Calculatrice en ligne. Trouvez (avec solution) la dérivée de la fonction

L'opération de recherche d'un dérivé est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en déterminant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées et des règles de différenciation précisément définies sont apparus. Les premiers dans le domaine de la recherche de dérivés ont été Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée de toute fonction, il n'est pas nécessaire de calculer la limite susmentionnée du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais uniquement d'utiliser la table des dérivées et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver le dérivé, vous avez besoin d'une expression sous le signe du trait démonter des fonctions simples et déterminez quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. De plus, les dérivées des fonctions élémentaires se trouvent dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient se trouvent dans les règles de différenciation. Le tableau dérivé et les règles de différenciation sont donnés après les deux premiers exemples.

Exemple 1. Trouver le dérivé d'une fonction

Décision. A partir des règles de différenciation, on découvre que la dérivée de la somme des fonctions est la somme des dérivées des fonctions, i.e.

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée du «x» est égale à un, et la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème:

Exemple 2. Trouver le dérivé d'une fonction

Décision. Nous différencions comme la dérivée de la somme, dans laquelle le deuxième terme avec un facteur constant, il peut être pris en dehors du signe de la dérivée:

S'il y a encore des questions sur l'origine de ce qui vient, elles deviennent généralement plus claires après avoir pris connaissance du tableau des dérivés et des règles les plus simples de différenciation. Nous nous tournons vers eux maintenant.

Tableau dérivé de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). Tout nombre (1, 2, 5, 200 ...) qui se trouve dans l'expression de fonction. Toujours zéro. Ceci est très important à retenir, car il est très souvent nécessaire
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent "x". Toujours égal à un. Il est également important de se souvenir longtemps de cela.
3. Degré dérivé. Lors de la résolution de problèmes, vous devez transformer des racines non carrées en un degré.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivé racine carrée
6. Dérivée du sinus
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée de la tangente
9. Dérivée cotangente
10. Dérivée de l'arcsinus
11. Dérivé de l'arccosine
12. Dérivée de l'arc tangente
13. Dérivée de l'arc cotangent
14. Dérivée du logarithme naturel
15. Dérivée de la fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée de la fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée de la somme ou de la différence
2. Dérivée de l'œuvre
2a. La dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1. Si les fonctions

différentiable à un moment donné, puis au même point les fonctions

de plus

ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.

Règle 2.Si les fonctions

différenciable à un moment donné, puis au même point leur produit est également différentiable

de plus

ceux. la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre.

Corollaire 1. Le facteur constant peut être déplacé en dehors du signe de la dérivée:

Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chacun des facteurs par tous les autres.

Par exemple, pour trois facteurs:

Règle 3.Si les fonctions

différenciable à un moment donné et , alors à ce stade est différentiable et leur quotientu / v, et

ceux. le dérivé du quotient de deux fonctions est égal à la fraction, dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et le dérivé du numérateur et du numérateur par le dérivé du dénominateur, et le dénominateur est le carré du numérateur précédent.

Où chercher sur les autres pages

Lors de la recherche du dérivé du produit et du quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, par conséquent, plus d'exemples sur ces dérivés sont dans l'article"Dérivée d'une œuvre et d'une fonction particulière".

Commentaire.Ne confondez pas une constante (c'est-à-dire un nombre) comme une somme et comme un facteur constant! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est sortie du signe des dérivées. C'est une erreur typique qui se produit au stade initial de l'étude des dérivés, mais après avoir résolu plusieurs exemples à un ou deux composants, l'étudiant moyen ne fait plus cette erreur.

Et si, lors de la différenciation d'une œuvre ou d'un particulier, vous avez un terme u"v , dans lequel u - un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est analysé dans l'exemple 10).

Une autre erreur courante est la solution mécanique d'un dérivé d'une fonction complexe en tant que dérivé d'une fonction simple. donc dérivé d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais d'abord, nous allons apprendre à trouver des dérivées de fonctions simples.

En cours de route, vous ne pouvez pas vous passer de transformations d'expression. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir les didacticiels dans de nouvelles fenêtres Des actions avec des pouvoirs et des racines et Actions de fraction .

Si vous recherchez des solutions pour les dérivés de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon Dérivée de la somme des fractions avec pouvoirs et racines.

Si vous avez une tâche comme , puis votre leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples".

