Задачи за събиране и изваждане на дроби. Задачи за събиране и изваждане на дроби Тема 1 алгебрични дроби аритметични операции

Тема:

Урок: Преобразуване на рационални изрази

1. Рационален израз и метод за неговото опростяване

Нека първо си припомним дефиницията за рационален израз.

Определение. Рационален израз - алгебричен израз, който не съдържа корени и включва само операциите на събиране, изваждане, умножение и деление (повишаване до степен).

Под понятието „преобразуване на рационален израз“ имаме предвид преди всичко неговото опростяване. И това се извършва в известния ни ред на действия: първо действия в скоби, след това произведение на числата(степенуване), разделяне на числа и след това действия за събиране / изваждане.

2. Опростяване на рационални изрази със сумата / разликата на дроби

Основната цел на днешния урок ще бъде натрупване на опит в решаването на по-сложни задачи за опростяване на рационалните изрази.

Пример 1.

Решение. Отначало може да изглежда, че посочените дроби могат да бъдат отменени, тъй като изразите в числителите на дроби са много подобни на формулите за перфектните квадрати на съответните им знаменатели. В този случай е важно да не бързате, а отделно да проверите дали това е така.

Нека проверим числителя на първата дроб :. Сега вторият числител :.

Както можете да видите, нашите очаквания не бяха изпълнени и изразите в числителите не са пълни квадратчета, тъй като те нямат удвояване на продукта. Такива изрази, ако си припомним хода на 7 клас, се наричат \u200b\u200bнепълни квадратчета. В такива случаи трябва да бъдете много внимателни, тъй като объркването на формулата на пълен квадрат с непълна е много често срещана грешка и такива примери проверяват вниманието на ученика.

Тъй като отмяната не е възможна, ще добавим дроби. Знаменателите нямат общи фактори, така че те просто се умножават, за да се получи най-ниският общ знаменател, а допълнителният коефициент за всяка от фракциите е знаменателят на другата дроб.

Разбира се, по-нататък можете да отворите скобите и след това да дадете подобни термини, но в този случай можете да се справите с по-малко усилия и да забележите в числителя първият член е формулата на сумата от кубчета, а вторият е разликата в кубовете. За удобство нека си припомним тези формули в общ вид:

В нашия случай изразите в числителя се свиват, както следва:

, вторият израз е същият. Ние имаме:

Отговор..

Пример 2. Опростете рационалното изразяване .

Решение. Този пример е подобен на предишния, но тук веднага можете да видите, че в числителите на фракциите има непълни квадратчета, така че намаляването в началния етап на решението е невъзможно. Подобно на предишния пример, добавете дроби:

Тук, подобно на посочения по-горе метод, забелязахме и свихме изразите според формулите за сумата и разликата на кубчетата.

Отговор..

Пример 3. Опростете рационалното изразяване.

Решение. Можете да видите, че знаменателят на втората фракция се факторизира, като се използва формулата за сумата от кубчета. Както вече знаем, факторирането на знаменателите е полезно за по-нататъшно намиране на най-ниския общ знаменател на дроби.

Нека посочим най-ниския общ знаменател на дроби, той е: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif "alt \u003d" (! LANG: http: //d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/ 23332 /.png" width="624" height="70">.!}

Отговор.

3. Опростяване на рационални изрази със сложни „многостепенни“ дроби

Нека да разгледаме по-сложен пример с „многостепенни“ фракции.

Пример 4. Докажете самоличността https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif "alt \u003d" (! LANG: http: //d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bd.ngp1738" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Доказано.

В следващия урок ще разгледаме по-отблизо по-сложни примери за трансформиране на рационални изрази.

Тема: Алгебрични дроби. Аритметични операции върху алгебрични дроби

Урок: Преобразуване на по-сложни рационални изрази

1. Пример за доказване на идентичност чрез трансформации на рационални изрази

В този урок ще разгледаме преобразуването на по-сложни рационални изрази. Първият пример ще бъде посветен на доказването на самоличността.

