Как да решим тригонометрични уравнения със синус. Решаване на тригонометрични уравнения

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сумата от квадратите на синус и косинус, изразяването на допирателната по синус и косинус и други. За тези, които са ги забравили или не знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, ние знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравнения с правилния подход това е доста вълнуваща дейност, като решаването на куб на Рубик.

Въз основа на самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, при което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените протозои тригонометрични уравнения... Ето как изглеждат те: sinx \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. Обмисли как да се решат такива тригонометрични уравнения, за по-голяма яснота ще използваме вече познатия тригонометричен кръг.

sinx \u003d a

cos x \u003d a

tg x \u003d a

кошара x \u003d a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: привеждаме уравнението в най-простата форма и след това го решаваме като най-простото тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометричните уравнения.

1. Променлив метод на заместване и заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Използвайки формулите за редукция, получаваме:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Заменете cos (x + / 6) с y за простота и вземете обичайното квадратно уравнение:

2y 2 - 3y + 1 + 0

Чии корени y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Сега да отидем в обратен ред

Заместваме намерените y стойности и получаваме два отговора:

2. Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x \u003d 1?

Преместете всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x - 1 \u003d 0

Нека използваме горните идентичности, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

Ние правим факторизацията:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Получаваме две уравнения

3. Редукция до хомогенно уравнение

Уравнението е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове по отношение на синус и косинус са еднаква степен на един и същ ъгъл. За да разрешите еднородно уравнение, постъпете по следния начин:

а) прехвърля всички свои членове в лявата страна;

б) извадете всички общи фактори от скоби;

в) приравнете всички фактори и скоби на 0;

г) в скоби се получава хомогенно уравнение с по-малка степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус в най-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 и да се отървем от отворените две вдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 \u003d 0

Заменете tg x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, чиито корени y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Оттук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 \u003d арктан 3 + k

4. Решаване на уравнения чрез отиване до половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x - 5cos x \u003d 7

Преминаване към x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Преместете всичко наляво:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Разделете на cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 \u003d 0

5. Представяме спомагателен ъгъл

За разглеждане вземаме уравнение на формата: a sin x + b cos x \u003d c,

където a, b, c са някои произволни коефициенти, а x е неизвестен.

Разделяме двете страни на уравнението на:



Сега коефициентите на уравнението според тригонометрични формули имат свойства sin и cos, а именно: техният модул е \u200b\u200bне повече от 1, а сумата от квадратите \u003d 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x \u003d С

или грях (x +) \u003d C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x \u003d (-1) k * arcsin С - + k, където



Обърнете внимание, че cos и sin се използват взаимозаменяемо.

Решете уравнението sin 3x - cos 3x \u003d 1

В това уравнение коефициентите са:

a \u003d, b \u003d -1, така че разделяме двете страни на \u003d 2

Видео курсът "Вземи А" включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика на 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния изпит по математика. Ако искате да издържите изпита за 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко, от което се нуждаете, за да решите част 1 от USE по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това са повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент от сто точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от FIPI Task Bank са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, проста и ясна.

Стотици изпитни задачи. Словозадачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочен материал, анализ на всички видове USE задания. Стереометрия. Хитри трикове, полезни мами, развиващи пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до проблем 13. Разбиране, вместо да се тъпче. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, градуси и логаритми, функция и производно. Основата за решаване на сложни задачи от 2-ра част на изпита.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да се използват за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
• Можем също да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получена от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете личните си данни. Можем също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба можем да прехвърлим събраната от нас лична информация на подходяща трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, изменение и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние предоставяме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Урок и презентация по темата: "Решаване на най-простите тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за клас 10 от 1С
Решаваме задачи в геометрията. Интерактивни задачи за изграждане в космоса
Софтуерна среда "1С: Математически дизайнер 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Хомогенни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, ние вече изучихме арксинуса, аркосинуса, дъговия тангенс и дъговия котангенс. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения - уравнения, в които променливата се съдържа под знака на тригонометричната функция.

