Comment résoudre des équations trigonométriques avec sinus. Résoudre les équations trigonométriques

Cela nécessite une connaissance des formules de base de la trigonométrie - la somme des carrés de sinus et de cosinus, l'expression de la tangente à travers les sinus et les cosinus et autres. Pour ceux qui les ont oubliés ou ne savent pas, nous vous recommandons de lire l'article "".
Nous connaissons donc les formules de base trigonométriques, il est temps de les utiliser dans la pratique. Résoudre les équations trigonométriques Avec la bonne approche, une activité assez excitante, telle que, par exemple, pour collecter le cube de Rubik.

Sur la base du nom même, on peut voir que l'équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnu est sous une fonction trigonométrique.
Il y a soi-disant plus simple Équations trigonométriques. Voici ce qu'ils regardent: sinh \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. Considérer comment résoudre ces équations trigonométriquesPour plus de clarté, nous utiliserons le cercle trigonométrique déjà familier.

sinh \u003d a.

cos x \u003d a

tg x \u003d a

cOT X \u003d A

Toute équation trigonométrique est résolue en deux étapes: donner l'équation à la forme la plus simple puis la résoudre comme l'équation trigonométrique la plus simple.
Il y a 7 méthodes de base avec lesquelles des équations trigonométriques sont résolues.

1. Méthode de remplacement d'une variable et d'une substitution

Solvez l'équation 2COS 2 (x + / 6) - 3Sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Utiliser les formules, nous obtenons:

2COS 2 (x + / 6) - 3COS (x + / 6) +1 \u003d 0

Remplacez COS (x + / 6) à Y pour simplifier et obtenir une équation carrée conventionnelle:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0

Les racines dont y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Maintenant nous allons dans l'ordre inverse

Nous substituons les valeurs trouvées de Y et obtenez deux réponses:

2. Résoudre les équations trigonométriques par décomposition multiplicateurs

Comment résoudre l'équation sin x + cos x \u003d 1?

Nous transférons tout à gauche à droite reste 0:

sin x + cos x - 1 \u003d 0

Nous utilisons les identités élevées pour simplifier l'équation:

sin x - 2 Sin 2 (x / 2) \u003d 0

Nous faisons une expansion des multiplicateurs:

2Sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2Sin (x / 2) * \u003d 0

Nous obtenons deux équations

3. Amener à une équation homogène

L'équation est homogène par rapport aux sinus et au cosinine, si tous ses membres par rapport au sinus et au même degré du même angle. Pour résoudre une équation homogène, entrez comme suit:

a) transférer tous ses membres au côté gauche;

b) faire tous les facteurs communs pour les crochets;

c) égal à tous les multiplicateurs et parenthèses à 0;

d) entre parenthèses ont obtenu une équation homogène dans une moindre mesure, elle est à son tour divisée en sinus ou en cosinine au degré élevé;

e) résoudre l'équation résultante par rapport à TG.

Équation de résolution 3SIn 2 x + 4 SIN X COS X + 5 COS 2 x \u003d 2

Nous utilisons la formule SIN 2 X + COS 2 x \u003d 1 et éliminons les deux fois à droite:

3Sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2Sin 2 x + 2COS 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Nous divisons sur cos x:

tG 2 x + 4 TG x + 3 \u003d 0

Nous remplaçons Tg X à Y et nous obtenons une équation carrée:

y 2 + 4Y +3 \u003d 0, les racines dont y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

De là, nous trouvons deux solutions de l'équation source:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Résoudre les équations, à travers la transition vers une demi-coin

Solvez l'équation 3Sin X - 5COS X \u003d 7

Aller à x / 2:

6Sin (x / 2) * COS (x / 2) - 5COS 2 (x / 2) + 5Sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Preen tout à gauche:

2sin 2 (x / 2) - 6Sin \u200b\u200b(x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Nous divisons sur COS (x / 2):

tG 2 (x / 2) - 3TG (x / 2) + 6 \u003d 0

5. L'introduction du coin auxiliaire

Pour examen, prenez l'équation du formulaire: un péché x + b cos x \u003d c,

où A, B, C est des coefficients arbitraires et X est inconnu.

