Fonction de puissance, ses propriétés et graphiques. Fonction de puissance, ses propriétés et graphique Graphique de fonction y x 2n

1. Fonction de puissance, ses propriétés et son graphique;

2. Conversions:

Transfert parallèle;

Symétrie autour des axes de coordonnées;

Symétrie sur l'origine;

Symétrie autour de la droite y \u003d x;

Étirez et rétrécissez le long des axes de coordonnées.

3. Fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique, transformation similaire;

4. Fonction logarithmique, ses propriétés et son graphique;

5. Fonction trigonométrique, ses propriétés et son graphe, transformations similaires (y \u003d sin x; y \u003d cos x; y \u003d tg x);

Fonction: y \u003d x \\ n - ses propriétés et son graphique.

Fonction de puissance, ses propriétés et graphique

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x et ainsi de suite. Toutes ces fonctions sont des cas particuliers d'une fonction de puissance, c'est-à-dire les fonctions y \u003d x p, où p est un nombre réel donné.
Les propriétés et le graphe de la fonction puissance dépendent essentiellement des propriétés de la puissance avec un exposant réel, et en particulier à quelles valeurs xet pfait sens degré x p... Passons à un examen similaire de différents cas en fonction de
exposant p.

1. Indice p \u003d 2n- un nombre naturel pair.

y \u003d x 2noù n - nombre naturel, a les propriétés suivantes:

• domaine de définition - tous les nombres réels, c'est-à-dire l'ensemble R;
• l'ensemble de valeurs est constitué de nombres non négatifs, c'est-à-dire que y est supérieur ou égal à 0;
• fonction y \u003d x 2n même depuis x 2n \u003d (-x) 2n
• la fonction diminue dans l'intervalle x< 0 et augmentant dans l'intervalle x\u003e 0.

Graphique de fonction y \u003d x 2na la même forme que, par exemple, le graphe de fonctions y \u003d x 4.

2. Indicateur p \u003d 2n - 1- nombre naturel impair

Dans ce cas, la fonction d'alimentation y \u003d x 2n-1, où un nombre naturel, a les propriétés suivantes:

• domaine de définition - ensemble R;
• ensemble de valeurs - ensemble R;
• fonction y \u003d x 2n-1 étrange depuis (- x) 2n-1= x 2n-1;
• la fonction augmente le long de tout l'axe réel.

Graphique de fonction y \u003d x 2n-1 y \u003d x 3.

3. Indicateur p \u003d -2noù n -entier naturel.

Dans ce cas, la fonction d'alimentation y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2na les propriétés suivantes:

• un ensemble de valeurs - nombres positifs y\u003e 0;
• fonction y \u003d 1 / x 2n même depuis 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• la fonction augmente sur l'intervalle x0.

Fonction y tracé \u003d 1 / x 2n a la même forme que, par exemple, le graphe de la fonction y \u003d 1 / x 2.

4. Indicateur p \u003d - (2n-1)où n - entier naturel.
Dans ce cas, la fonction d'alimentation y \u003d x - (2n-1) a les propriétés suivantes:

• domaine de définition - ensemble R, sauf pour x \u003d 0;
• ensemble de valeurs - ensemble R, sauf pour y \u003d 0;
• fonction y \u003d x - (2n-1) étrange depuis (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• la fonction diminue à intervalles x< 0 et x\u003e 0.

Graphique de fonction y \u003d x - (2n-1) a la même forme que, par exemple, le graphe de la fonction y \u003d 1 / x 3.

Les formules suivantes s'appliquent au domaine de définition de la fonction puissance y \u003d x p:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Propriétés des fonctions de puissance et de leurs graphiques

Fonction de puissance avec exposant égal à zéro, p \u003d 0

Si l'exposant de la fonction puissance y \u003d x p est nul, p \u003d 0, alors la fonction puissance est définie pour tout x ≠ 0 et est constante égale à un:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Fonction de puissance avec exposant naturel impair, p \u003d n \u003d 1, 3, 5, ...

