Dérivation de formules pour le produit des fonctions trigonométriques. Leçon "Conversion de produits de fonctions trigonométriques en sommes"

Cette leçon vidéo est conçue pour les élèves de 10e année. Avec l'aide de celui-ci, ils pourront étudier le sujet «Conversion de produits d'expressions trigonométriques en sommes». Le matériel pédagogique est accompagné d'une voix masculine calme. Avec lui, vous pouvez mener une leçon intéressante et informative à l'école. Avec des illustrations et des définitions affichées en texte clair à l'écran, les élèves peuvent comprendre le sujet plus rapidement et plus efficacement.

Bien que la trigonométrie, en tant que science, soit apparue il y a longtemps, elle n'a pas perdu de sa pertinence à ce jour. Dans diverses sciences, des problèmes apparaissent, dans la solution desquels les écoliers devront affronter ce domaine. Pour cette raison, ils devraient être capables de faire face à des exemples de complexité variable, de considérer des fonctions contenant des sinus, des cosinus, des tangentes et des cotangentes, etc.

Puisque la trigonométrie contient un grand nombre de formules, sans lesquelles la simplification de telle ou telle expression prendrait énormément de temps. Par conséquent, mémoriser et comprendre ces formules est très important. Si vous comprenez la manière dont ils sont dérivés, vous pouvez facilement vous en souvenir et les appliquer dans la pratique. Afin qu'ils restent en mémoire pendant pendant longtemps, il est nécessaire de les renforcer dans la pratique. Par conséquent, il est nécessaire que les enseignants demandent à la maison un grand nombre d'expressions trigonométriques et d'équations pour les écoliers.

Ce tutoriel vidéo a été réalisé par des professionnels. Il a une structure cohérente, il n'y a pas d'informations inutiles et inutiles qui s'écartent du programme.

Les écoliers savent déjà comment transformer les équations trigonométriques d'une somme en un produit. Comment effectuer le processus inverse si nécessaire? Parfois, il sera nécessaire de simplifier telle ou telle expression.

L'examen commence par un exemple. Le produit du sinus de quelque t par le cosinus de même valeur s'écrit. Cette expression est convertie par une fraction, où dans le numérateur, nous voyons la somme du sinus de la somme des arguments et de la différence, divisée par 2.

De même, le produit du sinus de certains s et du sinus de t est transformé.

Afin de consolider ces expressions dans la pratique, il est proposé de résoudre quelques exemples. Dans le premier d'entre eux, il est proposé de trouver la réponse numérique de l'expression, qui est le produit du sinus 2x et du cosinus 9x. Cet exemple utilise la formule apprise précédemment. Une solution détaillée de l'exemple est affichée à l'écran, elle montre également quelle formule est utilisée.

Ensuite, un autre exemple est considéré où il est proposé de convertir un produit en une somme. DE côté droit tous les calculs et explications sont affichés. Il n'est pas si difficile de comprendre comment cet exemple est résolu, car l'annonceur commente tout en détail.

Le troisième exemple propose de simplifier l'expression, qui consiste en le produit de trois sinus de quelques degrés. La simplification utilise la formule pour convertir le produit des sinus en une somme. Lors de la résolution de cet exemple, l'attention est attirée sur le fait que la fonction cosinus est une fonction paire. Ainsi, les signes sont correctement identifiés. La réponse s'affiche. La solution est assez volumineuse, cependant, si vous la considérez étape par étape, il ne restera rien d'incompréhensible.

Le quatrième exemple contient équation trigonométrique, pour résoudre ce qui est nécessaire d'utiliser les formules étudiées, à la fois dans cette leçon et dans les vidéos précédentes.

Comme déjà mentionné, cette présentation peut être utilisée pour enseigner une leçon intéressante aux élèves de dixième. Les tuteurs et les écoliers peuvent télécharger le matériel. Avec l'aide de celui-ci, vous pouvez montrer visuellement à l'élève une solution d'exemples étape par étape, à la ressemblance de laquelle les écoliers vont rencontrer, à la fois pendant les devoirs et sur travaux de contrôle à l'école.

CODE TEXTE:

Convertir les produits d'expressions trigonométriques en sommes

Vous savez déjà que toute formule mathématique est appliquée en pratique de droite à gauche et de gauche à droite. Par conséquent, en appliquant la formule dans la direction opposée, nous pouvons transformer le produit de la fonction trigonométrique en une somme.