Нека повторим формата на решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако | a | ≤ 1, тогава уравнението cos (x) \u003d a има решение:

X \u003d ± arccos (a) + 2πk

2) Ако | a | ≤ 1, тогава уравнението sin (x) \u003d a има решение:

3) Ако | a | \u003e 1, тогава уравнението sin (x) \u003d a и cos (x) \u003d a нямат решения 4) Уравнението tan (x) \u003d a има решение: x \u003d arctan (a) + πk

5) Уравнението ctg (x) \u003d a има решение: x \u003d arcctg (a) + πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат следната форма: T (kx + m) \u003d a, T - всяка тригонометрична функция.

Решете уравненията: а) sin (3x) \u003d √3 / 2

Решение:

A) Обозначаваме 3x \u003d t, след което пренаписваме уравнението си под формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

От таблицата на стойностите получаваме: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Да се \u200b\u200bвърнем към нашата променлива: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Тогава x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Отговор: x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, където n е цяло число. (-1) ^ n - минус едно към n-та степен.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решение:

А) Този път, нека да преминем директно към изчисляване на корените на уравнението незабавно:

X / 5 \u003d ± arccos (1) + 2πk. Тогава x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk

Отговор: x \u003d 5πk, където k е цяло число.

Б) Пишем го под формата: 3x- π / 3 \u003d arctan (√3) + πk. Знаем, че: arctan (√3) \u003d π / 3

3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3

Отговор: x \u003d 2π / 9 + πk / 3, където k е цяло число.

Решете уравненията: cos (4x) \u003d √2 / 2. И намерете всички корени в сегмента.

Решение:

Нека решим нашето уравнение в общ вид: 4x \u003d ± arccos (√2 \u200b\u200b/ 2) + 2πk

4x \u003d ± π / 4 + 2πk;

X \u003d ± π / 16 + πk / 2;

Сега нека видим какви корени ще попаднат на нашия сегмент. При k При k \u003d 0, x \u003d π / 16, попаднахме в дадения сегмент.
При k \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16, те удрят отново.
За k \u003d 2, x \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16, но тук не сме уцелили, което означава, че за големи k със сигурност няма да ударим.

Отговор: x \u003d π / 16, x \u003d 9π / 16

Има два основни метода за решение.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, ще използваме метода за въвеждане на нова променлива, означаваща: t \u003d tg (x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 \u003d 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t \u003d -1 и t \u003d 1/3

Тогава tg (x) \u003d - 1 и tg (x) \u003d 1/3, получихме най-простото тригонометрично уравнение, намираме корените му.

X \u003d арктан (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; x \u003d арктан (1/3) + πk.

Отговор: x \u003d -π / 4 + πk; x \u003d арктан (1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

Решение:

Нека използваме идентичността: sin 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1

Нашето уравнение ще приеме формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 \u003d 0

Въведете заместващия t \u003d cos (x): 2t 2 -3t - 2 \u003d 0

Решението на нашето квадратно уравнение са корените: t \u003d 2 и t \u003d -1 / 2

Тогава cos (x) \u003d 2 и cos (x) \u003d - 1/2.

Защото косинусът не може да приеме стойности, по-големи от единица, тогава cos (x) \u003d 2 няма корени.

За cos (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± arccos (-1/2) + 2πk; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Отговор: x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Уравнения на формата

еднородни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решим еднородното тригонометрично уравнение от първа степен, го разделяме на cos (x): Не можете да разделите на косинус, ако е равен на нула, нека се уверим, че не е:
Нека cos (x) \u003d 0, след това asin (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e sin (x) \u003d 0, но синусът и косинусът не са равни на нула едновременно, имаме противоречие, така че можем спокойно да разделим на нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) \u003d 0

Решение:

Изтеглете общия коефициент: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) \u003d 0

Тогава трябва да решим две уравнения:

Cos (x) \u003d 0 и cos (x) + sin (x) \u003d 0

Cos (x) \u003d 0 за x \u003d π / 2 + πk;

Помислете за уравнението cos (x) + sin (x) \u003d 0 Разделете нашето уравнение на cos (x):

1 + tg (x) \u003d 0 \u003d\u003e tg (x) \u003d - 1 \u003d\u003e x \u003d arctan (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk

