Корен квадратен. Квадратни коренни действия

Урок и презентация по темата:
"Свойства на квадратен корен. Формули. Примери за решения, проблеми с отговорите"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания. Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Integral за 8 клас
Геометрия за 10 минути Интерактивен урок за 8 клас
Учебен комплекс "1С: Училище. Геометрия, клас 8"

Свойства на квадратен корен

Свойство 1. Квадратният корен на произведението от две неотрицателни числа е равен на произведението квадратни корени от тези числа: $ \\ sqrt (a * b) \u003d \\ sqrt (a) * \\ sqrt (b) $.

Обичайно е да се доказват всякакви свойства, нека го направим.
Нека $ \\ sqrt (a * b) \u003d x $, $ \\ sqrt (a) \u003d y $, $ \\ sqrt (b) \u003d z $. Тогава доказваме, че $ x \u003d y * z $.
Нека да изравним всеки израз.
Ако $ \\ sqrt (a * b) \u003d x $, тогава $ a * b \u003d x ^ 2 $.
Ако $ \\ sqrt (a) \u003d y $, $ \\ sqrt (b) \u003d z $, след това на квадрат и двата израза получаваме: $ a \u003d y ^ 2 $, $ b \u003d z ^ 2 $.
$ a * b \u003d x ^ 2 \u003d y ^ 2 * z ^ 2 $, т.е. $ x ^ 2 \u003d (y * z) ^ 2 $. Ако квадратите на две неотрицателни числа са равни, то самите числа също са равни, което е необходимо за доказване.

От нашето свойство следва, че например $ \\ sqrt (5) * \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (15) $.

Забележка 1. Свойството е валидно и в случая, когато под корена има повече от два неотрицателни фактора.
Собственост 2. Ако $ a≥0 $ и $ b\u003e 0 $, тогава е вярно следното равенство: $ \\ sqrt (\\ frac (a) (b)) \u003d \\ frac (\\ sqrt (a)) (\\ sqrt (b)) $

Тоест, коренът на коефициента е равен на коефициента на корените.
Доказателства.
Нека използваме таблицата и накратко докажем собствеността си.

Примери за използване на свойствата на квадратни корени

Решение.
Разбира се, можем да вземем калкулатор, да умножим всички числа под корена и да извършим операцията с квадратния корен. И ако нямате под ръка калкулатор, какво да правите тогава?
$ \\ sqrt (81 * 25 * 121) \u003d \\ sqrt (81) * \\ sqrt (25) * \\ sqrt (121) \u003d 9 * 5 * 11 \u003d 495 $.
Отговор: 495.

Пример 2. Изчислете: $ \\ sqrt (11 \\ frac (14) (25)) $.

Решение.
Представяме радикалното число като неправилна част: $ 11 \\ frac (14) (25) \u003d \\ frac (11 * 25 + 14) (25) \u003d \\ frac (275 + 14) (25) \u003d \\ frac (289) (25) $.
Ще използваме собственост 2.
$ \\ sqrt (\\ frac (289) (25)) \u003d \\ frac (\\ sqrt (289)) (\\ sqrt (25)) \u003d \\ frac (17) (5) \u003d 3 \\ frac (2) (5) \u003d 3,4 долара.
Отговор: 3.4.

Пример 3.
Изчислете: $ \\ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Решение.
Можем да оценим директно нашия израз, но той почти винаги може да бъде опростен. Нека опитаме това.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Така че $ \\ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) \u003d \\ sqrt (16 * 64) \u003d \\ sqrt (16) * \\ sqrt (64) \u003d 4 * 8 \u003d 32 $.
Отговор: 32.

Момчета, моля, обърнете внимание, че за операциите на събиране и изваждане на радикални изрази не съществуват формули и изразите по-долу не са правилни.
$ \\ sqrt (a + b) ≠ \\ sqrt (a) + \\ sqrt (b) $.
$ \\ sqrt (a-b) ≠ \\ sqrt (a) - \\ sqrt (b) $.