Considérons une fonction de puissance y \u003d x p \u003d x n avec un exposant naturel impair n \u003d 1, 3, 5, .... Un tel indicateur peut également s'écrire: n \u003d 2k + 1, où k \u003d 0, 1, 2, 3, ... est un entier non négatif. Vous trouverez ci-dessous les propriétés et les graphiques de ces fonctions.

Graphique d'une fonction puissance y \u003d x n avec un exposant naturel impair pour diverses valeurs de l'exposant n \u003d 1, 3, 5, ....

Domaine: -∞ < x < ∞
Beaucoup de valeurs: -∞ < y < ∞
Parité: impair, y (-x) \u003d - y (x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes: non
Convexe:
à -∞< x < 0 выпукла вверх
à 0< x < ∞ выпукла вниз
Points d'inflections: x \u003d 0, y \u003d 0
x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1,
y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 \u003d -1
pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0 n \u003d 0
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Fonction inverse:
pour n \u003d 1, la fonction est inverse d'elle-même: x \u003d y
pour n ≠ 1, la fonction inverse est une racine de degré n:

Fonction de puissance avec un exposant naturel pair, p \u003d n \u003d 2, 4, 6, ...

Considérons une fonction de puissance y \u003d x p \u003d x n avec un exposant naturel pair n \u003d 2, 4, 6, .... Un tel indicateur peut également s'écrire sous la forme: n \u003d 2k, où k \u003d 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.

Graphique d'une fonction puissance y \u003d x n avec un exposant naturel pair pour diverses valeurs de l'exposant n \u003d 2, 4, 6, ....

Domaine: -∞ < x < ∞
Beaucoup de valeurs: 0 ≤ y< ∞
Parité: pair, y (-x) \u003d y (x)
Monotone:
pour x ≤ 0 diminue de manière monotone
pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
Extrêmes: minimum, x \u003d 0, y \u003d 0
Convexe: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k \u003d 1
pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0 n \u003d 0
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Fonction inverse:
pour n \u003d 2, racine carrée:
pour n ≠ 2, racine de degré n:

Fonction de puissance avec exposant entier négatif, p \u003d n \u003d -1, -2, -3, ...

Considérons une fonction puissance y \u003d x p \u003d x n avec un exposant entier négatif n \u003d -1, -2, -3, .... Si nous mettons n \u003d -k, où k \u003d 1, 2, 3, ... est un nombre naturel, alors il peut être représenté par:

Le graphique de la fonction puissance y \u003d x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n \u003d -1, -2, -3, ....

Exposant impair, n \u003d -1, -3, -5, ...

Voici les propriétés de la fonction y \u003d x n avec un exposant négatif impair n \u003d -1, -3, -5, ....

Domaine: x ≠ 0
Beaucoup de valeurs: y ≠ 0
Parité: impair, y (-x) \u003d - y (x)
Monotone: diminue de manière monotone
Extrêmes: non
Convexe:
à x< 0 : выпукла вверх
pour x\u003e 0: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: non
Signe:
à x< 0, y < 0
pour x\u003e 0, y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées:
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Fonction inverse:
pour n \u003d -1,
pour n< -2 ,

Exposant pair, n \u003d -2, -4, -6, ...

Voici les propriétés de la fonction y \u003d x n avec un exposant négatif pair n \u003d -2, -4, -6, ....

Domaine: x ≠ 0
Beaucoup de valeurs: y\u003e 0
Parité: pair, y (-x) \u003d y (x)
Monotone:
à x< 0 : монотонно возрастает
pour x\u003e 0: diminue de manière monotone
Extrêmes: non
Convexe: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: non
Signe: y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées:
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Fonction inverse:
pour n \u003d -2,
pour n< -2 ,

Fonction de puissance avec exposant rationnel (fractionnaire)

Considérons une fonction puissance y \u003d x p avec un exposant rationnel (fractionnaire), où n est un entier, m\u003e 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n'ont pas de diviseurs communs.

Le dénominateur de l'exposant fractionnaire est impair

Laissez le dénominateur indicateur fractionnaire degré impair: m \u003d 3, 5, 7, .... Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie pour les valeurs positives et négatives de l'argument x. Considérons les propriétés de telles fonctions de puissance lorsque l'exposant p est dans certaines limites.

