В кои части синусът е положителен. Тригонометричен кръг

Преброяване на ъгли върху тригонометрична окръжност.

Внимание!
Има и допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които "много ...")

Почти същото е като в предишния урок. Има брадви, кръг, ъгъл, всичко е chin-chinarem. Добавен брой четвъртинки (в ъглите на големия квадрат) - от първата до четвъртата. И тогава изведнъж кой не знае? Както можете да видите, четвъртинките (те също се наричат \u200b\u200bс красивата дума "квадранти") са номерирани обратно на часовниковата стрелка. Добавени са стойности на ъгъла на оста. Всичко е ясно, няма проблеми.

И е добавена зелена стрелка. С плюс. Какво означава? Нека ви напомня, че фиксираната страна на ъгъла винаги прикован към положителната ос OX. Така че, ако завъртим подвижната страна на ъгъла стрелка с плюс, т.е. във възходящ ред на тримесечните числа, ъгълът ще се счита за положителен. Например, картината показва положителен ъгъл от + 60 °.

Ако отложим ъглите в обратна посока, по посока на часовниковата стрелка, ъгълът ще се счита за отрицателен. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета), ще видите синя стрелка с минус. Това е посоката на отчитане на отрицателния ъгъл. Като пример е показан отрицателен ъгъл (- 60 °). И също така ще видите как са се променили числата на осите ... Преведох ги и в отрицателни ъгли. Номерацията на квадранта не се променя.

Тук обикновено започват първите недоразумения. Как така !? Ами ако отрицателният ъгъл на окръжността съвпада с положителния!? И като цяло се оказва, че една и съща позиция на движещата се страна (или точка на числовия кръг) може да се нарече както отрицателен ъгъл, така и положителен!?

Да. Точно. Да приемем, че положителен ъгъл от 90 градуса заема кръг точно същото позиция като отрицателен ъгъл от минус 270 градуса. Положителен ъгъл, например + 110 ° градуса, отнема точно същото позиция като отрицателен ъгъл от -250 °.

Няма проблем. Всичко е правилно.) Изборът на положително или отрицателно изчисление на ъгъла зависи от състоянието на задачата. Ако условието не казва нищо в прав текст за знака на ъгъла, (като "определи най-малкия положителен ъгъл "и др.), тогава работим с удобни за нас стойности.

Изключението (и как без тях?!) Са тригонометричните неравенства, но там ще овладеем този трик.

Сега въпрос за вас. Как разбрах, че положението на ъгъл 110 ° е същото като положението на ъгъл -250 °?
Ще намекна, че това се дължи на пълен оборот. 360 ° ... Не е ясно? След това нарисувайте кръг. Ние сами рисуваме на хартия. Маркирайте ъгъла относно 110 °. И обмисликолко остава до пълния оборот. Ще остане само 250 ° ...

Схванах го? А сега - внимание! Ако ъглите 110 ° и -250 ° са върху окръжността същото позиция, тогава какво? Да, това при ъгли 110 ° и -250 ° точно същото синус, косинус, тангенс и котангенс!
Тези. sin110 ° \u003d sin (-250 °), ctg110 ° \u003d ctg (-250 °) и т.н. Това вече е наистина важно! И само по себе си - има много задачи, при които трябва да опростите изразите, и като основа за последващото разработване на редукционни формули и друга мъдрост на тригонометрията.

Разбира се, взех на случаен принцип 110 ° и -250 °, чисто примерно. Всички тези равенства работят за всякакви ъгли, които заемат една и съща позиция на окръжността. 60 ° и -300 °, -75 ° и 285 ° и т.н. Веднага ще отбележа, че ъглите в тези двойки - различни. Но техните тригонометрични функции - същото.

Мисля, че разбираш какво представляват отрицателните ъгли. Това е съвсем просто. Обратно на часовниковата стрелка - положителен брой. По пътя - отрицателен. Помислете за ъгъл положителен или отрицателен зависи от нас... От нашето желание. Е, и също от задачата, разбира се ... Надявам се, че разбирате как да превключвате от отрицателни ъгли към положителни ъгли в тригонометричните функции и обратно. Начертайте кръг, приблизителен ъгъл и вижте колко липсва на пълен завой, т.е. до 360 °.

Ъгли по-големи от 360 °.

Да вземем ъгли, които са по-големи от 360 °. И има такива? Има, разбира се. Как да ги нарисувам на кръг? Няма проблем! Да кажем, че трябва да разберем в коя четвърт попада ъгълът от 1000 °? Лесно! Правим един пълен завой обратно на часовниковата стрелка (ъгълът ни е даден положителен!). Отвита на 360 °. Е, да продължим напред! Друг завой - вече има 720 °. Колко остава? 280 °. Не е достатъчно за пълна революция ... Но ъгълът е повече от 270 ° - и това е границата между третата и четвъртата четвърт. Така че нашият ъгъл от 1000 ° попада в четвъртата четвърт. Всичко.

Както можете да видите, това е съвсем просто. Позволете ми да ви напомня още веднъж, че ъгълът 1000 ° и ъгълът 280 °, които сме получили чрез изхвърляне на "допълнителните" пълни обороти, са, строго погледнато, различни ъгли. Но тригонометричните функции функционират под тези ъгли точно същото! Тези. sin1000 ° \u003d sin280 °, cos1000 ° \u003d cos280 ° и др. Ако бях синус, нямаше да забележа разликата между тези два ъгъла ...

