Racine carrée arithmétique (8e année). Racine carrée

Titre: Travaux indépendants et de test sur l'algèbre et la géométrie pour la 8e année.

Le manuel contient des travaux indépendants et de test sur tous les sujets les plus importants de l'algèbre et de la géométrie de la 8e année.

Les travaux comprennent 6 options pour trois niveaux de complexité. Les matériaux didactiques sont destinés à l'organisation du travail indépendant différencié des étudiants.

CONTENU
ALGÈBRE 4
C-1 expression rationnelle. Réduire les fractions 4.
C-2 Ajout et soustraction des fractions 5
K-1 fraction rationnelle. Ajout et soustraction des fractions 7
C-3 Multiplication et division des fractions. Écrasant 10
Conversion C-4 d'expressions rationnelles 12
C-5 Proportion inverse et son calendrier 14
K-2 fractions rationnelles 16
C-6 racine carrée arithmétique 18
C-7 Équation x2 \u003d a. Fonction y \u003d y [x 20
C-8 racine carrée du travail, fraction, degré 22
K-3 racine carrée arithmétique et ses propriétés 24
C-9 mettant et faire un multiplicateur dans les racines carrées 27
C-10 Transformation d'expressions contenant des racines carrées 28
K-4 Application des propriétés racines carrées arithmétiques 30
C-11 équations carrées incomplètes 32
Formule C-12 des racines de l'équation carrée 33
C-13 Solution de tâches à l'aide d'équations carrées. Théorème Vieta 34.
K-5 équations carrées 36
C-14 Equations rationnelles fractionnaires 38
C-15 L'utilisation d'équations rationnelles fractionnaires. Résoudre les tâches 39.
K-6 équations rationnelles fractionnaires 40
C-16 Propriétés des inégalités numériques 43
K-7 inégalités numériques et leurs propriétés 44
C-17 inégalités linéaires avec une variable 47
Inégalités linéaires C-18 48
K-8 Inégalités linéaires et systèmes d'inégalité avec une variable 50
C-19 degré avec indicateur négatif 52
K-9 degré avec Integer 54
K-10 Test annuel 56
Géométrie (sur Pogorelov)58
Propriétés C-1 et signes du parallélogramme. "58
Rectangle C-2. Rhombe. Square 60.
K-1 parallélogramme 62
C-3 Théorème Falez. La ligne médiane du triangle 63
S-4 trapézique. Ligne médiane de trapèze 66
K-2 Trapezium. Lignes intermédiaires de triangle et de trapèze .... 68
C-5 Pythagore 70 Théorème
Théorème C-6, Théorème de Pythagoree inversé. Perpendiculaire et incliné 71
Inégalité de triangle C-7 73
K-3 Pythagore Theorem 74
C-8 Solution de triangles rectangulaires 76
Propriétés C-9 des fonctions trigonométriques 78
Triangle rectangulaire K-4 (travail de test généralisant) 80
C-10 coordonnées du milieu du segment. Distance entre les points. Équation de cercle 82.
C-11 équation directe 84
K-5 coordonnées cartésiennes 86
Le mouvement C-12 et ses propriétés. Symétrie centrale et axiale. Tourner 88.
C-13. Transfert parallèle 90.
C-14 Concept de vecteur. Égalité des vecteurs 92.
Action C-15 avec des vecteurs en forme de coordonnée. Vecteurs collinés 94.
Action C-16 avec des vecteurs en forme géométrique 95
C-17 Scalar Production 98
K-6 vecteurs 99
Examen annuel K-7 102
Géométrie (sur Atanasyan)104
Propriétés C-1 et signes Parliallogram 104
Rectangle C-2. Rhombe. Square 106.
K-1 quadrangles 108
C-3 Place rectangle, Square 109
Pollogramme S-4 carré, Rhombus, Triangle 111
C-5 carré du trapèze 113
C-6 Pythagore Theorem 114
K-2 carré. Théorem pythagora 116.
C-7 Définition de tels triangles. Propriété du bissecteur de l'angle du triangle 118
C-8 signes de similitude des triangles 120
K-3 comme Triangles 122
C-9 Application de similitude aux tâches 124
C-10 Relations entre les côtés et les coins du triangle rectangulaire 126
K-4 Application de la similitude pour résoudre des problèmes. Rations entre les côtés et les coins du triangle rectangulaire 128
C-11 tangent à encercler 130
Angles C-12 Central et inscrit 132
C-13 théorème sur le produit des segments des accords intersectifs. Merveilleux points triangle 134
C-14 Inscrit et décrit Cercle 136
K-5 Cercle 137
C-15 Ajout et soustraction des vecteurs 139
C-16 Multiplication de vecteur par numéro 141
C-17 Milieu du trapèze 142
Vecteurs K-6. Application de vecteurs pour résoudre des problèmes 144
Test annuel K-7 146
Réponses 148
Littérature 157.

