Биография на Леонард Ойлер. Биография на Леонард Ойлер 1752 Леонард Ойлер с максимална дължина на вълната

Въведение

Ойлер е един от гениите, чиято работа стана собственост на цялото човечество. Досега ученици от всички страни изучават тригонометрия и логаритми във формата, която им е дал Ойлер. Студентите изучават напреднала математика, използвайки ръководства, първите примери за които са класическите монографии на Ойлер.<Рисунок 1 >.
Днешният ни урок е посветен на този велик човек. Първо бих искал да дам думата на Н. П. Долбилин, доцент по физика и математика, водещ изследовател Математически институт на Руската академия на науките (показан е фрагмент от речта на Н. П. Долбилин на VI Московски педагогически маратон на учебни дисциплини време 1.15 - 2.40).

Спомняме си името на Ойлер, когато изучаваме логаритми през първата година. В чест на великия Леонард Ойлер номерът е кръстен на първата буква от фамилното му име. д. Именно той въведе обозначението e за основата на естествените логаритми.<Рисунок 2 >... Леонард Ойлер въведе много нови неща в клоновете на математиката, които изучават тригонометрия, логаритми, многогранници, комплексни числа и графики. Той представи много от обозначенията, които използваме днес: 1734 - обозначение на функцията f (x), 1736 - обозначение на основата на естествения логаритъм e и съотношението на обиколката към диаметъра на кръга, 1748 - обозначение тригонометрични функции грях х и cos х, 1753 - нотация на тригонометрична функция tg х, 1755 е знакът на сумата, 1777 е обозначението на въображаемата единица i.<Рисунок 3 >.

Формулата на Ойлер

Името на Ойлер е формулата, свързваща броя на върховете (B), ръбовете (P) и лицата (G) на изпъкнал многоъгълник: B - P + G \u003d?<Рисунок 4 >.

Упражнение 1

Сега ще видите изображения на многогранници: триъгълна призма, паралелепипед, триъгълна пирамида, пресечена петоъгълна пирамида, правилен октаедър, правилен додекаедър. Вашата задача е да преброите броя на върховете, ръбовете и лицата на тези многогранници и да изчислите B - P + G \u003d? За всеки от тях. За всеки верен отговор екипът получава 1 точка. Изпълнението на тази задача отнема 10 минути.
На екрана се появяват изображения на многогранници и след това, след като екипите предават решенията си на журито, отговорите:<Рисунок 5 >, <Рисунок 6 >, <Рисунок 7 >.
Леонард Ойлер открива този модел през 1752 г. и по-късно го доказва.

Детството на Ойлер. Базелски период от живота му.

Леонард Ойлер е роден на 4 април 1707 г. в семейството на беден протестантски свещеник Пол Ойлер и Маргарита Брукер в швейцарския град Базел на живописния бряг на Рейн. По това време Базел е центърът на образованието и културата в европейски мащаб.<Рисунок 8 >.
Леонард е на около година, когато семейството се премества в град Рихен, близо до Базел, където бащата на Леонардо е преместен от пастора.
Леонард получава основно образование от баща си. Пасторът подготвил сина си за духовна кариера, но той го научил и на математика като забавление и развитие на логическото мислене. След домашното обучение Леонард е изпратен в Латинската гимназия в Базел.
През 1720 г. 13-годишният Леонард Ойлер става студент по изкуство в университета в Базел. След като стана студент, той лесно усвоява академични предмети, отдавайки предпочитание на математиката. През тези години той се сприятелява със семейство Бернули. Професор И. Бернули забеляза в млад мъж талант и започва да учи индивидуално с Леонард.
През 1724 г. 17-годишният Леонард Ойлер изнася отлична латинска реч за сравнение на философските възгледи на Декарт и Нютон и получава магистърска степен (която сега съответства на докторска степен). През следващите две години младият Ойлер написа няколко научни труда, които получиха положителни отзиви. През 1725 г. той спечели състезание от Парижката академия на науките за решаване на проблема с избора на най-доброто място на кораб за инсталиране на мачта, интересно е, че по това време той никога не е виждал нито море, нито кораби.

Полином на Ойлер

Полиномът на Ойлер е многочлен х 2 – х + 41. Леонард Ойлер изчисли стойността му при х от 1 до 40 и забеляза модел.

Задание 2

Трябва да изчислите стойността на този полином за x от 1 до 20. За всеки верен отговор екипът получава 1 точка. Ако можете да познаете модела, ще получите още 10 точки.<Рисунок 9 >... Изпълнението на тази задача отнема 10 минути.

Математиците винаги са се интересували от прости числа. Дори Евклид твърди, че има безкрайно много прости числа в естествената последователност. През 1750 г. Леонард Ойлер намира просто число 2 31 - 1. В резултат на изчисляването на стойностите на този полином за x от 1 до 40 се получават само прости числа.<Рисунок 10 >

Първият Петербургски период от живота

През 1726 г. императрица Екатерина I покани, по препоръка на братя Бернули, младия Леонард Ойлер в Руската академия на науките. При пристигането си в руската столица, Ойлер се присъединява към група математици и физици, занимаващи се с проблеми на приложната математика. Учените също имаха за задача да създадат наръчници за първоначално преподаване на науките.

Един от последните дни През 1733 г. 26-годишният Леонард Ойлер се жени за Катрин Гзел. Сватба, Нова година - два празника наведнъж! Цялата Академия сърдечно поздрави младоженците. Оказва се, че великият математик може не само да изчислява и анализира, той не е непознат за светския живот. Те имаха 13 деца, но само пет оцеляха в детството.

Ойлер беше известен с феноменалната си ефективност. Той просто не можеше да не учи математика или нейните приложения. През 1735 г. на Академията е възложено да извърши спешни и много тромави астрономически изчисления за изчисляване на траекторията на кометата. Група академици поискаха тази работа в продължение на три месеца и Ойлер се ангажира да завърши работата за три дни - и го направи сам. Пренапрежението обаче не мина без следа: той се разболя и загуби зрението си в дясното око. Ученият реагира с нещастие с най-голямо спокойствие: „Сега ще бъда по-малко разсеян да правя математика“, каза той философски.<Рисунок 11 >.

През 1736 г. Ойлер ни представи добре познатото наименование. Той изчисли до 153 знака след десетичната запетая. Това наименование се среща за първи път от английския математик Джонсън през 1706 г.

Казва се, че веднъж Леонард Ойлер, по време на безсъние, е изчислил шестата степен на първите 100 числа и е повторил резултатите много дни по-късно. По друг повод Ойлер, тествайки получената от него поредица, изчислява първите 20 цифри от числото в рамките на един час.

Ойлер кръгове

Една от творбите на Ойлер говори за кръгове, които „са много подходящи за улесняване на нашето мислене“. Тези кръгове обикновено се наричат \u200b\u200b"кръгове на Ойлер". Нека заедно решим следния проблем.

Задача:В класа има 40 души. От тях 19 души имат тризнаци по руски, 17 по математика и 22 по физика. Само един предмет има „Cs“: на руски език - 4 души, по математика - 4 души и по физика - 11 души. Седем души имат C по математика и физика, петима от тях имат C на руски език. Колко хора учат без „Cs“. Колко хора имат „тройки“ по два от трите предмета. Нека да разгледаме решението със следващия слайд<Рисунок 12 >.

Задание 3

Пребройте математиците. В класа има 35 ученици. От тях 20 са ангажирани в математически кръг, 11 - в биологичен, 10 деца не посещават тези кръгове. Колко биолози се занимават с математика? Изпълнението на тази задача отнема 5 минути. Максималният резултат е 5 точки.

Състоянието на проблема се появява на екрана и след това се обмисля неговото решение.<Рисунок 13 >.

Мостове в Кьонигсберг

Ето превод на латински текст, взет от писмо на Ойлер до италианския математик и инженер Маринони, изпратено от Петербург на 13 март 1736 г. : "Веднъж ми зададоха проблема с остров, разположен в град Кьонигсберг и заобиколен от река, през която са хвърлени седем моста. Въпросът е дали някой може непрекъснато да ги заобикаля, минавайки само веднъж през всеки мост. И веднага бях информиран, че все още никой не е успял да направи това, но никой не е доказал, че е невъзможно. Този въпрос, макар и тривиален, ми се струваше обаче достоен за внимание, тъй като нито геометрията, нито алгебрата, нито комбинаторното изкуство са достатъчни за неговото решение ... След дълги размишления намерих лесно правило, основано на напълно убедително доказателство, с помощта на което при всички проблеми от този род човек може веднага да определи дали подобно отклонение може да бъде извършено чрез произволен брой и произволно разположени мостове или не. "

Ако броят на островите, свързани с мостове, е повече от два, тогава за решаването на проблема е необходимо да се изчисли колко мостове водят до всеки остров. Ако четен брой мостове водят до всеки остров, тогава е възможен обход и можете да го стартирате от всеки остров. Ако нечетен брой мостове водят до два острова, тогава е възможен обход и той трябва да започне от всеки остров, до който водят нечетен брой мостове. Ако има повече от две области, до които води нечетен брой мостове, тогава посоченият преход не е възможен.
В нашия проблем има общо 4 острова: A, B, C, D. Броят на мостовете, водещи съответно до тези участъци: 5, 3, 3, 3, което означава, че е невъзможно да се заобиколи.<Рисунок 14 >.

Задание 4

Разберете дали можете да заобиколите всички мостове, като посетите всеки от тях само веднъж в следващите случаи.<Рисунок 15 >, <Рисунок 16 >... Изпълнението на всяка задача отнема 1 минута. За всяка задача - 2 точки.