Prenons un exemple:

à partir de la formule de conversion des sommes des sinus des arguments ec et te en produit sin ( s +t) + péché ( s - t) \u003d 2 péché scos t

vous pouvez obtenir une autre formule:

péché scos t \u003d (le produit du sinus de l'argument es et du cosinus de l'argument te est égal à la demi-somme du sinus de la somme des arguments es et te et du sinus de la différence entre les arguments es et te, et la différence est prise de telle sorte que l'angle sous le signe cosinus soit soustrait de l'argument sous le signe sinus.)

péché ( s + t) + péché ( s - t) \u003d 2 péché s cos t

péché scos t =

De même, à partir de la formule de transformation des sommes de cosinus des arguments ec et te en produit cos ( s+t) + cos ( s - t) \u003d 2 cos scos t obtenir

cos scos t \u003d (le produit des cosinus des arguments es et te est égal à la demi-somme du cosinus de la somme de ces arguments et du cosinus de leur différence).

Et de la formule de conversion de la différence des cosinus des arguments ec et te en produit cos ( s+t) - cos ( s - t) \u003d - 2sin spéché t on a

péché spéché t\u003d (le produit des sinus des arguments es et te est égal à la demi-différence du cosinus de la différence entre ces arguments et le cosinus de leur somme).

Prenons quelques exemples.

EXEMPLE 1. Convertissez le produit en la somme sin2x cos9x.

Décision. Lors de la résolution, nous utiliserons la formule péché scos t \u003d, où s \u003d 2x, t \u003d 9x. Puis nous écrivons

sin2хcos 9х \u003d \u003d ( étant donné que

péché (-y) \u003d -péché y, nous obtenons) \u003d (demi-différence de sinus onze x et sinus sept x).

Réponse: sin2x cos9x \u003d.

EXEMPLE 2. Convertir le produit en la somme cos (2x - y) cos (x + 4y) (le produit du cosinus de l'argument deux x moins y par le cosinus de l'argument x plus quatre y).

Décision. Lors de la résolution, nous utiliserons la formule cos scos t \u003d, où s \u003d (2x-y), t \u003d (x + 4y). Puis

cos (2x - y) cos (x + 4y) \u003d \u003d ouvrir les parenthèses \u003d, faire des calculs et obtenir

\u003d (demi-somme du cosinus de l'argument trois x plus trois y et du cosinus de l'argument x moins cinq y).

EXEMPLE 3. Simplifiez l'expression sin20 ° sin40 ° sin80 °.

Décision. Appliquons la formule: péché spéché t= .

sin 20 ° sin 40 ° sin 80 ° \u003d ∙ sin 80 ° \u003d ∙ sin 80 ° \u003d

(nous prenons en compte que le cosinus est une fonction paire, ce qui signifie que

\u003d ∙ sin 80 ° Depuis cos60 ° \u003d

\u003d ∙ sin 80 ° \u003d ∙) ∙ sin 80 ° \u003d

(notez que sin 80 ° \u003d sin (90 ° - 10 °) \u003d cos10 °, donc on obtient ça)

\u003d ∙) ∙ cos10 ° \u003d ouvrir les parenthèses \u003d ∙ cos10 ° - ∙ cos10 °

(appliquer la formule cos scos t =)

\u003d ∙ - ∙ cos10 ° \u003d ∙ () - ∙ cos10 ° \u003d

élargir les crochets

(rappelez-vous que \u003d)

Réponse: sin20 ° sin40 ° sin80 ° \u003d.

EXEMPLE 4. Résolvez l'équation 2 sin2x cos9x - sin11x \u003d 0.

Transformez le côté gauche de l'équation à l'aide de la formule

péché s cos t \u003d, où s \u003d 2x et t \u003d 9x nous obtenons:

2 ∙ - sin11x \u003d sin11x \u003d.

Donc, cette équation est équivalente à l'équation \u003d 0 (moins le sinus de sept x est égal à zéro). Par conséquent, \u003d πn, d'où х \u003d ,.

dans ce cas, les coordonnées de ses points sont fixées par des expressions rationnelles dans la variable t? La réponse à cette question dépend de l'équation de la courbe. Si les deux côtés de l'équation contiennent des polynômes en x et y de degré au plus deux, alors il est toujours possible de définir les points de la courbe en utilisant des fonctions rationnelles d'une variable (exemples dans le problème 21.11). Si la courbe est donnée par une équation de degré supérieur à 2, alors, en règle générale, il est impossible de spécifier les coordonnées de ses points par des fonctions rationnelles: c'est déjà le cas pour la courbe x3 + y3 \u003d 1.

