Как да намеря квадратния корен? Свойства, примери за извличане на корен. Корен квадратен

Основни формули. Свойства на квадратни корени.

Внимание!
Има и допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които "много ...")

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват коренни формуликакво са коренови свойства, и какво можете да направите с всичко това.

Коренни формули, коренни свойства и правила за действия с корени по същество са едно и също нещо. Формули за квадратни корени изненадващо малко. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Останалата част от тези три потока. Въпреки че много хора се губят в трите коренни формули, да ...

Нека започнем с най-простия. Ето я:

Ако този сайт ви харесва ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Тази статия представлява колекция от подробна информация, свързана с темата за свойствата на root. Разглеждайки темата, ще започнем със свойствата, ще проучим всички формулировки и ще предоставим доказателства. За да подсилим темата, ще разгледаме свойствата на n-та степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства на корена

Ще говорим за свойства.

Имот умножени числа а и б, което се представя като равенството a b \u003d a b. Той може да бъде представен като фактори, положителни или равни на нула a 1, a 2, ..., a k като a 1 · a 2 · ... · a k \u003d a 1 · a 2 · ... · a k;
от коефициента a: b \u003d a: b, a ≥ 0, b\u003e 0, може да се запише и в тази форма a b \u003d a b;
Свойство от силата на число а с четен експонент a 2 m \u003d a m за произволно число анапример свойство от квадрата на числото a 2 \u003d a.

Във всяко от представените уравнения можете да разменяте частите преди и след тирето на места, например равенството a b \u003d a b се трансформира като a b \u003d a b. Свойствата на равенството често се използват за опростяване на сложни уравнения.

Доказателството за първите свойства се основава на дефиницията на квадратния корен и свойствата на градусите с естествени експоненти. За да се обоснове третото свойство, е необходимо да се обърнем към дефиницията на модула на число.

Първата стъпка е да се докажат свойствата на квадратния корен a b \u003d a b. Според дефиницията е необходимо да се има предвид, че a b е число, положително или равно на нула, на което ще бъде равно а бпри издигане на квадрат. Стойността на a · b е положителна или равна на нула като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степента на умножените числа ви позволява да представите равенство във формата (a b) 2 \u003d a 2 b 2. По дефиницията на квадратния корен a 2 \u003d a и b 2 \u003d b, след това a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

По подобен начин може да се докаже това от продукта к умножители a 1, a 2, ..., a k ще бъде равно на произведението на квадратни корени от тези фактори. Всъщност a 1 · a 2 · ... · a k 2 \u003d a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 \u003d a 1 · a 2 · ... · a k.

От това равенство следва, че a 1 · a 2 · ... · a k \u003d a 1 · a 2 · ... · a k.

Нека да разгледаме няколко примера, за да затвърдим темата.

Пример 1

3 5 2 5 \u003d 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 \u003d 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) \u003d 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Необходимо е да се докаже свойството на аритметичния квадратен корен от коефициента: a: b \u003d a: b, a ≥ 0, b\u003e 0. Свойството ви позволява да запишете равенството a: b 2 \u003d a 2: b 2 и a 2: b 2 \u003d a: b, като a: b е положително число или равно на нула. Този израз ще се превърне в доказателство.

Например 0: 16 \u003d 0: 16, 80: 5 \u003d 80: 5 и 3 0, 121 \u003d 3 0, 121.

Помислете за свойството на квадратния корен от квадрата на число. Може да се запише като равенство като 2 \u003d a За да се докаже това свойство, е необходимо да се разгледат подробно няколко равенства за a ≥ 0 и в а< 0 .

Очевидно за a ≥ 0 е вярно равенството a 2 \u003d a. Кога а< 0 равенството a 2 \u003d - a ще бъде вярно. Всъщност в този случай - a\u003e 0 и (- a) 2 \u003d a 2. Може да се заключи, че a 2 \u003d a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Нека разгледаме някои примери.

