Тригонометрични формули за преобразуване на продукт в сума. Урок "преобразуване на продукти от тригонометрични функции в суми"

в този случай координатите на нейните точки се задават от рационални изрази в променливата t? Отговорът на този въпрос зависи от уравнението на кривата. Ако и двете страни на уравнението съдържат полиноми в х и у на степен най-много две, тогава винаги е възможно да се определят точките на кривата, като се използват рационални функции на една променлива (примерите са в Задача 21.11). Ако кривата е дадена от уравнение на степен, по-голяма от 2, тогава като правило е невъзможно да се определят координатите на нейните точки чрез рационални функции: това е случаят вече за кривата x3 + y3 \u003d 1.

Задача 21.11. Посочете координатите на точките на следните криви, като използвате рационални функции:

а) елипса с уравнението x2 + 4y2 \u003d 1;

б) хиперболи с уравнението xy \u003d 1;

в) хиперболи с уравнението x2 - y2 \u003d 1.

Указания. б) Ако x \u003d t, тогава y \u003d 1 / t. в) Фактор на лявата страна.

Задача 21.12. а) Посочете пет решения на уравнението x2 + y2 \u003d 1 в положителни рационални числа.

б) Посочете пет решения на уравнението a2 + b2 \u003d c2 в естествени числа.

§ 22. Преобразуване на произведение в сума и сбор в произведение

Нека напишем една под другата формули за синуса на сумата и синуса на разликата:

sin (α + β) \u003d sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) \u003d sin α cos β - cos α sin β.

Добавяйки тези формули, получаваме sin (α + β) + sin (α - β) \u003d 2 sin α cos β, или

sin α cos β \u003d 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)).

Пристъпвайки по подобен начин с формулите за косинуса на сумата и разликата, получаваме:

cos (α + β) + cos (α - β) \u003d 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) \u003d -2 sin α sin β,

откъдето се получават такива формули:

cos α cos β \u003d 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β \u003d 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Получихме формули, които ни позволяват да преминем от продукта тригонометрични функции към тяхната сума. Нека сега се научим как да извършим прехода в другата посока: от сумата към продукта.

Помислете например за формулата

2 sin α cos β \u003d sin (α + β) + sin (α - β).

От дясната страна на тази формула означаваме α + β с x, а α - β с y. Като добавим и извадим равенствата α + β \u003d x и α - β \u003d y, откриваме, че α \u003d (x + y) / 2, β \u003d (x - y) / 2. Замествайки тези изрази в лявата част на формулата и четейки формулата отдясно наляво, накрая получаваме:

sin x + sin y \u003d 2 sin x + y cosx - y. 2 2

Замествайки в току-що получената формула - y вместо y,

sin x - sin y \u003d 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Ако обработим формулите за cos α cos β и за sin α sin β по същия начин, както направихме с формулата за sin α cos β, получаваме следното:

(обърнете внимание на знака минус във втората формула).

Задача 22.1. Докажете тези формули.

Формули за преобразуване на сумата от тригонометрични функции в продукт също могат да бъдат получени геометрично. В самото

От друга страна, тъй като OA \u003d OB \u003d 1, паралелограмът OACB е ромб. Следователно OC е ъглополовящата на ъгъла AOB,

в съответствие с нашите производни формули.

Задача 22.2. Докажете самоличността:

а) sin (α + β) sin (α - β) + sin (β + γ) sin (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) \u003d 0;

б) 4 sin α sin (π / 3 - α) sin (π / 3 + α) \u003d sin 3α;

в) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α \u003d 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Задача 22.3. При предположението, че α + β + γ \u003d π, докажете равенствата:

в) sin2 α + sin2 β + sin2 γ \u003d 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Задача 22.4. Нека ъглите α, β, γ лежат в триъгълника, противоположни на страните a, b, c. Докажете формулите:

Тези формули се наричат \u200b\u200bРегиомонтанови формули или теорема за допирателната.

Задача 22.5. а) При предположението, че α + β + γ + δ \u003d π, докажете идентичността:

sin α sin γ + sin β sin δ \u003d sin (α + β) sin (β + γ).

б) Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Докажете, че AB CD + BC AD \u003d AC BD (в вписан четириъгълник сумата от произведенията на противоположните страни е равна на произведението на диагоналите - теорема на Птолемей).

Формулите, с които се занимавахме в този раздел, се използват в радиотехниката. Да предположим, че трябва да предадем гласа на диктора по радиото с честота, да речем, 300. При такива ниски честоти радиопредаването е невъзможно: честотите на радиовълните, използвани за излъчване, могат да бъдат измерени в милиони. Вълни

такива честоти се използват, както следва. Докато дикторът мълчи, се излъчват само радиовълни с висока честота ω (носеща честота - вижте графиката на фиг. 22.2 а).

С този сигнал не се предава информация. Сега нека говорителят започне да издава звуци с честота η (η е много по-малка от ω); тогава сигналът u \u003d (A sin ηt) sin ωt отива във въздуха. Неговата приблизителна графика е показана на фиг. 22.2 б. Можем да кажем, че амплитудата на трептенията на висока честота ω сама претърпява трептения с ниска честота η. Както се казва, високочестотният сигнал се модулира от нискочестотен (всичко това е само груба диаграма на това, което всъщност се случва в приемника).

Преобразуваме израза за модулирания сигнал:

u \u003d A sin ηt sin ωt \u003d A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Както можете да видите, нашият модулиран сигнал не е нищо повече от сумата от сигнали с честоти ω + η и ω - η. Така че, когато казват, че радиостанция предава с честота, да речем, ω \u003d 10, тогава трябва да помним, че всъщност във въздуха отиват не само радиовълни с честота ω, но и вълни от всички честоти от интервала [ω −η; ω + η], където η е максималната честота на полезния сигнал, предаван от радиостанцията. Това означава, че носещите честоти на различните радиостанции не могат да бъдат твърде близо една до друга: ако сегментите [ω −η; ω + η] ще се припокриват, тогава радиостанциите ще си пречат.

Друго приложение на формулите от този раздел е изчисляването на сумата на косинусите или синусите на числата, които образуват аритметиката

математическата прогресия (във физиката такива изчисления се използват за изучаване на феномена на дифракцията).

Да предположим, че трябва да опростим израза

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h).

Като начало ще решим този проблем геометрично и след това ще покажем как нашите формули могат да бъдат приложени към него. Да разгледаме следните вектори: a0 \u003d (cos α; sin α), a1 \u003d (cos (α + h); sin (α + h)) ,. ... ... , a10 \u003d (cos (α + 10h); sin (α + 10h)). Очевидно е, че необходимата сума е абсцисата на вектора a0 + a1 +. ... ... + a10. Нека намерим тази сума от вектори.

За да направим това, отлагаме OA1 \u003d a0 от началото, A1 A2 \u003d a1 от точка A1 и т.н. (Фигура 22.3). Тогава a0 + a1 +. ... ... + a10 \u003d OA11.

Фигура: 22.3. OA1 \u003d a0, A1 A2 \u003d a1 ,. ... ... , A10 A11 \u003d a10.

За да намерим координатите на вектора OA, намираме неговата дължина и ъгъл на наклон към оста на абсцисата. За целта обърнете внимание, че всеки от сегментите OA1, A1 A2 ,. ... ... има дължина 1 и се завърта спрямо предишния със същия ъгъл h радиани. Следователно точки O, A1, A2 ,. ... ... , A11 лежат на същия кръг. Неговият център Z е пресечната точка на перпендикулярите към сегментите OA1 и A1 A2. Ако F Z и GZ са тези перпендикуляри, тогава F ZG \u003d h, така че F ZA1 \u003d h / 2 и радиусът на окръжността R е равен на F A1 / sin F ZA1 \u003d 1/2 sin (h / 2) (припомнете, че дължините от