Préface .
1. Dans un livre relativement petit contient un ensemble complet de travaux de vérification (y compris les tests finaux) dans l'algèbre et la géométrie de la 8e année, grâce à laquelle il suffit d'acquérir un ensemble de livres sur la classe.
Les travaux de contrôle sont conçus pour une leçon, un travail indépendant - pendant 20 à 35 minutes, en fonction du sujet. Pour la commodité d'utiliser le livre dans le titre de chaque travail indépendant et de test, son sujet est reflété.

2. La collection permet un contrôle de connaissances différencié, car les tâches sont distribuées sur trois niveaux de complexité A, B et B. Le niveau A est conforme aux exigences logicielles obligatoires, B - le niveau moyen de complexité, le niveau de niveau de niveau est conçu pour les étudiants Montrant un intérêt accru dans les mathématiques, ainsi que pour une utilisation dans des classes, des écoles, des gymnases et des lycéens avec une étude approfondie des mathématiques. Pour chaque niveau, 2 nombre localisé d'options équitables (comme ils sont généralement écrits sur le tableau), un livre est suffisant sur le bureau.

Télécharger gratuitement e-book dans un format pratique, voir et lire:
Téléchargez le livre de travaux indépendants et de test sur l'algèbre et la géométrie pour la 8e année. Yershova A.P., Goloborodko V.v., 2004 - FilesKachat.com, téléchargement rapide et gratuit.

• Travaux indépendants et de test sur la géométrie pour la 11e année. Goloborodko V.v., ershova A.P., 2004
• Travaux indépendants et tests sur l'algèbre et la géométrie pour la 9e année. Ershova A.P., Goloborodko V.v., 2004
• Travaux indépendants et test sur l'algèbre et la géométrie, 8e année, ershova A.P., Golovorodko V.v., ershova A.S. 2013

J'ai regardé à nouveau sur la plaque ... et nous sommes allés!

Commençons par simple:

Min'y. Ceci, ce qui signifie que nous pouvons écrire comme ça:

Aider? Voici ce qui suit:

Les racines des nombres résultants ne sont pas supprimées en douceur? Pas de problème - voici de tels exemples:

Et que s'il n'y a pas de multiplicateurs, et plus encore? Même! La formule de multiplication des racines fonctionne avec n'importe quel nombre de multiplicateurs:

Maintenant complètement indépendamment:

Réponses:Bien fait! D'accord, tout est très facile, la principale chose est de connaître la table de multiplication!

Racines de décision

Avec la multiplication des racines figurant, nous allons maintenant passer à la propriété de la division.

Permettez-moi de vous rappeler que la formule en général ressemble à ceci:

Et puis c'est que La racine privée est égale à des racines privées.

Eh bien, traitons les exemples:

C'est toute la science. Mais un tel exemple:

Tout n'est pas aussi lisse, comme dans le premier exemple, mais comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué.

Et si une telle expression tombe:

Il est nécessaire d'appliquer simplement la formule dans la direction opposée:

Mais un tel approprié:

Vous pouvez également rencontrer une telle expression:

Tout de même, vous n'avez besoin que de vous rappeler comment traduire la Fraraty (si vous ne vous souvenez pas, regardez dans le sujet et revenez!). Rappelé? Maintenant nous décidons!