Защо ти трябва всичко това? Защо трябва да превеждаме ъгли от един на друг? Да, всички за едно и също.) С цел опростяване на изразите. Опростяването на изразите всъщност е основната задача на училищната математика. Е, по пътя, главата тренира.)

Е, нека да практикуваме?)

Ние отговаряме на въпроси. Отначало просто.

1. В коя четвърт пада ъгълът -325 °?

2. В коя четвърт попада ъгълът 3000 °?

3. В коя четвърт пада ъгълът -3000 °?

Има проблем? Или несигурност? Отиваме на раздел 555, Практическа работа с тригонометричния кръг. Там, в първия урок от тази много „Практическа работа ...“ всичко е подробно ... такива проблеми с несигурността да бъдат не трябва!

4. Какъв знак има sin555 °?

5. Какъв е знакът на tg555 °?

Идентифицирали ли сте се? Отлично! Съмнение? Би трябвало да е в раздел 555 ... Между другото, там ще научите как да нарисувате тангенс и котангенс върху тригонометричния кръг. Много полезно нещо.

И сега въпросите са по-мъдри.

6. Намалете израза sin777 ° до синуса на най-малкия положителен ъгъл.

7. Намалете израза cos777 ° до косинуса на най-големия отрицателен ъгъл.

8. Намалете израза cos (-777 °) до косинуса на най-малкия положителен ъгъл.

9. Намалете израза sin777 ° до синуса на най-големия отрицателен ъгъл.

Озадачаващи ли са въпросите 6-9? Свикнете, на изпита и не се намират такива формулировки ... Така да бъде, ще преведа. Само за теб!

Думите „хвърли израз към ...“ означават да се трансформира израз, така че неговата стойност не се е променил и външният вид се е променил в съответствие с заданието. Така че, в задача 6 и 9 трябва да получим синус, вътре в който е най-малкият положителен ъгъл. Всичко останало няма значение.

Ще дам отговорите по ред (в нарушение на нашите правила). И какво да се прави, има само два знака, а има само четвърти ... Няма да избягате във варианти.

6. грех57 °.

7. кокос (-57 °).

8. коса57 °.

9. грях (-57 °)

Предполагам, че отговорите на въпроси 6-9 объркаха някои. Специален -грех (-57 °)нали?) Наистина в елементарните правила за броене на ъгли има място за грешки ... Ето защо трябваше да направя урок: "Как да определя знаците на функциите и да доведа ъгли върху тригонометричен кръг?" В раздел 555. Там задачи 4 - 9 са подредени. Добре разглобен, с всички клопки. И те са тук.)

В следващия урок ще се справим с мистериозните радиани и числото pi. Нека се научим как лесно и правилно да преобразуваме градусите в радиани и обратно. И ние сме изненадани да открием, че тази елементарна информация на сайта вече достатъчно за решаване на някои нестандартни тригонометрични задачи!

Ако този сайт ви харесва ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Тригонометричният кръг е един от основните елементи на геометрията за решаване на уравнения със синус, косинус, тангенс и котангенс.

Каква е дефиницията на този термин, как да се изгради даден кръг, как да се определи една четвърт в тригонометрията, как да се открият ъглите в изградена тригонометрична окръжност - ще говорим за това и много повече по-късно.

Тригонометричен кръг

Тригонометричната форма на числова окръжност в математиката е окръжност, която има единичен радиус, центриран в началото на координатната равнина. По правило той се формира от пространството на синусови формули с косинус, тангенс и котангенс върху координатната система.

Целта на такава сфера с n-мерно пространство е, че благодарение на нея могат да бъдат описани тригонометрични функции. Изглежда просто: кръг, вътре в който има координатна система и множество правоъгълни триъгълници, образувани от този кръг от тригонометрични функции.

Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е този с един от ъглите, равен на 90 °. Образува се от крака и хипотенуза с всички тригонометрични стойности. Краката са две страни на триъгълника, които са в непосредствена близост до ъгъл от 90 °, а третата е хипотенузата, тя винаги е по-дълга от краката.

Синусът е съотношението на единия от краката към хипотенузата, косинусът е съотношението на другия крак към него, а тангенсът е съотношението на двата крака. Отношението символизира разделението. Също така тангенсът е разделяне на остър ъгъл на синус с косинус. Котангенсът е противоположността на допирателната.

Формулите за последните две съотношения са както следва: tg (a) \u003d sin (a) / cos (a) и ctg (a) \u003d cos (a) / sin (a).

Изграждане на единичен кръг

Конструкцията на единичен кръг се свежда до чертежа му с единичен радиус в центъра на координатната система. След това, за да изградите, трябва да преброите ъглите и, движейки се обратно на часовниковата стрелка, да обиколите цял кръг, като оставите координатите, съответстващи на тях.

Изграждането започва след изчертаване на кръга и задаване на точка в центъра му чрез поставяне на координатната система OX. Точка O отгоре на координатната ос е синус, а X е косинус. Съответно те са абсцисата и ордината. След това трябва да направите измервания ∠. Те са показани в градуси и радиани.