разфасовките OA1 и A1 A2 са равни на едно). Тъй като, очевидно, OZA1 \u003d \u003d A1 ZA2 \u003d. ... ... \u003d A10 ZA11 \u003d h, тогава OZA11 \u003d 11h, а от равнобедрения триъгълник OZA11 имаме

За да намерите ъгъла на наклон на вектора OA11 към оста на абсцисата, заменете

обърнете внимание, че централният ъгъл A1 ZA11 \u003d 10h, така че вписаното

ъгълът A11 OA1, опиращ се на дъгата A1 A11, е 10h / 2 \u003d 5h и A11 OX \u003d A11 OA1 + α \u003d α + 5h. Това е,

Сравнявайки двата записа за координатите на вектора OA11, получаваме формулите:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) \u003d

Първата от тези формули е това, към което се стремихме, втората излезе като страничен продукт.

Както можете да видите, изчисленията се оказаха доста дълги. В допълнение, педантичният четец може да забележи, че чертежът на фиг. 22.3 е получен само за достатъчно малък h, а за голям h, прекъснатата линия OA1 · · · A10 A11 може да обиколи целия кръг и то повече от веднъж, така че чертежът ще бъде различен. Всъщност нашата формула е вярна за всички α и h (освен ако знаменателят sin (h / 2) не е нула; но последното е възможно само ако h \u003d 2πn за някакво цяло число n, и тогава без никаква формула е ясно, че сумата е

- sin α + m -

Замествайки това в нашата формула, виждаме, че сумата е

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sin α + 9 + 2

ако отворите скобите, тогава всички условия ще бъдат отменени, с изключение на

(превърнахме сумата в продукт). Отменяйки две в числителя и знаменателя, получаваме същата формула, която намерихме геометрично.

Второто ни изчисление е по-кратко и по-просто от първото, но по-малко естествено. Когато се запознаем с комплексните числа, ще се научим как да намираме такива суми по най-естествения (макар и не най-краткия) начин.

В десети клас учениците ще преминат през такъв раздел по алгебра като тригонометрията. Ще се изучава в рамките на голям брой уроци.

Самата тригонометрия като наука се е появила преди повече от две хилядолетия. Тъй като обикновени алгебрични операции не би било достатъчно да се изразят тригонометрични функции, учените трябваше да въведат нови обозначения. Тази наука изучава връзката между страните на триъгълника и неговите ъгли. При много геометрични, алгебрични проблеми става необходимо да се справим с тази област. Проблемите с физиката също понякога водят до тригонометрични функции.

Учениците вече са изучавали основните тригонометрични функции, научили са се как да изграждат своите графики, да трансформират, основни формули в тригонометрията, да използват таблица със стойности на аргументи, често срещани в тригонометрията и т.н. За да изучат този видео урок, те вече са се справили голяма сума тригонометрични изрази и уравнения.

В някои примери става необходимо да се преобразува формулата за сумата на тригонометрична функция в продукт. Това действие може да съкрати и опрости огромни изрази, да реши уравнения, системи от уравнения и др.

Видеозаписът „Преобразуване на сумите от тригонометрични функции в произведения“ е отличен съпътстващ материал при изучаването на тази тема. Учителите могат да използват примерите, дадени в ресурса, дефинициите и формулите. Мултимедийният файл е с отлично качество. Може да се играе по време на урока. Това ще помогне на учениците да се концентрират върху изучаваната тема.

В началото на видео урока дикторът казва, че на екрана ще бъдат показани някои формули за сумата, които ще помогнат при решаването тригонометрични уравнения.

На първо място се разглежда сумата на синусите. Първият израз е сумата от синуса на сумата от два аргумента и синуса на разликата между едни и същи аргументи. Всеки член се подписва съгласно формулите, изучени по-рано. Те се показват в дясната част на екрана, за да напомнят на учениците.

С пълна нотация, разширяване на скоби и опростяване получаваме работа. Извършва се подмяна с променливи. X-та означава сумата от аргументи, y-та - разликата. Замествайки в получения израз, получаваме първата формула за преобразуване на суми в продукт в тригонометрия.