L'indicateur p est négatif, p< 0

Soit l'exposant rationnel (avec un dénominateur impair m \u003d 3, 5, 7, ...) inférieur à zéro :.

Graphiques de fonctions de puissance avec un exposant négatif rationnel à différentes valeurs de l'exposant, où m \u003d 3, 5, 7, ... est impair.

Numérateur impair, n \u003d -1, -3, -5, ...

Nous présentons les propriétés d'une fonction puissance y \u003d x p avec un exposant négatif rationnel, où n \u003d -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m \u003d 3, 5, 7 ... est un entier positif impair.

Domaine: x ≠ 0
Beaucoup de valeurs: y ≠ 0
Parité: impair, y (-x) \u003d - y (x)
Monotone: diminue de manière monotone
Extrêmes: non
Convexe:
à x< 0 : выпукла вверх
pour x\u003e 0: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: non
Signe:
à x< 0, y < 0
pour x\u003e 0, y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n \u003d -1
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Fonction inverse:

Numérateur pair, n \u003d -2, -4, -6, ...

Propriétés de la fonction puissance y \u003d x p avec un exposant rationnel négatif, où n \u003d -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m \u003d 3, 5, 7 ... est un entier positif impair.

Domaine: x ≠ 0
Beaucoup de valeurs: y\u003e 0
Parité: pair, y (-x) \u003d y (x)
Monotone:
à x< 0 : монотонно возрастает
pour x\u003e 0: diminue de manière monotone
Extrêmes: non
Convexe: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: non
Signe: y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n \u003d 1
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Fonction inverse:

L'exposant p est positif, inférieur à un, 0< p < 1

Graphique de fonction de puissance avec exposant rationnel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numérateur impair, n \u003d 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domaine: -∞ < x < +∞
Beaucoup de valeurs: -∞ < y < +∞
Parité: impair, y (-x) \u003d - y (x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes: non
Convexe:
à x< 0 : выпукла вниз
pour x\u003e 0: convexe vers le haut
Points d'inflections: x \u003d 0, y \u003d 0
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Signe:
à x< 0, y < 0
pour x\u003e 0, y\u003e 0
Limites:
;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d -1
pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Fonction inverse:

Numérateur pair, n \u003d 2, 4, 6, ...

Les propriétés de la fonction puissance y \u003d x p avec un exposant rationnel compris entre 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domaine: -∞ < x < +∞
Beaucoup de valeurs: 0 ≤ y< +∞
Parité: pair, y (-x) \u003d y (x)
Monotone:
à x< 0 : монотонно убывает
pour x\u003e 0: augmente de façon monotone
Extrêmes: minimum à x \u003d 0, y \u003d 0
Convexe: est convexe vers le haut pour x ≠ 0
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Signe: pour x ≠ 0, y\u003e 0
Limites:
;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d 1
pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Fonction inverse:

P est supérieur à un, p\u003e 1

Le graphique d'une fonction de puissance avec un exposant rationnel (p\u003e 1) pour différentes valeurs de l'exposant, où m \u003d 3, 5, 7, ... est impair.

Numérateur impair, n \u003d 5, 7, 9, ...

Propriétés de la fonction puissance y \u003d x p avec un exposant rationnel supérieur à un :. Où n \u003d 5, 7, 9, ... est un naturel impair, m \u003d 3, 5, 7 ... est un naturel impair.

Domaine: -∞ < x < ∞
Beaucoup de valeurs: -∞ < y < ∞
Parité: impair, y (-x) \u003d - y (x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes: non
Convexe:
à -∞< x < 0 выпукла вверх
à 0< x < ∞ выпукла вниз
Points d'inflections: x \u003d 0, y \u003d 0
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d -1
pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Fonction inverse:

Numérateur pair, n \u003d 4, 6, 8, ...

Propriétés de la fonction puissance y \u003d x p avec un exposant rationnel supérieur à un :. Où n \u003d 4, 6, 8, ... est un naturel pair, m \u003d 3, 5, 7 ... est un naturel impair.