Теория на графиките

Теорията на графиките е сравнително млада наука. Първата работа по теория на графовете принадлежи на Леонард Ойлер. Той се появява през 1736 г. в публикациите на Академията на науките в Санкт Петербург и започва с изследване на проблема с мостовете на Кьонигсберг. Графиките направиха условията ясни, опростиха решението и разкриха сходството на проблемите. В днешно време в почти всеки клон на науката и техниката се срещат графики: в електротехниката при конструиране на електрически вериги, в химията - при изучаване на молекулите и техните вериги, в икономиката - при решаване на проблеми при избора на оптимален път за потоците от товарни превози. Графиката е форма, съставена от точки и линии.

Нека решим следния проблем:

В училищния драматичен кръг решават да поставят Гогол „Главният инспектор“. И тогава избухна разгорещен дебат. Всичко започна с Ляпкин-Тяпкин.

- Ще бъда Ляпкин-Тяпкин! - реши решително Дима. ОТ ранно детство Мечтаех да реализирам този образ на сцената.
- Е, добре, съгласен съм да се откажа от тази роля, ако ми позволят да играя Хлестаков, Гена показа щедрост.
- ... И на мен - Осипа, - Дима не му отстъпи щедро.
- Искам да бъда ягода или губернатор - каза Вова.
"Не, аз ще бъда управител", извикаха Алик и Боря в един глас. - или Хлестаков, добавиха по едно и също време.

Ще бъде ли възможно да се разпределят ролите по този начин. За да зарадва изпълнителите?<Рисунок 17 >.

Ще изобразим всеки участник в драматичния кръг с точка и ще изобразим всичките им желания с редове. Вижда се, че Осип ще играе Дима, Вова - Ягода, Гена - Ляпкин - Тяпкин, Алик и Боря - Хлестаков и Городничи.

Задание 5

Решете следния проблем, като използвате графиките: В шампионата по клас тенис на маса има 6 участници: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Шампионатът се провежда в кръгла система - всеки от участниците играе веднъж с всеки от останалите. Изпълнението на тази задача отнема 5 минути. Максималният резултат е 5 точки.

Показва се решението на проблема<Рисунок 18 >.

През 1736 г. Ойлер публикува два тома „Аналитична механика“. В тази работа той прилага методите на математическия анализ за решаване на проблемите с движението в празно и съпротивителна среда. Тази работа е първата, която използва диференциално и интегрално смятане за описание на физическите явления.<Рисунок 19 >.

През 1738 г. се появяват два тома на "Ръководство за аритметика" немски, който е преведен на руски език и публикуван през 1740 г. като учебник за ученици в гимназията.

През 1739 г. Ойлер публикува книга по музикална теория, в която разглежда музиката като част от математиката.

През 1740 г. Ойлер публикува книга за приливите и отливите на моретата, за което получава награда от Парижката академия на науките.

Само за 14 години от първия петербургски период от живота си, Ойлер подготвя около 80 творби за публикуване и публикува над 50. Ойлер участва в много области от дейността на Петербургската академия на науките. Той изнасяше лекции пред студенти, участваше в различни технически изпити и работеше по съставянето на карти на Русия.

През 1741 г. Ойлер приема предложението на пруския крал Фридрих II да се премести в Берлин.

Берлински период

Докато живее в Берлин, Ойлер не спира да работи усилено за Петербургската академия на науките, запазвайки титлата на своя почетен член. Води обширна научна кореспонденция, в частност води кореспонденция с Яс Ломоносов, когото високо цени. С парите, които получава от Русия, Ойлер купува книги и инструменти за Академията, избира кандидати за академични длъжности и пише рецензии на научни трудове.

Ойлер въведе символика, близка до познатата ни, напълно изясни въпроса за знаците на тригонометричните функции на всеки аргумент. Предшествениците на Ойлер разбирали тригонометричните функции като изображения на линии в кръг с определен радиус, наричайки го „пълен синус“. Сега обаче тригонометричните функции съставляват само определен клас аналитични функции, както реални, така и сложни аргументи. През 1748 г., благодарение на Ойлер, се използват познатите обозначения за синус и косинус, а през 1753 г. - котангенсът.

Задание 6

Начертайте тези функции в една координатна система<Рисунок 20 >... Изпълнението на тази задача отнема 10 минути. Максималният резултат е 10 точки.

От фигурата може да се види, че при стойности на x, близки до единица, графиките на тези функции почти съвпадат<Рисунок 21 >... Ойлер получава представяне на тригонометричните функции синус и косинус като сбор от функции, като полином.<Рисунок 22 >, <Рисунок 23 >.

В Берлинската академия на науките Леонард Ойлер ръководи обсерваторията и ботаническата градина, занимава се с публикуването на различни географски и календари. През този период Ойлер публикува 380 научни статии, пише книги по математически анализ, корабостроене и навигация и движението на Луната.<Рисунок 24 >.

Резултатите, получени от Ойлер, се използват в космическите изследвания. По-специално, за управление самолет необходимо е да се намери най-добрият (оптимален) контрол. Л. Ойлер се развива през 1726-1744. общ метод решаване на екстремни проблеми.

Например, движейки се по циклоида, под действието на гравитацията, тялото ще се спусне от една точка в друга за възможно най-кратко време.

Ойлер откри формула, чрез която може да се изчисли силата, наречена критична, под действието на която колоната започва да се огъва и нейната ос приема формата на синусоида.
Разрастването на авторитета на Ойлер намира своеобразно отражение в писмата на неговия учител И. Бернули до него. През 1728 г. Бернули се обръща към „учения и надарен млад съпруг Леонард Ойлер“, през 1737 г. - към „най-известния и остроумен математик“, а през 1745 г. - към „несравнимия Леонард Ойлер, главата на математиците“.

Задание 7

Разберете, като завършите необходимата конструкция върху коя права в произволен триъгълник лежат следните три точки: точката на пресичане на височини, точката на пресичане на медианите, центърът на описаната окръжност. Изпълнението на тази задача отнема 5 минути. Максималният резултат е 5 точки.
В произволен триъгълник точката на пресичане на височини, точката на пресичане на медианите и центърът на описаната окръжност лежат на една права линия. Тази линия се нарича линия на Ойлер.<Рисунок 25 >.

Втори петербургски период от живота

Ойлер се завръща в Русия през 1766 година. Той донася в Санкт Петербург много ръкописи, които не успява да публикува в Берлин. Въпреки напредналата си възраст и почти пълна слепота, той работеше продуктивно до края на живота си.

През 1767 г. Ойлер пише учебник по алгебра „Универсална аритметика“. Тази книга от Ойлер е публикувана на руски през 1768 г., на немски през 1770 г. Преведена на френски, английски, испански. Препечатано 30 пъти на 6 европейски езика.<Рисунок 26 >.

През 1776 г. Леонард Ойлер е един от експертите по проекта на едноарочен мост през Нева, предложен от И. Кулибин, и един от цялата комисия оказва широка подкрепа за проекта.

През 1777г. Ойлер въвежда обозначението на въображаемата единица i и записва известната си формула, която Лагранж нарича едно от най-добрите изобретения на 18 век. Академик Крилов смята, че тази изумителна формула съчетава аритметика (–1), геометрия (P), алгебра (квадратният корен от минус един е равен на въображаемата единица), анализ (e).<Рисунок 27 >.

Кръгът на Ойлер, обхващащ всички катедри по съвременна математика и механика,
теория на еластичността, математическа физика, оптика, теория на музиката, теория на машините, балистика, морска наука, застраховане и др.

Задание 8

Необходимо е да се изберат 5 тежести, така че с тяхна помощ да е възможно да се претегли товар до 30 кг, при условие че тежестите се поставят само върху една скала. Ойлер предлага да се вземат следните тежести: 1 кг, 2 кг, 4 кг, 8 кг, 16 кг. Опитайте се да „претеглите“ товари от 1 до 30 килограма с тези тежести. За всеки верен отговор 1 точка. Изпълнението на тази задача отнема 5 минути.

През 1777 г. Ойлер, бидейки сляп, подготвя около 100 статии, т.е. почти 2 статии на седмица! За 17 години от втория си престой в Санкт Петербург Леонард Ойлер подготвя около 400 творби.<Рисунок 28 >.

Заслугите на Ойлер като виден учен и организатор на научни изследвания бяха високо оценени приживе. В допълнение към академиите в Санкт Петербург и Берлин, той е бил член на най-големите научни институции: Парижката академия на науките, Лондонското кралско общество и други.<Рисунок 29 >... 3/5 от творбите на Ойлер са свързани с математиката, останалите 2/5 с нейните приложения.

Доминик Араго каза: „Ойлер изчисли без видими усилия как човек диша или как орел се издига над земята“.

Задание 9

Разберете на коя права в произволен триъгълник лежат: основите на височините, основите на медианите, средните точки на сегментите, свързващи точката на пресичане на височините на триъгълника с неговите върхове. Изпълнението на тази задача отнема 10 минути. Максималният резултат е 10 точки.

В произволен триъгълник основите на медианите, основите на височините, както и средните точки на сегментите, свързващи точката на пресичане на височините на триъгълника с неговите върхове, лежат на една и съща окръжност. Нарича се кръг на Ойлер.<Рисунок 30 >.