Лесно е да се преведат тези показатели - пълният кръг е равен на два пи радиана. Ъгълът от нула върви обратно на часовниковата стрелка със знак +, а ∠ върви по посока на часовниковата стрелка от 0 със знак -. Положителните и отрицателните синусови стойности с косинус се повтарят при всеки оборот на кръга.

Ъгли върху тригонометричната окръжност

За да овладеете теорията на тригонометричната окръжност, трябва да разберете как ∠ се разчита на нея и как те се измерват. Те се считат за много прости.

Кръгът е разделен на четири части от координатната система. Всяка част образува ∠ 90 °. Половината от тези ъгли са 45 градуса. Съответно две части на кръг са равни на 180 °, а три - на 360 °. Как да използвам тази информация?

Ако се изисква да се реши проблемът с намирането на ∠, прибягвайте до теореми за триъгълниците и основните питагорейски закони, свързани с тях.

Ъглите се измерват в радиани:

• от 0 до 90 ° - стойности на ъгъла от 0 до ∏ / 2;
• от 90 до 180 ° - ъглови стойности от ∏ / 2 до ∏;
• от 180 до 270 ° - от ∏ до 3 * ∏ / 2;
• последното тримесечие от 270 0 до 360 0 - стойности от 3 * ∏ / 2 до 2 * ∏.

За да разберете конкретно измерване, да преобразувате радиани в градуси или обратно, трябва да прибегнете до мамят.

Преобразуване на ъгли от градуси в радиани

Ъглите могат да се измерват в градуси или радиани. Изисква се да се осъзнае връзката между двете значения. Тази връзка се изразява в тригонометрия с помощта на специална формула. Благодарение на разбирането на връзката, можете да научите как бързо да контролирате ъглите и да преминете от градуси към радиани назад.

За да разберете какво точно е един радиан, можете да използвате следната формула:

1 радвам се. \u003d 180 / ∏ \u003d 180 / 3,1416 \u003d 57,2956

В крайна сметка 1 радиан е равен на 57 °, а 1 градус е равен на 0,0175 радиана:

1 градус \u003d (∏ / 180) рад. \u003d 3,1416 / 180 рад. \u003d 0,0175 рад.

Косинус, синус, тангенс, котангенс върху тригонометричен кръг

Косинус със синус, тангенс и котангенс на тригонометричен кръг са функции на алфа ъгли от 0 до 360 градуса. Всяка функция има положителна или отрицателна стойност в зависимост от това колко голям е ъгълът. Те символизират връзката с правоъгълните триъгълници, образувани в кръг.

Тригонометрията като наука възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са извлечени от астрономите, за да създадат точен календар и ориентация на звездата. Тези изчисления бяха свързани със сферична тригонометрия, докато в училищния курс се изучават съотношенията на аспектите и ъглите на плосък триъгълник.

Тригонометрията е клон на математиката, който се занимава със свойствата на тригонометричните функции и връзката между страните и ъглите на триъгълниците.

По време на разцвета на културата и науката от 1 хилядолетие сл. Н. Е. Знанията се разпространяват от Древния Изток до Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на мъжете от Арабския халифат. По-специално туркменският учен ал-Маразви въведе функции като тангенс и котангенс, състави първите таблици със стойности за синуси, тангенти и котангенти. Понятието синус и косинус е въведено от индийски учени. Много внимание е отделено на тригонометрията в творбите на такива велики фигури от древността като Евклид, Архимед и Ератостен.

Основни количества тригонометрия

Основните тригонометрични функции на числовия аргумент са синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулите за изчисляване на стойностите на тези величини се основават на теоремата на Питагор. Учениците го знаят по-добре в формулировката: „Питагорейски гащи, равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Синус, косинус и други зависимости установяват връзка между острите ъгли и страните на всеки правоъгълен триъгълник. Нека да дадем формули за изчисляване на тези стойности за ъгъл А и да проследим връзката на тригонометричните функции:

Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако представим leg a като произведение на sin A и хипотенуза c, а leg b като cos A * c, тогава ще получим следните формули за тангенс и котангенс:

Тригонометричен кръг

Графично съотношението на тези количества може да бъде представено по следния начин:

В този случай окръжността представлява всички възможни стойности на ъгъла α - от 0 ° до 360 °. Както можете да видите от фигурата, всяка функция приема отрицателна или положителна стойност в зависимост от ъгъла. Например, sin α ще бъде със знак „+“, ако α принадлежи към I и II четвърти от кръг, тоест е в диапазона от 0 ° до 180 °. Когато α е от 180 ° до 360 ° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателен.

Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем стойността на величините.

Стойностите на α, равни на 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° и т.н., се наричат \u200b\u200bспециални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.

Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците означава радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на кръгова дъга съответства на нейния радиус. Тази стойност е въведена, за да се установи универсална зависимост; когато се изчислява в радиани, действителната дължина на радиуса в cm няма значение.

Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на стойностите на радиани:

Така че, не е трудно да се досетим, че 2π е пълен кръг или 360 °.

Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус

За да се разгледат и сравнят основните свойства на синус и косинус, тангенс и котангенс, е необходимо да се начертаят техните функции. Това може да се направи под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.

Помислете за сравнителна таблица на свойствата на синусоида и косинус:

Определянето дали една функция е четна или не е много просто. Достатъчно е да си представите тригонометричен кръг със знаците на тригонометрични величини и мислено да „съберете“ графиката около оста OX. Ако знаците съвпадат, функцията е четна, в противен случай е нечетна.