Domaine: -∞ < x < ∞
Beaucoup de valeurs: 0 ≤ y< ∞
Parité: pair, y (-x) \u003d y (x)
Monotone:
à x< 0 монотонно убывает
pour x\u003e 0 augmente de façon monotone
Extrêmes: minimum à x \u003d 0, y \u003d 0
Convexe: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valeurs privées:
pour x \u003d -1, y (-1) \u003d 1
pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0
pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Fonction inverse:

Le dénominateur de l'exposant fractionnaire est pair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire pair: m \u003d 2, 4, 6, .... Dans ce cas, la fonction exponentielle x p n'est pas définie pour les valeurs d'argument négatives. Ses propriétés sont les mêmes que celles d'une fonction de puissance avec un exposant irrationnel (voir la section suivante).

Fonction de puissance avec exposant irrationnel

Considérons une fonction de puissance y \u003d x p avec un exposant irrationnel p. Les propriétés de ces fonctions diffèrent de celles considérées ci-dessus en ce qu'elles ne sont pas définies pour les valeurs négatives de l'argument x. Pour les valeurs positives de l'argument, les propriétés dépendent uniquement de la grandeur de l'exposant p et ne dépendent pas du fait que p est entier, rationnel ou irrationnel.

y \u003d x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

Fonction de puissance avec exposant négatif p< 0

Domaine: x\u003e 0
Beaucoup de valeurs: y\u003e 0
Monotone: diminue de manière monotone
Convexe: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: non
Limites: ;
Valeur privée: Pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Fonction de puissance avec exposant positif p\u003e 0

Indicateur inférieur à un 0< p < 1

Domaine: x ≥ 0
Beaucoup de valeurs: y ≥ 0
Monotone: augmente de façon monotone
Convexe: convexe
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
Valeurs privées: Pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0 p \u003d 0.
Pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Indicateur supérieur à un p\u003e 1

Domaine: x ≥ 0
Beaucoup de valeurs: y ≥ 0
Monotone: augmente de façon monotone
Convexe: convexe vers le bas
Points d'inflections: non
Points d'intersection avec axes de coordonnées: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
Valeurs privées: Pour x \u003d 0, y (0) \u003d 0 p \u003d 0.
Pour x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Références:
DANS. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des institutions techniques, "Lan", 2009.

Graphique de fonctiony = hache 2 + n .

Explication.

y = 2x 2 + 4.
y = 2x 2, déplace quatre unités vers le haut de l'axe y... Bien sûr, toutes les valeurs y augmenter régulièrement de 4.

Voici un tableau des valeurs de fonction y = 2x 2:

Et voici le tableau des valeurs y = 2x 2 + 4:

Nous pouvons voir dans le tableau que le sommet de la parabole de la deuxième fonction est 4 unités plus haut que le sommet de la parabole de la première (ses coordonnées sont 0; 4). Et les valeurs y la deuxième fonction a 4 valeurs supplémentaires y première fonction.

Graphique de fonctiony = une(x – m) 2 .

Explication.

Par exemple, vous devez tracer la fonction y = 2 (x – 6) 2 .
Cela signifie que la parabole, qui est le graphique de la fonction y = 2x 2, déplace six unités vers la droite le long de l'axe x(sur le graphique - parabole rouge).

Graphique de fonctiony = une(x – m) 2 + n.

Deux fonctions nous amènent à la troisième fonction: y = une(x – m) 2 + n.

Explication:

Par exemple, vous devez tracer la fonction y = 2 (x – 6) 2 + 2.
Cela signifie que la parabole, qui est le graphique de la fonction y = 2x 2, déplace 6 unités vers la droite (valeur m) et 2 unités vers le haut (valeur n). La parabole rouge sur le graphique est le résultat de ces mouvements.

Connaissez-vous les fonctions y \u003d x, y \u003d x 2 , y \u003d x 3 , y \u003d 1 / xetc. Toutes ces fonctions sont des cas particuliers d'une fonction puissance, c'est-à-dire les fonctions y \u003d x p , où p est un nombre réel donné. Les propriétés et le graphe de la fonction puissance dépendent essentiellement des propriétés de la puissance avec un exposant réel, et en particulier à quelles valeurs xet pfait sens degré x p ... Passons à un examen similaire de divers cas en fonction de l'exposant p.

