Извеждане на формули за произведение на тригонометрични функции. Урок "преобразуване на продукти от тригонометрични функции в суми"

Този видео урок е предназначен за ученици от 10 клас. С помощта на него те ще могат да изучават темата „Преобразуване на продукти от тригонометрични изрази в суми“. Учебният материал е придружен от спокоен мъжки глас. С него можете да проведете интересен и информативен урок в училище. С илюстрации и дефиниции, показани в ясен текст на екрана, учениците могат да разберат темата по-бързо и ефективно.

Въпреки факта, че тригонометрията като наука се появи отдавна, тя не е загубила своята актуалност и до днес. В различни науки се появяват проблеми, при решаването на които учениците ще трябва да се изправят пред тази област. Поради тази причина те трябва да могат да се справят с примери с различна сложност, да обмислят функции, съдържащи синуси, косинуси, тангенти и котангенти и т.н.

Тъй като тригонометрията съдържа огромен брой формули, без които опростяването на този или онзи израз би отнело огромно количество време. Следователно запаметяването и разбирането на тези формули е много важно. Ако разбирате начина, по който са получени, можете лесно да ги запомните и да ги приложите на практика. За да останат за дълго в паметта, е необходимо да ги укрепите на практика. Следователно е необходимо учителите да задават у дома голям брой тригонометрични изрази и уравнения за учениците.

Този видео урок е съставен от професионалисти. Той има последователна структура, няма ненужна и ненужна информация, която да се отклонява от учебната програма.

Учениците вече знаят как да трансформират тригонометричните уравнения на дадена сума в продукт. Как може да се извърши обратният процес, ако е необходимо? Понякога ще е необходимо да се опрости този или онзи израз.

Разглеждането започва с пример. Записва се произведението на синуса на някакво t от косинуса със същата стойност. Този израз се преобразува чрез дроб, където в числителя виждаме сумата от синуса на сумата от аргументите и разликата, разделена на 2.

По същия начин произведението на синуса на някои s и синуса на t се трансформира.

За да се консолидират тези изрази на практика, се предлага да се решат някои примери. В първия от тях се предлага да се намери числовият отговор на израза, който е произведение на синус 2x и косинус 9x. Този пример използва предварително научената формула. На екрана се показва подробно решение на примера, което също показва коя формула се използва.

След това се разглежда друг пример, където се предлага да се превърне продукт в сума. Всички изчисления и обяснения се показват в дясната страна. Не е толкова трудно да се разбере как е решен този пример, защото дикторът коментира всичко в детайли.

Третият пример предлага да се опрости изразът, който се състои от произведението на три синуса с някакви степенни стойности. Опростяването използва формулата за преобразуване на произведението от синуси в сума. При решаването на този пример се обръща внимание на факта, че косинусовата функция е четна функция. По този начин знаците са правилно идентифицирани. Показва се отговорът. Решението е доста обемно, но ако го обмислите стъпка по стъпка, тогава нищо неразбираемо няма да остане.

Четвъртият пример съдържа тригонометрично уравнение, при решаването на които е необходимо да се използват изучените формули, както в този урок, така и в предишните видеоклипове.

Както вече споменахме, тази презентация може да осигури интересен урок за десетокласниците. И преподавателите, и учениците могат да изтеглят материала. С помощта на него можете визуално да покажете на ученика стъпка по стъпка решение на примери, по подобие на които ще се натъкнат ученици, както по време на домашна работа, така и при самостоятелни и контролни работи в училище.

ТЕКСТ КОД:

Преобразувайте продуктите от тригонометрични изрази в суми

Вече знаете, че всяка математическа формула се прилага на практика отдясно наляво и отляво надясно. Следователно, прилагайки формулата в обратна посока, можем да трансформираме произведението на тригонометричната функция в сума.

Нека разгледаме пример:

от формулата за преобразуване на сумите от синуси на аргументите ec и te в произведението sin ( с +т) + грях ( с - т) \u003d 2 грях сcos т

можете да получите друга формула:

грях сcos т \u003d (произведението на синуса на аргумента es и косинуса на аргумента te е равно на полусумата на синуса от сумата на аргументите es и te и синуса на разликата между аргументите es и te, като разликата се взема така, че ъгълът под знака на косинуса да се извади от аргумента под синуса.)