За да запомнят учениците формулата, не е достатъчно да покажат начина, по който да я получат. Необходимо е да се опитате да решите с пример. Дадена е сумата от синусите на някои стойности. Преобразувано по формула в продукт.

Втората формула, чието получаване ще бъде показано стъпка по стъпка, е разликата в синусите. За да не направите допълнително предишните стъпки, можете да използвате формулата, която вече е получена за сумата. Не забравяйте, че синусът е странна функция. Ако напишем разликата като сума и заменим минус във формулата на сумата, тогава получаваме ново правило за преобразуване на разликата в продукт.

Пример е даден по подобен начин. Дикторът подробно описва решението си.

Сумата и разликата на косинусите с примери са дадени в същия ред. По подобен начин се използват предварително проучени формули, дава се заместване и се показва резултатът. Когато се извежда формулата за разликата, може да се прибегне до факта, че косинусът е четна функция.

При решаване на уравнението лявата страна се преобразува в продукт. Както знаете, той ще бъде равен на нула, когато някои от факторите също ще бъдат равни на нула. Следователно преобразуването в произведение ще бъде много полезно.

Накрая е даден друг пример, по-сложен. Можете да кажете на учениците правилната посока и те ще се справят сами с примера, ако разберат принципа като цяло.

Видеозаписът ще бъде много полезен за ученици, които учат у дома. С него можете да овладеете важни формули, без които решението на тригонометричните уравнения ще бъде трудно, а понякога и невъзможно.

ТЕКСТ КОД:

Преобразуване на суми от тригонометрични функции в продукти

Днес ще разгледаме още няколко тригонометрични формули, които позволяват да се раздели сумата (разликата) на синусите или косинусите. Тези формули ще бъдат полезни при решаване на тригонометрични уравнения.

Първата формула е СУМА СИНУСИ.

Помислете за израза sin (s + t) + sin (s - t), където s и t са аргументи на тригонометрични функции.

Прилагаме вече познатите формули за синусова сума и синусова разлика:

sin (x - y) \u003d sin xcos y - cos xsin y,

тогава изразът грях ( с + т) ще има формата грях с cos т + cos сгрях т

и изразътsin (s - t) ще бъде грях сcos т- cos сгрях т,

тогава получаваме:

грях ( с + т) + грях ( с - т) \u003d (грях с cos т + cos сгрях т) + (грех с cos т - cos сгрях т)

Разгънете скобите:

грях с cos т + cos сгрях т+ грях с cos т - cos сгрях т

извършваме изчисления:

cos сгрях т- cos сгрях т=0

грях с cos т + грях с cos т \u003d 2 грях с cos т.

грях ( с + т) + грях ( с - т) \u003d (грях с cos т + cos сгрях т) + (грех с cos т - cos сгрях т) \u003d грях с cos т + cos сгрях т + грях сcos т - cos сгрях т \u003d 2 грях с cos т.

По този начин получаваме, че изразът sin (s + t) + sin (s - t) \u003d 2 sin сcos т.

Нека въведем нови променливи x \u003dс +т и y \u003dс- т.

Ние добавяме тези равенства термин по термин, получаваме

x + y= с +т + с- т.

x + y= 2с

Намерете стойносттас

с= .

Във втория случай изваждаме тези равенства термин по термин, за да получим

х - в= с + т- (с - т)

х - в= с + т- с + т

х - у= 2т

Намерете стойносттат

В израза sin (s + t) + sin (s - t) \u003d 2 sin с cos т

замениs и t за новите променливи, които въведохме:

с +т заменете с x

с- т замени с в

с На

т На.

Тогава получаваме:

sinх + sinу \u003d 2 sincos

(сумата от синусите на два аргумента е равна на двойното произведение на синуса на полусумата на тези аргументи от косинуса на полуразликата им).

sin 7x + sin3x \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin5x cos2x.

Втората формула е СИНУСНА РАЗЛИКА.