Пример 2

5 2 \u003d 5 \u003d 5 и - 0,36 2 \u003d - 0,36 \u003d 0,36.

Доказаното свойство ще помогне да се оправдае a 2 m \u003d a m, където а - истински и м -естествено число. Всъщност, свойството да повишаваш мощност ти позволява да замениш мощността a 2 m израз (a m) 2, тогава a 2 m \u003d (a m) 2 \u003d a m.

Пример 3

3 8 \u003d 3 4 \u003d 3 4 и (- 8, 3) 14 \u003d - 8, 3 7 \u003d (8, 3) 7.

Свойства на n-тия корен

Първо, трябва да разгледате основните свойства на n-ти корени:

Свойство от произведението на числата а и б, които са положителни или равни на нула, могат да бъдат изразени като равенството a b n \u003d a n b n, това свойство е валидно за продукта к числа a 1, a 2, ..., a k като a 1 · a 2 ·… · a k n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
от дробно число има свойството a b n \u003d a n b n, където а - всяко реално число, което е положително или равно на нула, и б - положително реално число;
За всеки а и дори показатели n \u003d 2 m a 2 m 2 m \u003d a, и за нечетно n \u003d 2 m - 1 важи равенството a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a.
Екстракционно свойство от a m n \u003d a n m, където а - всяко число, положително или равно на нула, н и м - естествени числа, това свойство може да бъде представено и като. ... ... a n k n 2 n 1 \u003d a n 1 n 2. ... ... · N k;
За всяко неотрицателно a и произволно н и м, които са естествени, можете също да определите справедливото равенство a m n · m \u003d a n;
Степен на собственост н от степента на числото акоето е положително или равно на нула, в естествена степен мдефиниран от равенството a m n \u003d a n m;
Сравнително свойство, което има същите показатели: за всякакви положителни числа а и б такъв, че а< b , неравенството a n< b n ;
Свойство за сравнение, които имат същите числа под корена: if м и н -естествени числа, които m\u003e n, след това в 0 < a < 1 неравенството a m\u003e a n е вярно и за a\u003e 1 a m< a n .

Посочените по-горе равенства са валидни, ако частите преди и след знака за равенство се разменят. Те могат да се използват като такива. Това често се използва при опростяване или преобразуване на изрази.

Доказателството за горните свойства на корена се основава на дефиницията, свойствата на степента и дефиницията на модула на число. Тези свойства трябва да бъдат доказани. Но всичко е в ред.

На първо място, ние доказваме свойствата на n-тия корен на продукта a b n \u003d a n b n. За а и б койтоса положителна или равна на нула , стойността a n · b n също е положителна или равна на нула, тъй като е следствие от умножаването на неотрицателни числа. Свойството на продукта в естествена степен ни позволява да запишем равенството a n b n n \u003d a n n b n n. По дефиниция на корена н-та степен a n n \u003d a и b n n \u003d b, следователно, a n b n n \u003d a b. Полученото равенство е точно това, което се изискваше да бъде доказано.

Това свойство се доказва по подобен начин за продукта к фактори: за неотрицателни числа a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Нека да дадем примери за използване на свойството root н-та степен от продукта: 5 2 1 2 7 \u003d 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 \u003d 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

Нека докажем свойството на корена на фактора a b n \u003d a n b n. Кога a ≥ 0 и b\u003e 0условието a n b n ≥ 0 е изпълнено и a n b n n \u003d a n n b n n \u003d a b.

Нека да покажем примери:

Пример 4

8 27 3 \u003d 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 \u003d 2, 3: 2 3 10.

За следващата стъпка е необходимо да се докажат свойствата на n-та степен от числото до степента н... Представяме това като равенство a 2 m 2 m \u003d a и a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a за всяко реално а и естествено м... Кога a ≥ 0 получаваме a \u003d a и a 2 m \u003d a 2 m, което доказва равенството a 2 m 2 m \u003d a, а равенството a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a е очевидно. Кога а< 0 получаваме съответно a \u003d - a и a 2 m \u003d (- a) 2 m \u003d a 2 m. Последната трансформация на числото е валидна според свойството на степента. Това доказва равенството a 2 m 2 m \u003d a, а a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a ще бъде вярно, тъй като за нечетна степен, която считаме - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m - 1 за произволно число ° С,положителна или равна на нула.