грях ( с + т) + грях ( с - т) \u003d 2 грях с cos т

грях сcos т =

По същия начин от формулата за преобразуване на сумите на косинусите на аргументите ec и te в произведението cos ( с+т) + cos ( с - т) \u003d 2 cos сcos т вземете

cos сcos т \u003d (произведението на косинусите на аргументите es и te е равно на полусумата на косинуса от сумата на тези аргументи и косинуса на тяхната разлика).

И от формулата за преобразуване на разликата на косинусите на аргументите ec и te в произведението cos ( с+т) - cos ( с - т) \u003d - 2sin сгрях т ние имаме

грях сгрях т\u003d (произведението на синусите на аргументите es и te е равно на половината разлика на косинуса от разликата на тези аргументи и косинуса от тяхната сума).

Нека разгледаме някои примери.

ПРИМЕР 1. Преобразувайте продукта в сумата sin2x cos9x.

Решение. При решаването ще използваме формулата грях сcos т \u003d, където s \u003d 2x, t \u003d 9x. След това пишем

sin2хcos 9х \u003d \u003d ( като се има предвид това

грях (-y) \u003d -грях у, получаваме) \u003d (половината разлика на синус единадесет х и синус седем х).

Отговор: sin2x cos9x \u003d.

ПРИМЕР 2. Преобразувайте произведението в сумата cos (2x - y) cos (x + 4y) (произведението на косинуса на аргумента две x минус y на косинуса на аргумента x плюс четири y).

Решение. При решаването ще използваме формулата cos сcos т \u003d, където s \u003d (2x-y), t \u003d (x + 4y). Тогава

cos (2x - y) cos (x + 4y) \u003d \u003d отворете скобите \u003d, направете изчисления и вземете

\u003d (полусума от косинуса на аргумента три х плюс три у и косинуса на аргумента х минус пет у).

ПРИМЕР 3. Опростете израза sin20 ° sin40 ° sin80 °.

Решение. Нека приложим формулата: грях сгрях т= .

sin 20 ° sin 40 ° sin 80 ° \u003d ∙ sin 80 ° \u003d ∙ sin 80 ° \u003d

(вземаме предвид, че косинусът е четна функция, което означава, че

\u003d ∙ sin 80 ° Тъй като cos60 ° \u003d

\u003d ∙ sin 80 ° \u003d ∙) ∙ sin 80 ° \u003d

(имайте предвид, че sin 80 ° \u003d sin (90 ° - 10 °) \u003d cos10 °, така че получаваме това)

\u003d ∙) ∙ cos10 ° \u003d отворете скобите \u003d ∙ cos10 ° - ∙ cos10 °

(приложете формулата cos сcos т =)

\u003d ∙ - ∙ cos10 ° \u003d ∙ () - ∙ cos10 ° \u003d

разгънете скобите

(не забравяйте, че \u003d)

Отговор: sin20 ° sin40 ° sin80 ° \u003d.

ПРИМЕР 4. Решете уравнението 2 sin2x cos9x - sin11x \u003d 0.

Трансформирайте лявата страна на уравнението, като използвате формулата

грях с cos т \u003d, където s \u003d 2x и t \u003d 9x получаваме:

2 ∙ - sin11x \u003d sin11x \u003d.

И така, това уравнение е еквивалентно на уравнението \u003d 0 (минус синусът от седем х е равен на нула). Следователно, \u003d πn, откъдето х \u003d ,.

в този случай координатите на нейните точки се задават от рационални изрази в променливата t? Отговорът на този въпрос зависи от уравнението на кривата. Ако и двете страни на уравнението съдържат полиноми в х и у на степен най-много две, тогава винаги е възможно да се определят точки на кривата, като се използват рационални функции на една променлива (примерите са в Задача 21.11). Ако кривата е дадена от уравнение на степен, по-голяма от 2, тогава като правило е невъзможно да се зададат координатите на нейните точки чрез рационални функции: това е случаят вече за кривата x3 + y3 \u003d 1.

Задача 21.11. Посочете координатите на точките на следните криви, като използвате рационални функции:

а) елипса с уравнението x2 + 4y2 \u003d 1;

б) хиперболи с уравнението xy \u003d 1;

в) хиперболи с уравнението x2 - y2 \u003d 1.

