Онлайн калкулатор. Намерете (с решение) производната на функцията

Операцията за намиране на производно се нарича диференциация.

В резултат на решаването на проблемите за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез определяне на производната като граница на съотношението на нарастването към нарастването на аргумента, таблица на производни и точно определени правила за диференциация се появи. Първите в областта на намирането на производни са Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716).

Следователно, в наше време, за да се намери производната на която и да е функция, не е необходимо да се изчислява гореспоменатата граница на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, а просто трябва да използвате таблица на производни и правилата за диференциация. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За да се намери производната, имате нужда от израз под знака за щрих разглобявайте прости функции и определят какви действия (продукт, сума, коефициент) тези функции са свързани. Освен това производните на елементарни функции се намират в таблицата с производни, а формулите за производни на произведението, сумата и коефициента се намират в правилата за диференциация. Таблица за производни и правила за диференциация са дадени след първите два примера.

Пример 1. Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциация откриваме, че производната на сумата от функции е сумата на производните на функции, т.е.

От таблицата с производни откриваме, че производната на "x" е равна на единица, а производната на синуса е равна на косинуса. Заместваме тези стойности в сумата на производни и намираме производната, изисквана от условието на задачата:

Пример 2. Намерете производната на функция

Решение. Разграничаваме като производна на сумата, в която вторият член с постоянен фактор, може да се вземе извън знака на производната:

Ако все още има въпроси откъде идва, те, като правило, стават по-ясни след запознаване с таблицата на дериватите и най-простите правила за диференциация. В момента се обръщаме към тях.

Производна таблица на прости функции

1. Производно на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200 ...), което е в израза на функцията. Винаги нула. Това е много важно да се запомни, тъй като се изисква много често
2. Производно на независимата променлива. Най-често "х". Винаги равен на един. Това също е важно да се помни дълго време.
3. Производна степен. Когато решавате проблеми, трябва да трансформирате неквадратни корени в степен.
4. Производно на променлива в степен -1
5. Производно корен квадратен
6. Производно на синус
7. Производно на косинуса
8. Производно на допирателната
9. Производно на котангенс
10. Производно на арксинуса
11. Производно на аркозина
12. Производно на арктангенса
13. Производно на дъговия котангенс
14. Производно на естествения логаритъм
15. Производна на логаритмичната функция
16. Производно на експонента
17. Производна на експоненциалната функция

Правила за диференциация

1. Производно на сумата или разликата
2. Производно на произведението
2а. Производната на израз, умножена по постоянен фактор
3. Производно на коефициента
4. Производно на сложна функция

Правило 1. Ако функционира

диференцируеми в даден момент, след това в същата точка функциите

освен това

тези. производната на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последствие. Ако две диференцируеми функции се различават с постоянен член, тогава техните производни са равни, т.е.

Правило 2.Ако функционира

диференцируеми в даден момент, тогава в същия момент техният продукт също е диференцируем

освен това

тези. производната на произведението на две функции е равна на сумата на произведенията на всяка от тези функции на производната на другата.

Следствие 1. Постоянният коефициент може да бъде преместен извън знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата на произведенията на производната на всеки от факторите от всички останали.

Например за три фактора:

Правило 3.Ако функционира

диференцируеми в даден момент и , тогава в този момент е диференцируем и техният коефициентu / v и

тези. производната на коефициента на две функции е равна на частта, числителят на която е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя от производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на предишния числител.

Къде какво да търсите на други страници

При намирането на производната на продукта и коефициента при реални проблеми, винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциация наведнъж, така че повече примери за тези производни са в статията„Производно на произведение и определена функция“.

Коментирайте.Константа (т.е. число) не трябва да се бърка като сума и като константен фактор! В случай на член, производната му е равна на нула, а в случай на постоянен фактор, тя се изважда от знака на производни. Това е типична грешка, която се появява в началния етап на изучаване на производни, но след решаване на няколко едно- или двукомпонентни примера, средният ученик вече не прави тази грешка.