Леонард Ойлер умира на 18 септември 1783 г. Френският математик Кондорсе каза: „Ойлер спря да изчислява и да живее“. Погребан е на смоленското гробище в Санкт Петербург. Надписът на паметника гласеше: „На Леонард Ойлер - Академия в Санкт Петербург“. Академик Вавилов ще каже по-късно: „Заедно с Петър I и Ломоносов, Ойлер се превърна в любезния гений на нашата академия, който определи нейната слава, нейната сила, нейната производителност“.<Рисунок 31 >... След 50 години е открито, че гробът е загубен и е открит само случайно. По-късно останките на Ойлер са пренесени в некропола на Александър Невската лавра, където днес можете да видите гроба му.

18 век с право може да се нарече век на Ойлер. Той оказа голямо и ползотворно влияние върху развитието на математическото образование в Русия. Кратер в далечната страна на Луната е кръстен на Ойлер. М. В. Остроградски пише, че „Ойлер създаде съвременен анализ и направи от него най-мощния апарат на човешкия ум. Той единствено обхвана анализа изцяло и посочи многобройните и разнообразни приложения. "

През 1909 г. Швейцарското природонаучно общество започва да публикува пълните трудове на Ойлер, което е завършено през 1975 г. и се състои от 72 тома. Известният френски учен П. Лаплас каза: „Прочетете, прочетете Ойлер, той е нашият общ учител“. Няколко поколения са учили от книгите на Ойлер и основното съдържание на тези книги е включено в съвременните учебници.

През септември 1983 г. целият свят отбеляза 200-годишнината от смъртта на великия математик от Санкт Петербург Леонардо Ойлер. Специално създаденият комитет на Ойлер при Академията на науките на ГДР проведе научна конференция с участието на чуждестранни математици. За откриването на конференцията бе издаден възпоменателен медал от порцелан Meissen.<Рисунок 32 >... Публикувана е марка с портрет на Ойлер и една от най-известните му формули, както и пликове с факсимилета с неговия подпис и релефен портрет.<Рисунок 33 >.

2007 г. отбеляза 300 години от великия математик Леонхард Ойлер.

Обобщаване на играта

Журито изчислява точките и обобщава резултатите

Литература:

„Математика“. Учебно-методически вестник. Специален брой за 300-годишнината на Леонард Ойлер. № 6, 2007.
Алхова З. Н., Макеева А. В. Извънкласна работа по математика. - Саратов, АД Лицей, 2002.
Bavrin I.I., Fribus E.A. Стари математически задачи. - М.: Образование, 1994.
Bavrin I.I., Fribus E.A. Забавни задачи по математика. - М.: Владос, 2003.
Никифоровски В.А. В света на уравненията. - М .: Наука, 1987.
Смишляев В.К. За математиката и математиците. - Йошкар-Ола, книгоиздателство Мари, 1977 г.

Най-великият математик в света: Леонард Ойлер

Резюме по курса "Математика"

Изпълнено от студент гр. 2d21 22.12.12

Проверено

Томск - 2012

Въведение

Леонард Ойлер () - математик, механик, физик и астроном. Швейцарски по произход.

През 1726 г. Леонард Ойлер е поканен в Академията на науките в Санкт Петербург и през 1727 г. се премества в Русия. Бил е сътрудник (1726), а през 1731-41 и от 1766 академик на Петербургската академия на науките (през 1742-66 чуждестранен почетен член) През 1741-66 работи в Берлин, член на Берлинската академия на науките.

Л. Ойлер е учен с изключителна широта на интересите и творческата продуктивност. Той е автор на над 800 статии по математически анализ, диференциална геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математическа физика, оптика, балистика, корабостроене, музикална теория и други, които са оказали значително влияние върху развитието на науката. По време на съществуването на Академията на науките в Русия той се смята за един от най-известните й членове.

Леонард Ойлер стана първият, който в своите произведения започва да издига последователно здание на анализа на безкрайно малкото. от най-дълбоките научни постижения на човечеството.

Биография

Работата на Ойлер „За ортогоналните траектории“ от 1769 г. съдържа брилянтни идеи за получаване, използвайки функция на сложна променлива, от уравнения две взаимно ортогонални семейства криви на повърхността (тоест линии като меридиани и паралели на сфера) безкраен брой други взаимно ортогонални семейства. Тази работа в историята на математиката се оказа много важна.

В следващата работа от 1771 г. „За тела, чиято повърхност може да се превърне в равнина“, Леонард Ойлер доказва известната теорема, че всяка повърхност, която може да бъде получена само чрез огъване на равнина, но не и разтягане или компресиране, ако тя не е конична и не цилиндрична, е набор от допирателни към някаква пространствена крива.

Също толкова забележителна е работата на Ойлер по картографиране.

Може да си представим какво откровение за математиците от онази епоха е била поне работата на Ойлер върху кривината на повърхностите и върху развиващите се повърхности. Документите, в които Ойлер изследва повърхностни картографирания, които запазват сходство в малките (конформни картографирания), базирани на теорията за функциите на сложна променлива, би трябвало да изглеждат направо трансцендентални. И работата по многогранниците започва изцяло нова част от геометрията и по отношение на нейните принципи и дълбочина стои редом с откритията на Евклид.

Неуморимостта и постоянството в научните изследвания на Леонард Ойлер бяха такива, че през 1773 г., когато къщата му изгоря и почти цялото имущество на семейството му загина, той продължи да диктува своите изследвания дори след това нещастие. Скоро след пожара опитен окулист, барон Венцел, извърши операция по катаракта, но Ойлер не издържа на подходящото време, без да прочете и ослепя напълно.

През същата 1773 г. умира съпругата на Ойлер, с която той живее четиридесет години. Три години по-късно той се жени за сестра й Саломе Гзел. Завидното здраве и щастливото разположение помогнаха на Леонард Ойлер „да устои на ударите на съдбата, попаднали на неговата участ. Винаги равномерно настроение, мека и естествена жизнерадост, някаква добродушна подигравка, способността да разказва наивно и забавно направи разговора с него толкова приятен, колкото беше желателен ... "Понякога можеше да пламне, но" не можеше да възпитава някого дълго време. или гняв ... "- спомня си той.

Ойлер е бил постоянно заобиколен от многобройни внуци, често дете е седяло в ръцете му, а котка лежи на врата му. Самият той е учил математика с деца. И всичко това не му попречи да работи.

Леонард Ойлер умира на 18 септември 1783 г. от инсулт в присъствието на своите асистенти професори Крафт и Лексел. Той е погребан на смоленското лутеранско гробище. (Лутеранството е най-големият клон на протестантизма. Основан от Мартин Лутер през 16 век). Академията поръча на известен скулптор, който добре познаваше Ойлер, мраморен бюст на починалия, а принцеса Дашкова представи мраморен пиедестал.

До края на 18-ти век той остава секретар на конференцията на Академията, който е заменен от женен за дъщерята на последната, а през 1826 г. - от сина му, така че потомците на Леонард Ойлер отговарят за организационната страна на живота на Академията за около сто години. Традициите на Ойлер оказват силно влияние върху учениците на Чебишев: А. М. Ляпунов и други, определящи основните характеристики на математическата школа в Санкт Петербург.

Заключение

Няма учен, чието име да се споменава в учебната математическа литература толкова често, колкото името на Ойлер. Дори в гимназията логаритмите и тригонометрията все още се изучават до голяма степен „според Ойлер“.

Леонард Ойлер намери доказателства за всички теореми на Ферма, показа неправилността на една от тях и доказа прочутата последна теорема на Ферма за „три“ и „четири“. Той също така доказа, че всяко просто число от формата 4n + 1 винаги се разлага в сумата на квадратите на другите две числа.

Л. Ойлер започва последователно да изгражда елементарна теория на числата. Започвайки с теорията за мощните остатъци, той след това се насочва към квадратни остатъци. Това е така нареченият квадратичен закон за реципрочност. Ойлер също прекарва много години в решаване на неопределени уравнения от втора степен в две неизвестни.

Във всички тези три основни въпроса, които повече от два века след Ойлер и съставляват по-голямата част от елементарната теория на числата, ученият стигна много далеч, но и при трите не успя. Гаус и Лагранж получиха пълно доказателство.

Ойлер инициира създаването на втората част от теорията на числата - аналитична теория на числата, в която най-дълбоките тайни на цели числа, например разпределението на прости числа в редицата от всички естествени числа, се получават от разглеждането на свойствата на определени аналитични функции.

Аналитичната теория на числата, създадена от Леонард Ойлер, продължава да се развива и днес.

Ойлер изчисли без видимо усилие как човек диша или как орел витае над земята.

Доминик Араго

Математическите формули на Ойлер живеели собствения си живот и му разказвали важни и съществени данни за същността на нещата. Достатъчно му беше само да ги докосне, тъй като те се превръщаха от неми букви в красноречиви фрази, даващи дълбок и значим отговор на различни въпроси.

Съвременникът на Ойлер

Заедно с Петър I и Ломоносов, Ойлер се превърна в любезния гений на нашата Академия, който определи нейната слава, силата и производителността.

S.I. Вавилов

Леонард Ойлер (15 април 1707 г. - 18 септември 1783 г.) е швейцарски, немски и руски учен, който допринася значително за развитието на математиката, както и на механиката, физиката, астрономията и редица приложни науки. Той е първият, който в своите творби започва да издига последователна сграда на анализа на безкрайно малкото. Едва след неговите изследвания, изложени в грандиозните томове на неговата трилогия „Въведение в анализа“, „Диференциално смятане“ и „Интегрално смятане“, анализът се превърна в напълно оформена наука - едно от най-дълбоките научни постижения на човечеството. Прекарва почти половината от живота си в Русия, където допринася значително за формирането руска наука... Ойлер знае добре руски и публикува някои от своите произведения (особено учебници) на руски. Първите руски академични математици (С. К. Котелников) и астрономи (С. Я. Румовски) са ученици на Ойлер. Някои от потомците на Ойлер все още живеят в Русия.