Указания. б) Ако x \u003d t, тогава y \u003d 1 / t. в) Фактор на лявата страна.

Задача 21.12. а) Посочете пет решения на уравнението x2 + y2 \u003d 1 в положителни рационални числа.

б) Посочете пет решения на уравнението a2 + b2 \u003d c2 в естествени числа.

§ 22. Преобразуване на произведение в сума и сбор в произведение

Нека напишем една под другата формули за синуса на сумата и синуса на разликата:

sin (α + β) \u003d sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) \u003d sin α cos β - cos α sin β.

Добавяйки тези формули, получаваме sin (α + β) + sin (α - β) \u003d 2 sin α cos β, или

sin α cos β \u003d 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)).

Пристъпвайки по подобен начин с формулите за косинуса на сумата и разликата, получаваме:

cos (α + β) + cos (α - β) \u003d 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) \u003d -2 sin α sin β,

откъдето се получават такива формули:

cos α cos β \u003d 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β \u003d 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Получихме формули, които ни позволяват да преминем от продукта тригонометрични функции към тяхната сума. Нека сега се научим как да извършим прехода в другата посока: от сумата към продукта.

Помислете например за формулата

2 sin α cos β \u003d sin (α + β) + sin (α - β).

Ще означим в дясната страна на тази формула α + β с x, а α - β с y. Като добавим и извадим равенствата α + β \u003d x и α - β \u003d y, откриваме, че α \u003d (x + y) / 2, β \u003d (x - y) / 2. Замествайки тези изрази в лявата част на формулата и четейки формулата отдясно наляво, накрая получаваме:

sin x + sin y \u003d 2 sin x + y cosx - y. 2 2

Замествайки в току-що получената формула - y вместо y,

sin x - sin y \u003d 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Ако обработим формулите за cos α cos β и за sin α sin β по същия начин, както направихме с формулата за sin α cos β, получаваме следното:

(обърнете внимание на знака минус във втората формула).

Задача 22.1. Докажете тези формули.

Формули за преобразуване на сумата от тригонометрични функции в продукт също могат да бъдат получени геометрично. В самото

От друга страна, тъй като OA \u003d OB \u003d 1, паралелограмът OACB е ромб. Следователно OC е ъглополовящата на ъгъла AOB,

в съответствие с нашите производни формули.

Задача 22.2. Докажете самоличността:

а) sin (α + β) sin (α - β) + sin (β + γ) sin (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) \u003d 0;

б) 4 sin α sin (π / 3 - α) sin (π / 3 + α) \u003d sin 3α;

в) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α \u003d 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Задача 22.3. Допускайки, че α + β + γ \u003d π, докажете равенствата:

в) sin2 α + sin2 β + sin2 γ \u003d 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Задача 22.4. Нека ъглите α, β, γ лежат в триъгълника, противоположни на страните a, b, c. Докажете формулите:

Тези формули се наричат \u200b\u200bРегиомонтанови формули или теорема за допирателната.

Задача 22.5. а) При предположението, че α + β + γ + δ \u003d π, докажете идентичността:

sin α sin γ + sin β sin δ \u003d sin (α + β) sin (β + γ).

б) Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Докажете, че AB CD + BC AD \u003d AC BD (в вписан четириъгълник сумата от произведенията на противоположните страни е равна на произведението на диагоналите - теорема на Птолемей).

Формулите, с които се занимавахме в този раздел, се използват в радиотехниката. Да предположим, че трябва да предадем гласа на диктора по радиото с честота, да речем, 300. При такива ниски честоти радиопредаването е невъзможно: честотите на радиовълните, използвани за радиоразпръскване, могат да бъдат измерени в милиони. Вълни

такива честоти се използват, както следва. Докато дикторът мълчи, се излъчват само радиовълни с висока честота ω (носеща честота - вижте графиката на фиг. 22.2 а).

С този сигнал не се предава информация. Сега нека говорителят започне да издава звуци с честота η (η е много по-малка от ω); тогава сигналът u \u003d (A sin ηt) sin ωt отива във въздуха. Неговата приблизителна графика е показана на фиг. 22.2 б. Можем да кажем, че амплитудата на трептенията на висока честота ω сама претърпява трептения с ниска честота η. Както се казва, високочестотният сигнал се модулира от нискочестотен (всичко това е само груба диаграма на това, което всъщност се случва в приемника).