Je suis sûr que vous avez giclé avec tout, nous allons maintenant essayer de construire des racines à degré.

Erend en degré de diplôme

Et que se passera-t-il si la racine carrée est érigée dans un carré? Tout est simple, rappelez-vous de la signification d'une racine carrée parmi le nombre, qui est la racine carrée dont elle est égale.

Donc, si nous construisons un numéro, dont la racine carrée est égale à la place, ce que nous obtenons?

Oui bien sur, !

Considérez aux exemples:

Est-ce simple, non? Et si la racine est dans une autre mesure? Rien de mal!

Adhérer à la même logique et rappelez-vous des propriétés et des actions possibles avec degrés.

Lisez la théorie sur le sujet "" et tout sera extrêmement clair pour vous.

Ici, par exemple, une telle expression:

Dans cet exemple, le degré est même et s'il est étrange? Encore une fois, l'applicabilité de la propriété de degré et décomposer tout pour les multiplicateurs:

Avec cela, tout semble être clair, mais comment extraire la racine parmi dans l'ensemble? Ici, par exemple, ceci:

Assez simple, non? Et si le degré est supérieur à deux? Nous suivons la même logique en utilisant les propriétés de degrés:

Eh bien, tout est clair? Ensuite, je déciderai de vos propres exemples:

Et voici les réponses:

Faire une racine

Ce que nous n'avons tout simplement pas appris à faire avec des racines! Il reste seulement d'étirer le nombre sous le signe racine!

C'est assez facile!

Supposons que nous soyons enregistrés

Que pouvons-nous faire avec ça? Bien sûr, cachez-vous les trois premiers sous la racine, en vous rappelant en même temps que la troïka est une racine carrée!

Pourquoi en avons-nous besoin? Oui, juste pour développer nos opportunités lors de la résolution des exemples:

Comment aimez-vous la propriété racine? Simplifie considérablement la vie? Pour moi, donc exactement! Seul il convient de rappeler que nous ne pouvons que des nombres positifs sous le signe d'une racine carrée.

Vous résoudre cet exemple -
Se débrouiller? Voyons ce que vous devriez obtenir:

Bien fait! Vous avez réussi à faire un numéro sous le signe racine! N'allons-nous pas moins importants - considérons comment comparer les chiffres contenant la racine carrée!

Comparaison des racines

Pourquoi apprenons-nous à comparer les numéros contenant une racine carrée?

Très simple. Souvent, dans les grandes expressions de diines trouvées à l'examen, nous obtenons une réponse irrationnelle (rappelez-vous ce que c'est? Nous en avons déjà parlé aujourd'hui!)

Nous avions besoin des réponses à la coordonnée directe, par exemple, de déterminer quel intervalle convient à la résolution de l'équation. Et ici il y a un snag: il n'y a pas de calculatrice à l'examen, et sans cela, comment imaginer quel nombre est plus, et à quel point? C'est ça!

Par exemple, nous avons défini cela plus: ou?

Vous ne pouvez pas dire de toute façon. Eh bien, nous utilisons la propriété désassemblée du nombre sous le signe racine?

Ensuite, en avant:

Eh bien, il est évident que plus le nombre est grand sous le signe de la racine, plus la racine elle-même!

Ceux. Si, cela signifie.

D'ici concluent fermement cela. Et personne ne nous convaincre dans le contraire!

Suppression des racines du grand nombre

Avant cela, nous avons fait un multiplicateur sous le signe de la racine et comment le faire? Il est nécessaire de simplement décomposer sur des multiplicateurs et de supprimer ce qui est extrait!

Il était possible d'aller de manière différente et de se décomposer sur d'autres facteurs:

Pas mal, oui? Toute de ces approches est fidèle, décidez comment elle vous convient.

La décomposition des multiplicateurs sera très utile lors de la résolution de ces tâches non standard, comme celle-ci:

Pas peur, mais agir! Étaler chaque multiplicateur sous la racine des facteurs individuels:

Maintenant, essayez indépendamment (sans calculatrice! Ce ne sera pas à l'examen):

Est-ce une fin? Ne vous arrêtez pas à mi-chemin!

