Колко ирационални числа са означени. Какво означава ирационално число?

От абстрактността на математическите понятия понякога произтича толкова отдалеченост, че мисълта неволно възниква: „Защо е всичко това?“. Но, въпреки първото впечатление, всички теореми, аритметични операции, функции и т.н. - нищо повече от желание за задоволяване на спешни нужди. Това може да се види особено ясно на примера за появата на различни комплекти.

Всичко започна с появата на естествени числа. И въпреки че е малко вероятно сега някой да може да отговори точно как е било, но най-вероятно краката на кралицата на науките растат от някъде в пещерата. Тук, анализирайки броя на кожите, камъните и племената, човек е множество „числа, които да се броят“. И това му беше достатъчно. До определен момент, разбира се.

След това беше необходимо да се разделят и вземат кожите и камъните. Така възникна необходимостта от аритметични операции, а с тях и рационални, които могат да бъдат определени като част от типа m / n, където например m е броят на кожите, n е броят на племената.

Изглежда, че вече откритият математически апарат е напълно достатъчен, за да се радваме на живота. Но скоро се оказа, че случаите, когато резултатът не е нещо, което не е цяло число, но дори и дробна част! И наистина, корен квадратен от двете не могат да бъдат изразени по друг начин с помощта на числителя и знаменателя. Или например добре познатото число Пи, открито от древногръцкия учен Архимед, също не е рационално. И такива открития с течение на времето станаха толкова много, че всички числа, които не се поддаваха на „рационализация“, бяха обединени и наречени ирационални.

Имоти

Разгледаните по-рано множества принадлежат към множеството основни понятия на математиката. Това означава, че те не могат да бъдат определени по отношение на по-прости математически обекти. Но това може да се направи с помощта на категории (от гръцки "Изявление") или постулати. В този случай е най-добре да се посочат свойствата на тези набори.

o Нерационални числа дефинирайте секции Дедекинд в множеството рационални числа, които нямат най-голямото число в долното и най-малкото число в горното.

o Всяко трансцендентално число е ирационално.

o Всяко ирационално число е или алгебрично, или трансцендентално.

o Наборът от числа е навсякъде плътен на числовата линия: има ирационално число между всяко.

o Комплектът е безброй, това е комплект от втората категория Baire.

o Този набор е подреден, т.е. за всеки два различни рационални числа a и b можете да посочите кое от тях е по-малко от другото.
o Между всеки две различни рационални числа има поне още едно и следователно безкраен набор от рационални числа.

o Аритметичните операции (събиране, умножение и деление) върху всякакви две рационални числа са винаги възможни и водят до определено рационално число. Изключение е делението на нула, което не е възможно.

o Всяко рационално число може да бъде представено като десетична дроб (краен или безкраен периодичен).

Какво представляват ирационалните числа? Защо се наричат \u200b\u200bтака? Къде се използват и какви са? Малцина могат да отговорят на тези въпроси без колебание. Но всъщност отговорите на тях са съвсем прости, въпреки че не всеки има нужда от тях и в много редки ситуации.

Същност и обозначение

Ирационалните числа са безкрайно непериодични Необходимостта от въвеждане на това понятие се дължи на факта, че съществуващите преди това понятия за реални или реални, цели числа, естествени и рационални числа вече са били недостатъчни за решаване на нови възникващи проблеми. Например, за да изчислите квадрата, от който 2 е, трябва да използвате непериодични безкрайни десетични дроби. В допълнение, много от най-простите уравнения също нямат решение, без да се въведе концепцията за ирационално число.

Този набор е означен като I. И, както вече е ясно, тези стойности не могат да бъдат представени като обикновена дроб, в числителя на която ще има цяло число, а в знаменателя -

За първи път, по един или друг начин, индийските математици се сблъскват с този феномен през 7 век, когато е открито, че квадратните корени на някои величини не могат да бъдат посочени изрично. И първото доказателство за съществуването на такива числа се приписва на питагорейския Хипас, който е направил това в процеса на изучаване на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Някои учени, живели преди нашата ера, допринесоха сериозно за изучаването на този набор. Въвеждането на концепцията за ирационални числа доведе до ревизия на съществуващата математическа система, поради което те са толкова важни.

произход на името

Ако съотношението на латински е "дроб", "съотношение", тогава префиксът "ir"
придава на тази дума противоположното значение. По този начин името на множеството от тези числа показва, че те не могат да бъдат корелирани с цели или дробни числа, те имат отделно място. Това следва от тяхната същност.

Място в общата класификация

Нерационалните числа, заедно с рационалните числа, принадлежат към групата на реалните или реалните числа, които от своя страна са сложни. Няма подмножества, но има алгебрични и трансцендентални разновидности, които ще бъдат разгледани по-долу.

