Решаване на тригонометрични уравнения по формули. Решаване на тригонометрични уравнения

Урок по комплексното приложение на знанията.

Цели на урока.

1. Помислете за различни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
2. Развиване на креативността на учениците чрез решаване на уравнения.
3. Насърчаване на учениците за самоконтрол, взаимен контрол, самоанализ на техните образователни дейности.

Оборудване: екран, проектор, справочен материал.

По време на занятията

Уводен разговор.

Основният метод за решаване на тригонометрични уравнения е да се сведат до най-простите. В този случай се използват обичайните методи, например факторизация, както и техники, използвани само за решаване на тригонометрични уравнения. Има немалко от тези техники, например различни тригонометрични замествания, трансформации на ъгли, трансформации на тригонометрични функции. Безразборното прилагане на всякакви тригонометрични трансформации обикновено не опростява уравнението, но катастрофално го усложнява. За да се изработи в общи линии план за решаване на уравнението, да се очертае начинът за намаляване на уравнението до най-простия, първо трябва да се анализират ъглите - аргументите на тригонометричните функции, включени в уравнението.

Днес ще говорим за методи за решаване на тригонометрични уравнения. Правилно избраният метод често позволява значително опростяване на решението, поради което всички методи, които сме изучавали, винаги трябва да се държат в нашата зона на внимание, за да тригонометрични уравнения най-подходящият метод.

II. (Използвайки проектора, ние повтаряме методите за решаване на уравнения.)

1. Методът за редуциране на тригонометрично уравнение до алгебрично.

Необходимо е да се изразят всички тригонометрични функции чрез една, с един и същ аргумент. Това може да се направи с помощта на основната тригонометрична идентичност и нейните последици. Нека да получим уравнение с една тригонометрична функция. Приемайки го като ново неизвестно, получаваме алгебрично уравнение. Намираме корените му и се връщаме към старото неизвестно, решавайки най-простите тригонометрични уравнения.

2. Метод на факторизиране.

За промяна на ъглите често са полезни формули за преобразуване, сумата и разликата на аргументите, както и формули за преобразуване на сумата (разликата) на тригонометричните функции в продукт и обратно.

sin x + sin 3x \u003d sin 2x + sin4x

3. Метод за въвеждане на допълнителен ъгъл.

4. Методът за използване на универсално заместване.

Уравненията на формата F (sinx, cosx, tgx) \u003d 0 се свеждат до алгебрични с помощта на универсалното тригонометрично заместване

Чрез изразяване на синус, косинус и тангенс по отношение на тангента на полуъгъла. Този трик може да доведе до уравнение от по-висок ред. Решението на което е трудно.

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сумата от квадратите на синус и косинус, изразяването на допирателната по синус и косинус и други. За тези, които са ги забравили или не знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, ние знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравнения с правилния подход това е доста вълнуваща дейност, като решаването на куб на Рубик.

Въз основа на самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, при което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Съществуват така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. Обмисли как да се решат такива тригонометрични уравнения, за по-голяма яснота ще използваме вече познатия тригонометричен кръг.

sinx \u003d a

cos x \u003d a

tg x \u003d a

кошара x \u003d a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: привеждаме уравнението в най-простата форма и след това го решаваме като най-простото тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометричните уравнения.

1. Променлив метод на заместване и заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Използвайки формулите за редукция, получаваме:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Заменете cos (x + / 6) с y за простота и вземете обичайното квадратно уравнение:

2y 2 - 3y + 1 + 0

Чии корени y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Сега да отидем в обратен ред

Заместваме намерените y стойности и получаваме два отговора:

2. Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x \u003d 1?