C'est tout, pas tous et ne sont pas effrayants, non?

Arrivé? Bien fait, tout va bien!

Maintenant, essayez cet exemple pour décider:

Et un exemple est une noix forte, alors venez et ne comprends pas comment l'approcher. Mais nous, bien sûr, c'est dans les dents.

Eh bien, commençons à mettre en place des multiplicateurs? Notez immédiatement que vous pouvez partager le numéro sur (rappelez-vous les signes de divisibilité):

Et maintenant, essayez-moi-même (encore une fois, sans calculatrice!):

Eh bien, que s'est-il passé? Bien fait, tout va bien!

Résumons

1. La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est appelée nombre non négatif, ce qui est égal au carré.
   .
2. Si nous retirons simplement la racine carrée de quoi que ce soit, nous obtenons toujours un résultat non négatif.
3. Propriétés de la racine arithmétique:
4. Lors de la comparaison des racines carrées, il est nécessaire de se rappeler que le nombre est important dans le signe racine, plus la racine elle-même.

Comment aimez-vous une racine carrée? Tout est clair?

Nous avons essayé de vous expliquer sans eau tout ce que vous devez savoir lors de l'examen de la racine carrée.

Maintenant à votre tour. Ecrivez-nous une chose difficile pour vous le sujet ou non.

J'ai appris quelque chose de nouveau ou tout était et si clair.

Ecrivez dans des commentaires et bonne chance pour les examens!

Dans cet article, nous analyserons la principale propriétés des racines. Commençons par les propriétés d'une racine carrée arithmétique, nous donnerons leur libellé et donnerons des preuves. Après cela, nous traiterons les propriétés de la racine arithmétique de la N-degré.

Navigation de la page.

Propriétés de la racine carrée

À ce stade, nous traiterons les principaux suivants propriétés de la racine carrée arithmétique:

Dans chacune des égalités enregistrées, il est possible de modifier les parties gauche et droite, par exemple, l'égalité peut être réécrite comme . Dans une forme aussi "inverse", les propriétés d'une racine carrée arithmétique sont utilisées lorsque simplifier les expressions Aussi souvent que dans la forme "droite".

La preuve des deux premières propriétés est basée sur la définition de la racine carrée arithmétique et sur. Et pour justifier les dernières propriétés d'une racine carrée arithmétique devra se rappeler.

Alors, commençons par preuve des propriétés d'une racine carrée arithmétique du travail de deux nombres non négatifs. Pour cela, selon la détermination d'une racine carrée arithmétique, il suffit de montrer que - un nombre non négatif, dont le carré est égal à a · b. Faisons le. La valeur de l'expression est non négative en tant que produit de nombres non négatifs. La propriété du travail de deux chiffres vous permet d'enregistrer l'égalité et depuis pour déterminer la racine carrée arithmétique et, alors.

De même, il est prouvé qu'une racine carrée arithmétique des travaux K défaillances non négatifs a 1, a 2, ..., une K est égale au produit de racines carrées arithmétiques de ces facteurs. En effet. De cette égalité, il suit cela.

Nous donnons des exemples: et.

Prouver maintenant propriété de racine carrée arithmétique de privé. La propriété privée dans la facilitation nous permet d'enregistrer l'égalité , mais , Il y a un nombre non négatif. C'est la preuve.

Par exemple, I. .

Il est temps de démonter la propriété de racine carrée arithmétique du carré du nombre, sous forme d'égalité, il est enregistré comme. Pour sa preuve, considérons deux cas: à A≥0 et avec un<0 .

De toute évidence, à A≥0 égalité est juste. Il est également facile de noter que quand un<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 et (-a) 2 \u003d A 2. De cette façon, Comme requis pour prouver.

Nous donnons des exemples: et .

La propriété éprouvée de la racine carrée nous permet de corroborer le résultat suivant, où A est un nombre valide, et m en est un. En fait, la propriété de ravissement dans la mesure peut être remplacée par une certaine expression 2 · M (a m) 2, puis .

Par exemple, et .