И ако, когато разграничавате произведение или определено, имате термин u"v , при което u - число, например 2 или 5, т.е. константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият член ще бъде равен на нула (този случай е анализиран в пример 10).

Друга често срещана грешка е механичното решение на производно на сложна функция като производно на проста функция. Следователно производна на сложна функция е посветена отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете да правите без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите уроците в нов прозорец Действия със сили и корени и Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни на дроби с степени и корени, тоест когато функцията изглежда така , след това следвайте урока „Производно на сумата от дроби със степени и корени“.

Ако имате задача като , след това вашият урок "Производни на прости тригонометрични функции".

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3. Намерете производната на функция

Решение. Определяме частите на израза на функцията: целият израз представлява произведението, а неговите фактори са суми, във второто от които един от термините съдържа постоянен фактор. Прилагаме правилото за диференциация на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата на произведенията на всяка от тези функции от производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай всяка сума съдържа втория член със знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, производната на която е равна на единица, така и константа (число), производната на която е равна на нула. И така, "х" за нас се превръща в едно, а минус 5 - в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните стойности на производни:

Заместваме намерените производни в сумата на произведенията и получаваме производната на цялата функция, изисквана от проблемното условие:

Пример 4. Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на коефициента. Прилагаме формулата за диференциране на коефициента: производната на фактора на две функции е равна на дроб, числителят на която е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменател, а знаменателят е квадратът на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Не забравяйте също, че произведението, което е вторият фактор в числителя в настоящия пример, се приема със знак минус:

Ако търсите решения на проблеми, при които трябва да намерите производната на функция, където непрекъсната купчина корени и степени, като например, тогава добре дошли в клас „Производно на сумата на дроби с степени и корени“ .

Ако трябва да научите повече за производни на синуси, косинуси, допирателни и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда така , след това вашия урок "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5. Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме произведението, един от факторите на който е квадратният корен от независимата променлива, производното от което сме виждали в таблицата с производни. Съгласно правилото за диференциация на продукта и табличната стойност на производната на квадратния корен, получаваме:

Пример 6. Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме коефициента, чийто дивидент е квадратният корен на независимата променлива. Съгласно правилото за диференциране на коефициента, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на квадратния корен, получаваме:

За да се отървете от дробта в числителя, умножете числителя и знаменателя по.

Определение. Нека функцията \\ (y \u003d f (x) \\) бъде дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката \\ (x_0 \\). Дайте на аргумента увеличение \\ (\\ Delta x \\), така че да не излиза от този интервал. Намерете съответното увеличение на функцията \\ (\\ Delta y \\) (при преминаване от точка \\ (x_0 \\) към точка \\ (x_0 + \\ Delta x \\)) и съставете съотношението \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta х) \\). Ако има ограничение на това съотношение при \\ (\\ Delta x \\ rightarrow 0 \\), тогава посоченият лимит се извиква производна функция \\ (y \u003d f (x) \\) в точката \\ (x_0 \\) и означават \\ (f "(x_0) \\).

$$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ до 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \u003d f "(x_0) $$

Символът y "често се използва за означаване на производната. Имайте предвид, че y" \u003d f (x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y \u003d f (x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница ... Тази функция се нарича така: производна на функцията y \u003d f (x).

Геометричното значение на производната е както следва. Ако графиката на функцията y \u003d f (x) в точка с абсциса x \u003d a може да бъде нарисувана допирателна, а не успоредна на оста y, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
\\ (k \u003d f "(a) \\)

Тъй като \\ (k \u003d tg (a) \\), равенството \\ (f "(a) \u003d tg (a) \\) е вярно.

Сега нека интерпретираме дефиницията на производната от приблизителни равенства. Нека функцията \\ (y \u003d f (x) \\) има производна в определена точка \\ (x \\):
$$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ до 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \u003d f "(x) $$
Това означава, че приблизителното равенство \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\ približno f "(x) \\) е изпълнено близо до точката x, т.е. \\ (\\ Delta y \\ приблизително f" (x) \\ cdot \\ Delta x \\). Смисленото значение на полученото приблизително равенство е следното: нарастването на функцията е "почти пропорционално" на нарастването на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например функцията \\ (y \u003d x ^ 2 \\) удовлетворява приблизителното равенство \\ (\\ Delta y \\ приблизително 2x \\ cdot \\ Delta x \\). Ако внимателно анализираме дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за нейното намиране.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y \u003d f (x)?