За да консолидирате получената информация, разгледайте няколко примера, използващи свойството:

Пример 5

7 4 4 \u003d 7 \u003d 7, (- 5) 12 12 \u003d - 5 \u003d 5, 0 8 8 \u003d 0 \u003d 0, 6 3 3 \u003d 6 и (- 3, 39) 5 5 \u003d - 3, 39.

Нека докажем следното равенство a m n \u003d a n · m. За да направите това, трябва да промените числата преди знака за равенство и след него на места a n · m \u003d a m n. Това ще означава правилното въвеждане. За а,което е положително или равна на нула , от формата a m n е число, положително или равно на нула. Нека се обърнем към свойството на повишаване на степен до степен и дефиниция. Те могат да се използват за преобразуване на равенства под формата a m n n · m \u003d a m n n m \u003d a m m \u003d a. Това доказва свойството на корена от разглеждания корен.

Други свойства се доказват по подобен начин. Наистина,. ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... N k \u003d. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... N k \u003d. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... N k \u003d. ... ... \u003d a n k n k \u003d a.

Например 7 3 5 \u003d 7 5 3 и 0 0009 6 \u003d 0, 0009 2 2 6 \u003d 0, 0009 24.

Нека докажем следното свойство a m n · m \u003d a n. За да направите това, е необходимо да покажете, че n е число, положително или равно на нула. Когато се вдигне на мощност n m е a m... Ако номерът а е положително или равно на нула, тогава н-та степен на а е число, положително или равно на нула. Освен това a n · m n \u003d a n n m, както се изисква.

За да консолидирате придобитите знания, разгледайте няколко примера.

Нека докажем следното свойство - свойството на корен от степен на формата a m n \u003d a n m. Очевидно е, че a ≥ 0 степента a n m е неотрицателно число. Освен това си н-та степен е a mвсъщност a n m n \u003d a n m n \u003d a n n m \u003d a m. Това доказва свойството на разглежданата степен.

Например 2 3 5 3 \u003d 2 3 3 5.

Необходимо е да се докаже, че за всякакви положителни числа а и б условието а< b ... Помислете за неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b ... Следователно a n< b n при а< b .

Например, нека дадем 12 4< 15 2 3 4 .

Помислете за свойството root н-та степен. Първо, трябва да разгледаме първата част от неравенството. Кога m\u003e n и 0 < a < 1 вярно a m\u003e a n. Да предположим, че a m ≤ a n. Свойствата ще опростят израза до a n m · n ≤ a m m · n. Тогава, според свойствата на степен с естествен показател, се изпълнява неравенството a n m n m n ≤ a m m n m n, т.е. a n ≤ a m... Получената стойност при m\u003e n и 0 < a < 1 не съответства на горните свойства.

По същия начин може да се докаже, че за m\u003e n и a\u003e 1състоянието a m< a n .

За да консолидирате горните свойства, разгледайте няколко конкретни примера. Помислете за неравенствата, като използвате конкретни числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Площта на квадратен парцел е 81 dm². Намери неговата страна. Да предположим, че страничната дължина на квадрат е х дециметри. Тогава площта на сайта е х² квадратни дециметра. Тъй като по условие тази площ е 81 dm², тогава х² \u003d 81. Дължината на страната на квадрата е положително число. Положителното число, чийто квадрат е 81, е числото 9. При решаването на задачата беше необходимо да се намери числото x, квадратът на което е 81, тоест да се реши уравнението х² \u003d 81. Това уравнение има два корена: х 1 \u003d 9 и х 2 \u003d - 9, тъй като 9² \u003d 81 и (- 9 )² \u003d 81. И двете числа 9 и - 9 се наричат \u200b\u200bквадратни корени на 81.