Леонард Ойлер е роден в швейцарския град Базел. Баща му Пол Ойлер е бил пастор в Рихен (близо до Базел) и е имал известни познания по математика. Бащата е предназначил сина си за духовна кариера, но, интересувайки се от математиката, той я е преподавал на сина си, надявайки се, че по-късно тя ще му бъде полезна като интересен и полезен урок. След като завършва домашното си обучение, тринадесетгодишният Леонард е изпратен от баща си в Базел да учи философия.

Сред другите предмети в този факултет се изучават елементарна математика и астрономия, които се преподават от Йохан Бернули. Скоро Бернули забеляза таланта на младия слушател и започна да учи заедно с него.

След като получи магистърска степен през 1723 г., след като изнесе реч в латински за философията на Декарт и Нютон, Леонард, по молба на баща си, започва да изучава ориенталски езици и теология. Но все повече го привличаше математиката. Ойлер започва да посещава дома на своя учител и между него и синовете на Йохан Бернули - Николай и Даниел - възниква приятелство, което изиграва много важна роля в живота на Ойлер.

През 1725 г. братята Бернули бяха поканени да станат членове на Академията на науките в Санкт Петербург, наскоро основана от императрица Екатерина I. Напускайки, Бернули обеща Леонард да го уведоми, ако има подходяща окупация за него в Русия. На следващата година те съобщиха, че има място за Ойлер, но обаче като физиолог в медицинския отдел на академията. Научавайки за това, Леонард веднага се записва като студент по медицина в университета в Базел. Усърдно и успешно изучавайки науките на Медицинския факултет, Ойлер намира време за математически изследвания. През това време той написва дисертация за разпространението на звука и изследване за поставянето на мачти на кораб, публикувано по-късно, през 1727 г., в Базел.

В столицата Руска империя младият специалист, който за по-малко от година се научи да говори свободно руски, веднага беше натоварен с работа и не винаги свързана с математиката. Недостигът на специалисти доведе до факта, че ученият или беше натоварен с картографски задачи, или поиска писмени съвети за корабостроителите и артилеристите, или възложи изграждането на пожарни помпи, или дори задължи изготвянето на съдебни хороскопи. Всички тези задачи Ойлер изпълняваше щателно и само изискванията по въпросите на астрологията бяха категорично пренасочени към придворните астрономи. Прогнозите в Русия винаги са били въпрос на повишена опасност и са изисквали специални грижи.

В Санкт Петербург имаше най-благоприятните условия за процъфтяването на гения на Ойлер: материална сигурност, възможност да прави това, което обича, наличието на годишно списание за публикуване на произведения. Най-голямата група специалисти в областта на математическите науки в света, която включваше Даниел Бернули (брат му Николай почина през 1726 г.), универсалният Х. Голдбах, с когото Ойлер беше свързан с общи интереси в теорията на числата и други въпроси, автор на произведения от тригонометрия F.Kh. Майер, астроном и географ Дж. Деслил, математик и физик Г.В. Крафт и други. Оттогава Санкт Петербургската академия се превърна в един от основните центрове по математика в света.

Откритията на Ойлер, които благодарение на оживената му кореспонденция често стават известни много преди публикуването, правят името му все по-широко известно. Положението му в Академията на науките се подобрява: през 1727 г. той започва работа като адюнкт, тоест младши академик, а през 1731 г. става професор по физика, т.е. пълноправен член академия. През 1733 г. той получава катедрата по висша математика, която е заета от Д. Бернули, който се завръща в Базел същата година. Разрастването на авторитета на Ойлер намира своеобразно отражение в писмата до него от неговия учител Йохан Бернули. През 1728 г. Бернули се обръща към „най-учения и надарен млад съпруг Леонард Ойлер”, през 1737 г. - към „най-известния и най-остроумният математик”, а през 1745 г. - към „несравнимия Леонард Ойлер - главата на математиците”.

През 1735 г. академията трябваше да извърши много тежка работа чрез изчисляване на траекторията на кометата. Според академиците това изисквало няколко месеца труд. Ойлер се задължава да направи това за три дни и завършва работата, но в резултат на това се разболява от нервна треска с възпаление на дясното око, което губи. Малко след това, през 1736 г., се появяват два тома от неговата аналитична механика. Имаше голяма нужда от тази книга; бяха написани доста статии по различни въпроси на механиката, но нямаше добър трактат по механика.

През 1738 г. на немски език се появяват две части на въведение в аритметиката, а през 1739 г. се появява нова музикална теория. След това, през 1840 г., Ойлер пише есе за приливите и отливите на моретата, увенчано с една трета от наградата на Френската академия; останалите две трети бяха присъдени на Даниел Бернули и Маклорин за композиции на същата тема.

В края на 1740 г., след смъртта на императрица Анна Йоанновна, младият Йоан IV става цар. Регент Йоан Анна Леополдовна, управлявала империята по това време, не обръща внимание на науките и Академията постепенно се разпада. „Нещо опасно беше предвидено“, пише по-късно Ойлер в автобиографията си. "След смъртта на прославената императрица Анна, по време на регентството, което последва ... ситуацията започна да изглежда несигурна." Затова ученият приел поканата на Фридрих като подарък на съдбата и незабавно подал петиция, в която той написал: „Заради това съм принуден, както заради лошото здраве, така и при други обстоятелства, да търся най-приятния климат и да приема призива, отправен към мен от Негово Кралско Величество Прусия. Заради това моля най-любезно Императорската академия на науките да ме уволни и да осигури преминаването на моето и моето семейство с необходимия паспорт.

Въпреки общото хладно отношение към науката, държавната администрация изобщо не искаше да пусне вече така признатото световно светило. От друга страна беше невъзможно да не се пусне. Следователно, в резултат на кратки преговори, математикът успя да получи обещание, дори докато живееше в Берлин, да помага на Русия по всякакъв възможен начин. В замяна му беше присъдено званието почетен член на Академията със заплата от 200 рубли. И накрая, на 29 май 1741 г. всички документи бяха коригирани и още през юни Ойлер, заедно с цялото си семейство, съпруга, деца и четири племенници, пристигна в Берлин.

Те казват, че когато на бал, проведен в чест на пристигането на известния математик Леонхард Ойлер в Берлин, кралицата-майка попита учения защо е толкова сдържан, той отговори: „Извинете, но току-що дойдох от страна, където за излишна дума може да виси. " 25 години по-късно обаче той отново се завърна в тази „ужасна страна“. Толкова голямо беше привличането на Русия за него.

В Берлин Ойлер първо събра около себе си малко научно общество, а след това беше поканен в нововъзстановената Кралска академия на науките и беше назначен за декан на математическия отдел. През 1743 г. той публикува пет от своите мемоари, четири от които по математика. Едно от тези произведения е забележително в две отношения. Той посочва метод за интегриране на рационални фракции чрез разширяването им в частични фракции и в допълнение очертава обичайния сега метод за интегриране на линейни обикновени уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти.

Като цяло повечето трудове на Ойлер са посветени на анализ. Ойлер толкова опрости и допълни цели големи раздели от анализа на безкрайно малкото, интегрирането на функции, теорията на редовете и диференциалните уравнения, които бяха започнали преди него, че те придобиха приблизително формата, която до голяма степен запазват и до днес. Освен това Ойлер започна едно цяло нова глава анализ - вариационно смятане. Скоро тази инициатива е подхваната от Лагранж и по този начин се формира нова наука.

През 1744 г. Ойлер публикува в Берлин три произведения за движението на светилата: първо, теорията за движението на планетите и кометите, която съдържа описание на метод за определяне на орбити от няколко наблюдения; втората и третата са за движението на комети.

Ойлер посвещава седемдесет и пет произведения на геометрията. Някои от тях, макар и любопитни, не са особено важни. Някои просто измислиха ера. Първо, Ойлер трябва да се счита за един от пионерите в изследванията на геометрията в космоса като цяло. Той беше първият, който представи последователно представяне на аналитичната геометрия в пространството (във „Въведение в анализа“) и, по-специално, въведе така наречените ъглови ъгли, които правят възможно изучаването на въртенията на тялото около дадена точка.

В своята работа от 1752 г. „Доказателство за някои забележителни свойства на тела, ограничени от плоски лица“, Ойлер открива връзката между броя на върховете, ръбовете и лицата на многогранник: сумата от броя на върховете и лицата е равна на броя на ръбовете плюс две... Такова съотношение беше предложено от Декарт, но Ойлер го доказа в мемоарите си. В известен смисъл това е първата голяма теорема на топологията в историята на математиката, най-дълбоката част от геометрията.

Занимавайки се с проблемите на пречупването на светлинните лъчи и написвайки много спомени по този въпрос, Ойлер публикува есе през 1762 г., в което предлага изграждането на сложни лещи с цел намаляване на хроматичната аберация. Английският художник Долдонд, който открива две различни пречупващи качества на стъклото, следвайки инструкциите на Ойлер, изгражда първите ахроматични лещи.

През 1765 г. Ойлер пише есе, където решава диференциалните уравнения на въртене на твърдо тяло, които се наричат \u200b\u200bуравнения на Ойлер на въртене на твърдо тяло.

Ученият писа много за огъването и вибрациите на еластичните пръти. Тези въпроси са интересни не само математически, но и практически.