Въвеждането на радиани и изброяването на основните свойства на синусоидата и косинуса ни позволяват да дадем следния модел:

Много е лесно да се уверите, че формулата е правилна. Например за x \u003d π / 2 синусът е 1, както и косинусът x \u003d 0. Проверката може да се извърши чрез препращане към таблици или чрез проследяване на кривите на функциите за дадени стойности.

Тангентоидни и котангентоидни свойства

Графиките на допирателните и котангенсните функции се различават значително от синусите и косинусите. Стойностите tg и ctg са обратни една на друга.

1. Y \u003d tg x.
2. Тангентоидът се стреми към y-стойностите при x \u003d π / 2 + πk, но никога не ги достига.
3. Най-малкият положителен период на тангентоида е π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, тоест функцията е нечетна.
5. Tg x \u003d 0, за x \u003d πk.
6. Функцията се увеличава.
7. Tg x ›0, за x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, за x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Производно (tg x) ’\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Помислете за графично представяне на котангентоид по-долу в текста.

Основните свойства на котангензоида:

1. Y \u003d ctg x.
2. За разлика от функциите на синус и косинус, в тангентоида Y може да приеме стойностите на множеството от всички реални числа.
3. Котангензоидът се стреми към стойностите на y при x \u003d πk, но никога не ги достига.
4. Най-малкият положителен период на котангенсоида е π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, тоест функцията е нечетна.
6. Ctg x \u003d 0, за x \u003d π / 2 + πk.
7. Функцията намалява.
8. Ctg x ›0, за x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, за x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Производно (ctg x) ’\u003d - 1 / sin 2 \u2061x Правилно

В последния урок успешно усвоихме (или повторихме - както всеки друг) ключовите понятия на цялата тригонометрия. то тригонометричен кръг , ъгъл върху кръг , синус и косинус на този ъгъл и също овладяни признаци на тригонометрични функции в четвъртинки . Усвоили сте в детайли. На пръстите, може да се каже.

Но това все още не е достатъчно. За да приложим успешно всички тези прости понятия на практика, имаме нужда от още едно полезно умение. А именно - правилната работа с ъгли в тригонометрията. Без това умение в тригонометрията - нищо. Дори в най-примитивните примери. Защо? Защото ъгълът е ключова действаща фигура във всяка тригонометрия! Не, не тригонометрични функции, не синус с косинус, а не тангенс с котангенс, а именно самият ъгъл... Няма ъгъл - няма тригонометрични функции, да ...

Как да работя правилно с ъгли върху кръг? За да направим това, трябва да научим две точки.

1) как броят ли се ъглите върху окръжността?

2) Какво те се броят (измерват)?

Отговорът на първия въпрос е темата на днешния урок. Ще разгледаме подробно първия въпрос точно тук и сега. Тук няма да дам отговор на втория въпрос. Защото е доста развита. Освен че самият втори въпрос е много хлъзгав, да.) Все още няма да навлизам в подробности. Това е темата на следващия отделен урок.

Да започваме?

Как се измерват ъглите върху окръжност? Положителни и отрицателни ъгли.

Тези, които четат заглавието на абзаца, може вече да са с коса. Как така ?! Отрицателни ъгли? Възможно ли е това?

До отрицателен числа вече сме свикнали. Знаем как да ги изобразим на числовата ос: положителна вдясно от нулата, отрицателна вляво от нулата. И ние периодично поглеждаме термометъра извън прозореца. Особено през зимата, при студено време.) А парите по телефона са „минус“ (т.е. дълг) понякога изчезват. Всичко това е познато.

Ами ъглите? Оказва отрицателни ъгли по математика също се случи! Всичко зависи от това как да се измери точно този ъгъл ... не, не от числовата линия, а от числовия кръг! Искам да кажа, на кръга. Кръг - ето го, аналог на числова линия в тригонометрията!

Така, как се броят ъглите върху окръжността? Няма какво да се направи, първо трябва да нарисуваме точно този кръг.

Ще нарисувам красива картина като тази:

Много прилича на снимките от последния урок. Има оси, има кръг, има ъгъл. Но има и нова информация.

Добавих и 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° и 360 ° по осите. Сега това е по-интересно.) Какви са тези числа? Правилно! Това са стойностите на ъглите, измерени от нашата неподвижна страна, които падат по координатните оси. Припомняме, че фиксираната страна на ъгъла винаги е здраво свързана с положителната OX полуос. И всеки ъгъл в тригонометрията се измерва от тази полуос. Трябва да се има предвид тази основна отправна точка за ъгли. А осите - те се пресичат под прав ъгъл, нали? Така че добавяме 90 ° във всяко тримесечие.

И още добавено червена стрелка. С плюс. Червеното е нарочно, за да привлече вниманието. И дълбоко в паметта ми. Защото това трябва да се помни надеждно.) Какво означава тази стрелка?

Така се оказва, че ако изкривим нашия ъгъл по стрелката с плюс (обратно на часовниковата стрелка, по посока на номерирането на четвъртинките), след това ъгълът ще се считат за положителни!Като пример фигурата показва ъгъл от + 45 °. Между другото, имайте предвид, че аксиалните ъгли от 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° и 360 ° също се пренавиват в плюс! По червената стрелка.