Имайте предвид, че един от квадратните корени х \u003d 9 е положително число. Нарича се аритметичен квадратен корен от 81 и се означава √81, като по този начин √81 \u003d 9.

Аритметичен квадратен корен от число и е неотрицателно число, чийто квадрат е и.

Например 6 и - 6 са квадратните корени на 36. В този случай 6 е аритметичният квадратен корен от 36, тъй като 6 е неотрицателно число и 6² \u003d 36. Числото - 6 не е аритметичен корен.

Аритметичен квадратен корен от число и обозначени както следва: √ и.

Знакът се нарича аритметичен квадратен корен; и - се нарича радикален израз. Израз √ ипрочети така: аритметичен квадратен корен от число и. Например √36 \u003d 6, √0 \u003d 0, √0.49 \u003d 0.7. В случаите, когато е ясно, че говорим за аритметичен корен, те накратко казват: „квадратният корен на и«.

Актът за намиране на квадратния корен от число се нарича извличане на квадратен корен. Това действие е обратното на квадратурата.

Всяко число може да бъде на квадрат, но не можете да правите квадратни корени от всяко число. Например не можете да извлечете квадратния корен от числото - 4. Ако такъв корен е съществувал, тогава, обозначавайки го с буквата х, бихме получили неправилно равенство х2 \u003d - 4, тъй като вляво има неотрицателно число, а вдясно отрицателно число.

Израз √ иима смисъл само когато a ≥0. Определението за квадратен корен може да бъде написано накратко, както следва: √ a ≥0, (√и)² = и... Равенство (√ и)² = ивалидно за a ≥0. По този начин, за да се уверите, че квадратният корен от неотрицателно число и е равно б, т.е. че √ и =б, трябва да проверите дали са изпълнени следните две условия: b ≥0, б² = и.

Квадратен корен на фракцията

Нека изчислим. Обърнете внимание, че √25 \u003d 5, √36 \u003d 6 и проверете дали важи равенството.

Защото и тогава равенството е вярно. Така, .

Теорема: Ако и ≥ 0 и б \u003e 0, т.е. коренът на фракцията е равен на корена на числителя, разделен на корена на знаменателя. Изисква се да се докаже, че: и .

Тъй като √ и ≥0 и √ б \u003e 0, тогава.

По свойството на издигане на дроб в степен и дефиницията на квадратен корен теоремата е доказана. Нека разгледаме някои примери.

Изчислете по доказаната теорема .

Втори пример: Докажете това , ако и ≤ 0, б < 0. .

Друг пример: Изчислете.

Преобразуване на квадратни корени

Премахване на фактора от коренния знак. Нека да бъде даден изразът. Ако и ≥ 0 и б ≥ 0, тогава от теоремата за произведението за корен можем да напишем:

Такава трансформация се нарича изваждане на фактор от знака на корена. Нека разгледаме един пример;

Изчислете на х \u003d 2. Директно заместване х \u003d 2 до радикален израз води до сложни изчисления. Тези изчисления могат да бъдат опростени, като първо се премахнат факторите от коренния знак :. Замествайки сега x \u003d 2, получаваме:.

Така че, когато премахвате фактора под знака на корена, радикалният израз се представя под формата на продукт, в който един или няколко фактора са квадрати на неотрицателни числа. След това се прилага теоремата за корен на продукта и се извлича коренът на всеки фактор. Помислете за пример: Опростете израза А \u003d √8 + √18 - 4√2, като премахнете факторите от коренния знак в първите два члена, получаваме:. Ние подчертаваме, че равенството важи само за и ≥ 0 и б ≥ 0. ако и < 0, то .