Преобразуваме израза за модулирания сигнал:

u \u003d A sin ηt sin ωt \u003d A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Както можете да видите, нашият модулиран сигнал не е нищо повече от сумата от сигнали с честоти ω + η и ω - η. Така че, когато казват, че радиостанция предава с честота, да речем, ω \u003d 10, тогава трябва да помним, че всъщност във въздуха отиват не само радиовълни с честота ω, но и вълни от всички честоти от интервала [ω −η; ω + η], където η е максималната честота на полезния сигнал, предаван от радиостанцията. Това означава, че носещите честоти на различните радиостанции не могат да бъдат твърде близо една до друга: ако сегментите [ω −η; ω + η] ще се припокриват, тогава радиостанциите ще си пречат.

Друго приложение на формулите от този раздел е изчисляването на сумата на косинусите или синусите на числата, които образуват аритметиката

математическата прогресия (във физиката такива изчисления се използват за изучаване на феномена на дифракцията).

Да предположим, че трябва да опростим израза

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h).

Първо, нека решим този проблем геометрично и след това ще покажем как нашите формули могат да бъдат приложени към него. Да разгледаме следните вектори: a0 \u003d (cos α; sin α), a1 \u003d (cos (α + h); sin (α + h)) ,. ... ... , a10 \u003d (cos (α + 10h); sin (α + 10h)). Очевидно е, че необходимата сума е абсцисата на вектора a0 + a1 +. ... ... + a10. Нека намерим тази сума от вектори.

За да направим това, отлагаме OA1 \u003d a0 от началото, A1 A2 \u003d a1 от точка A1 и т.н. (Фигура 22.3). Тогава a0 + a1 +. ... ... + a10 \u003d OA11.

Фигура: 22.3. OA1 \u003d a0, A1 A2 \u003d a1 ,. ... ... , A10 A11 \u003d a10.

За да намерим координатите на вектора OA, намираме неговата дължина и ъгъл на наклон към оста на абсцисата. За целта обърнете внимание, че всеки от сегментите OA1, A1 A2 ,. ... ... има дължина 1 и се завърта спрямо предишния със същия ъгъл h радиани. Следователно точки O, A1, A2 ,. ... ... , A11 лежат на същия кръг. Неговият център Z е пресечната точка на перпендикулярите към сегментите OA1 и A1 A2. Ако F Z и GZ са тези перпендикуляри, тогава F ZG \u003d h, така че F ZA1 \u003d h / 2 и радиусът на окръжността R е равен на F A1 / sin F ZA1 \u003d 1/2 sin (h / 2) (припомнете, че дължините от

разфасовките OA1 и A1 A2 са равни на едно). Тъй като, очевидно, OZA1 \u003d \u003d A1 ZA2 \u003d. ... ... \u003d A10 ZA11 \u003d h, тогава OZA11 \u003d 11h, а от равнобедрения триъгълник OZA11 имаме

За да намерите ъгъла на наклон на вектора OA11 към оста на абсцисата, заменете

обърнете внимание, че централният ъгъл A1 ZA11 \u003d 10h, така че вписаното

ъгълът A11 OA1, опиращ се на дъгата A1 A11, е 10h / 2 \u003d 5h и A11 OX \u003d A11 OA1 + α \u003d α + 5h. Това е,

Сравнявайки двата записа за координатите на вектора OA11, получаваме формулите:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) \u003d

Първата от тези формули е това, към което се стремихме, втората излезе като страничен продукт.

Както можете да видите, изчисленията се оказаха доста дълги. В допълнение, педантичният четец може да забележи, че чертежът на фиг. 22.3 се получава само за достатъчно малък h, а за голям h, прекъснатата линия OA1 · · · A10 A11 може да обиколи целия кръг и то повече от веднъж, така че чертежът ще бъде различен. Всъщност нашата формула е вярна за всички α и h (освен ако знаменателят sin (h / 2) не е нула; но последното е възможно само ако h \u003d 2πn за някакво цяло число n, и тогава без никаква формула е ясно, че сумата е

- sin α + m -

Замествайки това в нашата формула, виждаме, че сумата е

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sin α + 9 + 2

ако отворите скобите, тогава всички условия ще бъдат отменени, с изключение на

(превърнахме сумата в продукт). Отменяйки две в числителя и знаменателя, получаваме същата формула, която намерихме геометрично.