Преместете всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x - 1 \u003d 0

Нека използваме горните идентичности, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

Ние правим факторизацията:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Получаваме две уравнения

3. Редукция до хомогенно уравнение

Уравнението е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове по отношение на синус и косинус са еднаква степен на един и същ ъгъл. За да разрешите еднородно уравнение, постъпете по следния начин:

а) прехвърля всички свои членове в лявата страна;

б) извадете всички общи фактори от скоби;

в) приравнете всички фактори и скоби на 0;

г) в скоби се получава хомогенно уравнение с по-малка степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус в най-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 и да се отървем от отворените две вдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 \u003d 0

Заменете tg x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, чиито корени y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Оттук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 \u003d арктан 3 + k

4. Решаване на уравнения чрез отиване до половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x - 5cos x \u003d 7

Преминаване към x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Преместете всичко наляво:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Разделете на cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 \u003d 0

5. Представяме спомагателен ъгъл

За разглеждане вземаме уравнение на формата: a sin x + b cos x \u003d c,

където a, b, c са някои произволни коефициенти, а x е неизвестен.

Разделете двете страни на уравнението на:



Сега коефициентите на уравнението според тригонометрични формули имат свойства sin и cos, а именно: техният модул е \u200b\u200bне повече от 1, а сумата от квадратите \u003d 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x \u003d С

или грях (x +) \u003d C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x \u003d (-1) k * arcsin С - + k, където



Обърнете внимание, че cos и sin се използват взаимозаменяемо.

Решете уравнението sin 3x - cos 3x \u003d 1

В това уравнение коефициентите са:

a \u003d, b \u003d -1, така че разделяме двете страни на \u003d 2

Урок и презентация по темата: "Решаване на най-простите тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за клас 10 от 1С
Решаваме задачи в геометрията. Интерактивни задачи за изграждане в космоса
Софтуерна среда "1С: Математически дизайнер 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Хомогенни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, ние вече изучихме арксинуса, аркосинуса, дъговия тангенс и дъговия котангенс. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения - уравнения, в които променливата се съдържа под знака на тригонометричната функция.

Нека повторим формата на решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако | a | ≤ 1, тогава уравнението cos (x) \u003d a има решение:

X \u003d ± arccos (a) + 2πk

2) Ако | a | ≤ 1, тогава уравнението sin (x) \u003d a има решение:

3) Ако | a | \u003e 1, тогава уравнението sin (x) \u003d a и cos (x) \u003d a нямат решения 4) Уравнението tan (x) \u003d a има решение: x \u003d arctan (a) + πk

5) Уравнението ctg (x) \u003d a има решение: x \u003d arcctg (a) + πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат следната форма: T (kx + m) \u003d a, T - всяка тригонометрична функция.

Решете уравненията: а) sin (3x) \u003d √3 / 2

Решение:

A) Обозначаваме 3x \u003d t, след което пренаписваме уравнението си под формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

От таблицата на стойностите получаваме: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Да се \u200b\u200bвърнем към нашата променлива: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Тогава x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Отговор: x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, където n е цяло число. (-1) ^ n - минус едно към n-та степен.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решение:

А) Този път, нека да преминем директно към изчисляване на корените на уравнението незабавно:

X / 5 \u003d ± arccos (1) + 2πk. Тогава x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk

Отговор: x \u003d 5πk, където k е цяло число.

Б) Пишем го под формата: 3x- π / 3 \u003d arctan (√3) + πk. Знаем, че: arctan (√3) \u003d π / 3

3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3

Отговор: x \u003d 2π / 9 + πk / 3, където k е цяло число.

Решете уравненията: cos (4x) \u003d √2 / 2. И намерете всички корени в сегмента.

Решение:

Нека решим нашето уравнение в общ вид: 4x \u003d ± arccos (√2 \u200b\u200b/ 2) + 2πk

4x \u003d ± π / 4 + 2πk;

X \u003d ± π / 16 + πk / 2;

Сега нека видим какви корени ще попаднат на нашия сегмент. При k При k \u003d 0, x \u003d π / 16, попаднахме в дадения сегмент.
При k \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16, те отново удрят.
За k \u003d 2, x \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16, но тук не сме уцелили, което означава, че за големи k със сигурност няма да ударим.

Отговор: x \u003d π / 16, x \u003d 9π / 16

Има два основни метода за решение.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, ще използваме метода за въвеждане на нова променлива, означаваща: t \u003d tg (x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 \u003d 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t \u003d -1 и t \u003d 1/3

Тогава tg (x) \u003d - 1 и tg (x) \u003d 1/3, получихме най-простото тригонометрично уравнение, намираме корените му.