За да можем да приложим вече изведената формула за сумата от синусите на два аргумента sinх + sinу \u003d 2 sincos

Нека се възползваме от факта, че синусът е нечетна функция, т.е. - sinу \u003d sin (- у),

sinx - sinу \u003d sinx + sin (- y)

Сега прилагаме формулата за сумата от синуси, която получаваме

2 грях cos \u003d 2 грях cos.

sin x - sin y \u003d sin x + sin (- y) \u003d 2 sin cos \u003d 2 грях cos.

Следователно получихме формулата за разликата в синусите:

sinх - sinу \u003d 2 греха cos (разликата в синусите на два аргумента е равна на двойното произведение на синуса на полуразликата на тези аргументи от косинуса на тяхната полусума).

Пример. Опростете израза sin 77 ° - sin 17 °.

грях 77 ° - грях 17 ° \u003d 2 грях cos \u003d 2 грях cos 47º.

(тъй като sin 30º \u003d, тогава) \u003d 2 ∙ ∙ cos \u003d cos.

Третата формула е СУМА КОЗИН.

За да изразим cos (s + t) + cos (s - t), използваме вече известните формули за косинуса на сумата и косинуса на разликата:

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y,

В израза cos (s + t) + cos (s - t) заместете стойностите от формулите и получете:

защото ( с+ т) + cos ( с - т) \u003d cos с cos т - грях сгрях т + cos сcos т + грях сгрях т \u003d 2 cos с cos т

Следователно cos ( с+ т) + cos ( с - т) \u003d 2 cos с cos т

Нека въведем нови променливи x \u003dс +т и y \u003dс - т... Както при извеждането на формулата СУМА СИНУСИ.

с +т заменете с x

с- т замени с в

с На

т На.

И получаваме формулата за сумата на косинусите

cos x + уютен \u003d 2 cos cos

(сумата от косинусите на два аргумента е равна на двойното произведение на косинуса от полусумата на тези аргументи от косинуса на полуразликата им).

Пример. Опростете израза cos (x + 2y) + cos (3x - 2y).

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) \u003d 2 coscos \u003d

2cos 2x cos (- x + 2y) \u003d 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (и тъй като cos (- t) \u003d цена, тогава) \u003d

2cos2x cos (x - 2y).

Четвъртата формула е РАЗЛИКА КОЗИН.

За да изразим cos (s + t) - cos (s - t), използваме вече известните формули за косинуса на сумата и косинуса на разликата:

cos (x + y) \u003d cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y, получаваме

защото ( с+ т) - cos ( с - т) \u003d cos с cos т - грях сгрях т- cos сcos т - грях сгрях т \u003d - 2sin сгрях т... Въведете нови променливи х\u003d s + ти в\u003d s - т, така s \u003d и t \u003d... Заместване на въведените обозначения във формулата:

защото ( с+т) - cos ( с - т) \u003d - 2sin сгрях т, получаваме формулата за разликата на косинусите:

cosх - cosу \u003d -2sin sin (разликата между косинусите на два аргумента е равна на двойното произведение на синуса на полусумата на тези аргументи и синуса на тяхната половин разлика, взета със знак минус).

Пример. Опростете израза cos - cos.

cos - cos \u003d - 2sin грях \u003d - 2 грях грях (тъй като грях \u003d тогава) \u003d

2 ∙ ∙ sin \u003d - грях.

ПРИМЕР 1. Решете уравнението cos6x + cos2x \u003d 0.

Решение. Преобразуване на сумата на косинусите в продукт по формулата:

(cos x + уютно \u003d 2 cos cos,

получаваме 2cos4x cos2x \u003d 0. Това уравнение се превръща в истинско равенство, ако

ПРИМЕР 2. Решете уравнението sin7x + sin3x - sin5x \u003d 0.

Решение. За сумата от първия и втория член прилагаме формулата сума от синуси

sin (x + y) \u003d sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x \u003d 0

2 sincos - sin5x \u003d 0

sin5x (2 cos2x - 1) \u003d 0.

sin5x \u003d 0 или 2 cos2x - 1 \u003d 0,

Решенията на уравнението sint \u003d a се приемат за a \u003d 0:

sint \u003d 0 за t \u003d πk,

тогава получаваме

x \u003d, (pi en разделен на пет)

Използване на табличните стойности на косинуса и определяне на решението на цената на уравнението \u003d a, където (| a | 1) пише в обща форма:

t \u003d arccos и + 2πk

второто уравнение cos2x \u003d има следните решения

2x \u003d arccos + 2πn,

(плюс минус пи по шест плюс пи ен).