Пример 4.
Изчислете: a) $ \\ sqrt (32) * \\ sqrt (8) $; б) $ \\ frac (\\ sqrt (32)) (\\ sqrt (8)) $.
Решение.
Горните свойства работят както отляво надясно, така и в обратен ред, т.е.
$ \\ sqrt (a) * \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a * b) $.
$ \\ frac (\\ sqrt (a)) (\\ sqrt (b)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (a) (b)) $.
Използвайки това, нека решим нашия пример.
а) $ \\ sqrt (32) * \\ sqrt (8) \u003d \\ sqrt (32 * 8) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16. $

Б) $ \\ frac (\\ sqrt (32)) (\\ sqrt (8)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (32) (8)) \u003d \\ sqrt (4) \u003d 2 $.

Отговор: а) 16; б) 2.

Собственост 3. Ако $ a≥0 $ и n е естествено число, тогава има равенство: $ \\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d a ^ n $.

Например. $ \\ sqrt (a ^ (16)) \u003d a ^ 8 $, $ \\ sqrt (a ^ (24)) \u003d a ^ (12) $ и т.н.

Пример 5.
Изчислете: $ \\ sqrt (129600) $.

Решение.
Представеното ни число е доста голямо, нека го разложим на прости фактори.
Получихме: $ 129600 \u003d 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ или $ \\ sqrt (129600) \u003d \\ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) \u003d 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 \u003d 5 * 8 * 9 \u003d 360 $.
Отговор: 360.

Задачи за независимо решение

Основни формули. Свойства на квадратни корени.

Внимание!
Има и допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които "много ...")

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват коренни формуликакво са коренови свойства, и какво можете да направите с всичко това.

Коренни формули, коренни свойства и правила за действия с корени по същество са едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Останалата част от тези три потока. Въпреки че много хора се губят в трите коренни формули, да ...

Нека започнем с най-простия. Ето я:

Ако този сайт ви харесва ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Свойства на квадратни корени

Досега сме извършили пет аритметични операции с числа: събиране, изваждане, умножение, разделяне и степенуване, а при изчисленията активно се използват различни свойства на тези операции, например a + b \u003d b + a, an-bn \u003d (ab) n и т.н.

Тази глава въвежда нова операция - извличане корен квадратен от неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателства. Нека въведем следната нотация: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt \u003d" (! LANG: Равенство" width="120" height="25 id=">!}.

Ще формулираме следващата теорема точно така.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на фракцията е равен на фракцията на корените, или коренът на коефициента е равен на коефициента на корените.)

Този път ще дадем само кратко резюме на доказателството и вие се опитвате да направите подходящите коментари, подобни на тези, които са формирали същността на доказателството на теорема 1.

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате под ръка калкулатор: умножете числата 36, 64, 9 и след това извлечете квадратния корен на получения продукт. Трябва обаче да признаете, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Забележка 4. При първия метод извършихме изчисления „челно“. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a2 - b2 \u003d (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Забележка 5. Някои горещи глави понякога предлагат това решение за пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: разбирате ли - резултатът не е същият като в нашия пример 3. Факт е, че няма собственост https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt \u003d" (! LANG: Quest" width="148" height="26 id=">!} Има само свойства, свързани с умножението и делението на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, за да не бъдете пожелателни.

В заключение на раздела отбелязваме още едно доста просто и същевременно важно свойство:
ако a\u003e 0 и n - естествено числотогава

Конвертиране на изрази, съдържащи квадратни корени

Досега ние с вас сме извършвали само трансформации рационални изрази, използвайки за това правилата за действие върху полиноми и алгебрични дроби, формули за съкратено умножение и др. В тази глава въведохме нова операция - операцията по извличане на квадратния корен; установихме това

където, припомняме, a, b са неотрицателни числа.

Използвайки тези формули, можете да извършвате различни трансформации на изрази, съдържащи операцията с квадратния корен. Нека разгледаме няколко примера и във всички примери ще приемем, че променливите приемат само неотрицателни стойности.