Отговор: x \u003d π / 2 + πk и x \u003d -π / 4 + πk

Как да решим еднородни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, винаги се придържайте към тези правила!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a \u003d 0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), пример за решаване на който на предишния слайд

2. Ако a ≠ 0, тогава трябва да разделите двете страни на уравнението на косинуса на квадрат, получаваме:

Променяме променливата t \u003d tg (x) и получаваме уравнението:

Решете пример №: 3

Разделете двете страни на уравнението на косинусния квадрат:

Променете променливата t \u003d tg (x): t 2 + 2 t - 3 \u003d 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t \u003d -3 и t \u003d 1

Тогава: tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e x \u003d arctan (-3) + πk \u003d -arctg (3) + πk

Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk

Отговор: x \u003d -arctg (3) + πk и x \u003d π / 4 + πk

Решете пример №: 4

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Ние сме в състояние да решим такива уравнения: x \u003d - π / 4 + 2πk и x \u003d 5π / 4 + 2πk

Отговор: x \u003d - π / 4 + 2πk и x \u003d 5π / 4 + 2πk

Решете пример №: 5

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Въвеждаме заместващия tg (2x) \u003d t: 2 2 - 5t + 2 \u003d 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъдат корените: t \u003d -2 и t \u003d 1/2

Тогава получаваме: tg (2x) \u003d - 2 и tg (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -arctg (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x \u003d арктан (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d арктан (1/2) / 2 + πk / 2

Отговор: x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2 и x \u003d arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Задачи за независимо решение.

A) sin (7x) \u003d 1/2 b) cos (3x) \u003d √3 / 2 c) cos (-x) \u003d -1 d) tg (4x) \u003d √3 e) ctg (0.5x) \u003d -1.7

2) Решете уравненията: sin (3x) \u003d √3 / 2. И намерете всички корени на сегмента [π / 2; π].

3) Решете уравнението: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 \u003d 0

4) Решете уравнението: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) \u003d 0

5) Решете уравнението: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) \u003d 0

6) Решете уравнението: cos 2 (2x) -1 - cos (x) \u003d √3 / 2 -sin 2 (2x)

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Въведение 2

Методи за решаване на тригонометрични уравнения 5

Алгебричен 5

Решение на уравнения, използвайки условието за равенство на едноименните имена тригонометрични функции 7

Факторинг 8

Редукция до хомогенно уравнение 10

Въведение в помощния ъгъл 11

Преобразувайте работата в сума 14

Универсална подмяна 14

Заключение 17

Въведение

До десети клас редът на действията на много упражнения, водещи до целта, като правило е уникално дефиниран. Например линейни и квадратни уравнения и неравенства, дробни уравнения и уравнения, сведени до квадратни и т.н. Без да разглеждаме подробно принципа за решаване на всеки от горните примери, нека отбележим какво е общото, което е необходимо за тяхното успешно решение.

В повечето случаи е необходимо да се установи към какъв тип принадлежи задачата, да се припомни последователността от действия, водещи до целта, и да се извършат тези действия. Очевидно успехът или неуспехът на ученик в овладяването на методите за решаване на уравнения зависи главно от това колко добре той е в състояние правилно да определи вида на уравнението и да запомни последователността на всички етапи от неговото решение. Разбира се, това предполага, че ученикът има уменията да изпълнява идентични трансформации и изчисления.

Съвсем различна ситуация възниква, когато ученик се сблъска с тригонометрични уравнения. Освен това не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при намирането на ред на действия, които биха довели до положителен резултат. И тук студентът се сблъсква с два проблема. От външен вид уравнения е трудно да се определи вида. И без да се знае типа, е почти невъзможно да се избере правилната формула от няколкото десетки налични.

За да помогнат на учениците да намерят правилния път в сложния лабиринт от тригонометрични уравнения, те първо се запознават с уравнения, които след въвеждането на нова променлива се свеждат до квадратни. Тогава еднородните уравнения се решават и се свеждат до тях. Всичко завършва, като правило, с уравнения, за чието решение е необходимо да се раздели лявата страна, след което се приравнява всеки от факторите на нула.