Tâche 21.11. Spécifiez les coordonnées des points des courbes suivantes à l'aide de fonctions rationnelles:

a) une ellipse avec l'équation x2 + 4y2 \u003d 1;

b) les hyperboles d'équation xy \u003d 1;

c) les hyperboles d'équation x2 - y2 \u003d 1.

Instructions. b) Si x \u003d t, alors y \u003d 1 / t. c) Factorisez le côté gauche.

Tâche 21.12. a) Indiquez cinq solutions de l'équation x2 + y2 \u003d 1 en nombres rationnels positifs.

b) Indiquez cinq solutions de l'équation a2 + b2 \u003d c2 en nombres naturels.

§ 22. Conversion d'une œuvre en somme et d'une somme en œuvre

Écrivons l'une sous les autres formules pour le sinus de la somme et le sinus de la différence:

sin (α + β) \u003d sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) \u003d sin α cos β - cos α sin β.

En additionnant ces formules, on obtient sin (α + β) + sin (α - β) \u003d 2 sin α cos β, ou

sin α cos β \u003d 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)).

En procédant de la même manière avec les formules du cosinus de la somme et de la différence, on obtient:

cos (α + β) + cos (α - β) \u003d 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) \u003d −2 sin α sin β,

d'où ces formules sont obtenues:

cos α cos β \u003d 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β \u003d 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Nous avons obtenu des formules qui nous permettent de passer du produit fonctions trigonométriques à leur somme. Apprenons maintenant à faire la transition dans l'autre sens: de la somme au produit.

Prenons par exemple la formule

2 sin α cos β \u003d sin (α + β) + sin (α - β).

On note à droite de cette formule α + β par x, et α - β par y. En additionnant et en soustrayant les égalités α + β \u003d x et α - β \u003d y, nous trouvons que α \u003d (x + y) / 2, β \u003d (x - y) / 2. En substituant ces expressions dans le côté gauche de la formule et en lisant la formule de droite à gauche, nous obtenons finalement:

sin x + sin y \u003d 2 sin x + y cosx - y. 2 2

En substituant dans la formule juste obtenue −y au lieu de y,

sin x - sin y \u003d 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Si nous traitons les formules pour cos α cos β et pour sin α sin β de la même manière que nous l'avons fait avec la formule pour sin α cos β, nous obtenons ceci:

(notez le signe moins dans la deuxième formule).

Tâche 22.1. Prouvez ces formules.

Des formules pour convertir la somme des fonctions trigonométriques en un produit peuvent également être obtenues géométriquement. Dans le très

Par contre, puisque OA \u003d OB \u003d 1, le parallélogramme OACB est un losange. Par conséquent, OC est la bissectrice de l'angle AOB,

conformément à nos formules dérivées.

Tâche 22.2. Prouvez les identités:

a) sin (α + β) sin (α - β) + sin (β + γ) sin (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) \u003d 0;

b) 4 sin α sin (π / 3 - α) sin (π / 3 + α) \u003d sin 3α;

c) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α \u003d 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Tâche 22.3. En supposant que α + β + γ \u003d π, prouvez les égalités:

c) sin2 α + sin2 β + sin2 γ \u003d 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Tâche 22.4. Soit les angles α, β, γ dans le triangle opposé aux côtés a, b, c. Prouvez les formules:

Ces formules sont appelées formules de Regiomontan, ou théorème tangent.

Tâche 22.5. a) Sous l'hypothèse que α + β + γ + δ \u003d π, prouver l'identité:

sin α sin γ + sin β sin δ \u003d sin (α + β) sin (β + γ).

b) Le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle. Montrer que AB CD + BC AD \u003d AC BD (dans un quadrilatère inscrit, la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales - théorème de Ptolémée).

Les formules que nous avons traitées dans cette section sont utilisées dans l'ingénierie radio. Supposons que nous devions transmettre la voix de l'annonceur par radio à une fréquence de, disons, 300. À des fréquences aussi basses, la transmission radio est impossible: les fréquences des ondes radio utilisées pour la radiodiffusion peuvent se mesurer en millions. Vagues

ces fréquences sont utilisées comme suit. Pendant que l'annonceur est silencieux, seules les ondes radio de haute fréquence ω sont diffusées (fréquence porteuse - voir le graphique de la Fig. 22.2 a).

Aucune information n'est transmise avec ce signal. Maintenant, le locuteur commence à émettre des sons avec une fréquence η (η est bien inférieure à ω); alors le signal u \u003d (A sin ηt) sin ωt passe à l'antenne. Son graphique approximatif est illustré à la Fig. 22.2 b. On peut dire que l'amplitude des oscillations d'une haute fréquence ω subit elle-même des oscillations de basse fréquence η. Comme on dit, un signal haute fréquence est modulé par un signal basse fréquence (tout cela n'est qu'un schéma approximatif de ce qui se passe réellement dans le récepteur).