Les deux parties de l'équation sont divisées en:



Maintenant les coefficients de l'équation selon formules trigonométriques Posséder les propriétés du péché et des cos, à savoir: leur module n'est pas supérieur à 1 et la somme des carrés \u003d 1. Les dénote, respectivement, comme cos et péché, où il s'agit de l'angle dite auxiliaire. Ensuite, l'équation prendra la forme:

cos * sin x + sin * cos x \u003d c

ou sin (x +) \u003d c

Par la solution de cette équation trigonométrique la plus simple sera

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k, où



Il convient de noter que les désignations de cos et de péchés sont interchangeables.

Solve Sin 3x Équation - Cos 3x \u003d 1

Dans cette équation, les coefficients:

a \u003d, b \u003d -1, donc nous divisons les deux parties par \u003d 2

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Leçon et présentation sur le sujet: "La solution des équations trigonométriques les plus simples"

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Ce que nous étudierons:
1. Quelles sont les équations trigonométriques?

3. Deux méthodes de base pour résoudre les équations trigonométriques.
4. équations trigonométriques uniformes.
5. Exemples.

Quelles sont les équations trigonométriques?

Les gars, nous avons déjà étudié Arksinus, Arkkosinus, Arctangent et Arkkothangence. Examinons maintenant les équations trigonométriques en général.

Equations trigonométriques - équations dans lesquelles la variable est contenue sous le signe d'une fonction trigonométrique.

Nous répétons le type de solution des équations trigonométriques les plus simples:

1) Si | A | ≤ 1, alors l'équation COS (x) \u003d A a une solution:

X \u003d ± arccos (a) + 2πk

2) Si | A | ≤ 1, alors l'équation sin (x) \u003d a a une solution:

3) Si | A | \u003e 1, alors l'équation sin (x) \u003d a et cos (x) \u003d A N'a pas de solution 4) équation TG (x) \u003d a a une solution: x \u003d arctg (a) + πk

5) équation CTG (x) \u003d A a une solution: x \u003d arcct (a) + πk

Pour toutes les formules k- entier

Les équations trigonométriques les plus simples sont de la forme: T (KX + M) \u003d A, T- Toute fonction trigonométrique.

Résolvez les équations: a) Sin (3x) \u003d √3 / 2

Décision:

A) note 3x \u003d t, puis notre équation réécrirea sous la forme:

La solution à cette équation sera la suivante: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πN.

De la table des valeurs, nous obtenons: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Revenons à notre variable: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Puis x \u003d (-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Réponse: x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, où N-INTEGER. (-1) ^ n - moins un au degré n.

Plus d'exemples d'équations trigonométriques.

Décision:

A) Cette fois, nous passons directement au calcul des racines de l'équation immédiatement:

X / 5 \u003d ± arccos (1) + 2πk. Puis x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk

Réponse: x \u003d 5πk, où k est un entier.

B) Nous écrivons sous la forme: 3x- π / 3 \u003d arctg (√3) + πk. Nous savons que: arctg (√3) \u003d π / 3

3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3

Réponse: x \u003d 2π / 9 + πk / 3, où k est un entier.

Résolvez les équations: COS (4x) \u003d √2 / 2. Et trouver toutes les racines sur le segment.

Décision:

Nous résolvons notre équation: 4x \u003d ± arccos (√2 \u200b\u200b/ 2) + 2πk

4x \u003d ± π / 4 + 2πk;

X \u003d ± π / 16 + πk / 2;

Voyons maintenant quelles racines tomberont sur notre segment. Pour K à K \u003d 0, x \u003d π / 16, nous avons frappé le segment spécifié.
À K \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16, ils sont revenus.
À K \u003d 2, x \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16, et ici ils ne sont pas déjà arrivés, et donc avec un grand K, je ne saurai pas non plus.

Réponse: x \u003d π / 16, x \u003d 9π / 16

Deux solutions de méthodes principales.

Résolution de l'équation:

Décision:
Pour résoudre notre équation, nous utilisons la méthode d'entrer dans une nouvelle variable, nous désignons: T \u003d TG (x).

