Нерационални фракции. Ирационално число

Материалът в тази статия предоставя първоначална информация за ирационални числа... Първо ще дадем определение на ирационалните числа и ще го обясним. По-долу са дадени примери за ирационални числа. И накрая, нека разгледаме някои подходи за установяване дали дадено число е ирационално или не.

Навигация по страници.

Определение и примери за ирационални числа

Когато изучавахме десетични дроби, ние отделно разглеждахме безкрайни непериодични десетични дроби. Такива дроби възникват, когато се измерват десетични дължини на сегменти, несъизмерими с единичен сегмент. Също така отбелязахме, че безкрайните непериодични десетични дроби не могат да бъдат преобразувани във фракции (вижте преобразуването на обикновените дроби в десетични и обратно), следователно тези числа не са рационални числа, те представляват така наречените ирационални числа.

Така стигнахме до дефиниция на ирационални числа.

Определение.

Извикват се числа, които в десетична нотация представляват безкрайни непериодични десетични дроби ирационални числа.

Озвучената дефиниция позволява примери за ирационални числа... Например, безкрайната непериодична десетична дроб 4.10110011100011110000 ... (броят на единиците и нулите се увеличава с един всеки път) е ирационално число. Нека дадем още един пример за ирационално число: −22.353335333335 ... (броят на тройките, разделящи осмиците, се увеличава с две всеки път).

Трябва да се отбележи, че ирационалните числа рядко се срещат именно под формата на безкрайни непериодични десетични дроби. Обикновено те се намират във формата и т.н., както и под формата на специално въведени букви. Най-известните примери за ирационални числа в тази нотация са аритметичният квадратен корен от две, pi \u003d 3.141592 ..., e \u003d 2.718281 ... и златното число.

Нерационални числа може да се дефинира и чрез реални числа, които съчетават рационални и ирационални числа.

Определение.

Нерационални числа Дали са реални числа, които не са рационални.

Ирационален ли е този номер?

Когато числото е дадено не под формата на десетична дроб, а под формата на някакъв, корен, логаритъм и т.н., тогава е доста трудно да се отговори на въпроса дали е ирационално в много случаи.

Несъмнено, когато отговаряте на този въпрос, е много полезно да знаете кои числа не са ирационални. От определението за ирационални числа следва, че рационалните числа не са ирационални числа. По този начин ирационалните числа НЕ са:

крайни и безкрайни периодични десетични знаци.

Също така всеки състав от рационални числа, свързани със знаци, не е ирационално число аритметични операции (+, -, ·, :). Това е така, защото сумата, разликата, произведението и коефициентът на две рационални числа е рационално число. Например стойностите на изразите и са рационални числа. Тук отбелязваме, че ако в такива изрази сред рационалните числа има едно единично ирационално число, тогава стойността на целия израз ще бъде ирационално число. Например в израза числото е ирационално, а останалите числа са рационални, следователно ирационално число. Ако беше рационално число, тогава рационалността на числото би следвало от това, но не е рационално.

Ако изразът, който указва числото, съдържа няколко ирационални числа, коренни знаци, логаритми, тригонометрични функции, числа π, e и т.н., тогава се изисква да се докаже ирационалността или рационалността на дадено число във всеки конкретен случай... Съществуват обаче редица вече получени резултати, които могат да бъдат използвани. Нека изброим основните.

Доказано е, че корен от степен k от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на друго цяло число; в други случаи такъв корен указва ирационално число. Например числата и са ирационални, тъй като няма цяло число, чийто квадрат да е 7, и няма цяло число, чието издигане до петата степен да дава числото 15. И числата и не са ирационални, както и.

Що се отнася до логаритмите, понякога е възможно да се докаже тяхната ирационалност чрез противоречие. Като пример нека докажем, че log 2 3 е ирационално число.

