertir la différence en produit.

Un exemple est donné de manière similaire. L'annonceur détaille sa décision.

La somme et la différence des cosinus avec des exemples sont données dans le même ordre. Les formules précédemment étudiées sont utilisées de la même manière, un remplacement est donné et le résultat est affiché. Lors de la dérivation de la formule de différence, on peut recourir au fait que le cosinus est une fonction paire.

Lors de la résolution de l'équation, le côté gauche est converti en produit. Comme vous le savez, il sera égal à zéro lorsque certains des facteurs seront également égaux à zéro. Par conséquent, la conversion en œuvre sera très utile.

Enfin, un autre exemple, plus complexe, est donné. Vous pouvez indiquer aux élèves la bonne direction et ils feront face à l'exemple par eux-mêmes s'ils comprennent le principe dans son ensemble.

L'enregistrement vidéo sera très utile pour les écoliers qui étudient à la maison. Avec l'aide de celui-ci, vous pouvez maîtriser des formules importantes, sans lesquelles la solution des équations trigonométriques sera difficile et parfois impossible.

CODE TEXTE:

Conversion de sommes de fonctions trigonométriques en produits

Aujourd'hui, nous examinerons quelques formules plus trigonométriques qui permettent de factoriser la somme (différence) des sinus ou des cosinus. Ces formules seront utiles lors de la résolution d'équations trigonométriques.

La première formule est SOMME DES SINUS.

Considérons l'expression sin (s + t) + sin (s - t), où s et t sont des arguments de fonctions trigonométriques.

Nous appliquons les formules déjà connues pour la somme sinusoïdale et la différence sinusoïdale:

sin (x - y) \u003d sin xcos y - cos xsin y,

puis l'expression péché ( s + t) aura la forme péché s cos t + cos spéché t

et l'expressionsin (s - t) sera péché scos t- cos spéché t,

alors on obtient:

péché ( s + t) + péché ( s - t) \u003d (péché s cos t + cos spéché t) + (péché s cos t - cos spéché t)

Développez les crochets:

péché s cos t + cos spéché t+ péché s cos t - cos spéché t

nous effectuons des calculs:

cos spéché t- cos spéché t=0

péché s cos t + péché s cos t \u003d 2 péché s cos t.

péché ( s + t) + péché ( s - t) \u003d (péché s cos t + cos spéché t) + (péché s cos t - cos spéché t) \u003d péché s cos t + cos spéché t + péché scos t - cos spéché t \u003d 2 péché s cos t.

Ainsi, on obtient que l'expression sin (s + t) + sin (s - t) \u003d 2 sin scos t.

Introduisons de nouvelles variables x \u003ds +t et y \u003ds- t.

On ajoute ces égalités terme par terme, on obtient

x + y= s +t + s- t.

x + y= 2s

Trouvez la valeurs

s= .

Dans le second cas, on soustrait ces égalités terme par terme et on obtient

x - à= s + t- (s - t)

x - à= s + t- s + t

x - y= 2t

Trouvez la valeurt

Dans l'expression sin (s + t) + sin (s - t) \u003d 2 sin s cos t

remplacers et t pour les nouvelles variables que nous avons introduites:

s +t remplacer par x

s- t remplacer par à

s sur

t sur.

Ensuite, nous obtenons:

sinх + sinу \u003d 2 sincos

(la somme des sinus de deux arguments est égale au double produit du sinus de la demi-somme de ces arguments par le cosinus de leur demi-différence).

sin 7x + sin3x \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin5x cos2x.

La deuxième formule est la DIFFÉRENCE SINUSOÏDALE.

Afin que nous puissions appliquer la formule déjà dérivée de la somme des sinus de deux arguments sinх + sinу \u003d 2 sincos

Profitons du fait que sinus est une fonction impaire, i.e. - sinу \u003d péché (- у),

sinx - sinу \u003d sinx + sin (- y)

Maintenant, nous appliquons la formule pour la somme des sinus, nous obtenons

2 péché cos \u003d 2 sin cos.

sin x - sin y \u003d sin x + sin (- y) \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin cos.