À la suite du remplacement, nous obtenons: T 2 + 2T -1 \u003d 0

Trouvez les racines de l'équation carrée: T \u003d -1 et T \u003d 1/3

Ensuite, TG (x) \u003d - 1 et Tg (x) \u003d 1/3, ils obtiennent l'équation trigonométrique la plus simple, nous trouverons ses racines.

X \u003d arctg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; x \u003d arctg (1/3) + πk.

Réponse: x \u003d -π / 4 + πk; x \u003d arctg (1/3) + πk.

Exemple d'équation de résolution

Résoudre des équations: 2Sin 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

Décision:

Nous utilisons l'identité: sin 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1

Notre équation prendra le formulaire: 2-2COS 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

2 COS 2 (x) - 3 COS (X) -2 \u003d 0

Nous introduisons le remplacement T \u003d COS (X): 2T 2 -3T - 2 \u003d 0

La solution de notre équation carrée est les racines: T \u003d 2 et T \u003d -1 / 2

Alors cos (x) \u003d 2 et cos (x) \u003d - 1/2.

Parce que La cosinine ne peut pas accepter des valeurs plus d'une, alors cos (x) \u003d 2 n'a pas de racines.

Pour cos (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± arccos (-1/2) + 2πk; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Réponse: x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Équations trigonométriques uniformes.

Afficher les équations

équations trigonométriques homogènes du deuxième degré.

Pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré, nous le divisons sur COS (x): Vous ne pouvez pas diviser sur le cosinus si c'est zéro, assurons-vous que ce n'est pas le cas:
Soit cos (x) \u003d 0, puis asin (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e sin (x) \u003d 0, mais le sinus et le cosinus ne sont pas au même temps zéro, ils ont obtenu une contradiction, de sorte que vous pouvez diviser en toute sécurité sur zéro.

Résoudre l'équation:
Exemple: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) \u003d 0

Décision:

Je vais résumer: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) \u003d 0

Ensuite, nous devons résoudre deux équations:

Cos (x) \u003d 0 et cos (x) + sin (x) \u003d 0

Cos (x) \u003d 0 à x \u003d π / 2 + πk;

Considérez l'équation COS (x) + sin (x) \u003d 0 Nous divisons notre équation sur COS (X):

1 + tg (x) \u003d 0 \u003d\u003e tg (x) \u003d - 1 \u003d\u003e x \u003d arctg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk

Réponse: x \u003d π / 2 + πk et x \u003d -π / 4 + πk

Comment résoudre des équations trigonométriques homogènes du deuxième degré?
Les gars, collent toujours ces règles!

1. Pour voir ce qui est égal au coefficient A, si A \u003d 0 alors, notre équation prendra la vue COS (X) (BSIN (X) + CCOS (X)), dont la décision dont la décision de la décision sur diapositive précédente

2. Si un ≠ 0, vous devez partager les deux parties de l'équation cosinus sur la place, nous obtenons:

Nous faisons le remplacement de la variable t \u003d tg (x) que nous obtenons l'équation:

Exemple de résolution N °: 3

Nous avons divisé les deux parties du carré de l'équation cosinus:

Nous faisons le remplacement de la variable t \u003d tg (x): t 2 + 2 t - 3 \u003d 0

Trouvez les racines de l'équation carrée: T \u003d -3 et T \u003d 1

Alors: tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e x \u003d arctg (-3) + πk \u003d -arctg (3) + πk

Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk

Réponse: x \u003d -arctg (3) + πk et x \u003d π / 4 + πk

Exemple de résolution n ° 4

Décision:
Nous transformons notre expression:

Nous pouvons résoudre une telle équation: x \u003d - π / 4 + 2πk et x \u003d 5π / 4 + 2πk

Réponse: x \u003d - π / 4 + 2πk et x \u003d 5π / 4 + 2πk

Résoudre exemple no: 5

Décision:
Nous transformons notre expression:

Nous introduisons le TG de remplacement (2x) \u003d T: 2 2 - 5T + 2 \u003d 0

La solution de notre équation carrée sera la racine: T \u003d -2 et T \u003d 1/2

Ensuite, nous obtenons: TG (2x) \u003d - 2 et Tg (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -Arcc (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x \u003d arctg (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d arctg (1/2) / 2 + πk / 2

Réponse: x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2 et x \u003d arctg (1/2) / 2 + πk / 2

Tâches pour des solutions auto-étrangères.