Сега нека разгледаме друга снимка:

Тук почти всичко е същото. Номерирани са само ъглите по осите обърнат. По часовниковата стрелка. И те имат знак минус.) Все още изтеглено синя стрелка. Също с минус. Тази стрелка е посоката на отрицателното отчитане на ъглите на окръжността. Тя ни показва, че ако отложим нашия ъгъл по посока на часовниковата стрелкатогава ъгълът ще се счита за отрицателен.Например показах ъгъл от -45 °.

Между другото, имайте предвид, че номерирането на тримесечията никога не се променя! Няма значение дали ще завъртим ъглите в плюс или минус. Винаги строго обратно на часовниковата стрелка.)

Помня:

1. Произходът на ъглите е от положителната OX полуос. По часовника - "минус", срещу часовника - "плюс".

2. Номерирането на четвъртините винаги е обратно на часовниковата стрелка, независимо от посоката на изчисляване на ъглите.

Между другото, подписването на ъглите по осите 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °, чертане на кръг всеки път, изобщо не е задължително. Това е чисто за разбиране на направената същност. Но тези числа трябва да присъстват. в главата типри решаване на която и да е задача в тригонометрията. Защо? Защото това елементарно знание дава отговори на много други въпроси от цялата тригонометрия! Най-важният въпрос е в кое тримесечие пада ъгълът, който ни интересува? Вярвате или не, правилният отговор на този въпрос решава лъвския дял от всички други проблеми с тригонометрията. Ще се справим с този важен урок (разпределение на ъглите по четвърти) в същия урок, но малко по-късно.

Трябва да се запомнят стойностите на ъглите, лежащи върху координатните оси (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° и 360 °)! Запомнете го плътно, до степен на автоматизъм. И двете в плюс и минус.

Но от този момент започват първите изненади. И заедно с тях, сложни въпроси, адресирани до мен, да ...) И какво ще се случи, ако отрицателен ъгъл върху окръжност съвпада положително? Оказва се, че същата точкавърху окръжността може да се обозначи като положителен ъгъл, а като отрицателен ???

Съвсем правилно! Това е.) Например, положителен ъгъл от + 270 ° приема кръг същата позиция като отрицателен ъгъл от -90 °. Или, например, положителен ъгъл от + 45 ° върху окръжност би отнел същата позиция като отрицателният ъгъл от -315 °.

Разглеждаме следващия чертеж и виждаме всичко:

По същия начин положителният ъгъл от + 150 ° отива там, където отива отрицателният ъгъл от -210 °, а положителният ъгъл от + 230 ° отива там, където отива отрицателният ъгъл от -130 °. И така нататък…

И сега какво мога да направя? Как точно броите ъглите, ако можете да направите това и това? Как е правилно?

Отговор: във всяко отношение правилно! Математиката не забранява нито една от двете посоки на ъглите на четене. И изборът на конкретна посока зависи единствено от задачата. Ако задачата не казва нищо в обикновен текст за знака за ъгъл (като "определя най - големия отрицателен ъгъл " и т.н.), тогава работим с най-удобните ъгли.

Разбира се, например по готини теми като тригонометрични уравнения и неравенства, посоката на изчисляване на ъгли може да окаже огромно влияние върху отговора. И в съответните теми ще разгледаме тези клопки.

Помня:

Всяка точка на окръжността може да бъде маркирана с положителен или отрицателен ъгъл. Всеки! Как искаме.

Сега нека помислим върху това. Разбрахме ли, че 45 ° е точно същото като -315 °? Откъде знаех за същите тези 315° ? Не се ли досещате? Да! Чрез пълна революция.) 360 °. Имаме ъгъл 45 °. Колко липсва за завършване на оборота? Извадете 45° от 360° - тук получаваме 315° ... Разклащане в отрицателна посока - и получаваме ъгъл от -315 °. Все още не е ясно? След това погледнете снимката по-горе отново.

И това винаги трябва да се прави при преобразуване на положителни ъгли в отрицателни (и обратно) - нарисувайте кръг, маркирайте относно даден ъгъл, ние преценяваме колко градуса не са достатъчни за завършване на един оборот и получаваме получената разлика в обратната посока. И това е всичко.)

Какво друго е интересно за ъглите, заемащи една и съща позиция в кръга, какво мислите? И фактът, че в такива ъгли точно същото синус, косинус, тангенс и котангенс! Винаги!

Например:

Sin45 ° \u003d грех (-315 °)

Cos120 ° \u003d cos (-240 °)

Tg249 ° \u003d tg (-111 °)

Ctg333 ° \u003d ctg (-27 °)

Но това вече е изключително важно! За какво? Да, всички еднакви!) За опростяване на изразите. За опростяването на изразите е ключовата процедура за успешно решение всякакви задачи по математика. И включително тригонометрия.

И така, разбрахме общото правило за преброяване на ъгли върху окръжност. Е, ако тук загатнахме за пълни завои, за четвъртинки, тогава щеше да е време да се изкривим и нарисуваме същите тези ъгли. Да рисуваме ли?)

Да започнем с положителен ъгли. Те ще бъдат по-лесни за рисуване.

Начертайте ъгли в рамките на един оборот (между 0 ° и 360 °).

Нека нарисуваме например ъгъл от 60 °. Всичко е просто, няма проблеми. Изчертаваме координатните оси, кръг. Можете да го направите направо на ръка, без никакви компаси и линийка. Рисувам схематично: нямаме скици с вас. Няма нужда да се спазват ГОСТ, те няма да бъдат наказани.)