Exemples étape par étape - comment trouver le dérivé

Exemple 3. Trouver le dérivé d'une fonction

Décision. Nous déterminons les parties de l'expression de fonction: l'expression entière représente le produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde dont l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits: la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre:

Ensuite, nous appliquons la règle de différenciation de la somme: la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, chaque somme contient le deuxième terme avec un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante, dont la dérivée est égale à un, et une constante (nombre), dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, "x" pour nous se transforme en un, et moins 5 - en zéro. Dans la seconde expression, "x" est multiplié par 2, donc nous multiplions deux par la même unité que la dérivée de "x". Nous obtenons les valeurs suivantes des dérivées:

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition problème:

Exemple 4. Trouver le dérivé d'une fonction

Décision. Nous devons trouver la dérivée du quotient. Nous appliquons la formule pour différencier le quotient: la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à la fraction, dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et le dérivé du numérateur et du numérateur et le dérivé du dénominateur, et le dénominateur est le carré du numérateur précédent. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oubliez pas que le produit, qui est le deuxième facteur du numérateur, dans l'exemple actuel est pris avec un signe moins:

Si vous recherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver le dérivé d'une fonction, où il y a un fouillis continu de racines et de pouvoirs, tels que alors bienvenue en classe "Dérivée de la somme des fractions avec des puissances et des racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis ta leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5. Trouver le dérivé d'une fonction

Décision. Dans cette fonction, nous voyons le produit, dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons vu la dérivée dans le tableau des dérivées. Selon la règle de différenciation du produit et la valeur de table de la dérivée de la racine carrée, on obtient:

Exemple 6. Trouver le dérivé d'une fonction

Décision. Dans cette fonction, nous voyons le quotient, dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. Selon la règle de différenciation du quotient, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur de table de la dérivée de la racine carrée, nous obtenons:

Pour éliminer la fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par.

Définition. Soit la fonction \\ (y \u003d f (x) \\) définie dans un intervalle contenant le point \\ (x_0 \\). Donnez à l'argument un incrément \\ (\\ Delta x \\) pour qu'il ne sorte pas de cet intervalle. Trouvez l'incrément correspondant de la fonction \\ (\\ Delta y \\) (en passant du point \\ (x_0 \\) au point \\ (x_0 + \\ Delta x \\)) et composez le rapport \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\). S'il y a une limite de ce rapport à \\ (\\ Delta x \\ rightarrow 0 \\), alors la limite spécifiée est appelée fonction dérivée \\ (y \u003d f (x) \\) au point \\ (x_0 \\) et notons \\ (f "(x_0) \\).

$$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ à 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \u003d f "(x_0) $$

Le symbole y "est souvent utilisé pour désigner la dérivée. Notez que y" \u003d f (x) est une nouvelle fonction, mais naturellement liée à la fonction y \u003d f (x), définie en tous les points x où la limite ci-dessus existe ... Cette fonction est appelée comme ceci: dérivée de la fonction y \u003d f (x).

La signification géométrique du dérivé est comme suit. Si le graphique de la fonction y \u003d f (x) en un point d'abscisse x \u003d a peut être tracé tangent, non parallèle à l'axe y, alors f (a) exprime la pente de la tangente:
\\ (k \u003d f "(a) \\)

Puisque \\ (k \u003d tg (a) \\), l'égalité \\ (f "(a) \u003d tg (a) \\) est vraie.

Et maintenant, nous allons interpréter la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction \\ (y \u003d f (x) \\) une dérivée en un point spécifique \\ (x \\):
$$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ à 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \u003d f "(x) $$
Cela signifie que l'égalité approximative \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\ approx f "(x) \\) est remplie près du point x, c'est-à-dire \\ (\\ Delta y \\ approx f" (x) \\ cdot \\ Delta x \\). La signification significative de l'égalité approximative obtenue est la suivante: l'incrément de la fonction est "presque proportionnel" à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée en un point x donné. Par exemple, la fonction \\ (y \u003d x ^ 2 \\) satisfait l'égalité approximative \\ (\\ Delta y \\ approx 2x \\ cdot \\ Delta x \\). Si nous analysons soigneusement la définition de la dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.

Formulons-le.

Comment trouver la dérivée de la fonction y \u003d f (x)?

1. Corrigez la valeur \\ (x \\), recherchez \\ (f (x) \\)
2. Donnez à l'argument \\ (x \\) un incrément \\ (\\ Delta x \\), allez à un nouveau point \\ (x + \\ Delta x \\), trouvez \\ (f (x + \\ Delta x) \\)
3. Trouvez l'incrément de la fonction: \\ (\\ Delta y \u003d f (x + \\ Delta x) - f (x) \\)
4. Composez la relation \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\)
5. Calculez $$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.