Осъзнавайки, че анализираните в уроците дузина и половина уравнения очевидно не са достатъчни за започване на ученика на самостоятелно пътешествие по тригонометричното „море“, учителят добавя още няколко препоръки.

За да разрешите тригонометричното уравнение, трябва да опитате:

Намалете всички функции, включени в уравнението, до "равни ъгли";

Намалете уравнението до "равни функции";

Фактор лявата страна на уравнението и т.н.

Но въпреки познаването на основните типове тригонометрични уравнения и няколко принципа за намиране на тяхното решение, много ученици все още се оказват в задънена улица преди всяко уравнение, малко по-различно от тези, които са били решавани преди. Остава неясно към какво трябва да се стреми човек, имайки това или онова уравнение, защо в единия случай е необходимо да се прилагат формулите на двоен ъгъл, в другия - половината, а в третия - формули за събиране и т.н.

Определение 1. Тригонометрично е уравнение, в което неизвестното се съдържа под знака на тригонометричните функции.

Определение 2. Те казват, че тригонометричното уравнение има еднакви ъгли, ако всички тригонометрични функции, включени в него, имат равни аргументи. Те казват, че тригонометричното уравнение има същите функции, ако съдържа само една от тригонометричните функции.

Определение 3. Степента на едночлен, съдържащ тригонометрични функции, е сумата от показателите на тригонометричните функции, включени в него.

Определение 4. Уравнението се нарича хомогенно, ако всички мономи, включени в него, имат еднаква степен. Тази степен се нарича ред на уравнението.

Определение 5. Тригонометрично уравнение, съдържащо само функции грях и cos, се нарича хомогенен, ако всички мономи по отношение на тригонометричните функции имат еднаква степен, а самите тригонометрични функции имат равни ъгли и броят на мономите е с 1 повече от реда на уравнението.

Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Решението на тригонометричните уравнения се състои от два етапа: трансформация на уравнението за получаване на най-простата му форма и решение на полученото най-просто тригонометрично уравнение. Има седем основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.

Аз. Алгебричен метод. Този метод е добре известен от алгебрата. (Променлив метод на заместване и заместване).

Решаване на уравнения.

1)

Нека въведем обозначението х=2 грях3 т, получаваме

Решавайки това уравнение, получаваме:
или

тези. може да се напише

При записване на полученото решение поради наличието на знаци мощност
няма смисъл да се записва.

Отговор:

Ние обозначаваме

Получаваме квадратното уравнение
... Корените му са числата
и
... Следователно това уравнение се свежда до най-простите тригонометрични уравнения
и
... Решавайки ги, откриваме това
или
.

Отговор:
;
.

Ние обозначаваме

не отговаря на условието

Означава

Отговор:

Нека преобразуваме лявата страна на уравнението:

По този начин това начално уравнение може да бъде записано като:

, т.е.

Чрез обозначаване
, получаваме
След като решихме това квадратно уравнение, имаме:

не отговаря на условието

Записваме решението на първоначалното уравнение:

Отговор:

Заместване
намалява това уравнение до квадратно уравнение
... Корените му са числата
и
... Защото
, тогава даденото уравнение няма корени.

Отговор: няма корени.

II... Решение на уравнения, използвайки условието за равенство на същите тригонометрични функции.

и)
, ако

б)
, ако

в)
, ако

Използвайки тези условия, помислете за решението на следните уравнения:

6)

Използвайки казаното в част а), откриваме, че уравнението има решение тогава и само ако
.

Решавайки това уравнение, намираме
.

Имаме две групи решения:

.

7) Решете уравнението:
.

Използвайки условие б), извеждаме това
.

Решавайки тези квадратни уравнения, получаваме:

.

8) Решете уравнението
.

От това уравнение извеждаме това. Решавайки това квадратно уравнение, откриваме това

.

III... Факторизация.

Ние разглеждаме този метод като примери.

9) Решете уравнението
.

Решение. Преместете всички членове на уравнението вляво :.

Нека трансформираме и разделим на израза отляво на уравнението:
.

.

.

1)
2)

Защото
и
не приемайте стойността нула

едновременно, тогава разделяме и двете части

уравнения за
,

Отговор:

10) Решете уравнението:

Решение.