Можете (за себе си) да маркирате стойностите на ъглите по осите и да насочите стрелката в посоката срещу часовника.В края на краищата ще отложим в плюс?) Не можете да направите това, но трябва да запазите всичко в главата си.

И сега рисуваме втората (подвижна) страна на ъгъла. Коя четвърт? В първата, разбира се! За 60 градуса е строго между 0 ° и 90 °. Така че теглим през първата четвърт. Под ъгъл относно 60 градуса към неподвижната страна. Как да броим относно 60 градуса без транспортир? Лесно! 60 ° е две трети от прав ъгъл! Мислено разделяме първия ред на кръга на три части, вземаме две трети за себе си. И теглим ... Колко всъщност стигаме там (ако закачите транспортир и го измерите) - 55 градуса или 64 - няма значение! Важно е все още да е някъде около 60 °.

Получаваме картината:

Това е всичко. И не бяха необходими инструменти. Развитие на окото! Ще ви бъде полезен при геометрични проблеми.) Този неприятен чертеж може да бъде незаменим, когато трябва да надраскате кръг и ъгъл в бързаме, без наистина да мислите за красотата. Но в същото време драскане правилно, без грешки, с цялата необходима информация. Например като помощно средство при решаване на тригонометрични уравнения и неравенства.

Сега да нарисуваме ъгъл, например 265 °. Разберете къде може да се намира? Е, ясно е, че нито през първата четвърт, нито дори през втората: те завършват на 90 и 180 градуса. Можете да си представите, че 265 ° е 180 ° плюс още 85 °. Тоест към отрицателната полуос на OX (където 180 °) трябва да добавите относно 85 °. Или, още по-лесно, познайте, че 265 ° не достига отрицателната полуос OY (където 270 °) на някои нещастни 5 °. Накратко, този ъгъл ще бъде през третото тримесечие. Много близо до отрицателната полуос OY, до 270 градуса, но все пак в третата!

Теглим:

Отново тук не се изисква абсолютна точност. Нека в действителност този ъгъл се оказа, да речем, 263 градуса. Но най-важният въпрос (кое тримесечие?) отговорихме безпогрешно. Защо този въпрос е най-важният? Защото всяка работа с ъгъл в тригонометрията (няма значение дали ще нарисуваме този ъгъл или не) започва с отговора на точно този въпрос! Винаги. Ако пренебрегнете този въпрос или се опитате да отговорите психически, тогава грешките са почти неизбежни, да ... Имате ли нужда от него?

Помня:

Всяка работа с ъгъл (включително изчертаване на същия този ъгъл върху окръжност) винаги започва с определяне на четвъртината, в която този ъгъл попада.

Надявам се, че вече сте изобразили точно ъглите, например 182 °, 88 °, 280 °. AT правилно четвъртинки. В третия, първия и четвъртия, ако това ...)

Четвъртата четвърт завършва с ъгъл от 360 °. Това е един пълен завой. Ясно е, че този ъгъл върху окръжността заема същото положение като 0 ° (т.е. началото). Но ъглите не свършват там, да ...

Какво да правим с ъгли, по-големи от 360 °?

"Съществуват ли наистина?" - ти питаш. Има, как! Има например ъгъл от 444 °. И понякога, да речем, ъгъл от 1000 °. Има всякакви ъгли.) Просто визуално такива екзотични ъгли се възприемат малко по-трудно от ъглите, с които сме свикнали в рамките на една революция. Но също така трябва да можете да рисувате и изчислявате такива ъгли, да.

За да нарисувате правилно такива ъгли върху кръга, трябва да направите същото - разберете през кое тримесечие пада ъгълът на лихвите. Тук способността за точно определяне на тримесечието е много по-важна, отколкото за ъгли от 0 ° до 360 °! Самата процедура за определяне на тримесечието е сложна само с една стъпка. Какво, скоро ще видите.

Така например, трябва да разберем в коя четвърт попада ъгълът 444 °. Започваме да се извиваме. Накъде? Плюс това, разбира се! Дадоха ни положителен ъгъл! + 444 °. Усукване, усукване ... Усукано едно завъртане - достигнахме 360 °.

Колко време има до 444 °?Ние броим останалата опашка:

444 ° -360 ° \u003d 84 °.

Така че 444 ° е един пълен оборот (360 °) плюс още 84 °. Очевидно това е първото тримесечие. И така, ъгълът от 444 ° пада през първото тримесечие.Половината битка е свършена.

Сега остава да изобразим този ъгъл. Как Много просто! Правим един пълен оборот по червената (плюс) стрелка и добавяме още 84 °.

Като този:

Тук не си направих труда да затрупвам чертежа - да подписвам четвъртинките, да чертая ъгли по осите. Всичко това добро трябваше да е в главата ми отдавна.)

Но показах с „охлюв“ или спирала как точно се добавя ъгълът 444 ° от ъглите 360 ° и 84 °. Пунктираната червена линия е един пълен завой. Към които допълнително се завинтват 84 ° (плътна линия). Между другото, моля, имайте предвид, че ако това най-пълно завъртане се отхвърли, това няма да повлияе по никакъв начин на позицията на нашия ъгъл!