Пример 1

Докажете самоличността :.

Доказателства:

На първо място, при преобразуване на рационални изрази е необходимо да се определи редът на действията. Спомнете си, че действията в скоби се извършват първо, след това умножение и деление и след това събиране и изваждане. Следователно в този пример редът на действията ще бъде следният: първо, изпълнете действието в първите скоби, след това във вторите скоби, след това разделете получените резултати и след това добавете дроб към получения израз. В резултат на тези действия, както и опростяването, трябва да получите израз.

Този урок разглежда концепцията за алгебрична дроб. Човек се среща с фракции в най-простите житейски ситуации: когато е необходимо да се раздели обект на няколко части, например, нарязайте тортата по равно на десет души. Очевидно всеки ще получи парче от тортата. В този случай се сблъскваме с концепцията за числова дроб, но е възможна ситуация, когато даден обект е разделен на неизвестен брой части, например с x. В този случай възниква концепцията за дробен израз. Вече сте се срещали с целочислени изрази (не съдържащи разделяне на изрази с променливи) и техните свойства в 7-ми клас. След това ще разгледаме концепцията за рационална фракция, както и допустимите стойности на променливите.

Тема:Алгебрични дроби. Аритметични операции върху алгебрични дроби

Урок:Основни понятия

1. Определение и примери за алгебрични дроби

Рационалните изрази се разделят на цели и дробни изрази.

Определение. Рационална фракция - дробен израз на формата, където са полиноми. - числител знаменател.

Примери за рационални изрази: - дробни изрази; - цели изрази. В първия израз, например, той действа като числител и знаменател.

Стойност алгебрична дробкато всеки алгебричен израз, зависи от числената стойност на тези променливи, включени в него. По-специално, в първия пример стойността на фракцията зависи от стойностите на променливите и, а във втория само от стойността на променливата.

2. Изчисляване на стойността на алгебрична дроб и два основни проблема върху дробта

Помислете за първия типичен проблем: изчисляване на стойността рационална фракция за различни стойности на променливите, включени в него.

Пример 1. Изчислете стойността на фракцията при а), б), в)

Решение. Заместете стойностите на променливите в посочената фракция: а), б), в) - не съществува (тъй като не можете да разделите на нула).

Отговор: 3; 1; не съществува.

Както можете да видите, има два типични проблема за всяка дроб: 1) изчисляване на фракцията, 2) намиране валидни и невалидни стойности азбучни променливи.

Определение. Валидни стойности на променливите - стойностите на променливите, за които изразът има смисъл. Извиква се множеството от всички допустими стойности на променливи ODZ или домейн.

3. Допустими (ODZ) и невалидни стойности на променливи във фракции с една променлива

Стойността на литералните променливи може да е невалидна, ако знаменателят на фракцията за тези стойности е нула. Във всички останали случаи стойностите на променливите са валидни, тъй като фракцията може да бъде изчислена.

Пример 2. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

Решение. За да има смисъл този израз, е необходимо и достатъчно знаменателят на фракцията да не е равен на нула. По този начин само тези стойности на променливата, при които знаменателят е равен на нула, ще бъдат невалидни. Знаменателят на фракцията, така че нека решим линейното уравнение:

Следователно, когато стойността на променливата, фракцията няма смисъл.

Решението на примера предполага правилото за намиране на невалидни стойности на променливи - знаменателят на фракцията е равен на нула и се намират корените на съответното уравнение.

Нека разгледаме няколко подобни примера.

Пример 3. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

Решение. ...

Пример 4. Определете при какви стойности на променливата фракцията няма смисъл.

Решение ..

Има и други формулировки на този проблем - да се намери домейн или диапазон от валидни стойности на израз (ODZ)... Това означава - намерете всички валидни стойности на променливите. В нашия пример това са всички стойности с изключение. Удобно е да се нанесе регионът на дефиниция върху числовата ос.