1. Поправете стойността \\ (x \\), намерете \\ (f (x) \\)
2. Дайте на аргумента \\ (x \\) увеличение \\ (\\ Delta x \\), отидете на нова точка \\ (x + \\ Delta x \\), намерете \\ (f (x + \\ Delta x) \\)
3. Намерете нарастването на функцията: \\ (\\ Delta y \u003d f (x + \\ Delta x) - f (x) \\)
4. Съставете релацията \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\)
5. Изчислете $$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) $$
Тази граница е производната на функцията в точката x.

Ако функцията y \u003d f (x) има производна в точката x, тогава тя се нарича диференцируема в точката x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функция y \u003d f (x) диференциация функция y \u003d f (x).

Нека обсъдим следния въпрос: как непрекъснатостта и диференцируемостта на дадена функция в дадена точка са свързани помежду си?

Нека функцията y \u003d f (x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се направи тангенс към графиката на функцията в точката M (x; f (x)) и, припомняме, наклонът на допирателната е f "(x). Такава графика не може да се" счупи "в точка М, тоест функцията трябва да е непрекъсната в точка х.

Това бяха разсъжденията „на върха на пръстите“. Нека дадем по-строги разсъждения. Ако функцията y \u003d f (x) е диференцируема в точката x, тогава важи приблизителното равенство \\ (\\ Delta y \\ приблизително f "(x) \\ cdot \\ Delta x \\). Ако в това равенство \\ (\\ Delta x \\) клони към нула, тогава \\ (\\ Delta y \\) ще се стреми към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точката.

Така, ако функцията е диференцируема в точката x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y \u003d | x | е непрекъснат навсякъде, по-специално в точката x \u003d 0, но допирателната към графиката на функцията в „съвместната точка“ (0; 0) не съществува. Ако в някакъв момент към графиката на функцията е невъзможно да се направи тангенс, то в този момент няма производна.

Още един пример. Функцията \\ (y \u003d \\ sqrt (x) \\) е непрекъсната по цялата числова линия, включително в точката x \u003d 0. А допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x \u003d 0 Но в този момент допирателната линия съвпада с оста y, т.е. тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x \u003d 0. Няма наклон за такава права линия, така че не съществува и \\ (f "(0) \\)

И така, запознахме се с ново свойство на функция - диференцируемост. И как от графиката на функцията можем да заключим за нейната диференцируемост?

Отговорът всъщност е получен по-горе. Ако в някакъв момент към графиката на функцията е възможно да се направи тангенс, който не е перпендикулярен на оста на абсцисата, то в този момент функцията е диференцируема. Ако в някакъв момент допирателната към графиката на функцията не съществува или тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, тогава в този момент функцията не е диференцируема.

Правила за диференциация

Извиква се операцията за намиране на производната диференциация... Когато извършвате тази операция, често се налага да работите с коефициенти, суми, произведения на функции, както и с „функционални функции“, т.е. Въз основа на дефиницията на производно е възможно да се изведат правила за диференциация, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f \u003d f (x), g \u003d g (x) са някои диференцируеми функции, тогава следните правила за диференциация:

Производна таблица на някои функции

Доказателство и извеждане на формули за производното на естествения логаритъм и основата логаритъм. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство за формулата за производната на n-тия ред на логаритъма по метода на математическата индукция.

Извеждане на формули за производни на естествения логаритъм и логаритъмната основа a

Производната на естествения логаритъм на x е равна на единица, разделена на x:
(1) (ln x) ′ \u003d.

Основната производна на логаритъма е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по естествения логаритъм на a:
(2) (log a x) ′ \u003d.