Да предположим, че log 2 3 е рационално число, а не ирационално число, тоест може да бъде представено като обикновена дроб m / n. и ви позволяват да напишете следната верига от равенства :. Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата му страна нечетно число, а вдясно - дори. Така стигнахме до противоречие, което означава, че нашето предположение се оказа невярно и това доказа, че log 2 3 е ирационално число.

Обърнете внимание, че lna е ирационално число за всяко рационално a, което е положително и различно от единството. Например, и са ирационални числа.

Доказано е също, че числото e a за всяко ненулево рационално a е ирационално и че числото π z за всяко ненулево цяло число z е ирационално. Например числата са ирационални.

Нерационалните числа са също тригонометрични функции sin, cos, tg и ctg за всяка рационална и ненулева стойност на аргумента. Например sin1, tg (−4), cos5.7, са ирационални числа.

Има и други доказани резултати, но ние ще се ограничим до вече изброените. Трябва също да се каже, че в доказателството на резултатите, прозвучало по-горе, теорията, свързана с алгебрични числа и трансцендентални числа.

В заключение отбелязваме, че не бива да се правят прибързани заключения относно ирационалността на дадените числа. Например изглежда очевидно, че ирационално число до ирационална степен е ирационално число. Това обаче не винаги е така. Като потвърждение на изразения факт даваме степента. Известно е, че е ирационално число и също е доказано, че е ирационално число, но е рационално число. Можете също така да дадете примери за ирационални числа, чиято сума, разлика, продукт и коефициент са рационални числа. Освен това рационалността или ирационалността на числата π + e, π - e, π · e, π π, π e и много други все още не е доказана.

Библиография.

Математика. 6 клас: учебник. за общо образование. институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, Rev. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: Ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра: проучване. за 8 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми): Учебник. ръководство - M.; По-висок. шк., 1984.-351 с., ил.

Древните математици вече са познавали сегмент с единична дължина: те са знаели например несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на число.

Нерационални са:

Примери за доказателство за ирационалност

Корен от 2

Да предположим обратното: рационално, тоест, представя се като неприводима дроб, където и са цели числа. Нека изравним предполагаемото равенство:

Оттук следва, че дори означава равно и. Нека къде е цялото. Тогава

Следователно, дори означава дори и. Получихме това и сме четни, което противоречи на неприводимостта на фракцията. Това означава, че първоначалното предположение е било погрешно и - ирационално число.

Двоичен логаритъм от 3

Да предположим обратното: рационално, тоест представено като дроб, където и са цели числа. Тъй като и може да бъде избран положителен. Тогава

Но четни и странни. Получаваме противоречие.

д

История

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр. Н. Е., Когато Манава (около 750 г. пр. Н. Е. - около 690 г. пр. Н. Е.) Установява, че квадратни корени някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изразени изрично.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. Н. Е.), Питагорец, който намери това доказателство, изучавайки дължините на страни на пентаграма. По времето на питагорейците се е вярвало, че има една единица дължина, достатъчно малка и неделима, която влиза във всеки сегмент цял \u200b\u200bброй пъти. Хипас обаче доказа, че няма нито една единица за дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цяло число единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:

Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:бкъдето а и б избрана като възможно най-малката.
По теоремата на Питагор: а² \u003d 2 б².
Защото а² дори, а трябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
Защото а:б неприводим, б трябва да е странно.
Защото а дори, обозначават а = 2у.
Тогава а² \u003d 4 у² \u003d 2 б².
б² \u003d 2 у², следователно бТогава е равномерно б дори.
Доказано е обаче, че б странно. Противоречие.

Гръцките математици наричат \u200b\u200bтова съотношение на несъизмерими величини aalogos (неизразимо), обаче, според легендите, те не отдават на Хипас уважението, което заслужава. Легендата разказва, че Хипас е направил откритие, докато е бил на морско пътешествие и е бил изхвърлен зад борда от други питагорейци „за създаване на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат намалени до цели числа и техните взаимоотношения“. Откритието на Хипас се сблъсква с питагорейската математика сериозен проблем, унищожавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно и неразделно.