За да направите това, ние ще извадим точка върху него, както е посочено на фигурата:

По този начин, домейна на фракцията ще бъдат всички числа с изключение на 3.

Пример 5. Определете при кои стойности на променливата фракцията няма смисъл.

Решение ..

Нека нарисуваме полученото решение на оста на числото:

4. Графично представяне на площта на допустимите (ODV) и невалидни стойности на променливите във фракции

Пример 6. Определете при какви стойности на променливите фракцията няма смисъл.

Решение .. Получихме равенство на две променливи, ще дадем числени примери: или и т.н.

Нанесете това решение в декартова координатна система:

Фигура: 3. Графика на функциите.

Координатите на която и да е точка на тази графика не са включени в диапазона на допустимите стойности на фракцията.

5. Случаят "разделяне на нула"

В разгледаните примери попаднахме на ситуация, при която се получи деление на нула. Сега разгледайте случая, когато възниква по-интересна ситуация на разделяне на типа.

Пример 7. Определете за какви стойности на променливите фракцията няма смисъл.

Решение ..

Оказва се, че за фракцията няма смисъл. Но може да се твърди, че това не е така, защото: .

Може да изглежда, че ако крайният израз е равен на 8 at, тогава може да се изчисли и оригиналният и следователно има смисъл в. Ако обаче го заместим в оригиналния израз, получаваме - няма смисъл.

За да разберем този пример по-подробно, нека решим следния проблем: при какви стойности посочената дроб е равна на нула?

(фракцията е нула, когато нейният числител е нула) ... Но е необходимо първоначалното уравнение да се реши с дроб и няма смисъл, тъй като при тази стойност на променливата знаменателят е нула. Следователно това уравнение има само един корен.

6. Правилото за намиране на DLD

По този начин можем да формулираме точно правило за намиране на диапазона на допустимите стойности на фракцията: да се намери ODZфракции необходимо и достатъчно е да приравним знаменателя му на нула и да намерим корените на полученото уравнение.

Покрихме две основни задачи: изчисляване на стойността на дроб за посочените стойности на променливите и намиране на диапазона на приемливите стойности на фракция.

Нека сега разгледаме още няколко проблема, които могат да възникнат при работа с дроби.

7. Различни цели и заключения

Пример 8. Докажете, че за всякакви стойности на променливата фракцията.

Доказателства. Числителят е положително число. ... В резултат на това и числителят, и знаменателят са положителни числа, следователно дробът също е положително число.

Доказано.

Пример 9. Известно е, че, намери.

Решение. Разделете члена на термина. Имаме право да намалим с, като вземем предвид коя е неприемливата стойност на променливата за тази фракция.

В този урок разгледахме основните понятия, свързани с дроби. В следващия урок ще разгледаме основно свойство на фракцията.

Библиография

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-то изд. - М.: Образование, 2010.

3. Николски С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 клас. Учебник за образователни институции. - М.: Образование, 2006.

1. Фестивал на педагогическите идеи.

2. Старо училище.

3. Интернет портал lib2.podelise. ru.

Домашна работа

1. No 4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. - 5-то изд. - М.: Образование, 2010.

2. Запишете рационална дроб, чиято област е: а) множество, б) множество, в) цялата числова ос.

3. Докажете, че за всички допустими стойности на променливата стойността на фракцията е неотрицателна.

4. Намерете обхвата на израза. Съвет: разгледайте два случая поотделно: когато знаменателят на долната дроб е нула и когато знаменателят на първоначалната дроб е нула.

В този урок ще продължим да разглеждаме най-простите операции с алгебрични дроби - тяхното събиране и изваждане. Днес ще се съсредоточим върху разглеждането на примери, в които най-важната част от решението ще бъде разлагането на знаменателя по всички начини, които познаваме: с общ фактор, метода на групиране, избора на пълен квадрат, като се използват съкратени формули за умножение. В хода на урока ще бъдат разгледани няколко доста трудни проблема за фракциите.