Propriétés racines N-Essee

Tout d'abord, nous énumérons le secteur propriétés des racines N-ESI:

Toutes les égalités enregistrées restent valables si elles changent les parties gauche et droite. Dans ce formulaire, ils sont également utilisés souvent, principalement lors de la simplification et de la transformation des expressions.

La preuve de toutes les propriétés exprimées de la racine est basée sur la détermination de la racine arithmétique de N-Essential, sur les propriétés degré et sur la définition du module de numéro. Nous les prouvons par ordre de priorité.

Commençons par la preuve propriétés de la racine de N-essential du travail . Pour les non négatifs A et B, la valeur d'expression est également non négative en tant que produit de nombres non négatifs. La propriété du travail dans l'étendue naturelle vous permet d'enregistrer l'égalité . Par définition de la racine arithmétique N-degré et, par conséquent, . Cela a prouvé l'Accusation de la racine.

De même, cette propriété est prouvée pour le travail des multiplicateurs: pour les nombres non négatifs A 1, a 2, ..., a n est effectuée et.

Nous donnons des exemples d'utilisation des propriétés racines d'un N-degré du travail: et.

Prouver propriété de racine privée . À A≥0 et B\u003e 0, la condition est effectuée et .

Montrons des exemples: et .

Se déplacer. Prouver propriété de la racine n-essentielle parmi le degré n. C'est-à-dire que nous prouvons que Pour tout valide a et naturel m. À A≥0, nous avons et, ce qui prouve l'égalité et l'égalité Évidemment. Avec un.<0 имеем и (La dernière transition est valable pour le degré de degré avec un indicateur pair), qui prouve l'égalité et droit du fait que lorsque vous parlez de la racine d'un degré étrange, nous avons accepté Pour tout numéro non négatif C.

Nous donnons des exemples d'utilisation des propriétés désassemblées de la racine: et .

Allez à la preuve des propriétés de la racine de la racine. Nous allons changer les parties droite et gauche, c'est-à-dire que nous allons prouver la justice de l'égalité qui signifiera la justice de l'égalité initiale. Pour un nombre non négatif, une racine de la racine de l'espèce est un nombre non négatif. Se souvenir de la propriété de l'exercice au degré et utilise la définition de la racine, vous pouvez enregistrer la chaîne des égalités du formulaire. . Cela a prouvé l'accusation de la racine de la racine.

La propriété de la racine de la racine de la racine est également prouvée, etc. Vraiment, .

Par example, et.

Laissez-nous prouver que ce qui suit propriété réduisant l'indicateur racine . Pour cela, en raison de la détermination de la racine, il suffit de montrer qu'il existe un nombre non négatif, ce qui est égal à un M dans le degré de degré. Faisons le. Il est clair que si le numéro A est non négatif, la racine du N-degré parmi le numéro A est un nombre non négatif. Où cela complète la preuve.

Nous donnons un exemple d'application des propriétés désassemblées de la racine :.

Nous prouvons la propriété suivante - la propriété de la racine du type de type . De toute évidence, au≥0 degrés est un nombre non négatif. De plus, son N-comportement est égal à un m, en effet. Cela a prouvé la propriété en question.

Par example, .

Aller plus loin. Nous prouvons que pour tout nombre positif A et B, pour quelle condition A est satisfaite , c'est-à-dire a≥b. Et cela contredit la condition a

Par exemple, nous donnons à l'inégalité fidèle .

Enfin, il reste à prouver la dernière propriété de la racine de la N-degré. Nous prouvons d'abord la première partie de cette propriété, c'est-à-dire que nous prouvons qu'à M\u003e N et 0 . Ensuite, en raison des propriétés du degré avec un indicateur naturel, l'inégalité doit être effectuée , c'est-à-dire un n ≤a m. Et l'inégalité qui en résulte à M\u003e n et 0

De même, par la méthode de l'opposé, il est prouvé qu'à M\u003e N et A\u003e 1, une condition est effectuée.

Nous donnons des exemples d'appliquer les propriétés éprouvées de la racine en chiffres spécifiques. Par exemple, des inégalités fidèles et.

Bibliographie.