A) sin (7x) \u003d 1/2 b) COS (3x) \u003d √3 / 2 c) COS (-X) \u003d -1 g) TG (4x) \u003d √3 D) CTG (0.5X) \u003d -1.7

2) Résoudre les équations: Sin (3x) \u003d √3 / 2. Et trouver toutes les racines sur le segment [π / 2; π].

3) Équation de résolution: CTG 2 (x) + 2ctg (x) + 1 \u003d 0

4) Résoudre l'équation: 3 Sin 2 (x) + √3sin (x) COS (x) \u003d 0

5) Résoudre l'équation: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) COS (3x) + 3 COS 2 (3x) \u003d 0

6) Solvez l'équation: COS 2 (2x) -1 - COS (x) \u003d √3 / 2 -Sin 2 (2x)

Méthodes de résolution des équations trigonométriques

Introduction 2.

Méthodes de résolution des équations trigonométriques 5

Algèbre 5.

Résoudre les équations en utilisant l'égalité du même fonctions trigonométriques 7

Décomposition indéttallante 8

Amener à une équation homogène 10

Introduction de l'angle auxiliaire 11

Transformation du travail dans la quantité de 14

Substitution universelle 14.

Conclusion 17.

introduction

Jusqu'à la dixième année, la procédure pour les actions de nombreux exercices menant à l'objectif est généralement définie de manière unique. Par exemple, des équations linéaires et carrées et des inégalités, des équations fractionnaires et des équations mentionnées sur place, etc. Sans visualiser en détail le principe de résolution de chacun des exemples mentionnés, nous notons que général nécessaire à leur décision réussie.

Dans la plupart des cas, il est nécessaire d'établir la manière dont le type de tâche consiste à rappeler la séquence d'actions menant à l'objectif et à effectuer ces actions. De toute évidence, le succès ou l'échec de l'étudiant en maîtrise des méthodes de résolution des équations dépend principalement de la mesure de la manière dont il sera en mesure de déterminer correctement le type d'équation et de rappeler la séquence de toutes les étapes de sa solution. Bien sûr, il est supposé que l'étudiant possède les compétences d'exécution transformations identiques et calculs.

Une situation complètement différente est obtenue lorsque l'écolier est trouvé avec des équations trigonométriques. Dans ce cas, établir le fait que l'équation est trigonométrique, ce n'est pas difficile. Les difficultés se posent lorsque l'ordre des actions serait conduit à un résultat positif. Et ici devant l'étudiant, il y a deux problèmes. Par apparence Les équations sont difficiles à déterminer le type. Ne sachant pas le type, il est presque impossible de choisir la formule souhaitée de plusieurs douzaines disponibles.

Pour aider les élèves à trouver une route droite dans un labyrinthe complexe d'équations trigonométriques, ils introduisent d'abord les équations qui, après l'introduction d'une nouvelle variable, sont données à la place. Puis résolvez des équations homogènes et conduisant à eux. Tout se termine, en règle générale, par des équations, pour résoudre lesquels la partie gauche doit être décomposée sur les multiplicateurs, assimilant que chacun des multiplicateurs à zéro.

Comprendre qu'il n'existe clairement pas clairement pas démonté dans les leçons d'un an et demi pour mettre un étudiant en baignade indépendante sur la "mer" trigonométrique, l'enseignant ajoute plusieurs recommandations de lui-même.

Pour résoudre l'équation trigonométrique, vous devez essayer:

Créer toutes les fonctions de l'équation aux «mêmes coins»;

Apporter l'équation aux "fonctions identiques";

Envoi de la partie gauche des équations d'usine, etc.

Mais, malgré la connaissance des types de base d'équations trigonométriques et de plusieurs principes pour la recherche de leur solution, de nombreux étudiants sont toujours dans une impasse avant chaque équation, légèrement différente de celles qui ont été résolues plus tôt. Il ne reste pas clairement ce qui devrait s'efforcer, avoir ceci ou cette équation, pourquoi, dans un cas, il est nécessaire d'utiliser les formules du double angle, de l'autre moitié, et dans la troisième formule d'addition, etc.