Si la fonction y \u003d f (x) a une dérivée au point x, alors elle est appelée différentiable au point x. La procédure pour trouver la dérivée d'une fonction y \u003d f (x) est appelée différenciation fonction y \u003d f (x).

Discutons de la question suivante: comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées entre elles?

Soit la fonction y \u003d f (x) différentiable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M (x; f (x)), et, rappelons-nous, la pente de la tangente est égale à f "(x). Un tel graphe ne peut pas" casser "au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.

C'était le raisonnement du bout des doigts. Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y \u003d f (x) est différentiable au point x, alors l'égalité approximative \\ (\\ Delta y \\ approx f "(x) \\ cdot \\ Delta x \\) est vraie. Si dans cette égalité \\ (\\ Delta x \\) tend à zéro, alors \\ (\\ Delta y \\) tendra vers zéro, et c'est la condition pour la continuité de la fonction au point.

Alors, si la fonction est différentiable au point x, alors elle est également continue en ce point.

L'inverse est pas vrai. Par exemple: fonction y \u003d | x | est continue partout, en particulier au point x \u003d 0, mais la tangente au graphe de la fonction au "point joint" (0; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné du graphique de la fonction, il est impossible de tracer une tangente, il n'y a pas de dérivée à ce stade.

Encore un exemple. La fonction \\ (y \u003d \\ sqrt (x) \\) est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x \u003d 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x \u003d 0. Mais à ce point la tangente coïncide avec l'axe y, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, son équation a la forme x \u003d 0. Il n'y a pas de pente pour une telle droite, donc elle n'existe pas et \\ (f "(0) \\)

Ainsi, nous nous sommes familiarisés avec une nouvelle propriété d'une fonction - la différentiabilité. Et comment tirer une conclusion sur sa différentiabilité à partir du graphe de la fonction?

La réponse est effectivement reçue ci-dessus. Si à un moment donné du graphique de la fonction il est possible de tracer une tangente qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce point la fonction est différentiable. Si à un moment donné la tangente au graphique de la fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce point la fonction n'est pas dérivable.

Règles de différenciation

L'opération de recherche du dérivé s'appelle différenciation... Lors de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des «fonctions de fonctions», c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition d'un dérivé, il est possible de dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C est un nombre constant et f \u003d f (x), g \u003d g (x) sont des fonctions différentiables, alors les suivantes règles de différenciation:

Tableau dérivé de certaines fonctions

Preuve et dérivation de formules pour le dérivé du logarithme naturel et la base un logarithme. Exemples de calcul des dérivées de ln 2x, ln 3x et ln nx. Preuve de la formule de la dérivée du n-ième ordre du logarithme par la méthode de l'induction mathématique.

Dérivation de formules pour les dérivés du logarithme naturel et de la base logarithmique a

La dérivée du logarithme népérien de x est égale à un divisé par x:
(1) (ln x) ′ \u003d.

La base a dérivée du logarithme est égale à un divisé par la variable x multipliée par le logarithme naturel de a:
(2) (log a x) ′ \u003d.

Preuve

Soit un nombre positif différent de un. Considérons une fonction qui dépend de la variable x, qui est le logarithme de la base:
.
Cette fonction est définie à. Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x. Par définition, le dérivé est la limite suivante:
(3) .

Transformons cette expression pour la réduire aux propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous devons connaître les faits suivants:
ET) Propriétés du logarithme. Nous avons besoin des formules suivantes:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue:
(7) .
Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
À) La signification de la deuxième limite remarquable:
(8) .

Nous appliquons ces faits à notre limite. Tout d'abord, nous transformons l'expression algébrique
.
Pour cela, nous appliquons les propriétés (4) et (5).

.

Utilisons la propriété (7) et la deuxième limite remarquable (8):
.

Et enfin, nous appliquons la propriété (6):
.
Base logarithmique e appelé un algorithme naturel... Il est désigné comme suit:
.
Puis;
.

Ainsi, nous avons obtenu la formule (2) pour le dérivé du logarithme.

Dérivée du logarithme naturel

Encore une fois, écrivez la formule de la dérivée du logarithme par rapport à la base a:
.
Cette formule a la forme la plus simple du logarithme naturel, pour lequel ,. Puis
(1) .

En raison de cette simplicité, le logarithme naturel est très largement utilisé en analyse mathématique et dans d'autres branches des mathématiques liées au calcul différentiel. Fonctions logarithmiques avec d'autres bases peuvent être exprimées en termes de logarithme naturel en utilisant la propriété (6):
.