или

Отговор:

11) Решете уравнението

Решение:

1)
2)
3)

,

Отговор:

IV... Редукция до хомогенно уравнение.

За да разрешите еднородно уравнение, трябва:

Преместете всичките му членове отляво;

Преместете всички общи фактори извън скобите;

Задайте нула на всички фактори и скоби;

Скобите, приравнени на нула, дават хомогенно уравнение с по-малка степен, което трябва да бъде разделено на
(или
) в старшата степен;

Решете полученото алгебрично уравнение за
.

Нека разгледаме няколко примера:

12) Решете уравнението:

Решение.

Разделете двете страни на уравнението на
,

Представяме нотацията
, на име

корени на това уравнение:

оттук 1)
2)

Отговор:

13) Решете уравнението:

Решение. Използвайки формулите с двоен ъгъл и основната тригонометрична идентичност, намаляваме това уравнение до половин аргумент:

След намаляване на тези условия имаме:

Разделяне на последното хомогенно уравнение на
, получаваме

Ще посоча
, получаваме квадратното уравнение
чиито корени са числата

По този начин

Израз
изчезва при
, т.е. в
,
.

Нашето решение за уравнението не включва тези числа.

Отговор:
, .

V... Въвеждане на спомагателен ъгъл.

Помислете за уравнение на формата

Където a, b, c - коефициенти, х - незнайният.

Разделяме двете страни на това уравнение на

Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, а именно: модулът на всеки от тях не надвишава един, а сумата от техните квадрати е 1.

Тогава можем да ги обозначим съответно
(тук - спомагателен ъгъл) и нашето уравнение приема формата :.

Тогава

И неговото решение

Имайте предвид, че въведените обозначения са взаимно заменяеми.

14) Решете уравнението:

Решение. Тук
, така че разделяме двете страни на уравнението на

Отговор:

15) Решете уравнението

Решение. Защото
, тогава това уравнение е еквивалентно на уравнението

Защото
, тогава има ъгъл такъв, че
,
(тези.
).

Ние имаме

Защото
, тогава най-накрая получаваме:

.

Имайте предвид, че уравнението на формата има решение тогава и само ако

16) Решете уравнението:

За да решим това уравнение, ние групираме тригонометрични функции със същите аргументи

Разделете двете страни на уравнението с две

Трансформираме сумата от тригонометрични функции в продукт:

Отговор:

VI... Преобразуване на произведение в сума.

Тук се използват съответните формули.

17) Решете уравнението:

Решение. Преобразувайте лявата страна в сумата:

Vii.Универсално заместване.

,

тези формули са верни за всички

Заместване
наречен универсален.

18) Решете уравнението:

Решение: Заменете и
към тяхното изразяване чрез
и означават
.

Получаваме рационално уравнение
който се превръща в квадрат
.

Корените на това уравнение са числата
.

Следователно проблемът се свежда до решаване на две уравнения
.

Ние го откриваме
.

Преглед на стойността
не отговаря на първоначалното уравнение, което се проверява чрез проверка - заместване дадена стойност т в първоначалното уравнение.

Отговор:
.

Коментирайте. Уравнение 18 може да бъде решено по различен начин.

Разделете двете страни на това уравнение на 5 (т.е. на
):
.

Защото
, тогава има такъв номер
, Какво
и
... Следователно уравнението има формата:
или
... От това откриваме това
Където
.

19) Решете уравнението
.

Решение. Тъй като функциите
и
имат най-голямата стойност, равна на 1, тогава тяхната сума е равна на 2, ако
и
, едновременно, т.е.
.

Отговор:
.

При решаването на това уравнение беше използвана ограничеността на функциите и.

Заключение.

Работейки по темата "Решения на тригонометрични уравнения", е полезно всеки учител да следва следните препоръки:

Да се \u200b\u200bсистематизират методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Изберете за себе си стъпките за извършване на анализа на уравнението и признаците за целесъобразност на използването на един или друг метод на решение.

Помислете върху начините за самоконтрол на техните дейности за прилагане на метода.

Научете се да съставяте „вашите“ уравнения за всеки от изучаваните методи.

Приложение 1

Решаване на еднородни или еднородни уравнения.