Par conséquent, nous avons obtenu la formule de la différence des sinus:

sinх - sinу \u003d 2 péché cos (la différence entre les sinus de deux arguments est égale au double produit du sinus de la demi-différence de ces arguments par le cosinus de leur demi-somme).

Exemple. Simplifiez l'expression sin 77 ° - sin 17 °.

sin 77 ° - sin 17 ° \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin cos 47º.

(puisque sin 30º \u003d, alors) \u003d 2 ∙ ∙ cos \u003d cos.

La troisième formule est SOMME DU COSINUS.

Pour exprimer cos (s + t) + cos (s - t), nous utilisons les formules déjà connues du cosinus de la somme et du cosinus de la différence:

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y,

Dans l'expression cos (s + t) + cos (s - t), remplacez les valeurs des formules et obtenez:

cos ( s+ t) + cos ( s - t) \u003d cos s cos t - péché spéché t + cos scos t + péché spéché t \u003d 2 cos s cos t

D'où cos ( s+ t) + cos ( s - t) \u003d 2 cos s cos t

Introduisons de nouvelles variables x \u003ds +t et y \u003ds - t... Comme dans le calcul de la formule SOMME DES SINUS.

s +t remplacer par x

s- t remplacer par à

s sur

t sur.

Et nous obtenons la formule de la somme des cosinus

cos x + cosy \u003d 2 cos cos

(la somme des cosinus de deux arguments est égale au double produit du cosinus de la demi-somme de ces arguments par le cosinus de leur demi-différence).

Exemple. Simplifiez l'expression cos (x + 2y) + cos (3x - 2y).

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) \u003d 2 coscos \u003d

2cos 2x cos (- x + 2y) \u003d 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (et puisque cos (- t) \u003d coût, alors) \u003d

2cos2x cos (x - 2y).

La quatrième formule est la DIFFÉRENCE COSINE.

Pour exprimer cos (s + t) - cos (s - t), nous utilisons les formules déjà connues pour le cosinus de la somme et le cosinus de la différence:

cos (x + y) \u003d cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y, on obtient

cos ( s+ t) - cos ( s - t) \u003d cos s cos t - péché spéché t- cos scos t - péché spéché t \u003d - 2sin spéché t... Introduire de nouvelles variables x\u003d s + tet à\u003d s - t, alors s \u003d et t \u003d... Remplacer les désignations saisies dans la formule:

cos ( s+t) - cos ( s - t) \u003d - 2sin spéché t, nous obtenons la formule de la différence des cosinus:

cosх - cosу \u003d -2sin sin (la différence entre les cosinus de deux arguments est égale au double produit du sinus de la demi-somme de ces arguments et du sinus de leur demi-différence pris avec un signe moins).

Exemple. Simplifiez l'expression cos - cos.

cos - cos \u003d - 2sin sin \u003d - 2 péché sin (puisque sin \u003d alors) \u003d

2 ∙ ∙ sin \u003d - péché.

EXEMPLE 1. Résolvez l'équation cos6x + cos2x \u003d 0.

Décision. Conversion de la somme des cosinus en un produit à l'aide de la formule:

(cos x + cosy \u003d 2 cos cos,

on obtient 2cos4x cos2x \u003d 0. Cette équation se transforme en véritable égalité si

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation sin7x + sin3x - sin5x \u003d 0.

Décision. Pour la somme des premier et deuxième termes, nous appliquons la formule somme des sinus

sin (x + y) \u003d sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x \u003d 0

2 sincos - sin5x \u003d 0

sin5x (2 cos2x - 1) \u003d 0.

sin5x \u003d 0 ou 2 cos2x - 1 \u003d 0,

Les solutions de l'équation sint \u003d a sont adoptées pour a \u003d 0:

sint \u003d 0 pour t \u003d πk,

alors nous obtenons

x \u003d, (pi en divisé par cinq)

En utilisant les valeurs tabulaires du cosinus et en déterminant la solution de l'équation coût \u003d a, où (| a | 1) écrit sous forme générale:

t \u003d arccos une + 2πk

la deuxième équation cos2x \u003d a les solutions suivantes

2x \u003d arccos + 2πn,

(plus moins pi par six plus pi en).