Но това е важно! Позиция на ъгъла 444 ° напълно съвпада с ъглова позиция от 84 °. Няма чудеса, просто така се случва.)

Възможно ли е да се отхвърли не една пълна революция, а две или повече?

Защо не? Ако ъгълът е голям, тогава това е не просто възможно, но дори необходимо! Ъгълът няма да се промени! По-точно самият ъгъл, разбира се, ще промени размера си. Но позицията му по кръга - няма как!) Ето защо те пълен се оказва, че колкото и копия да добавите, колкото и да извадите, пак ще постигнете същата точка. Хубаво, нали?

Помня:

Ако добавим (извадим) някоя цяло броят на пълните обороти, позицията на първоначалния ъгъл върху кръга НЯМА да се променя!

Например:

В каква четвърт попада ъгълът от 1000 °?

Няма проблем! Преброяваме колко пълни оборота седят в хиляда градуса. Една революция е 360 °, друга е 720 °, третата е 1080 ° ... Спри! Прекалено много! И така, под ъгъл от 1000 ° седи две пълен оборот. Изхвърляме ги от 1000 ° и изчисляваме остатъка:

1000 ° - 2 360 ° \u003d 280 °

Следователно положението на ъгъла 1000 ° върху окръжността същотокато под ъгъл от 280 °. С кое е много по-приятно да се работи.) И къде свършва този ъгъл? Попада в четвъртата четвърт: 270 ° (отрицателна полуос OY) плюс още десет.

Теглим:

Тук вече не нарисувах два пълни завоя с пунктирана спирала: оказва се болезнено дълъг. Просто нарисувахте останалата опашка от нулаизхвърляне всичко допълнителни завои. Сякаш изобщо не съществуват.)

Още веднъж. По приятелски начин ъглите 444 ° и 84 °, както и 1000 ° и 280 ° са различни. Но за синус, косинус, тангенс и котангенс тези ъгли са същото!

Както можете да видите, за да работите с ъгли, по-големи от 360 °, трябва да определите колко пълни оборота седи в даден голям ъгъл. Това е съвсем допълнителната стъпка, която трябва да се направи предварително при работа с такива ъгли. Нищо сложно, нали?

Изпускането на пълна скорост със сигурност е удоволствие.) Но на практика, когато работите с наистина ужасни ъгли, също възникват трудности.

Например:

В коя четвърт попада ъгълът 31240 °?

И така, ще добавим ли 360, много, много пъти? Можете, ако не изгори особено. Но можем не само да добавяме.) Можем и да разделяме!

Така че нека разделим нашия огромен ъгъл на 360 градуса!

С това действие ние просто откриваме колко пълни оборота са скрити в нашите 31240 градуса. Можете да разделите ъгъла, можете (шепнете в ухото си :)) на калкулатора.)

Получаваме 31240: 360 \u003d 86,777777….

Фактът, че броят се оказа дробен, не е страшен. Само ние цяло оборотите представляват интерес! Следователно не е необходимо да се разделя до края.)

И така, в нашия рошав ъгъл вече има 86 пълни оборота. Ужас…

В градуси ще бъде86 360 ° \u003d 30960 °

Като този. Точно това е колко градуса могат да бъдат безболезнено изхвърлени от дадения ъгъл от 31240 °. Остава:

31240 ° - 30960 ° \u003d 280 °

Всичко! Позицията на ъгъла 31240 ° е напълно идентифицирана! На същото място като 280 °. Тези. четвърта четвърт.) Изглежда, че сме нарисували този ъгъл и преди? Кога беше нарисуван ъгълът от 1000 °?) Там също отидохме на 280 градуса. Съвпадение.)

И така, моралът на тази басня е следният:

Ако ни бъде даден ужасен солиден ъгъл, тогава:

1. Определете колко пълни завоя седят в този ъгъл. За да направите това, разделете оригиналния ъгъл на 360 и изхвърлете дробната част.

2. Преброяваме колко градуса са в получения брой обороти. За целта умножете броя на оборотите по 360.

3. Извадете тези обороти от първоначалния ъгъл и работете с обичайния ъгъл, вариращ от 0 ° до 360 °.

Как да работя с отрицателни ъгли?

Няма проблем! По същия начин като при положителните, само с една единствена разлика. Как Да! Трябва да завъртите ъглите задната страна, отрицателно! По часовниковата стрелка.)

Нека нарисуваме например ъгъл от -200 °. Отначало всичко е както обикновено за положителните ъгли - оси, окръжност. Също така ще изобразим синя стрелка с минус и ще подпишем ъглите по осите по различен начин. Естествено, те също ще трябва да бъдат преброени в отрицателна посока. Това ще бъдат същите ъгли, стъпващи през 90 °, но отчетени в обратна посока, в минус: 0 °, -90 °, -180 °, -270 °, -360 °.

Картината ще изглежда така:

При работа с отрицателни ъгли често има усещане за леко объркване. Как така ?! Оказва се, че една и съща ос е едновременно, да речем, + 90 ° и -270 °? Не, тук нещо е нечисто ...

Да, всичко е чисто и прозрачно! В края на краищата вече знаем, че всяка точка от окръжността може да се нарече както положителен ъгъл, така и отрицателен! Абсолютно всякакви. Включително по някои от координатните оси. В нашия случай имаме нужда отрицателен смятане на ъгли. Така че отрязваме всички ъгли в минус.)