Фридрих Велики дава на учения инструкции от чисто инженерен характер. И така, през 1749 г. той му инструктира да инспектира канала Фуно между Хавел и Одер и да даде препоръки за коригиране на недостатъците на този воден път. Освен това, той е инструктиран да оправи водоснабдяването в Sanssouci.

Това доведе до повече от двадесет спомена за хидравликата, написани от Ойлер през различно време... Хидродинамичните уравнения от първи ред с частични производни на проекциите на скорост, плътност към налягане се наричат \u200b\u200bхидродинамични уравнения на Ойлер.

След като напуска Санкт Петербург, Ойлер запазва най-тесните връзки с Руската академия на науките, включително официалната: той е неин почетен член, получава голяма годишна пенсия и от своя страна изпълнява задълженията си относно по-нататъшното сътрудничество. Преди да напусне Русия, ученият стриктно спази думата си. Той купува книги, физически и астрономически устройства за нашата академия, подбира служители в други държави, докладва подробни характеристики на възможните кандидати, редактира математическия отдел на академичните бележки, действа като арбитър в научните спорове между учените от Санкт Петербург, изпраща теми за научни състезания, както и информация за ново научни открития.

Млади руски учени, изпратени за обучение, живееха в къщата на Ойлер на пълен пансион. Именно тук той се срещна и се сприятели с обещаващ ученик на московските „Спаски училища“ Михаил Ломоносов, при когото най-вече отбеляза „щастлива комбинация от теория с експеримент“. Когато през 1747 г. граф Разумовски, президент на Академията на науките, го помоли да даде своето мнение по статиите на младия учен, Ойлер ги похвали много силно:

Всички тези дисертации са не само добри, но и много отлични, тъй като той (Ломоносов) пише за физически и химически въпроси, които са много необходими, които до този момент не са знаели и не могат да бъдат тълкувани от най-гениалните хора, което той направи с такъв успех, че аз напълно Сигурен съм в справедливостта на обясненията му. В този случай на г-н Ломоносов трябва да се отдаде справедливост, че той има отличен талант да обяснява физични и химични явления. Трябва да се пожелае другите академии да могат да издават такива откровения, както показа г-н Ломоносов.

Трябва да кажа, че много арогантният, горд и труден за общуване Михаил Василиевич също обичаше своя учител в Берлин до края на дните си, пишеше му приятелски писма и го смяташе за един от най-големите учени в света.

В кореспонденцията на Ойлер с неговия приятел, академик от Академията на науките в Санкт Петербург, Голдбах, откриваме два известни „проблема на Голдбах“: да докажем, че всяко нечетно естествено число е сумата от три прости числа, а всяко четно е две. Първото от тези твърдения е доказано с помощта на много забележителен метод още в наше време (1937 г.) от академик И.М. Виноградов, а вторият все още не е доказан.

Европейската слава и признаването на заслугите на Ойлер непрекъснато нарастваха. Но това по никакъв начин не се отрази на студеното отношение на властните кралски лица на Прусия към него. Когато през 1759 г. президентът на Берлинската академия на науките Маупертуис умира, Фридрих II дълго време не може да намери заместител. Френският учен-енциклопедист Жан д'Аламбер, към когото на първо място се обърна кралят, отказа изкусителното предложение, вярвайки, че в Берлин има по-достоен кандидат за този пост. Накрая Фредерик се примири и даде на Ойлер ръководството на Академията. Но той категорично отказа да присвои титлата президент.

В Русия обаче Ойлер беше запомнен и сътрудничеството с него беше високо оценено. Така че по време на седем години война Руската артилерия случайно разруши къщата на учения в Шарлотенбург (предградие на Берлин). Фелдмаршал Салтиков, който научи за това, веднага компенсира учения за всички нанесени загуби. И когато новината за неуспешния обстрел достигна императрица Елизабет, тя си нареди да изпрати още 4000 рубли на берлински приятел, което беше огромна сума.

През 1762 г. на руския престол се възкачва Екатерина II, която мечтае да създаде „просветена монархия“ в страната. Тя възприема завръщането в страната на виден математик като една от най-важните си задачи. Затова скоро Ойлер получи много интересно предложение от нея: да води математически клас, като същевременно получава титлата секретар на конференцията в Академията и заплата от 1800 рубли годишно. „И ако не ви харесва“, каза тя в инструкциите си към дипломатическите представители, „тя има удоволствието да обяви условията си, така че той да не се колебае да пристигне в Санкт Петербург“.

Ойлер наистина с удоволствие изложи контраусловия:

Вицепрезидент на Академията със заплата от 3000 рубли;

Годишна пенсия от 1000 рубли на съпруг в случай на смърт;

Платени позиции за тримата му синове, включително секретар на академия за старши.

Подобна наглост от страна на някой математик ядоса представителя на императорската администрация, виден руски дипломат граф Воронцов. Самата императрица обаче мислеше по различен начин. „Писмото до г-н Ойлер - писа тя до графа - ми достави голямо удоволствие, защото научавам от него за желанието му да се присъедини към моята служба. Разбира се, намирам го за напълно достоен за желаното звание вицепрезидент на Академията на науките, но за това трябва да се вземат някои мерки, преди да установя това звание - казвам, че ще го направя, тъй като досега то не съществуваше. При сегашното състояние на нещата няма пари за заплата от 3000 рубли, но за човек с такива заслуги като г-н Ойлер ще добавя към академичната заплата от държавни приходи, които заедно ще възлизат на необходимите 3000 рубли ... Сигурен съм, че моята Академия ще се възроди от пепелта от такова важно придобиване и аз предварително се поздравявам, че върнах велик човек в Русия. "

След като получи уверения, че всички негови условия са приети на най-високо ниво, Ойлер незабавно пише на Фридрих оставка. Може би поради нежеланието да пусне видния учен да си отиде, може би поради негативно отношение към него и най-вероятно от всичко това заедно, кралят не просто отказа, а конкретно пренебрегна призива на Ойлер, без да му даде никакъв отговор. Ойлер написа друга петиция. Със същия резултат. Тогава математикът просто демонстративно спря да работи в Академията. Накрая самата Катрин се обърна към краля на Прусия с молба да освободи учения. Едва след такава висока намеса Фредерик позволи на математика да напусне Прусия.

През юли 1766 г. ученият, заедно със 17 членове на домакинството, пристига в Санкт Петербург. Веднага след пристигането той е приет от императрицата. Катрин, сега Втора, го поздрави като август и го обсипа с услуги: тя отпусна 8000 рубли, за да купи къща за Остров Василиевски и за придобиване на обзавеждане, осигури за първи път един от нейните готвачи и инструктира да подготви съображения за реорганизацията на Академията.

Най-големият от синовете му, Йохан Албрехт, стана академик в областта на физиката, Карл зае висока позиция в медицинския отдел, Кристофър, който е роден в Берлин, Фридрих II не го пуска дълго време. военна служба, и беше необходима още една намеса на Катрин II, за да може той да дойде при баща й. Кристофър е назначен за директор на оръжейната фабрика в Сестрорецк.

За съжаление, след завръщането си в Санкт Петербург, Ойлер развива катаракта в лявото си око - почти спира да вижда.

Ойлер със своите гениални способности и забележителна памет продължава да работи, диктувайки новите си мемоари. Само от 1769 до 1783 г. Ойлер диктува около 380 статии и есета и през живота си пише около 900 научни труда.

Работата на Ойлер „За ортогоналните траектории“ от 1769 г. съдържа брилянтни идеи за получаване, използвайки функция на сложна променлива, от уравнения две взаимно ортогонални семейства криви на повърхността (т.е. линии като меридиани и паралели на сфера) безкраен брой други взаимно ортогонални семейства. Тази работа в историята на математиката се оказа много важна.

В следващата работа от 1771 г. „За тела, чиято повърхност може да се разшири в равнина“, Ойлер доказва известната теорема, че всяка повърхност, която може да бъде получена само чрез огъване на равнина, но не и разтягане или компресиране, ако тя не е конична и цилиндрична , е набор от допирателни към някаква пространствена крива.

Работата на Ойлер по проекции на карти е също толкова забележителна.

Може да си представим какво откровение за математиците от онази епоха е поне работата на Ойлер върху кривината на повърхностите и върху разгъващите се повърхности. Документите, в които Ойлер изследва повърхностни картографирания, които запазват сходство в малките (конформни картографирания), базирани на теорията за функциите на сложна променлива, би трябвало да изглеждат направо трансцендентални. И работата по многогранниците започва изцяло нова част от геометрията и по отношение на нейните принципи и дълбочина стои редом с откритията на Евклид.

През 1771 г. в живота на Ойлер се случват две значими събития. През май в Санкт Петербург избухва голям пожар, който унищожава стотици сгради, включително къщата на Ойлер и почти цялото му имущество. Самият учен е спасен с мъка. Всички ръкописи бяха защитени от огън; изгоряла само част от „Новата теория за движението на Луната“, но тя бързо била възстановена с помощта на самия Ойлер, който запазил феноменален спомен до дълбока старост. Ойлер трябваше временно да се премести в друга къща.

През септември същата година, по специалната покана на императрицата, известният немски окулист барон Венцел пристигна в Санкт Петербург за лечение на Ойлер. След прегледа той се съгласи да се подложи на операция на Ойлер и отстрани катарактата от лявото си око. Ойлер отново започна да вижда. Лекарят предписал да предпазва очите от ярка светлина, да не пише, да не чете - просто постепенно свиквайте с новото състояние. Няколко дни след операцията обаче Ойлер свали превръзката и скоро отново загуби зрението си. Този път - накрая.