La dérivée de base du logarithme peut être trouvée à partir de la formule (1), si la constante est retirée du signe de différenciation:
.

Autres moyens de prouver la dérivée du logarithme

Ici, nous supposons que nous connaissons la formule de la dérivée de l'exposant:
(9) .
Ensuite, nous pouvons dériver la formule de la dérivée du logarithme naturel, étant donné que le logarithme est l'inverse de la fonction exponentielle.

Prouvons la formule de la dérivée du logarithme naturel, application de la formule de la dérivée de la fonction inverse:
.
Dans notre cas . L'inverse du logarithme naturel est l'exposant:
.
Son dérivé est déterminé par la formule (9). Les variables peuvent être désignées par n'importe quelle lettre. Dans la formule (9), remplacez la variable x par y:
.
Depuis
.
Puis
.
La formule a fait ses preuves.

Maintenant, nous prouvons la formule de la dérivée du logarithme naturel en utilisant règles de différenciation des fonctions complexes... Puisque les fonctions et sont inverses l'une par rapport à l'autre, alors
.
Nous différencions cette équation par rapport à la variable x:
(10) .
La dérivée de x est égale à un:
.
Nous appliquons la règle de différenciation d'une fonction complexe:
.
Ici . Remplaçant dans (10):
.
D'ici
.

Exemple

Trouver des dérivés de en 2x, ln 3x et ln nx.

Décision

Les fonctions d'origine sont similaires. Par conséquent, nous trouverons la dérivée de la fonction y \u003d ln nx ... Remplacez ensuite n \u003d 2 et n \u003d 3. Et, ainsi, nous obtenons des formules pour les dérivés de ln 2x et ln 3x .

Donc, nous recherchons la dérivée de la fonction
y \u003d ln nx .
Imaginons cette fonction comme une fonction complexe, composée de deux fonctions:
1) Fonctions dépendant des variables :;
2) Fonctions dépendantes des variables:.
Ensuite, la fonction d'origine est composée de fonctions et:
.

Trouvez la dérivée de la fonction par rapport à la variable x:
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable:
.
Nous appliquons la formule pour la dérivée d'une fonction complexe.
.
Ici, nous nous installons.

Donc, nous avons trouvé:
(11) .
On voit que la dérivée est indépendante de n. Ce résultat est tout à fait naturel si l'on transforme la fonction d'origine en utilisant la formule du logarithme du produit:
.
est constante. Son dérivé est nul. Ensuite, selon la règle de différenciation de la somme, on a:
.

Répondre

; ; .

Dérivée du logarithme du module x

Trouvons la dérivée d'une autre fonction très importante - le logarithme naturel du module x:
(12) .

Prenons un cas. Ensuite, la fonction a la forme:
.
Son dérivé est déterminé par la formule (1):
.

Considérons maintenant le cas. Ensuite, la fonction a la forme:
,
où.
Mais nous avons également trouvé la dérivée de cette fonction dans l'exemple ci-dessus. Il ne dépend pas de n et est égal à
.
Puis
.

Nous combinons ces deux cas en une seule formule:
.

En conséquence, pour la base logarithmique a, nous avons:
.

Dérivées d'ordre supérieur du logarithme naturel

Considérez la fonction
.
Nous avons trouvé sa dérivée du premier ordre:
(13) .

Trouvez la dérivée du second ordre:
.
Trouvez le dérivé du troisième ordre:
.
Trouvons la dérivée du quatrième ordre:
.

On peut voir que la dérivée d'ordre n est:
(14) .
Prouvons cela par la méthode de l'induction mathématique.

Preuve

Remplaçons la valeur n \u003d 1 dans la formule (14):
.
Puisque, alors pour n \u003d 1 , la formule (14) est valide.

Supposons que la formule (14) soit valable pour n \u003d k. Prouvons que cela implique que la formule est valable pour n \u003d k + 1 .

En effet, pour n \u003d k on a:
.
On différencie par rapport à la variable x:

.
Nous avons donc:
.
Cette formule coïncide avec la formule (14) pour n \u003d k + 1 ... Ainsi, de l'hypothèse que la formule (14) est valide pour n \u003d k, il s'ensuit que la formule (14) est valide pour n \u003d k + 1 .

Par conséquent, la formule (14), pour la dérivée du nième ordre, est valide pour tout n.

Dérivées d'ordre supérieur du logarithme avec la base a

Pour trouver le dérivé d'ordre n de la base d'un logarithme, vous devez l'exprimer en termes de logarithme naturel:
.
En appliquant la formule (14), nous trouvons le nième dérivé:
.