Вижте също

Бележки

Числови системи
Преброяване множества	Естествени числа () Цели числа ()

Рационално е число, което може да бъде представено като дроб, където ... Q е множеството от всички рационални числа.

Рационалните числа се подразделят на положителни, отрицателни и нулеви.

Всяко рационално число може да бъде свързано с една точка от координатната линия. Съотношението "наляво" за точки съответства на съотношението "по-малко" за координатите на тези точки. Може да се забележи, че всяко отрицателно число е по-малко от нула и всяко положително число; от две отрицателни числа, по-малко е това, чийто модул е \u200b\u200bпо-голям. И така, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Всяко рационално число може да бъде представено с десетична периодична дроб. Например, .

Алгоритмите за действия върху рационални числа произтичат от знаковите правила на съответните действия върху нула и положителни дроби. В Q се извършва деление, с изключение на деление на нула.

Всяко линейно уравнение, т.е. уравнение на формата ax + b \u003d 0, където, е разрешимо на множеството Q, но не и всяко квадратно уравнение на формата , може да се реши в рационални числа. Не всяка точка на координатната линия има рационална точка. Дори в края на VI век до. н. В училището на Питагор е доказано, че диагоналът на квадрат не е съизмерим с височината му, което е еквивалентно на твърдението: „Уравнението няма рационални корени“. Всичко по-горе доведе до необходимостта от разширяване на множеството Q, въведена е концепцията за ирационално число. Нека обозначим множеството ирационални числа с буквата J .

На координатната линия ирационалните координати имат всички точки, които нямат рационални координати. , където r са множества от реални числа. Десетичните дроби са универсален начин за задаване на реални числа. Периодичните десетични дроби са рационални числа, а непериодичните десетични са ирационални числа. И така, 2.03 (52) е рационално число, 2.03003000300003 ... (периодът на всяка следваща цифра "3" се записва още една нула) е ирационално число.

Множествата Q и R имат положителни свойства: между всякакви две рационални числа има рационално число, например isoi a

За всяко ирационално число α може да се посочи рационално приближение както с дефицит, така и с излишък с всякаква точност: a< α

Операцията по вземане на корена на някои рационални числа води до ирационални числа. Извличането на корен от естествена степен е алгебрична операция, т.е. въвеждането му е свързано с решаване на алгебрично уравнение на формата ... Ако n е нечетно, т.е. n \u003d 2k + 1, където, тогава уравнението има един корен. Ако n е четно, n \u003d 2k, където, тогава за a \u003d 0 уравнението има един корен x \u003d 0, за a<0 корней нет, при a>0 има два корена, които са противоположни един на друг. Извличането на корен е обратната операция на издигане до естествена сила.

Аритметичен корен (за краткост, корен) от n-та степен от неотрицателно число a е неотрицателно число b, което е коренът на уравнението. N-тият корен от числото a се обозначава със символа. За n \u003d 2 степента на корена 2 не е посочена :.

Например, тъй като 2 2 \u003d 4 и 2\u003e 0; от 3 3 \u003d 27 и 3\u003e 0; не съществува, защото -4<0.

При n \u003d 2k и a\u003e 0 корените на уравнението (1) се записват, както следва. Например корените на уравнението x 2 \u003d 4 са 2 и -2.

Когато n е нечетно, уравнение (1) има уникален корен за всеки. Ако a≥0, тогава е коренът на това уравнение. Ако<0, то –а>0 и е коренът на уравнението. И така, уравнението x 3 \u003d 27 има корен.

Много ирационални числа обикновено се обозначават с главна латинска буква I (\\ displaystyle \\ mathbb (I)) получер, без попълване. По този начин: I \u003d R ∖ Q (\\ displaystyle \\ mathbb (I) \u003d \\ mathbb (R) \\ backslash \\ mathbb (Q)), тоест множеството от ирационални числа е разликата между множествата от реални и рационални числа.