През 1773 г., по препоръка на Даниел Бернули, ученикът на Бернули Никлаус Фус идва в Санкт Петербург от Базел. Това беше голям успех за Ойлер. Фъс притежава рядка комбинация от математически талант и способността да води практически дела, което му позволява веднага след пристигането му да се грижи за математическата работа на Ойлер. Скоро Фъс се жени за внучката на Ойлер. През следващите десет години - до смъртта си - Ойлер главно му диктува творбите, макар че понякога използваше „очите на най-големия си син“ и другите си ученици.

През 1773 г. умира съпругата на Ойлер, с която той живее четиридесет години. Три години по-късно той се жени за сестра й Саломе Гзел. Завидно здраве и щастлив характер помогнаха на Ойлер „да се противопостави на ударите на съдбата, които паднаха в неговата участ ... Винаги равномерно настроение, мека и естествена жизнерадост, вид добродушна подигравка, способността да разказва наивно и забавно направи разговора с него толкова приятен, колкото и желателен ... „Понякога можеше да пламне, но„ дълго време не можеше да прикрива злоба срещу никого ... “- спомня си Фъс.

Ойлер оставя най-важните трудове по най-разнообразните клонове на математиката, механиката, физиката, астрономията и редица приложни науки. Математически погледнато, 18 век е епохата на Ойлер. Ако преди него постиженията в областта на математиката са разпръснати и не винаги последователни, тогава Ойлер е първият, който свързва анализа, алгебрата, тригонометрията, теорията на числата и други дисциплини в една система и добавя много от собствените си открития. Оттогава значителна част от математиката се преподава „според Ойлер“.

Благодарение на Ойлер, общата теория на серията влезе в математиката, невероятно красивата формула на Ойлер:

и като следствие идентичността на Ойлер, свързваща пет основни математически константи:

операция на сравнение по модуло цяло число, пълна теория на непрекъснатите дроби, аналитична основа на механиката, множество методи за интегриране и решение на диференциални уравнения, брой д , обозначаване i за въображаемата единица, гама функцията с нейната среда и много други.

Всъщност той създаде няколко нови математически дисциплини - теория на числата, вариационно смятане, теория на сложните функции, диференциална геометрия на повърхностите, специални функции. Други области на неговата работа: Диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и др. Знанията на Ойлер бяха енциклопедични; освен математика, той изучава дълбоко ботаника, медицина, химия, музикална теория, много европейски и древни езици.

Биографи отбелязват, че Ойлер е бил виртуозен алгоритъм. Той неизменно се опитваше да доведе своите открития до нивото на конкретни изчислителни методи.

P.L. Чебишев пише: „Ойлер положи основите на всички изследвания, които съставят общата теория на числата“. Повечето математици от 18-ти век се занимават с разработването на анализ, но Ойлер пренася увлечението по древната аритметика през целия си живот. Благодарение на неговите писания интересът към теорията на числата се възражда до края на века.

Ойлер намери доказателства за всички теореми на Ферма, показа неправилността на една от тях и доказа прословутата последна теорема на Ферма за „три“ и „четири“. Ойлер стриктно доказва тези хипотези, обобщава ги значително и ги комбинира в значима теория на числата. Той опроверга хипотезата на Ферма, че всички числа на формуляра - просто; оказа се делимо на 641.

Той също така доказа, че всяко просто число от формата 4 н +1 винаги се разлага на сумата на квадратите на другите две числа.

Даде едно от решенията на проблема с четири кубчета.

Ойлер показа, че е възможно да се използват методи за математически анализ в теорията на числата, поставяйки основите на аналитичната теория на числата.

Той въведе функцията зета, обобщаването на която по-късно беше наречено Риман:

където с истински. Ойлер изведе разлагането за него:

където продуктът се поема върху всички прости числа стр... Благодарение на това той доказа, че сумата от поредица от обратни прости числа се различава.

Една от основните услуги на Ойлер за науката е монографията „Въведение в анализа на безкрайното малко” (1748). През 1755 г. е публикуван измененият „Диференциално смятане“, а през 1768 - 1770 г. - три тома „Интегрално смятане“. Взето заедно, това е фундаментален курс, добре илюстриран с примери, с обмислена терминология и символи, откъдето много е преминало в съвременните учебници. Всъщност в тези трудове са публикувани съвременни методи за диференциация и интеграция.

Основа естествени логаритми е бил известен още от дните на Нейпир и Джейкъб Бернули, но Ойлер е извършил толкова задълбочено изследване на тази най-важна константа, че оттогава тя е кръстена на него. Друга константа, която той изследва: константата на Ойлер - Mascheroni.

Ойлер споделя с Лагранж честта да открие вариационното смятане. През 1744 г. Ойлер публикува първата книга за вариационното смятане „Метод за намиране на криви с максимални или минимални свойства“.

Ойлер значително усъвършенства теорията за сериите и я разширява до сложната област, като по този начин получава известната формула на Ойлер. Математическият свят беше силно впечатлен от поредицата, обобщена за първи път от Ойлер, включително поредицата от обратни квадрати, които никога не са се поддавали на никого преди него:

Ойлер е първият, който широко използва мощни серии за изразяване на функции, например:

Съвременната дефиниция на експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции също е негова заслуга, както и тяхната символика и обобщение към сложния случай. Формулите, които често се наричат \u200b\u200bв учебниците като „условия на Коши - Риман“, биха били по-правилно наречени „условия на д’Аламбер - Ойлер“.

Той беше първият, който даде системната теория на интеграцията и използваните там техники, и намери важни класове на интегрируеми диференциални уравнения. Той откри интегралите на Ойлер - ценни класове специални функции, които възникват по време на интеграцията: бета функцията и гама функцията на Ойлер. Едновременно с Клеро той извежда условия за интегрируемост на линейни диференциални форми в две или три променливи (1739). Първите въведени двойни интеграли. Получи сериозни резултати в теорията на елиптичните функции, включително първите теореми за добавяне.

От по-късна гледна точка действията на Ойлер с безкрайни серии не винаги могат да се считат за правилни (анализът е обоснован само половин век по-късно), но феноменалната му математическа интуиция почти винаги му подсказва правилния резултат. Обаче не ставаше въпрос само за интуиция, Ойлер действаше тук съвсем съзнателно, в много важни аспекти разбирането му за значението на дивергентните редици и операциите с тях надминаха стандартното разбиране от XIX век и послужиха като основа за съвременната теория за дивергентните редици, разработена в края на XIX - началото на XX век.

Ойлер обръща много внимание на представянето на естествените числа като суми от специална форма и формулира редица теореми за изчисляване на броя на дяловете.

Той изследва алгоритми за изграждане на магически квадрати по метода на обхождане на шахматен рицар.

Когато решава комбинаторни задачи, той задълбочено изучава свойствата на комбинациите и пермутациите, въвеждайки под внимание числата на Ойлер.

Много от трудовете на Ойлер са посветени на математическата физика: механика, хидродинамика, акустика и пр. През 1736 г. е публикуван трактатът „Механика, или науката за движението, в аналитично изложение“, отбелязващ нов етап в развитието на тази древна наука. 29-годишният Ойлер изоставя традиционния геометричен подход към механиката и го поставя на строга аналитична основа. По същество от този момент механиката се превръща в приложна математическа дисциплина.

През 1755 г. публикува " Основни принципи движение на течности ”, което постави основата на теоретичната хидродинамика. Изведени са основните уравнения на хидродинамиката (уравнението на Ойлер) за течност без вискозитет. Анализират се системните решения за различни специални случаи.

Ойлер обобщава принципа на най-малкото действие, доста объркан, очертан от Мопертуис, и посочва неговото основно значение в механиката. За съжаление той не разкри вариационната природа на този принцип, но въпреки това привлече вниманието на физиците към него, които по-късно изясниха основната му роля в природата.

Ойлер работи усилено в областта на небесната механика. Той поставя основите на теорията за смущения, по-късно завършена от Лаплас, и разработва много точна теория за движението на Луната. Тази теория се оказа подходяща за решаване на спешния проблем с определяне на географската дължина в морето и британското адмиралтейство плати специална награда на Ойлер за това.

През 1757 г. Ойлер за първи път в историята намира формули за определяне на критичното натоварване при компресия на еластична пръчка. През тези години обаче тези формули не можеха да намерят практическо приложение.

Несъмнено Ойлер е един от най-блестящите математици на всички времена. В историята на точните науки името му е поставено до имената на Нютон, Декарт, Галилей. Той беше не само математик, но и физик и астроном. Неговите трудове оказват огромно влияние върху развитието на тези науки. Няма учен, чието име да се споменава в учебната математическа литература толкова често, колкото името на Ойлер. Великият френски математик Лаплас каза за работата на Ойлер:

Четете, четете Ойлер - той е нашият велик учител.

Почти сто години по-късно, когато в много страни - и най-вече в Англия - започнаха да строят железници, беше необходимо да се изчисли здравината на железопътните мостове. Моделът на Ойлер донесе практически ползи при провеждането на експерименти.

В началото на 1780-те години Ойлер все по-често се оплаква от главоболие и обща слабост. На 18 септември 1883 г. той проведе следобеден разговор с академик Андрей Лексел. Както математици, така и астрономи, те обсъдиха наскоро откритата планета Уран и нейната орбита. Ойлер изведнъж се почувства зле. Имаше време само да каже: „Умирам“, след което веднага загуби съзнание. Няколко часа по-късно, малко преди полунощ, го няма. Лекарите установили, че смъртта е настъпила от мозъчен кръвоизлив.