Définition 1. Le trigonométrique s'appelle l'équation dans laquelle l'inconnu est contenue sous le signe des fonctions trigonométriques.

Définition 2. On dit que dans l'équation trigonométrique, les mêmes angles, si toutes les fonctions trigonométriques incluses dans celle-ci ont des arguments égaux. On dit que dans l'équation trigonométrique les mêmes fonctions, s'il ne contient qu'une des fonctions trigonométriques.

Définition 3 Le degré de fonctions trigonométriques contenant une seule aile est appelé la somme des degrés des fonctions trigonométriques incluses.

Définition 4. L'équation est appelée homogène si toutes les personnes ne sont pas arrangées, ont le même degré. Ce diplôme est appelé l'ordre de l'équation.

Définition 5 Équation trigonométrique contenant uniquement des fonctions péché. et cos.Cela s'appelle homogène si tout le monde est sans ambiguïté par rapport aux fonctions trigonométriques a le même degré et les fonctions trigonométriques elles-mêmes ont des coins égaux et le nombre de nombres à une seule aile 1 plus grand que l'ordre de l'équation.

Méthodes de résolution des équations trigonométriques.

La solution d'équations trigonométriques comprend deux étapes: la conversion de l'équation pour obtenir son type le plus simple et sa solution de l'équation trigonométrique à la main. Il existe sept principales méthodes pour résoudre les équations trigonométriques.

JE.. Méthode algébrique. Cette méthode est bien connue de l'algèbre. (Méthode de remplacement variable et substitution).

Résoudre des équations.

1)

Nous introduisons la désignation x.=2 péché.3 t., obtenir

En décidant de cette équation, nous obtenons:
ou alors

ceux. peut être enregistré

Lors de l'enregistrement de la solution obtenue en raison de la présence de signes Puissance
À la note n'a pas de sens.

Répondre:

Dénoter

Nous obtenons une équation carrée
. Ses racines sont des nombres
et
. Par conséquent, cette équation est réduite aux équations trigonométriques les plus simples
et
. Les résoudre, trouvez que
ou alors
.

Répondre:
;
.

Dénoter

Ne satisfait pas la condition

Donc

Répondre:

Nous transformons la partie gauche de l'équation:

Ainsi, cette équation initiale peut être écrite comme suit:

.

Désigné
, obtenir
En décidant de cette équation carrée, nous avons:

Ne satisfait pas la condition

Nous écrivons la solution de l'équation source:

Répondre:

Substitution
réduit l'équation à l'équation carrée
. Ses racines sont des nombres
et
. Comme
, l'équation racine spécifiée n'a pas.

Réponse: pas de racines.

II.. Résoudre les équations en utilisant l'état d'égalité des mêmes fonctions trigonométriques.

mais)
, si un

b)
, si un

dans)
, si un

En utilisant ces conditions, tenez compte de la solution des équations suivantes:

6)

En utilisant ladite paragraphe a) nous obtenons que l'équation a une solution dans ce sens et seulement lorsque
.

Résoudre cette équation, nous trouvons
.

Nous avons deux groupes de solutions:

.

7) Résoudre l'équation:
.

En utilisant la condition du paragraphe b) nous déposons que
.

Résoudre ces équations carrées, nous obtenons:

.

8) résoudre l'équation
.

De cette équation, nous soumettons cela. Décider cette équation carrée, trouvez que

.

III. Factorisation.

Cette méthode est prise en compte sur les exemples.

9) Résoudre l'équation
.

Décision. Déplacez tous les membres de l'équation gauche :.

Nous convertissons et décomposons l'expression sur les installations de la partie gauche de l'équation:
.

.

.

1)
2)

Parce que
et
Ne prenez pas de valeur zéro

Dans le même temps, nous divisons les deux parties

Équations sur
,

Répondre:

10) Résoudre l'équation:

Décision.

ou alors

Répondre:

11) résoudre l'équation

Décision:

1)
2)
3)

,

Répondre:

Iv.. Apporter à une équation homogène.

Pour résoudre une équation homogène nécessaire:

Transférer tous ses membres au côté gauche;

Faire tous les facteurs généraux des crochets;

Assimiler tous les multiplicateurs et parenthèses à zéro;

Les crochets égaux à zéro donnent une équation homogène dans une moindre mesure pour être divisés en
(ou alors
) au haut degré;

Résoudre le parent d'équation algébrique obtenue
.