Древните математици вече са знаели за съществуването на ирационални числа, по-точно сегменти, несъизмерими със сегмент с единична дължина: те са знаели например несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5
Нерационални са:

Примери за доказателство за ирационалност

Корен от 2

Да предположим обратното: 2 (\\ displaystyle (\\ sqrt (2))) рационален, тоест представен като дроб m n (\\ displaystyle (\\ frac (m) (n)))където m (\\ displaystyle m) е цяло число и n (\\ displaystyle n) - естествено число.
Нека изравним предполагаемото равенство:
2 \u003d mn ⇒ 2 \u003d m 2 n 2 ⇒ m 2 \u003d 2 n 2 (\\ displaystyle (\\ sqrt (2)) \u003d (\\ frac (m) (n)) \\ Rightarrow 2 \u003d (\\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \\ Rightarrow m ^ (2) \u003d 2n ^ (2)).
История

Античност

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр. Н. Е., Когато Манава (около 750 г. пр. Н. Е. - около 690 г. пр. Н. Е.) Установява, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени [ ] .
Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. Н. Е.), Питагор. По времето на питагорейците се е смятало, че има една единица дължина, достатъчно малка и неделима, която е цял брой пъти, включени във всеки сегмент [ ] .
Няма точни данни за ирационалността на това число, което е доказано от Хипас. Според легендата той го е намерил, изучавайки дължините на страните на пентаграма. Следователно е разумно да се предположи, че това е златното сечение [ ] .
Гръцките математици наричат \u200b\u200bтова съотношение на несъизмерими величини aalogos (неизразимо), обаче, според легендите, те не отдават на Хипас уважението, което той заслужава. Има легенда, че Хипас е направил откритие по време на морско пътешествие и е бил изхвърлен зад борда от други питагорейци „за създаване на елемент на Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните взаимоотношения“. Откритието на Хипас създава сериозен проблем за питагорейската математика, разрушавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно и неразделно.

Рационално число - число, представено от обикновена дроб m / n, където числителят m е цяло число, а знаменателят n е естествено число. Всяко рационално число може да бъде представено като периодична безкрайна десетична дроб. Наборът от рационални числа се обозначава с Q.

Ако реалното число не е рационално, то то ирационално число... Десетичните дроби, изразяващи ирационални числа, са безкрайни и не периодични. Наборът от ирационални числа обикновено се обозначава с главна буква I.

Извиква се реалното число алгебриченако е корен от някакъв полином (ненулева степен) с рационални коефициенти. Извиква се всяко неалгебрично число трансцендентален.

Някои свойства:
При решаване на задачи може да бъде удобно, заедно с ирационалното число a + b√ c (където a, b са рационални числа, c е цяло число, което не е квадрат от естествено число), да се разгледа „конюгираното“ число a - b√ c: неговата сума и произведение с оригиналния - рационални числа. Така че a + b√ c и a - b√ c са корените на квадратно уравнение с целочислени коефициенти.

Проблеми с решенията

1. Докажете това

а) число √ 7;

б) числото lg 80;

в) числото √ 2 + 3 √ 3;

е ирационално.

а) Да предположим, че числото √ 7 е рационално. Тогава има съвместни p и q такива, че √ 7 \u003d p / q, откъдето получаваме p 2 \u003d 7q 2. Тъй като p и q са съвместни, p е 2 и следователно p е делимо на 7. Тогава p \u003d 7k, където k е някакво естествено число. Следователно q 2 \u003d 7k 2 \u003d pk, което противоречи на факта, че p и q са съвместни.

И така, предположението е невярно, което означава, че числото √ 7 е ирационално.

б) Нека приемем, че числото lg 80 е рационално. Тогава съществуват естествени числа p и q, такива че lg 80 \u003d p / q, или 10 p \u003d 80 q, откъдето получаваме 2 p - 4q \u003d 5 q - p. Като се има предвид, че числата 2 и 5 са \u200b\u200bсъвместни, виждаме, че последното равенство е възможно само за p - 4q \u003d 0 и q - p \u003d 0. Откъдето p \u003d q \u003d 0, което е невъзможно, тъй като p и q са избрани естествени.