La clé du succès avec la sommation réside dans notre capacité à convertir une somme en une autre - soit en simplifiant l'original, soit en nous rapprochant de l'objectif. Et une fois que vous avez appris et pratiqué quelques règles de transformation de base, vous pouvez facilement maîtriser cette capacité.

Soit K un ensemble fini d'entiers. Les sommes des éléments de K peuvent être converties en fonction de trois règles simples:

La loi distributive permet la saisie et la déduction de constantes sous le signe et au-delà du signe. La loi sur les combinaisons vous permet de diviser un montant en deux ou de combiner deux montants en un seul. La loi de transposition stipule que les termes de la somme peuvent être réorganisés dans n'importe quel ordre souhaité; voici une permutation de l'ensemble de tous les entiers. Par exemple, si et si alors ces trois lois stipulent, respectivement, que

L'astuce de Gauss de Ch. 1 peut être considérée comme l'une des applications de ces trois lois fondamentales. Supposons que nous voulons

calculer la somme d'une progression arithmétique générale

Selon la loi de transposition, remplacer k par nous obtenons

Ces deux équations peuvent être ajoutées en utilisant la loi de combinaison:

Appliquons maintenant la loi de distribution et calculons la somme triviale:

En divisant par 2, nous découvrons que

Le côté droit peut être mémorisé comme la moyenne des premier et dernier termes, c'est-à-dire multipliée par le nombre de termes, c'est-à-dire par

Il est important de garder à l'esprit que la fonction forme générale la loi de déplacement (2.17) est considérée comme une permutation de tous les entiers. En d'autres termes, pour chaque tout, il doit y avoir exactement un k entier, tel que. Sinon, la loi de transposition risque de ne pas être respectée - exercice. 3 est un bon exemple. Les conversions comme c ou où c est une constante entière sont toujours des permutations, elles sont donc très bien.

Cependant, on peut légèrement affaiblir la restriction sur la permutation: il suffit qu'il existe exactement un entier k tel que quand est un élément de l'ensemble d'indices K. Si (c'est-à-dire s'il n'appartient pas à K), alors ce n'est pas indispensable, comme souvent place l'égalité puisque similaire à ne participe pas à la somme. Ainsi, par exemple, on peut affirmer que

car il y a exactement un k, tel que quand est pair.

La notation d'Iverson, qui permet d'obtenir 0 ou 1 comme valeurs d'expressions logiques dans une certaine formule, peut être utilisée en conjonction avec les lois de distribution, de combinaison et de déplacement pour révéler des propriétés supplémentaires des sommes. Par exemple, règle importante unions de différents ensembles d'indices: s'il y a des ensembles d'entiers, alors

Cela découle des formules générales

Habituellement, la règle (2.20) est utilisée soit pour unir deux ensembles d'index presque disjoints, comme dans le cas

ou d'affecter un membre distinct du montant, comme dans le cas

Cette opération de sélection d'un membre est à la base de la méthode de réduction, qui permet souvent de calculer une somme particulière sous une forme fermée. L'essence de cette méthode est de commencer par le montant à calculer et de le désigner

(Indiquez et conquérir.) Ensuite, nous réécrivons de deux manières, en mettant en évidence à la fois le dernier et le premier termes:

Maintenant, nous pouvons traiter la dernière somme et essayer de l'exprimer en termes de Si la tentative réussit, nous obtenons une équation dont la solution sera la somme souhaitée.

Utilisons, par exemple, cette approche pour trouver la somme d'une progression géométrique de forme générale

Conformément au schéma général de réduction (2.24), la somme est réécrite comme

et la somme à droite est égale à la loi de distribution. Ainsi, et en résolvant cette équation par rapport à, on obtient

(Pour x \u003d 1, cette somme, bien sûr, est simplement égale à la partie droite de cette formule peut être mémorisée comme la différence entre le premier et le premier terme non entrant, divisée par la différence de 1 et le dénominateur de la progression.

Tout cela était assez simple, alors essayons la méthode de casting sur une somme un peu plus difficile,