Nous transformons l'expression du signal modulé:

u \u003d A sin ηt sin ωt \u003d A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Comme vous pouvez le voir, notre signal modulé n'est rien de plus que la somme des signaux de fréquences ω + η et ω - η. Ainsi, quand ils disent qu'une station de radio émet à une fréquence, disons, ω \u003d 10, alors nous devons nous rappeler qu'en fait non seulement les ondes radio de fréquence ω vont dans l'air, mais aussi les ondes de toutes les fréquences de l'intervalle [ω −η; ω + η] où η est la fréquence maximale du signal utile émis par la station radio. Cela signifie que les fréquences porteuses des différentes stations radio ne peuvent pas être trop proches les unes des autres: si les segments [ω −η; ω + η] se chevaucheront, puis les stations de radio interféreront entre elles.

Une autre application des formules de cette section est le calcul de la somme des cosinus ou sinus des nombres qui forment l'arithmétique

la progression physique (en physique, de tels calculs sont utilisés dans l'étude du phénomène de diffraction).

Supposons que nous ayons besoin de simplifier l'expression

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h).

Tout d'abord, nous allons résoudre ce problème géométriquement, puis nous montrerons comment nos formules peuvent lui être appliquées. Considérons les vecteurs suivants: a0 \u003d (cos α; sin α), a1 \u003d (cos (α + h); sin (α + h)) ,. ... ... , a10 \u003d (cos (α + 10h); sin (α + 10h)). Evidemment, la somme requise est l'abscisse du vecteur a0 + a1 +. ... ... + a10. Trouvons cette somme de vecteurs.

Pour ce faire, nous reportons OA1 \u003d a0 à partir de l'origine, A1 A2 \u003d a1 à partir du point A1, etc. (Figure 22.3). Puis a0 + a1 +. ... ... + a10 \u003d OA11.

Chiffre: 22.3. OA1 \u003d a0, A1 A2 \u003d a1 ,. ... ... , A10 A11 \u003d a10.

Pour trouver les coordonnées du vecteur OA, on trouve sa longueur et son angle d'inclinaison par rapport à l'axe des abscisses. Pour ce faire, notez que chacun des segments OA1, A1 A2 ,. ... ... a une longueur de 1 et pivote par rapport au précédent du même angle h radians. Par conséquent, les points O, A1, A2 ,. ... ... , A11 se trouvent sur le même cercle. Son centre Z est le point d'intersection des perpendiculaires aux segments OA1 et A1 A2. Si FZ et GZ sont ces perpendiculaires, alors F ZG \u003d h, de sorte que F ZA1 \u003d h / 2 et le rayon du cercle R est égal à F A1 / sin F ZA1 \u003d 1/2 sin (h / 2) (rappel que les longueurs de

les coupes OA1 et A1 A2 sont égales à un). Puisque, évidemment, OZA1 \u003d \u003d A1 ZA2 \u003d. ... ... \u003d A10 ZA11 \u003d h, alors OZA11 \u003d 11h, et à partir du triangle isocèle OZA11 on a

Pour trouver l'angle d'inclinaison du vecteur OA11 par rapport à l'axe des abscisses, remplacez

notez que l'angle central A1 ZA11 \u003d 10h, de sorte que l'inscrit

l'angle A11 OA1 reposant sur l'arc A1 A11 est de 10h / 2 \u003d 5h, et A11 OX \u003d A11 OA1 + α \u003d α + 5h. C'est-à-dire,

En comparant les deux enregistrements pour les coordonnées du vecteur OA11, nous obtenons les formules:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) \u003d

La première de ces formules est ce que nous visions, la seconde est sortie comme sous-produit.

Comme vous pouvez le voir, les calculs se sont avérés assez longs. De plus, le lecteur pédant peut remarquer que le dessin de la Fig.22.3 n'est obtenu que pour un h suffisamment petit, et pour un grand h, la ligne brisée OA1 · · · A10 A11 peut faire le tour du cercle entier, et plus d'une fois, donc le dessin sera différent. En fait, notre formule est vraie pour tous les α et h (sauf si le dénominateur sin (h / 2) est nul; mais ce dernier n'est possible que si h \u003d 2πn pour un entier n, et alors sans aucune formule, il est clair que le la somme est

- sin α + m -

En le substituant à notre formule, nous voyons que la somme est égale à

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sin α + 9 + 2

si vous ouvrez les crochets, tous les termes seront annulés, à l'exception de

(nous avons converti la somme en produit). En annulant deux dans le numérateur et le dénominateur, nous obtenons la même formule que nous avons trouvée géométriquement.