Имоти

Тъй като ирационалните числа са част от множеството реални числа, тогава всички техни свойства, които се изучават в аритметика (те също се наричат \u200b\u200bосновни алгебрични закони) са приложими за тях.

a + b \u003d b + a (комутативност);

(a + b) + c \u003d a + (b + c) (асоциативност);

a + (-a) \u003d 0 (съществуване на противоположното число);

ab \u003d ba (закон за преместване);

(ab) c \u003d a (bc) (разпределителност);

a (b + c) \u003d ab + ac (закон за разпределение);

a x 1 / a \u003d 1 (съществуване на реципрочен);

Сравнението също се извършва в съответствие с общите закони и принципи:

Ако a\u003e b и b\u003e c, тогава a\u003e c (транзитивността на връзката) и. и т.н.

Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат преобразувани с помощта на основна аритметика. Няма специални правила за това.

Освен това действието на аксиомата на Архимед се разпростира върху ирационални числа. Той казва, че за всякакви две величини a и b е вярно твърдението, че като вземем a като термин достатъчен брой пъти, можете да надвишите b.

Използвайки

Въпреки факта, че в ежедневието не се налага да се справяте много често с тях, ирационалните числа не могат да бъдат преброени. Има много, но те са почти невидими. Навсякъде сме заобиколени от ирационални числа. Примери, познати на всички, са pi, равни на 3.1415926 ..., или e, което по същество е основата естествен логаритъм, 2.718281828 ... В алгебрата, тригонометрията и геометрията те трябва да се използват постоянно. Между другото, известното значение на "златното сечение", т.е. съотношението както на по-голямата част към по-малката, така и обратно, също

се отнася до този набор. По-малко познатото "сребро" също е.

На числовата линия те са много плътно разположени, така че между всякакви две величини, отнесени към множеството рационални, непременно се среща ирационална.

Все още има много нерешени проблеми, свързани с този набор. Има критерии като мярката за ирационалност и нормалността на дадено число. Математиците продължават да разглеждат най-значимите примери за принадлежност към една или друга група. Например, счита се, че e е нормално число, тоест вероятността да се появят различни цифри в неговия запис е еднаква. Що се отнася до pi, текат изследвания върху него. Мярката за ирационалност е величина, която показва колко добре дадено число може да бъде приближено чрез рационални числа.

Алгебрични и трансцендентални

Както вече споменахме, ирационалните числа обикновено се разделят на алгебрични и трансцедентални. Условно, тъй като, строго погледнато, тази класификация се използва за разделяне на множеството C.

Това обозначение крие комплексни числа, които включват реални или реални.

И така, алгебрична стойност е стойност, която е корен на полином, който не е идентично нула. Например квадратният корен от 2 би бил в тази категория, защото е решението на уравнението x 2 - 2 \u003d 0.

Всички други реални числа, които не отговарят на това условие, се наричат \u200b\u200bтрансцендентални. Най-известните и вече споменати примери принадлежат към този сорт - числото pi и основата на естествения логаритъм e.

Интересното е, че нито едното, нито второто първоначално не са изведени от математиците в това си качество, тяхната ирационалност и трансцендентност са доказани много години след откриването им. За pi доказателството беше представено през 1882 г. и опростено през 1894 г., като по този начин сложи край на противоречието от 2,5 хиляди години за проблема с квадратурата на кръга. Той все още не е напълно разбран, така че съвременните математици имат върху какво да работят. Между другото, първото достатъчно точно изчисление на тази стойност е извършено от Архимед. Преди него всички изчисления бяха твърде груби.

За e (номер на Euler или Napier), доказателства за неговата трансцендентност са намерени през 1873 година. Използва се за решаване на логаритмични уравнения.

Други примери включват стойности на синус, косинус и тангенс за всякакви алгебрични ненулеви стойности.

Древните математици вече са познавали сегмент с единична дължина: те са знаели например несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на число.

Нерационални са:

Примери за доказателство за ирационалност

Корен от 2

Да предположим обратното: рационално, тоест, то е представено като неприводима дроб, където и са цели числа. Нека изравним предполагаемото равенство:

Оттук следва, че дори означава равно и. Нека къде е цялото. Тогава

Следователно, дори означава дори и. Получихме това и сме четни, което противоречи на неприводимостта на фракцията. Това означава, че първоначалното предположение е било погрешно и - ирационално число.

Двоичен логаритъм от 3

Да предположим обратното: рационално, тоест представено като дроб, където и са цели числа. Тъй като и може да бъде избран положителен. Тогава

Но четни и странни. Получаваме противоречие.