Тема:Алгебрични дроби. Аритметични операции върху алгебрични дроби

Урок:Проблеми със събирането и изваждането

В урока ще разгледаме и обобщим всички случаи на събиране и изваждане на дроби: с еднакви и с различни знаменатели. Като цяло ще решим проблеми от формата:

Вече видяхме, че при добавяне или изваждане на алгебрични дроби една от най-важните операции е факторизацията на знаменателите. Подобна процедура се извършва за обикновени фракции. Нека си припомним отново как е необходимо да се работи с обикновени дроби.

Пример 1.Изчисли.

Решение.Ще използваме, както преди, основната аритметична теорема, че всяко число може да бъде разложено на прости множители: .

Определете най-малкото общо кратно на знаменателите: - това ще бъде общият знаменател на фракциите и въз основа на него ще определим допълнителни фактори за всяка от фракциите: за първата фракция , за втората фракция , за третата фракция.

Отговор..

В този пример използвахме основната теорема за аритметиката за факториране на числата. Освен това, когато полиномите играят ролята на знаменатели, те ще трябва да бъдат факторизирани чрез следните известни ни методи: премахване на общ фактор, метод на групиране, разпределение на пълен квадрат, използване на съкратени формули за умножение.

Пример 2. Добавете и извадете дроби .

Решение.Знаменателите и на трите фракции са сложни изрази, които трябва да бъдат разложени на множители, след което се намира най-ниският общ знаменател за тях и се посочват допълнителни фактори за всяка от фракциите. Нека направим всички тези стъпки поотделно и след това заместим резултатите в оригиналния израз.

В първия знаменател изваждаме общия множител: - след изваждането на общия множител можете да забележите, че изразът в скоби е сгънат според формулата на квадрата на сумата.

Във втория знаменател изваждаме общия множител: - след изваждането на общия множител прилагаме формулата за разликата на квадратите.

В третия знаменател изваждаме общия фактор :.

След като разделим третия знаменател, можете да видите, че във втория знаменател можете да изберете коефициент за по-удобно търсене на най-малко общия знаменател на дроби, ние ще направим това, като поставим минуса извън скобите, във втората скоба сме сменили условията за повече удобна форма записи.

Нека определим най-ниския общ знаменател на дроби като израз, който е разделен на всички знаменатели едновременно, той ще бъде равен на :.

Посочваме допълнителни фактори: за първата фракция , за втората фракция - минусът, изваден в знаменателя, не се взема предвид, тъй като ще го запишем на цялата дроб, за третата дроб .

Сега нека изпълняваме действия с фракции, като не забравяме да сменим знака преди втората дроб:

На последния етап от решението представихме подобни термини и ги записахме в низходящ ред на степента на променливата.

Отговор..

Използвайки горния пример, отново, както и в предишните уроци, демонстрирахме алгоритъм за добавяне / изваждане на дроби, който е както следва: факторизираме знаменателите на дроби, намираме най-ниския общ знаменател, допълнителни фактори, изпълняваме процедурата за събиране / изваждане и, ако е възможно, опростяваме израз и изрязване. Ще използваме този алгоритъм в бъдеще. Нека сега разгледаме по-прости примери.

Пример 3.Извадете дроби .

Решение. В този пример е важно да се види възможност за намаляване на първата фракция, преди да я доведе до общ знаменател с втората фракция. За целта числителят и знаменателят на първата дроб се разлагат на фактори.

Числител: - при първото действие част от израза беше разширена с помощта на формулата за разликата на квадратите, а при второто беше изваден общия коефициент.

Знаменател: - при първото действие част от израза беше разширена с помощта на формулата на квадрата на разликата, а при второто беше изваден общия коефициент. Заместете получения числител и знаменател в оригиналния израз и отменете първата дроб с общ коефициент:

Отговор:.