Notre deuxième calcul est plus court et plus simple que le premier, mais moins naturel. Lorsque nous nous familiariserons avec les nombres complexes, nous apprendrons à trouver de telles sommes de la manière la plus naturelle (mais pas la plus courte).

La clé du succès avec la sommation réside dans notre capacité à convertir une somme en une autre - soit en simplifiant l'original, soit en nous rapprochant de l'objectif. Et une fois que vous avez appris et pratiqué quelques règles de transformation de base, vous pouvez facilement maîtriser cette capacité.

Soit K un ensemble fini d'entiers. Les sommes des éléments de K peuvent être converties selon trois règles simples:

La loi distributive permet la saisie et la déduction de constantes sous le signe et au-delà du signe. La loi sur les combinaisons vous permet de diviser un montant en deux ou de combiner deux montants en un seul. La loi transpositionnelle stipule que les termes de la somme peuvent être réarrangés dans n'importe quel ordre souhaité; voici une permutation de l'ensemble de tous les entiers. Par exemple, si et si alors ces trois lois stipulent, respectivement, que

L'astuce de Gauss de Ch. 1 peut être considérée comme l'une des applications de ces trois lois fondamentales. Supposons que nous voulons

calculer la somme d'une progression arithmétique générale

Selon la loi de transposition, remplacer k par nous obtenons

Ces deux équations peuvent être ajoutées en utilisant la loi de combinaison:

Appliquons maintenant la loi de distribution et calculons la somme triviale:

En divisant par 2, nous découvrons que

Le côté droit peut être mémorisé comme la moyenne des premier et dernier termes, c'est-à-dire multipliée par le nombre de termes, c'est-à-dire par

Il est important de garder à l'esprit que la fonction forme générale la loi de déplacement (2.17) est considérée comme une permutation de tous les nombres entiers. En d'autres termes, pour chaque tout, il doit y avoir exactement un k entier, tel que. Sinon, la loi de transposition risque de ne pas être respectée - exercice. 3 est un bon exemple. Les conversions de type c ou où c est une constante entière sont toujours des permutations, elles sont donc très bien.

Cependant, on peut légèrement affaiblir la restriction sur la permutation: il suffit qu'il existe exactement un entier k tel que when est un élément de l'ensemble d'indices K. Si (c'est-à-dire s'il n'appartient pas à K), alors il n'est pas indispensable, comme a souvent lieu l'égalité car similaire à ne participe pas à la somme. Ainsi, par exemple, on peut affirmer que

car il y a exactement un k, tel que quand est pair.

La notation d'Iverson, qui permet d'obtenir 0 ou 1 comme valeurs d'expressions logiques dans une certaine formule, peut être utilisée en conjonction avec les lois de distribution, de combinaison et de déplacement pour révéler des propriétés supplémentaires des sommes. Ici, par exemple, règle importante unions de différents ensembles d'indices: s'il y a des ensembles d'entiers, alors

Cela découle des formules générales

Habituellement, la règle (2.20) est utilisée soit pour joindre deux ensembles d'index presque disjoints, comme dans le cas

ou d'attribuer un membre distinct du montant, comme dans le cas

Cette opération d'allocation d'un membre est à la base de la méthode de réduction, qui permet souvent de calculer une somme particulière sous une forme fermée. L'essence de cette méthode est de commencer par le montant à calculer et de le désigner

(Indiquez et conquérez.) Ensuite, nous réécrivons de deux manières, en mettant en évidence à la fois le dernier et le premier termes:

Maintenant, nous pouvons traiter la dernière somme et essayer de l'exprimer en termes de Si la tentative réussit, nous obtenons une équation dont la solution sera la somme souhaitée.

Utilisons, par exemple, cette approche pour trouver la somme d'une progression géométrique de forme générale

Conformément au schéma général de réduction (2.24), la somme est réécrite comme

et la somme à droite est égale à la loi de distribution. Ainsi, et en résolvant cette équation par rapport à, on obtient

(Pour x \u003d 1, cette somme, bien sûr, est simplement égale à la partie droite de cette formule peut être mémorisée comme la différence entre le premier et le premier terme non entrant, divisée par la différence de 1 et le dénominateur du progression.

Tout cela était assez simple, alors essayons la méthode de casting sur une somme un peu plus difficile,