И така, предположението е невярно, което означава, че числото lg 80 е ирационално.

в) Обозначаваме това число с x.

Тогава (x - √ 2) 3 \u003d 3, или x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). След като изравним това уравнение, установяваме, че x трябва да отговаря на уравнението

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Само числа 1 и -1 могат да бъдат неговите рационални корени. Проверката показва, че 1 и –1 не са корени.

И така, даденото число √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bе ирационално.

2. Известно е, че числата a, b, √ a –√ b, - рационален. Докажи това √ a и √ bСъщо така са рационални числа.

Помислете за продукта

(√ a - √ b) (√ a + √ b) \u003d a - b.

Брой √ a + √ b, което е равно на съотношението на числата a - b и √ a –√ b, е рационално, тъй като коефициентът на разделяне на две рационални числа е рационално число. Сборът от две рационални числа

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- рационално число, тяхната разлика,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

също е рационално число, както се изисква.

3. Докажете, че има положителни ирационални числа a и b, за които числото a b е естествено.

4. Има ли рационални числа a, b, c, d, удовлетворяващи равенството

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2,

където n е естествено число?

Ако равенството, дадено в условието, е изпълнено и числата a, b, c, d са рационални, тогава равенството е валидно:

(а - б √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

Но 5 - 4√2 (a - b√2) 2n + (c - d√2) 2n\u003e 0. Полученото противоречие доказва, че първоначалното равенство е невъзможно.

Отговор: не съществуват.

5. Ако сегменти с дължини a, b, c образуват триъгълник, тогава за всички n \u003d 2, 3, 4 ,. ... ... сегменти с дължини n √ a, n √ b, n √ c също образуват триъгълник. Докажи го.

Ако сегменти с дължини a, b, c образуват триъгълник, тогава неравенството на триъгълника дава

Следователно имаме

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Останалите случаи на проверка на неравенството в триъгълника се разглеждат по подобен начин, откъдето следва заключението.

6. Докажете, че безкрайната десетична фракция 0.1234567891011121314 ... (след десетичната запетая в ред са изписани всички естествени числа по ред) е ирационално число.

Както знаете, рационалните числа се изразяват в десетични дроби, които имат период, започващ от определен знак. Следователно е достатъчно да се докаже, че дадената дроб не е периодична от който и да е знак. Да предположим, че това не е така и някаква последователност T, състояща се от n цифри, е период на дроб, започващ от m-тия знак след десетичната запетая. Ясно е, че сред цифрите след m-тия знак има ненулеви, следователно в последователността от цифри Т. има ненулева цифра. Това означава, че като се започне от m-тата цифра след десетичната запетая, сред всеки n цифри в ред има ненулева цифра. Десетичната нотация на тази фракция обаче трябва да съдържа десетичната нотация на числото 100 ... 0 \u003d 10 k, където k\u003e m и k\u003e n. Ясно е, че този запис ще се появи вдясно от m-тата цифра и съдържа повече от n нули подред. По този начин получаваме противоречие, което допълва доказателството.

7. Получава се безкрайна десетична дроб 0, a 1 a 2 .... Докажете, че числата в десетичната му нотация могат да бъдат пренаредени така, че получената дроб да изразява рационално число.

Спомнете си, че една дроб изразява рационално число тогава и само ако е периодично, започвайки с определен знак. Разделяме числата от 0 до 9 на два класа: в първия клас включваме тези числа, които се срещат в оригиналната фракция краен брой пъти, във втория клас - тези, които се срещат в оригиналната фракция безкраен брой пъти. Нека започнем да изписваме периодичната дроб, която може да бъде получена от първоначалната пермутация на числата. Първо, след нула и запетая, записваме в произволен ред всички числа от първия клас - всеки толкова пъти, колкото се среща в началната дроб. Записаните цифри от първия клас ще предшестват периода в дробната част на десетичната дроб. Освен това записваме в някакъв ред, след като числата от втория клас. Ще декларираме тази комбинация като период и ще я повтаряме безкраен брой пъти. По този начин сме изписали необходимата периодична дроб, която изразява някакво рационално число.