Доказателства

Нека има някакво положително число, което не е равно на едно. Да разгледаме функция, която зависи от променливата x, която е логаритъмът към основата:
.
Тази функция е дефинирана в. Нека намерим нейната производна по отношение на променливата x. По дефиниция производното е следното ограничение:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за \u200b\u200bда го намалим до известните математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
И) Свойства на логаритъма. Нуждаем се от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето някаква функция, която има ограничение и това ограничение е положително.
IN) Значението на втората забележителна граница:
(8) .

Ние прилагаме тези факти до нашата граница. Първо, трансформираме алгебричния израз
.
За това прилагаме свойства (4) и (5).

.

Нека използваме свойството (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, ние прилагаме свойство (6):
.
Логаритъмна основа д Наречен естествен логаритъм... Той е обозначен както следва:
.
Тогава;
.

Така получихме формула (2) за производното на логаритъма.

Производно на естествения логаритъм

За пореден път напишете формулата за производната на логаритъма по отношение на основата а:
.
Тази формула има най-простата форма за естествения логаритъм, за която ,. Тогава
(1) .

Поради тази простота естественият логаритъм се използва много широко в математическия анализ и в други клонове на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмични функции с други основи може да се изрази чрез естествен логаритъм, използвайки свойство (6):
.

Основното производно на логаритъма може да бъде намерено от формула (1), ако константата е извадена от знака за диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъма

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на степента:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на естествения логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратната функция на степента.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагайки формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Функцията, обратна на естествения логаритъм, е степента:
.
Неговото производно се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с всяка буква. Във формула (9) заменете променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на естествения логаритъм, използвайки сложни правила за диференциация на функциите... Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Разграничаваме това уравнение по отношение на променливата x:
(10) .
Производната на x е равна на единица:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместник в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на ln 2x, в 3x и ln nx.

Решение

Оригиналните функции са подобни. Следователно ще намерим производната на функцията y \u003d ln nx ... След това заменете n \u003d 2 и n \u003d 3. По този начин получаваме формули за производни на ln 2x и в 3x .

И така, търсим производната на функцията
y \u003d ln nx .
Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Зависими от променливи функции :;
2) Зависими от променливи функции :.
Тогава оригиналната функция се състои от функции и:
.

Намерете производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производната на сложна функция.
.
Тук ние създадохме.

И така, открихме:
(11) .
Виждаме, че производната е независима от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата за логаритъма на продукта:
.
е постоянна. Производното му е нула. Тогава според правилото за диференциране на сумата имаме:
.

Отговор

; ; .

Производно на логаритъма на модула x

Нека намерим производната на друга много важна функция - естественият логаритъм на модула x:
(12) .

Нека разгледаме случай. Тогава функцията има формата:
.
Неговото производно се определя по формулата (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията има формата:
,
където.
Но открихме и производната на тази функция в горния пример. Това не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно за логаритъмната основа a имаме:
.

Производни от по-висок ред на естествения логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме неговото производно от първи ред:
(13) .

Намерете производната от втория ред:
.
Намерете производната от третия ред:
.
Нека намерим производната на четвъртия ред:
.

Вижда се, че производното от n-ти ред е:
(14) .
Нека докажем това чрез метода на математическата индукция.

Доказателства

Нека заместим стойността n \u003d 1 във формула (14):
.
Тъй като тогава за n \u003d 1 , формулата (14) е валидна.

Да предположим, че формулата (14) е вярна за n \u003d k. Нека докажем, че това предполага, че формулата е валидна за n \u003d k + 1 .

Всъщност за n \u003d k имаме:
.
Разграничаваме по отношение на променливата x:

.
Така получихме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n \u003d k + 1 ... Следователно, от предположението, че формула (14) е валидна за n \u003d k, следва, че формула (14) е валидна за n \u003d k + 1 .

Следователно, формула (14), за производното от n-ти ред, е валидна за всяко n.

Производни от по-висок ред на логаритъма с основа a

За да намерите производното от n-ти ред на основата логаритъм, трябва да го изразите чрез естествения логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-то производно:
.