Той е погребан до първата си съпруга в смоленското лутеранско гробище на остров Василиевски. Академията възложи на известния скулптор Дж. Рачет, която познаваше добре Ойлер, получи мраморен бюст на починалия, а принцеса Дашкова представи мраморен пиедестал. На надгробния камък бяха изсечени думите: „Тук са погребани тленните останки на мъдрия, справедлив, известен Леонард Ойлер“.

През 1955 г. тленните останки на великия математик са пренесени в „Некропола на 18-ти век“ в Лазаревското гробище на Александър Невската лавра. Подменен е лошо запазеният надгробен камък.

Децата на математика останаха в Русия. Най-големият син, също талантлив математик и механик Йохан Ойлер (1734-1800), както обеща императрица Екатерина, беше секретарят на Императорската академия на науките, който беше заменен от Фус, а през 1826 г. - синът на Фус, Павел Николаевич, така че организационната страна на живота на академията е около потомците на Леонард Ойлер бяха начело на сто години. По-младият, Кристофър (1743-1808), се издигна до чин генерал-лейтенант и командваше оръжейната фабрика в Сестрорецк. Внук, Александър Христофорович (1773-1849) става артилерийски генерал, герой Отечествена война 1812 година. Друг потомък, въпреки че се завръща в родината на своите предци, в Швеция, Ханс Карл Август Симон фон Ойлер-Хепин (1873-1964) става известен биохимик, чуждестранен член на Академията на науките на СССР, лауреат на Нобелова награда за химия за 1929 година. Друга Нобелова награда, едва вече през 1970 г., получи синът му, шведският биолог Улф фон Ойлер (1905-1983).

Традициите на Ойлер оказаха силно влияние върху P.L. Чебишев и неговите ученици: А.М. Ляпунов, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарева, А.А. Марков и други, определящи основните характеристики на Петербургската математическа школа.

Кръстен на Ойлер:

улица в Алма-Ата
кратер на Луната
астероид
Международен математически институт. Леонард Ойлер от Руската академия на науките, основана през 1988 г. в Санкт Петербург
благотворителна фондация за подкрепа на местни учени
Медал, ежегодно присъждан от Канадския институт по комбинаторика и приложенията му от 1993 г. за постижения в тази област на математиката.

През 2007 г. Централната банка на Руската федерация издаде възпоменателна монета в чест на 300-годишнината от рождението на Леонард Ойлер:

Портретът на Ойлер е поставен и върху швейцарската банкнота от 10 франка

и на пощенски марки на Швейцария, Русия и Германия.

Следните математически обекти са кръстени на Ойлер:

теорема на Ойлер в теорията на числата
теорема за въртене на Ойлер
теорема на Ойлер в планиметрията
теорема на Ойлер в комбинаториката
предположението на Ойлер в теорията на числата
теорема на Ойлер за политопи
лема на Ойлер
уравнения на Ойлер - Лагранж
уравнения на Ойлер - Поасон
уравнения на Ойлер в механиката
уравнението на Ойлер в хидродинамиката
точки за либерация на Ойлер
уравнение на Ойлер - Бернули
функция на Ойлер в теорията на числата
функция на Ойлер в сложен анализ
идентичността на Ойлер в теорията на числата
идентичността на Ойлер в сложен анализ
идентичността на Ойлер с четири квадрата
идентичност на Ойлер в алгебрата на многочлените
формулата на Ойлер в сложен анализ
формулата на Ойлер в кинематиката на твърдо тяло
формулата на Ойлер в геометрията на триъгълника
формулата на Ойлер в геометрията на четириъгълник
формулата на Ойлер за сумата от първите членове на хармонична поредица.
формулата на Ойлер в теорията на графовете
характеристика на Ойлер (алгебрична топология)
интеграли на Ойлер от първи и втори вид
ойлер - интеграл на Поасон
константата на Ойлер - Mascheroni
номерът на Ойлер
ъгли на Ойлер
полиноми на Ойлер
трансформация на Ойлер
линията на Ойлер в геометрията на триъгълника
кръгът на Ойлер (кръг от девет точки)
ойлер кръгове
eulerian цикъл, eulerian верига, eulerian графика в теорията на графовете
сплайн на Ойлер
eulerian сила
замествания на Ойлер.

Въз основа на книгите: Д. Самин "100 велики учени" (Москва, "Вече", 2004) и "Ранг на великите математици" (Варшава, Наша Ксенгарня, 1970), уебсайт на aif.ru и Уикипедия.

1707-1783

Работата на Ойлер по геометрията

Всички творби на Ойлер по геометрия са 75 и заемат три тома от пълните му творби. Някои от тях, макар и любопитни, не са особено важни. Някои просто измислиха ера. Първо, Ойлер трябва да се счита за един от пионерите в изследванията на геометрията в космоса като цяло. Той беше първият, който представи последователно представяне на аналитичната геометрия в пространството (във „Въведение в анализа“) и, по-специално, въведе така наречените ъглови ъгли, които правят възможно изучаването на въртенията на тялото около дадена точка. В своята книга от 1752 г. „Доказателство за някои забележителни свойства на тела, ограничени от плоски лица“, Ойлер доказва, че изпъкнал многоъгълник с IN върхове, R ребра и д лица, тези числа винаги са свързани от отношенията B - R + G \u003d 2... В известен смисъл това е първата голяма теорема на топологията в историята на математиката, най-дълбоката част от геометрията, която (в малко по-общ вид) не е загубила значението си досега. Топология изучава свойствата на фигурите, които не се променят, ако фигурата може да бъде опъната, изцедена и огъната по желание, но не може да бъде залепена и разкъсана.

В своята работа „Изследване на кривината на повърхностите“ (1760), Ойлер разглежда въпрос, който не е бил изследван подробно от никой преди. Отговорът на въпроса каква е кривината на права на равнина в дадена точка от нея е просто да се намери радиусът на кръг, който също е извит. Беше решен от Нютон. Този радиус е

където y \u003d f (x) е уравнението на линията и в " и в " - неговите първи и втори производни в този момент.

За повърхността всичко е много по-сложно. Методът за разследване на този въпрос е много характерен за Ойлер. Нека бъде М е повърхностна точка. Първо намира формула за радиуса на кривината R в точката М за крива, получена от участък от повърхност от напълно произволна равнина, преминаваща през М... Формулата е сложна. Тогава той разглежда само нормални участъци - например когато равнината на рязане преминава през нормалната (т.е. през перпендикуляра) към М до равнината, допирателна към повърхността в точка М. Формулата става по-проста. И накрая, той открива, че има две взаимно перпендикулярни ("главни") нормални секции, радиусите на кривината, за които R 1 и R 2 са най-големи и най-малки. С тяхна помощ се получава много проста формула за радиуса на кривина на всеки нормален участък.

Работата на Ойлер от 1769 г. „За ортогоналните траектории“ съдържа брилянтни идеи за получаване, използвайки функция на сложна променлива, от уравнения две взаимно ортогонални семейства криви на повърхността (т.е. такива линии като меридиани и паралели на сфера) безкраен брой други взаимно ортогонални семейства. Тази работа в историята на математиката се оказа много важна. В следващата работа от 1771 г. „За тела, чиято повърхност може да се превърне в равнина“, Ойлер доказва известната теорема, че всяка повърхност, която може да бъде получена само чрез огъване на равнина, но не и разтягане или компресиране (като лист хартия, който лесно може огъвания, но почти неразтеглив), ако не е коничен и не е цилиндричен (т.е. не може да бъде получен чрез движение на образуваща права линия, преминаваща постоянно през една точка или успоредна на себе си), е набор от допирателни към някаква пространствена крива (нейния ръб на върха).

Също толкова забележителна е работата на Ойлер по картографиране.

За да завършим описанието на геометричните произведения на Ойлер, цитираме изявлението на немския математик Комерел: „Славата и достойнствата на Гаус няма да пострадат, ако посочим, че редица идеи и методи, които Гаус толкова блестящо използва в Disquisitiones генерира (макар и частично само в специална форма или само непълно формулирани), вече съществуват в Euler. Говорим например за сферично картографиране (когато парче от повърхност е свързано с парче от сфера с радиус 1, състояща се от всички такива точки, в които радиусите на тази сфера са успоредни на нормалите на повърхността в точките на тази част от нея), за определяне на повърхността в параметрична форма, съвпадението на линейни елементи като условие за суперпозиция по време на огъване, при изучаване на геодезични линии (т.е. най-късите линии на повърхността между двете й точки), използвайки ъгъла, който те образуват с кривите на определено семейство на повърхността, и други ".

Въз основа на книгата
"Забележителни учени"
изд. S.P. Капица

По време на съществуването на Академията на науките в Русия, очевидно един от най-известните й членове е математикът Леонард Ойлер.

Той е първият, който в своите творби започва да издига последователна сграда на анализа на безкрайно малкото. Едва след неговите изследвания, изложени в грандиозните томове на неговата трилогия „Въведение в анализа“, „Диференциално смятане“ и „Интегрално смятане“, анализът се превърна в напълно оформена наука - едно от най-дълбоките научни постижения на човечеството.

Леонард Ойлер е роден в Базел, Швейцария на 15 април 1707 г. Баща му Пол Ойлер е бил пастор в Рихен (близо до Базел) и е имал известни познания по математика. Бащата е предназначил сина си за духовна кариера, но, интересувайки се от математиката, той я е преподавал на сина си, надявайки се, че по-късно тя ще му бъде полезна като интересен и полезен урок. След като завършва домашното си обучение, тринадесетгодишният Леонард е изпратен от баща си в Базел да учи философия.