Пример 4.Извършвайте действия .

Решение.В този пример, подобно на предишния, е важно да забележите и приложите намаляването на фракцията, преди да извършите действията. Нека разделим числителя и знаменателя.

Тестови въпроси

• 
  Формулирайте основното свойство на дроб.
• 
  Формулирайте
  1. 
     Алгоритъм за намиране на допълнителен фактор към алгебрична дроб.
  2. 
     Правила за събиране и изваждане за алгебрични дроби със същия знаменател.
  3. 
     Алгоритъм за намиране на общия знаменател на няколко дроби
  4. 
     Правилото за събиране (изваждане) на алгебрични дроби с различни знаменатели.
  5. 
     Правило за умножение за алгебрични дроби
  6. 
     Правило на деление за алгебрични дроби.
  7. 
     Правилото за издигане на алгебрична дроб в степен.

Раздел по математика. Чрез линия.

• 
  Числа и изчисления
• 
  Изрази и трансформации

• 
  Алгебрична дроб.
• 
  Намаляване на фракциите.
• 
  Действия с алгебрични дроби.

• 
  Умейте да намалявате алгебричните фракции.
• 
  

• 
  Умейте да извършвате основни операции с алгебрични дроби.
• 
  Умейте да изпълнявате комбинирани упражнения за действия с алгебрични дроби.

Тема 2. Квадратична функция. Функция ... (18 часа)

 Функция

Задължително минимално съдържание на образователната област по математика

Програма. Наблюдение на изпълнението му

Изисквания за математическо обучение

Нивото на задължително обучение на ученика

Нивото на възможно обучение на ученика

Тема 3 Функция ... Имоти корен квадратен (11 часа)

Раздел по математика. Чрез линия

• 
  Числа и изчисления
• 
  Изрази и трансформации
• 
  Функции

 Квадратен корен от число. Аритметичен квадратен корен.

 Концепцията за ирационално число... Нерационалност на числото.

 Реални числа.

 Свойства квадратни корени и тяхното приложение в изчисленията.

 Функция.

Програма. Наблюдение на изпълнението му

^ Изисквания за математическо обучение

Нивото на задължително обучение на ученика

 Намерете коренни значения в прости случаи.

 Познаване на дефиницията и свойствата на дадена функция , да може да изгради нейния график.

 Умейте да прилагате свойствата на аритметичните квадратни корени за изчисляване на стойности и най-простите преобразувания на числови изрази, съдържащи квадратни корени.

Нивото на възможно обучение на ученика

 Познайте концепцията за аритметичния квадратен корен.

 Умейте да прилагате свойствата на аритметичния квадратен корен при трансформиране на изрази.

 Умейте да използвате свойствата на дадена функция при решаване на практически задачи.

 Имайте представа за ирационални и реални числа.

^ Тема 4 Квадратни уравнения (21 часа)

Раздел по математика. Чрез линия

 Уравнения и неравенства

Задължително минимално съдържание на образователната област по математика

• Квадратично уравнение: формулата за корените на квадратно уравнение.

 Решаване на рационални уравнения.

 Решаване на задачи с думи с помощта на квадратни и дробни рационални уравнения.

Програма. Наблюдение на изпълнението му

^ Изисквания за обучение по математика

Нивото на задължително обучение на ученика

 Умейте да решавате квадратни уравнения, прости рационални и ирационални уравнения.

 Умейте да решавате прости задачи с думи, като използвате уравнения.

Нивото на възможно обучение на ученика

• 
  Разберете, че уравненията са математически апарат за решаване на различни задачи от математиката, свързани области на знанието, практика.
• 
  За да може да решава квадратни уравнения, рационални и ирационални уравнения, които се свеждат до квадратни.
• 
  Умейте да прилагате квадратни уравнения и рационални уравнения при решаване на задачи.