Considérons des exemples:

12) résoudre l'équation:

Décision.

Nous divisons les deux parties de l'équation sur
,

Saisie des désignations
Nom

racines de cette équation:

d'ici 1)
2)

Répondre:

13) Résoudre l'équation:

Décision. En utilisant les formules à double angle et la principale identité trigonométrique, donnez cette équation à la demi-argument:

Après avoir apporté des termes similaires, nous avons:

Diviser la dernière équation homogène sur
, obtenir

Noter
, nous obtenons une équation carrée
dont les racines sont des chiffres

De cette façon

Expression
tiré à zéro quand
. pour
,
.

La solution de l'équation obtenue par nous n'inclut pas le nombre de chiffres.

Répondre:
, .

V.. L'introduction de l'angle auxiliaire.

Considérer l'équation de vue

Où a, b, c - coefficients x. - Inconnu.

Nous divisons les deux parties de cette équation sur

Maintenant, les coefficients de l'équation ont les propriétés de sinus et de cosinus, à savoir: le module de chacun d'eux ne dépasse pas l'unité et la somme de leurs carrés est égale à 1.

Alors vous pouvez les désigner en conséquence
(ici - Angle auxiliaire) et notre équation prend la forme :.

Puis

Et sa décision

Notez que les désignations introduites sont mutuellement remplaçables.

14) Résoudre l'équation:

Décision. Ici
, donc nous divisons les deux parties de l'équation sur

Répondre:

15) résoudre l'équation

Décision. Comme
, alors cette équation équivaut à l'équation

Comme
Ensuite, il y a un tel angle que
,
(ceux.
).

Avoir

Comme
, J'ai enfin obtenu:

.

Notez que l'équation de l'espèce a une solution alors et seulement lorsque

16) résoudre l'équation:

Pour résoudre cette équation, des fonctions trigonométriques groupées avec les mêmes arguments

Nous avons divisé les deux parties de l'équation pour deux

Nous transformons la somme des fonctions trigonométriques dans le travail:

Répondre:

Vi. Transformation du travail dans le montant.

Voici des formules appropriées.

17) Résoudre l'équation:

Décision. Nous transformons la partie gauche dans le montant:

Vii.Substitution universelle.

,

ces formules sont vraies pour tous

Substitution
appelé universel.

18) Résoudre l'équation:

Solution: remplacer et
sur leur expression à travers
Et dénote
.

Nous obtenons une équation rationnelle
qui est transformé en un carré
.

Les racines de cette équation sont des nombres
.

Par conséquent, la tâche a été réduite à la résolution de deux équations
.

Nous trouvons que
.

Valeur du type
L'équation source ne satisfait pas ce qui est vérifié par l'inspection - substitution cette valeur t. Dans l'équation d'origine.

Répondre:
.

Commenter. L'équation 18 pourrait être résolue d'une manière différente.

Nous divisons les deux parties de cette équation à 5 (c'est-à-dire sur
):
.

Comme
Ensuite, il y a un tel nombre
, quelle
et
. Par conséquent, l'équation prend la forme:
ou alors
. D'ici nous trouvons que
Où
.

19) résoudre l'équation
.

Décision. Depuis les fonctions
et
avoir la plus grande valeur égale à 1, alors leur somme est 2 si
et
, en même temps, c'est
.

Répondre:
.

Lors de la résolution de cette équation, des fonctions limitées ont été utilisées et.

Conclusion.

Travailler sur le thème «Solutions d'équations trigonométriques» à chaque enseignant est utile pour répondre aux recommandations suivantes:

Systématiser les méthodes de résolution des équations trigonométriques.

Choisissez pour vous-même des étapes pour effectuer une analyse de l'équation et des signes de l'opportunité d'utiliser une méthode d'une solution ou une autre solution.

Pensez aux méthodes de maîtrise de soi de leurs activités pour mettre en œuvre la méthode.

Apprenez à compiler «leurs» équations pour chacune des méthodes étudiées.

Annexe n ° 1.

Décidez homogène ou menant à une équation homogène.