След като получава магистърска степен през 1723 г., след като изнася реч на латински за философията на Декарт и Нютон, Леонард, по молба на баща си, започва да изучава ориенталски езици и теология. Но все повече го привличаше математиката. Ойлер започва да посещава дома на своя учител и между него и синовете на Йохан Бернули - Николай и Даниел - възниква приятелство, което изиграва много важна роля в живота на Ойлер.

В Санкт Петербург имаше най-благоприятните условия за процъфтяването на гения на Ойлер: материална сигурност, възможност да прави това, което обича, наличието на годишно списание за публикуване на произведения. Най-голямата група специалисти в областта на математическите науки в света, която включваше Даниел Бернули (брат му Николай умира през 1726 г.), универсалният Х. Голдбах, с когото Ойлер беше свързан с общи интереси в теорията на числата и други въпроси, автор на произведения по тригонометрия Ф. Х. Майер, астроном и географ Дж. Н. Делил, математик и физик Г. В. Крафт и др. Оттогава Санкт Петербургската академия се превърна в един от основните центрове по математика в света.

Откритията на Ойлер, които благодарение на оживената му кореспонденция често стават известни много преди публикуването, правят името му все по-широко известно. Положението му в Академията на науките се подобрява: през 1727 г. той започва работа като помощник, тоест младши академик, а през 1731 г. става професор по физика, тоест пълноправен член на академията. През 1733 г. той получава катедрата по висша математика, която е заета от Д. Бернули, който се завръща в Базел същата година. Разрастването на авторитета на Ойлер намира своеобразно отражение в писмата до него от неговия учител Йохан Бернули. През 1728 г. Бернули се обръща към „най-учения и надарен млад съпруг Леонард Ойлер”, през 1737 г. - към „най-известния и най-остроумният математик”, а през 1745 г. - към „несравнимия Леонард Ойлер - главата на математиците”.

През 1735 г. академията трябваше да свърши много трудна работа по изчисляване на траекторията на кометата. Според академиците това изисквало няколко месеца труд. Ойлер се задължава да направи това за три дни и завършва работата, но в резултат на това се разболява от нервна треска с възпаление на дясното око, което губи. Малко след това, през 1736 г., се появяват два тома от неговата аналитична механика. Имаше голяма нужда от тази книга; бяха написани доста статии по различни въпроси на механиката, но нямаше добър трактат по механика.

В края на 1740 г. властта в Русия попада в ръцете на регентката Анна Леополдовна и нейното обкръжение. В столицата се разви тревожна ситуация. По това време пруският крал Фридрих II планира да възроди Обществото на науките в Берлин, основано от Лайбниц, което беше почти неактивно в продължение на много години. Чрез своя посланик в Петербург кралят поканил Ойлер в Берлин. Ойлер, вярвайки, че „ситуацията започва да изглежда доста несигурна“, прие поканата.

Като цяло повечето трудове на Ойлер са посветени на анализ. Ойлер толкова опрости и допълни цели големи раздели от анализа на безкрайно малкото, интегрирането на функции, теорията на редовете и диференциалните уравнения, които бяха започнали преди него, че те придобиха приблизително формата, която до голяма степен запазват и до днес. Ойлер също започна изцяло нова глава в анализа - вариационното смятане. Скоро това начинание е поето от Лагранж и по този начин се формира нова наука.

В своята книга от 1752 г. „Доказателство за някои забележителни свойства на тела, ограничени от плоски лица“, Ойлер открива връзката между броя на върховете, ръбовете и лицата на многоъгълник: сумата от броя на върховете и лицата е равна на броя на ребрата плюс две. Такова съотношение беше предложено от Декарт, но Ойлер го доказа в мемоарите си. В известен смисъл това е първата голяма теорема на топологията в историята на математиката, най-дълбоката част от геометрията.

Резултатът е повече от двадесет мемоари за хидравликата, написани от Ойлер по различно време. Хидродинамичните уравнения от първи ред с частични производни на проекциите на скорост, плътност към налягане се наричат \u200b\u200bхидродинамични уравнения на Ойлер.

След като напуска Санкт Петербург, Ойлер запазва най-тесните връзки с Руската академия на науките, включително официалната: той е назначен за почетен член и му е назначена голяма годишна пенсия, а той от своя страна поема задължения за по-нататъшно сътрудничество. Той купува книги, физически и астрономически устройства за нашата академия, избира служители в други държави, докладва подробни характеристики на възможните кандидати, редактира математическия отдел на академичните бележки, действа като арбитър в научните спорове между учените от Санкт Петербург, изпраща теми за научни състезания, както и информация за нови научни открития и пр. В къщата на Ойлер в Берлин живеят студенти от Русия: М. Софронов, С. Котелников, С. Румовски, последните по-късно стават академици.

От Берлин, по-специално, Ойлер води кореспонденция с Ломоносов, в чиято работа той високо оценява щастливото съчетание на теорията с експеримента. През 1747 г. той дава брилянтна рецензия на статиите на Ломоносов за физика и химия, изпратени му за заключение, което силно разочарова влиятелния академичен чиновник Шумахер, който беше изключително враждебен към Ломоносов.

В кореспонденцията на Ойлер с неговия приятел, академик от Академията на науките в Санкт Петербург, Голдбах, откриваме два известни „проблема на Голдбах“: да докажем, че всяко нечетно естествено число е сумата от три прости числа, а всяко четно е две. Първото от тези твърдения е доказано в наше време (1937 г.) от академик И. М. Виноградов с много забележителен метод, а второто не е доказано досега.

Ойлер е привлечен обратно в Русия. През 1766 г. чрез посланика в Берлин княз Долгоруков той получава покана от императрица Екатерина II да се върне в Академията на науките при всякакви условия. Въпреки убеждението да остане, той прие поканата и пристигна в Санкт Петербург през юни.

Императрицата осигурила средства за Ойлер да купи къща. Най-големият от синовете му, Йохан Албрехт, става академик по физика, Карл заема висока длъжност в медицинския отдел, Кристофър, който е роден в Берлин, Фридрих II дълго време не пуска военна служба и се налага намесата на Катрин II, за да може да дойде при баща си. Кристофър е назначен за директор на оръжейната фабрика в Сестрорецк.

Още през 1738 г. Ойлер ослепява с едното око, а през 1771 г. след операцията почти напълно губи зрението си и може да пише само с тебешир на черна дъска, но благодарение на своите ученици и помощници. I. A. Euler, A. I. Loksel, V. L. Kraft, S. K. Kotelnikov, M. E. Golovin и най-важното N. I. Fuss, пристигнали от Базел, продължиха да работят не по-малко интензивно от преди ...

Също толкова забележителна е работата на Ойлер по картографиране.

Неуморимостта и постоянството в научните изследвания на Ойлер бяха такива, че през 1773 г., когато къщата му изгоря и почти цялото имущество на семейството му загина, той продължи да диктува своите изследвания дори след това нещастие. Малко след пожара, опитен окулист, барон Венцел, извърши операция по катаракта, но Ойлер не издържа на подходящото време, без да прочете и ослепя напълно.

През същата 1773 г. умира съпругата на Ойлер, с която той живее четиридесет години. Три години по-късно той се жени за сестра й Саломе Гзел. Завидно здраве и щастлив характер помогнаха на Ойлер „да се противопостави на ударите на съдбата, които го сполетяха ... Винаги равномерно настроение, мека и естествена бодрост, някаква добродушна подигравка, способността да разказва наивно и забавно направи разговора с него толкова приятен, колкото и желателен ... „Понякога можеше да пламне, но„ дълго време не можеше да прикрива злоба срещу някого ... “- спомня си Н. И. Фус.

На 18 септември 1783 г. Ойлер умира от апоплектичен инсулт в присъствието на своите асистенти професори Крафт и Лексел. Той е погребан на смоленското лутеранско гробище. Академията възложи на известния скулптор Дж. Д. Рачет, който добре познаваше Ойлер, мраморен бюст на починалия, а принцеса Дашкова представи мраморен пиедестал.

До края на 18 век И. А. Ойлер остава секретар на конференцията на академията, който е заменен от Н. И. Фус, който се жени за дъщерята на последната, а през 1826 г. - синът на Фус, Павел Николаевич, така че организационната страна на живота на академията отговаря за потомците на Леонард за около сто години Ойлер. Традициите на Ойлер оказват силно влияние върху учениците на Чебишев: А. М. Ляпунов, А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Марков и други, определящи основните характеристики на математическата школа в Санкт Петербург.

Няма учен, чието име да се споменава в учебната математическа литература толкова често, колкото името на Ойлер. Дори в гимназия логаритмите и тригонометрията все още се изучават до голяма степен „според Ойлер“.

Ойлер намери доказателства за всички теореми на Ферма, показа неправилността на една от тях и доказа прословутата последна теорема на Ферма за „три“ и „четири“. Той също така доказа, че всяко просто число от формата 4n + 1 винаги се разлага в сумата на квадратите на другите две числа.

Ойлер започва последователно да изгражда елементарна теория на числата. Започвайки с теорията за мощните остатъци, той след това се насочва към квадратни остатъци. Това е така нареченият квадратичен закон за реципрочност. Ойлер също прекарва много години в решаване на неопределени уравнения от втора степен в две неизвестни.

Във всички тези три основни въпроса, които повече от два века след Ойлер и съставляваха по-голямата част от елементарната теория на числата, ученият стигна много далеч, но и при трите не успя. Гаус и Лагранж получиха пълно доказателство.

Аналитичната теория на числата на Ойлер продължава да се развива и днес.