Математиката се ражда, когато човек осъзнае себе си и започне да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля - това е в основата на една от фундаменталните науки в наши дни. Отначало това бяха частици от елементарната математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както се изрази един учен, „математиката достигна тавана на сложността, когато изчезна всички числа. " Понятието "квадратен корен" се появява по времето, когато може лесно да бъде подкрепено от емпирични данни, излизащи извън равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корен, който е този момент обозначен като √, е записан в трудовете на вавилонските математици, които поставят основите на съвременната аритметика. Разбира се, те не приличаха на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те изведоха приблизителна формула за изчисление, която показа как да се извлече квадратният корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали процеса на извод √2 и той се оказа толкова правилен, че несъответствието в отговора беше открито само на десетия десетичен знак.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие, че другите два са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, не можете да се измъкнете от извличането на корена.

Наред с вавилонските произведения, предметът на статията е изучаван и в китайската работа „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не е извлечен без остатък, дава ирационален резултат.

Произходът на този термин е свързан с арабското представяне на числото: древните учени са вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, подобно на растение. На латински тази дума звучи като radix (можете да проследите модел - всичко, което има „коренно“ семантично натоварване, е съгласно, независимо дали е репичка или радикулит).

Учените от следващите поколения възприемат тази идея, наричайки я Rx. Например през XV век, за да покажат, че е извлечен квадратният корен от произволно число a, те пишат R 2 a. „Кърлежът“, познат на съвременната гледка, се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически квадратният корен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 \u003d y е еквивалентно на √y \u003d z. Това определение обаче е от значение само за аритметичен корентъй като предполага неотрицателната стойност на израза. С други думи, √y \u003d z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло това, което е валидно за дефиницията на алгебричен корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, поради факта, че z 2 \u003d y и (-z) 2 \u003d y, имаме: √y \u003d ± z или √y \u003d | z |.

Поради факта, че любовта към математиката се е увеличила само с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, заедно с такива забавни явления като деня на пи, празниците на квадратния корен също се празнуват. Те се празнуват девет пъти за сто години и се определят съгласно следния принцип: числата, които обозначават деня и месеца, трябва да бъдат корен квадратен от годината. И така, следващия път този празник ще се чества на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратен корен в полето R

Почти всички математически изрази имат геометрична основа, тази съдба не е преминала и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритми за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) нечетните числа се изваждат от числото, чийто корен се нуждаем от своя страна, докато остатъкът на изхода е по-малък от извадения или дори нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще се превърне в необходимия брой. Например, изчисляване на квадратния корен от 25:

Следващото нечетно число е 11, имаме следния остатък: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение от серията на Тейлър:

√ (1 + y) \u003d ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, където n приема стойности от 0 до

+ ∞ и | y | ≤1.

Графично представяне на функцията z \u003d √y

Да разгледаме елементарна функция z \u003d √y в полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Графиката му изглежда така:

Кривата нараства от началото и непременно пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z \u003d √y в полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниция на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата е включена).

2. Обхватът на стойностите на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z \u003d √y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z \u003d √y не е периодична.

6. Има само една точка на пресичане на графиката на функцията z \u003d √y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z \u003d √y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z \u003d √y нараства непрекъснато.

9. Функцията z \u003d √y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Варианти на функцията z \u003d √y

В математиката, за да улеснят изчисляването на сложни изрази, те понякога използват степенната форма на запис на квадратния корен: √y \u003d y 1/2. Тази опция е удобна, например, при повишаване на функция до степен: (√y) 4 \u003d (y 1/2) 4 \u003d y 2. Този метод също е добро представяне за диференциация с интегриране, тъй като благодарение на него квадратният корен е представен от обикновена степенна функция.

А при програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Трябва да се отбележи, че в тази област квадратният корен е много търсен, тъй като той е включен в повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратен корен в сложно поле C

Като цяло, предметът на тази статия стимулира откриването на полето на комплексни числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на четен корен от отрицателно число. Ето как се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: нейният квадрат е -1. Поради това квадратни уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C същите свойства са от значение за квадратния корен, както в R, единственото нещо е, че ограниченията са премахнати от радикалния израз.