8. Докажете, че във всяка безкрайна десетична дроб има последователност от десетични знаци с произволна дължина, която се появява безкрайно много пъти при разширяването на фракцията.

Нека m е произволно естествено число. Нека разделим дадената безкрайна десетична дроб на сегменти, с m цифри във всеки. Ще има безкрайно много такива сегменти. От друга страна, има само 10 m различни системи, състоящи се от m цифри, тоест краен брой. Следователно, поне една от тези системи трябва да се повтаря тук безкрайно много пъти.

Коментирайте. За ирационални числа √ 2, π или д ние дори не знаем коя цифра се повтаря безкрайно много пъти в безкрайните десетични дроби, представляващи ги, въпреки че всяко от тези числа, както може лесно да се докаже, съдържа поне две различни такива цифри.

9. Докажете по елементарен начин, че положителният корен на уравнението

е ирационално.

При x\u003e 0 лявата част на уравнението се увеличава с увеличаване на x и е лесно да се види, че при x \u003d 1,5 е по-малко от 10, а при x \u003d 1,6 е повече от 10. Следователно, единственият положителен корен от уравнението се намира в интервала (1,5 ; 1.6).

Записваме корена като неприводима дроб p / q, където p и q са някои съвместни естествени числа. Тогава за x \u003d p / q уравнението ще приеме следната форма:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

откъдето следва, че p е делител на 10, следователно p е равно на едно от числата 1, 2, 5, 10. Въпреки това, изписвайки дроби с числители 1, 2, 5, 10, веднага забелязваме, че никой от тях не попада в интервала (1,5; 1,6).

Така че, положителният корен от първоначалното уравнение не може да бъде представен като обикновена дроб, което означава, че е ирационално число.

10. а) Има ли три точки A, B и C на равнината, така че за всяка точка X дължината на поне един от сегментите XA, XB и XC да е ирационална?

б) Координатите на върховете на триъгълника са рационални. Докажете, че координатите на центъра на неговата описана окръжност също са рационални.

в) Съществува ли такава сфера, в която има точно една рационална точка? (Рационалната точка е точка, в която и трите декартови координати са рационални числа.)

а) Да, има. Нека C е средната точка на отсечката AB. Тогава XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Ако числото AB 2 е ирационално, то числата XA, XB и XC не могат да бъдат рационални едновременно.

б) Нека (a 1; b 1), (a 2; b 2) и (a 3; b 3) са координатите на върховете на триъгълника. Координатите на центъра на неговия описан кръг са дадени от система от уравнения:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Лесно е да се провери дали тези уравнения са линейни, което означава, че решението на разглежданата система от уравнения е рационално.

в) Такава сфера съществува. Например сфера с уравнението

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Точка O с координати (0; 0; 0) е рационална точка, лежаща върху тази сфера. Останалите точки на сферата са ирационални. Нека го докажем.

Да предположим обратното: нека (x; y; z) е рационална точка на сферата, различна от точката O. Ясно е, че x е различна от 0, тъй като при x \u003d 0 има уникално решение (0; 0; 0), което сега не сме заинтересовани. Нека разширим скобите и изразим √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

което не може да бъде за рационални x, y, z и ирационални √ 2. И така, O (0; 0; 0) е единствената рационална точка на разглежданата сфера.

Задачи без решения

1. Докажете, че числото

\\ [\\ sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

е ирационално.

2. За кои цели числа m и n важи равенството (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Има ли число a такова, че числата a - √ 3 и 1 / a + √ 3 да са цели числа?

4. Могат ли числата 1, √ 2, 4 да бъдат членове (не непременно съседни) на аритметична прогресия?

5. Докажете, че за всяко естествено число n уравнението (x + y√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 няма решения в рационални числа (x; y).