Пример 3. Въведете множителя под знака на квадратния корен:

Пример 6... Опростете Expression Solution. Нека извършим последователни трансформации:

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Лична информация означава данни, които могат да се използват за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
• Можем също да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получена от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете личните си данни. Можем също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, изменение и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние предоставяме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Математиката се ражда, когато човек осъзнае себе си и започне да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля - това е в основата на една от фундаменталните науки в наши дни. Първоначално това бяха частици от елементарната математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както се изрази един учен, „математиката достигна тавана на сложността, когато всички числа. " Понятието "квадратен корен" се появява по времето, когато може лесно да бъде подкрепено от емпирични данни, излизащи извън равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корен, който е този момент обозначен като √, е записан в трудовете на вавилонските математици, които поставят основите на съвременната аритметика. Разбира се, те не приличаха на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показва как да извлечем квадратния корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали процеса на извод √2 и той се оказа толкова правилен, че несъответствието в отговора беше открито само на десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие, че другите два са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, не можете да се измъкнете от извличането на корена.

Заедно с вавилонските произведения, обектът на статията е изучаван в китайската работа „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не е извлечен без остатък, дава ирационален резултат.

Произходът на този термин е свързан с арабското представяне на числото: древните учени са вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, подобно на растение. На латински тази дума звучи като radix (можете да проследите модел - всичко, което има „коренно“ семантично натоварване, е съгласно, независимо дали е репичка или радикулит).

Учените от следващите поколения възприемат тази идея, наричайки я Rx. Например през XV век, за да покажат, че е извлечен квадратният корен от произволно число a, те пишат R 2 a. „Кърлежът“, познат на съвременния облик, се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически казано, квадратният корен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 \u003d y е еквивалентно на √y \u003d z. Тази дефиниция обаче е подходяща само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателната стойност на израза. С други думи, √y \u003d z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло това, което е валидно за дефиницията на алгебричен корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, поради факта, че z 2 \u003d y и (-z) 2 \u003d y, имаме: √y \u003d ± z или √y \u003d | z |.

Поради факта, че любовта към математиката се е увеличила само с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, заедно с такива забавни явления като деня на пи, празниците на квадратния корен също се празнуват. Те се празнуват девет пъти за сто години и се определят съгласно следния принцип: числата, които показват деня и месеца по ред, трябва да бъдат корен квадратен от годината. И така, следващия път този празник ще се чества на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратен корен в полето R

Почти всички математически изрази са геометрично базирани, тази съдба не е преминала и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритми за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) нечетните числа се изваждат от числото, чийто корен се нуждаем от своя страна, докато остатъкът на изхода е по-малък от извадения или дори нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане необходимия брой. Например, изчисляване на квадратния корен от 25:

Следващото нечетно число е 11, имаме следния остатък: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение от серията на Тейлър:

√ (1 + y) \u003d ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, където n варира от 0 до

+ ∞ и | y | ≤1.

Графично представяне на функцията z \u003d √y

Да разгледаме елементарна функция z \u003d √y в полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Графиката му изглежда така:

Кривата нараства от началото и непременно пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z \u003d √y в полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниция на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата е включена).

2. Обхватът на стойностите на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z \u003d √y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z \u003d √y не е периодична.

6. Има само една точка на пресичане на графиката на функцията z \u003d √y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z \u003d √y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z \u003d √y нараства непрекъснато.

9. Функцията z \u003d √y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Варианти на функцията z \u003d √y

В математиката, за да улеснят изчисляването на сложни изрази, те понякога използват степенната форма на запис на квадратния корен: √y \u003d y 1/2. Тази опция е удобна, например, при повишаване на функция до степен: (√y) 4 \u003d (y 1/2) 4 \u003d y 2. Този метод също е добро представяне за диференциация с интегриране, тъй като благодарение на него квадратният корен е представен от обикновена степенна функция.

А при програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Трябва да се отбележи, че в тази област квадратният корен е много търсен, тъй като той е включен в повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратен корен в сложно поле C

Като цяло, предметът на тази статия стимулира откриването на полето на комплексни числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на четен корен от отрицателно число. Ето как се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: нейният квадрат е -1. Поради това квадратни уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C същите свойства са от значение за квадратния корен, както в R, единственото нещо е, че ограниченията са премахнати от радикалния израз.