Сега е лесно да нарисувате правилно ъгъла от -200 °. Това е -180 ° и минус още 20 °. Започваме да се навиваме от нула до минус: прелитаме през четвъртата четвърт, преминаваме и през третата и достигаме -180 °. Къде да навием останалите двадесет? Да, всичко е там! До часовника.) Общият ъгъл -200 ° попада второ четвърти.

Сега разбирате ли колко е важно да запомните ъглите на координатните оси?

Ъглите на координатните оси (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) трябва да се помнят точно, за да се определи точно четвъртината, където ъгълът пада!

И ако ъгълът е голям, с няколко пълни завоя? Нищо грешно! Каква е разликата къде да се обърнат тези много пълни завои - плюс или минус? Точката върху кръга няма да промени позицията си!

Например:

В каква четвърт попада ъгълът -2000 °?

Все същото! Като начало преброяваме колко пълни революции седят в този зъл ъгъл. За да не косим в знаците, нека засега оставим минуса сам и просто разделим 2000 на 360. Получаваме 5 с опашка. Опашката още не ни притеснява, ще я преброим малко по-късно, когато ще нарисуваме ъгъла. Ние броим пет пълни обороти в градуси:

5 360 ° \u003d 1800 °

Vooot. Толкова много допълнителни градуси можете да изхвърлите безопасно от нашия ъгъл, без да навредите на здравето.

Ние броим останалата опашка:

2000 ° - 1800 ° \u003d 200 °

Но сега можем да си спомним за минуса.) Къде ще навием опашката от 200 °? Минус, разбира се! Дадохме отрицателен ъгъл.)

2000 ° \u003d -1800 ° - 200 °

Така че чертаем ъгъл от -200 °, но без излишни завои. Те просто го нарисуваха, но така да бъде, ще изпомпам още веднъж. На ръка.

Пиперът е ясен, че посоченият ъгъл от -2000 °, както и -200 °, попада второ тримесечие.

И така, разклащаме се на кръг ... съжалявам ... на мустаци:

Ако е посочен много голям отрицателен ъгъл, тогава първата част от работата с него (намиране на броя на пълните обороти и изхвърлянето им) е същата като при работа с положителен ъгъл. Знакът минус не играе никаква роля на този етап от решението. Знакът се взема предвид само в самия край, когато се работи с ъгъла, останал след премахването на пълните обороти.

Както можете да видите, рисуването на отрицателни ъгли върху окръжност не е по-трудно от рисуването на положителни ъгли.

Всичко е същото, само че в другата посока! По час!

А сега - забавната част! Разгледахме положителни ъгли, отрицателни ъгли, големи ъгли, малки - пълния обхват. Също така открихме, че всяка точка от окръжността може да се нарече положителен и отрицателен ъгъл, пуснахме пълни обороти ... Няма мисли? Трябва да се отложи ...

Да! Каквато и точка на кръга да вземете, тя ще съответства безкрайни ъгли! Големи и не толкова, положителни и отрицателни - всякакви! И разликата между тези ъгли ще бъде цяло брой пълни обороти. Винаги! Така работи тригонометричният кръг, да ...) Ето защо обратен задачата - да се намери ъгълът по познатия синус / косинус / тангенс / котангенс - е решена двусмислен... И много по-трудно. За разлика от директния проблем - за даден ъгъл намерете целия набор от неговите тригонометрични функции. И в по-сериозни теми за тригонометрията ( арки , тригонометрични уравнения и неравенства ) ние постоянно ще се сблъскваме с този брояч. Нека свикнем.)

1. В коя четвърт пада ъгълът -345 °?

2. В коя четвърт попада ъгълът 666 °?

3. В коя четвърт попада ъгълът 5555 °?

4. В коя четвърт пада ъгълът -3700 °?

5. Какъв знак имаcos999 °?

6. Какъв знак имаctg999 °?

И се получи? Перфектно! Има проблем? Тогава ти.

Отговори:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Този път отговорите бяха дадени по ред, в нарушение на традицията. Защото има само четири четвърти и има само два знака. Особено няма да избягате ...)

В следващия урок ще говорим за радиани, за мистериозното число "пи", ще се научим как лесно и просто да преобразуваме радиани в градуси и обратно. И ще бъдем изненадани да открием, че дори тези прости знания и умения ще ни бъдат достатъчни за успешно решаване на много нетривиални тригонометрични задачи!

Тази статия съдържа таблици на синуси, косинуси, тангенти и котангенти... Първо, даваме таблица на основните стойности на тригонометричните функции, т.е. таблица на синуси, косинуси, допирателни и котангенти на ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π радиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на допирателните и котангенсите на В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.

Навигация по страници.

Таблица на синусите, косинусите, допирателните и котангенсите за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

Списък с референции.

• Алгебра: Учебник. за 9 cl. Сряда училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: Ил. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М.И. Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 cl. Сряда шк. - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: Ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 cl. общо образование. институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и други; Изд. А. Н. Колмогоров. - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: Ил. - ISBN 5-09-013651-3
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми): Учебник. ръководство - M.; По-висок. шк., 1984.-351 с., ил.
• Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици: За общо образование. проучване. институции. - 2-ро изд. - М.: Дрофа, 1999. - 96 с.: Ил. ISBN 5-7107-2667-2