Ключът към успеха при сумирането се крие в способността ни да конвертираме една сума в друга - или опростяване на оригинала, или приближаване до целта. И след като сте научили и практикували няколко основни правила за трансформация, можете лесно да овладеете тази способност.

Нека K е някакъв краен набор от цели числа. Сумите на елементите от K могат да бъдат преобразувани въз основа на три прости правила:

Разпределителното право позволява въвеждането и приспадането на константи под знака и извън него. Законът за комбинацията ви позволява да разделите една сума на две или да комбинирате две суми в една. Законът за транспониране гласи, че условията на сумата могат да бъдат пренаредени във всеки желан ред; ето някаква пермутация на множеството от всички цели числа. Например, ако и ако тогава тези три закона посочват съответно това

Трикът на Гаус от гл. 1 може да се разглежда като едно от приложенията на тези три основни закона. Да предположим, че искаме

изчислете сумата от обща аритметична прогресия

Според транспозиционния закон, замествайки k с получаваме

Тези две уравнения могат да бъдат добавени, използвайки закона за комбинацията:

Сега нека приложим закона за разпределението и изчислим тривиалната сума:

Разделяйки на 2, откриваме това

Дясната страна може да се запомни като средната стойност на първия и последния член, а именно, умножена по броя на термините, т.е.

Важно е да се има предвид, че функцията в обща форма законът за преместване (2.17) се счита за пермутация на всички цели числа. С други думи, за всяко цяло трябва да има точно едно цяло k, такова, че. В противен случай законът за транспониране може да не бъде изпълнен - \u200b\u200bупражнение. 3 е добър пример. Преобразуванията от тип c или където c е цяло число константа винаги са пермутации, така че са добре.

Въпреки това, човек може леко да отслаби ограничението на пермутацията: достатъчно е само да съществува точно едно цяло число k, така че когато е елемент от множеството на индекса K. Ако (тоест, ако не принадлежи на K), тогава не е важно, както често има място равенство, тъй като подобно на не участва в сумата. Така например, може да се твърди, че

защото има точно едно k, такова, че когато е четно.

Нотацията на Айвърсън, която позволява да се получи 0 или 1 като стойности на логически изрази в рамките на определена формула, може да се използва заедно със законите за разпределение, комбинация и транспониране, за да разкрие допълнителни свойства на сумите. Например, важно правило обединения на различни набори от индекси: ако са някои набори от цели числа, тогава

Това следва от общите формули

Обикновено правило (2.20) се използва или за обединяване на два почти несвързани индексни набора, както в случая

или да се разпредели отделен член на сумата, както е в случая

Тази операция по разпределяне на член е в основата на метода за намаляване, който често ви позволява да изчислите определена сума в затворена форма. Същността на този метод е да се започне с изчислената сума и да се посочи

(Посочете и завладейте.) След това пренаписваме по два начина, като подчертаваме както последния, така и първия член:

Сега можем да се справим с последната сума и да се опитаме да я изразим по начин Ако опитът е успешен, получаваме уравнение, решението на което ще бъде желаната сума.

Нека използваме например този подход, за да намерим сумата от геометрична прогресия от обща форма

В съответствие с общата схема за намаляване (2.24) сумата се пренаписва като

а сумата вдясно е равна на закона за разпределението. По този начин и, решавайки това уравнение по отношение на, получаваме

(За x \u003d 1, тази сума, разбира се, е просто равна на дясната част на тази формула може да се запомни като разликата между първия и първия невлизащ термин, разделена на разликата 1 и знаменателя на прогресията.

Всичко това беше доста просто, така че нека опитаме метода на кастинг на малко по-трудна сума,