Indice p \u003d 2nest un nombre naturel pair.

Dans ce cas, la fonction d'alimentation y \u003d x 2n où n- un nombre naturel, a ce qui suit

propriétés:

domaine de définition - tous les nombres réels, c'est-à-dire l'ensemble R;

l'ensemble de valeurs est constitué de nombres non négatifs, c'est-à-dire que y est supérieur ou égal à 0;

fonction y \u003d x 2n même depuis x 2n \u003d (- x) 2n

la fonction diminue dans l'intervalle x<0 et augmentant dans l'intervalle x\u003e 0.

Graphique de fonction y \u003d x 2n a la même forme que, par exemple, le graphe de fonctions y \u003d x 4 .

2. Indicateur p \u003d 2n-1est un nombre naturel impair Dans ce cas, la fonction puissance y \u003d x 2n-1 , où un nombre naturel, a les propriétés suivantes:

domaine de définition - ensemble R;

ensemble de valeurs - ensemble R;

fonction y \u003d x 2n-1 étrange depuis (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

la fonction augmente le long de tout l'axe réel.

Graphique de fonction y \u003d x2n-1a la même forme que, par exemple, le graphe de la fonction y \u003d x3.

3.Indicateur p \u003d -2noù n -entier naturel.

Dans ce cas, la fonction d'alimentation y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2n a les propriétés suivantes:

un ensemble de valeurs - nombres positifs y\u003e 0;

fonction y \u003d 1 / x 2n même depuis 1 fois) 2n =1 fois 2n ;

la fonction augmente sur l'intervalle x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Fonction y tracé \u003d 1 / x 2n a la même forme que, par exemple, le graphe de la fonction y \u003d 1 / x 2 .

4.Indicateur p \u003d - (2n-1)où n- entier naturel. Dans ce cas, la fonction d'alimentation y \u003d x - (2n-1) a les propriétés suivantes:

domaine de définition - ensemble R, sauf pour x \u003d 0;

ensemble de valeurs - ensemble R, sauf pour y \u003d 0;

fonction y \u003d x - (2n-1) étrange depuis (- x) - (2n-1) =-x - (2n-1) ;

la fonction diminue à intervalles x<0 et x\u003e 0.

Graphique de fonction y \u003d x - (2n-1) a la même forme que, par exemple, le graphe de la fonction y \u003d 1 / x 3 .

1. Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques.

Inverse fonctions trigonométriques, leurs propriétés et graphiques.Fonctions trigonométriques inverses (fonctions circulaires, fonctions d'arc) - fonctions mathématiques inverses des fonctions trigonométriques.

1. Fonction Arcsin

Graphique de fonction .

Arcsine Nombres m cet angle s'appelle x, Pour qui

La fonction est continue et limitée sur toute sa droite numérique. Fonction augmente strictement.

1. [Edit] Propriétés de la fonction arcsin

1. [Edit] Obtenir la fonction arcsin

La fonction est donnée dans tout son domaines de définition elle se trouve être monotone par morceaux, et donc la correspondance inverse n'est pas une fonction. Par conséquent, nous allons considérer un segment sur lequel il augmente strictement et prend toutes les valeurs plage de valeurs -. Puisque pour une fonction sur l'intervalle chaque valeur de l'argument correspond à une valeur unique de la fonction, alors sur cet intervalle il existe fonction inverse dont le graphe est symétrique au graphe d'une fonction sur un segment par rapport à une droite

Fonction y \u003d x2n, où n appartient à l'ensemble des entiers positifs. Une fonction puissance de cette forme a un exposant positif pair a \u003d 2n. Puisque x2n \u003d (- x) 2n toujours, les graphiques de toutes ces fonctions sont symétriques autour de l'axe des ordonnées. Toutes les fonctions de la forme y \u003d x2n, n appartiennent à l'ensemble des entiers positifs ont les propriétés identiques suivantes: X \u003d R X? \u003d (-?;?) Y \u003d)