X \u003d арктан (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; x \u003d арктан (1/3) + πk.

Отговор: x \u003d -π / 4 + πk; x \u003d арктан (1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

Решение:

Нека използваме идентичността: sin 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1

Нашето уравнение ще стане: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 \u003d 0

Въведете заместващия t \u003d cos (x): 2t 2 -3t - 2 \u003d 0

Решението на нашето квадратно уравнение са корените: t \u003d 2 и t \u003d -1 / 2

Тогава cos (x) \u003d 2 и cos (x) \u003d - 1/2.

Защото косинусът не може да приеме стойности, по-големи от една, тогава cos (x) \u003d 2 няма корени.

За cos (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± arccos (-1/2) + 2πk; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Отговор: x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Уравнения на формата

еднородни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решим еднородното тригонометрично уравнение от първа степен, го разделяме на cos (x): Не можете да разделите на косинус, ако е равен на нула, нека се уверим, че не е:
Нека cos (x) \u003d 0, след това asin (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e sin (x) \u003d 0, но синусът и косинусът не са равни на нула едновременно, имаме противоречие, така че можем спокойно да разделим на нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) \u003d 0

Решение:

Изтеглете общия коефициент: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) \u003d 0

Тогава трябва да решим две уравнения:

Cos (x) \u003d 0 и cos (x) + sin (x) \u003d 0

Cos (x) \u003d 0 за x \u003d π / 2 + πk;

Помислете за уравнението cos (x) + sin (x) \u003d 0 Разделете нашето уравнение на cos (x):

1 + tg (x) \u003d 0 \u003d\u003e tg (x) \u003d - 1 \u003d\u003e x \u003d arctan (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk

Отговор: x \u003d π / 2 + πk и x \u003d -π / 4 + πk

Как да решим еднородни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, винаги се придържайте към тези правила!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a \u003d 0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), пример за решаване на който на предишния слайд

2. Ако a ≠ 0, тогава трябва да разделите двете страни на уравнението на косинуса на квадрат, получаваме:

Променяме променливата t \u003d tg (x) и получаваме уравнението:

Решете пример №: 3

Разделете двете страни на уравнението на косинусния квадрат:

Променете променливата t \u003d tg (x): t 2 + 2 t - 3 \u003d 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t \u003d -3 и t \u003d 1

Тогава: tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e x \u003d arctan (-3) + πk \u003d -arctg (3) + πk

Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk

Отговор: x \u003d -arctg (3) + πk и x \u003d π / 4 + πk

Решете пример №: 4

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Ние сме в състояние да решим такива уравнения: x \u003d - π / 4 + 2πk и x \u003d 5π / 4 + 2πk

Отговор: x \u003d - π / 4 + 2πk и x \u003d 5π / 4 + 2πk

Решете пример №: 5

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Въвеждаме заместващия tg (2x) \u003d t: 2 2 - 5t + 2 \u003d 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъдат корените: t \u003d -2 и t \u003d 1/2

Тогава получаваме: tg (2x) \u003d - 2 и tg (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -arctg (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x \u003d арктан (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d арктан (1/2) / 2 + πk / 2

Отговор: x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2 и x \u003d arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Задачи за независимо решение.

A) sin (7x) \u003d 1/2 b) cos (3x) \u003d √3 / 2 c) cos (-x) \u003d -1 d) tg (4x) \u003d √3 e) ctg (0.5x) \u003d -1.7

2) Решете уравненията: sin (3x) \u003d √3 / 2. И намерете всички корени на сегмента [π / 2; π].

3) Решете уравнението: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 \u003d 0

4) Решете уравнението: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) \u003d 0

5) Решете уравнението: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) \u003d 0

6) Решете уравнението: cos 2 (2x) -1 - cos (x) \u003d √3 / 2 -sin 2 (2x)

Концепцията за решаване на тригонометрични уравнения.

• За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометрично уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четири основни тригонометрични уравнения.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Лична информация означава данни, които могат да се използват за идентифициране на конкретно лице или контакт с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
• Можем също да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получена от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба можем да прехвърлим събраната от нас лична информация на подходяща трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, изменение и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние предоставяме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.