Второто ни изчисление е по-кратко и по-просто от първото, но по-малко естествено. Когато се запознаем с комплексните числа, ще се научим как да намираме такива суми по най-естествения (макар и не най-краткия) начин.

Ключът към успеха при сумирането се крие в способността ни да конвертираме една сума в друга - или опростяване на оригинала, или приближаване до целта. И след като сте научили и практикували няколко основни правила за трансформация, можете лесно да овладеете тази способност.

Нека K е някакъв краен набор от цели числа. Сумите на елементите от K могат да бъдат преобразувани въз основа на три прости правила:

Разпределителното право позволява въвеждането и приспадането на константи под знака и извън него. Законът за комбинацията ви позволява да разделите една сума на две или да комбинирате две суми в една. Законът за транспониране гласи, че условията на сумата могат да бъдат пренаредени във всеки желан ред; ето някаква пермутация на множеството от всички цели числа. Например, ако и ако тогава тези три закона посочват съответно това

Трикът на Гаус от гл. 1 може да се разглежда като едно от приложенията на тези три основни закона. Да предположим, че искаме

изчислете сумата от обща аритметична прогресия

Съгласно закона за транспониране, замествайки k с получаваме

Тези две уравнения могат да бъдат добавени, използвайки закона за комбинацията:

Сега нека приложим закона за разпределението и изчислим тривиалната сума:

Разделяйки на 2, откриваме това

Дясната страна може да се запомни като средната стойност на първия и последния член, а именно, умножена по броя на термините, т.е.

Важно е да се има предвид, че функцията в обща форма законът за преместване (2.17) се счита за пермутация на всички цели числа. С други думи, за всяко цяло трябва да има точно едно цяло k, такова, че. В противен случай законът за транспониране може да не бъде изпълнен - \u200b\u200bупражнение. 3 е добър пример. Преобразуванията от тип c или където c е цяло число константа винаги са пермутации, така че те са добре.

Въпреки това, човек може леко да отслаби ограничението на пермутацията: достатъчно е само да съществува точно едно цяло число k, така че когато е елемент от множеството на индекса K. Ако (тоест, ако не принадлежи на K), тогава не е важно, както често има място равенство, тъй като подобно на не участва в сумата. Така например, може да се твърди, че

защото има точно едно k, такова, че когато е четно.

Нотацията на Айвърсън, която позволява на човек да получи 0 или 1 като стойности на логически изрази в рамките на определена формула, може да се използва заедно със законите за разпределение, комбинация и преместване, за да разкрие допълнителни свойства на сумите. Ето например, важно правило обединения на различни набори от индекси: ако са някои набори от цели числа, тогава

Това следва от общите формули

Обикновено правило (2.20) се използва или за обединяване на два почти несвързани индексни набора, както в случая

или да се отдели отделен член на сумата, както е в случая

Тази операция по разпределяне на член е в основата на метода за намаляване, който често ви позволява да изчислите определена сума в затворена форма. Същността на този метод е да се започне с изчислената сума и да се посочи

(Посочете и завладейте.) След това пренаписваме по два начина, като подчертаваме както последния, така и първия член:

Сега можем да се справим с последната сума и да се опитаме да я изразим по начин Ако опитът е успешен, получаваме уравнение, решението на което ще бъде желаната сума.

Нека използваме например този подход, за да намерим сумата от геометрична прогресия от обща форма

В съответствие с общата схема за намаляване (2.24) сумата се пренаписва като

а сумата вдясно е равна на закона за разпределението. По този начин и, решавайки това уравнение по отношение на, получаваме

(За x \u003d 1, тази сума, разбира се, е просто равна на дясната част на тази формула може да се запомни като разликата между първия и първия невлизащ термин, разделена на разликата 1 и знаменателя на прогресията.

Всичко това беше доста просто, така че нека опитаме метода на кастинг на малко по-трудна сума,