д

История

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр. Н. Е., Когато Манава (около 750 г. пр. Н. Е. - около 690 г. пр. Н. Е.) Установява, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61 не могат да бъдат изрично изразени.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. Н. Е.), Питагорец, който намери това доказателство, изучавайки дължините на страните на пентаграма. По времето на питагорейците се е вярвало, че има една единица дължина, достатъчно малка и неделима, която влиза във всеки сегмент цял \u200b\u200bброй пъти. Хипас обаче доказа, че няма нито една единица за дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цяло число единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:

• Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:бкъдето а и б избрана като възможно най-малката.
• По теоремата на Питагор: а² \u003d 2 б².
• Защото а² дори, а трябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
• Дотолкова доколкото а:б неприводим, б трябва да е странно.
• Защото а дори, обозначават а = 2у.
• Тогава а² \u003d 4 у² \u003d 2 б².
• б² \u003d 2 у², следователно бТогава е равномерно б дори.
• Доказано е обаче, че б странно. Противоречие.

Гръцките математици наричат \u200b\u200bтова съотношение на несъизмерими величини aalogos (неизразимо), обаче, според легендите, те не отдават на Хипас уважението, което той заслужава. Легендата разказва, че Хипас е направил откритие, докато е бил на морско пътешествие и е бил изхвърлен зад борда от други питагорейци „за създаване на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните взаимоотношения“. Откритието на Хипас се сблъсква с питагорейската математика сериозен проблем, унищожавайки основното предположение на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно и неразделни.

Вижте също

Бележки

Наборът от всички естествени числа е обозначен с буквата N. Естествените числа са числа, които използваме за преброяване на обекти: 1,2,3,4, ... В някои източници числото 0 се нарича още естествени числа.

Наборът от всички цели числа се обозначава с буквата Z. Целите числа са всички естествени числа, нула и отрицателни числа:

1,-2,-3, -4, …

Сега добавяме към множеството от всички цели числа множеството от всички обикновени дроби: 2/3, 18/17, -4/5 и т.н. След това получаваме множеството от всички рационални числа.

Множеството от рационални числа

Множеството от всички рационални числа се обозначава с буквата Q. Множеството от всички рационални числа (Q) е множеството, състоящо се от числа от формата m / n, -m / n и числото 0. В като n, m всяко естествено число може да действа. Трябва да се отбележи, че всички рационални числа могат да бъдат представени като краен или безкраен PERIODIC десетичен дроб. Вярно е и обратното, че всяка крайна или безкрайна периодична десетична дроб може да бъде записана като рационално число.

Но какво ще кажете например за числото 2.0100100010 ...? Това е безкрайно НЕПРЕХОДНА десетична дроб. И не се отнася за рационални числа.

В учебния курс по алгебра се изучават само реални (или реални) числа. Множеството от всички реални числа се обозначава с буквата R. Множеството R се състои от всички рационални и всички ирационални числа.

Нерационални числа

Ирационалните числа са всички безкрайни десетични непериодични дроби. Ирационалните числа нямат специално обозначение.

Например всички числа, получени чрез извличане на квадратния корен от естествени числа, които не са квадрати от естествени числа, ще бъдат ирационални. (√2, √3, √5, √6 и др.).

Но не мислете, че ирационалните числа се получават само чрез извличане квадратни корени... Например числото "pi" също е ирационално и се получава чрез деление. И колкото и да се опитвате, не можете да го получите, като вземете корен квадратен от всяко естествено число.

Разбирането на числата, особено на естествените числа, е едно от най-старите математически „умения“. Много цивилизации, дори съвременни, приписват някои мистични свойства на числата поради голямото им значение при описването на природата. Въпреки че съвременната наука и математика не поддържат тези "магически" свойства, значението на теорията на числата е неоспоримо.

В исторически план първо се появиха много естествени числа, след което към тях бяха добавени дробни и положителни ирационални числа доста скоро. Нулеви и отрицателни числа бяха въведени след тези подмножества от множеството реални числа. Последният набор, набор от комплексни числа, се появява едва с развитието на съвременната наука.

В съвременната математика числата не се въвеждат в исторически ред, макар и в доста близък до него.

Естествени числа $ \\ mathbb (N) $

Наборът от естествени числа често се означава като $ \\ mathbb (N) \u003d \\ lbrace 1,2,3,4 ... \\ rbrace $ и често е подплатен с нула, за да обозначи $ \\ mathbb (N) _0 $.

В $ \\ mathbb (N) $ операциите на събиране (+) и умножение ($ \\ cdot $) са дефинирани със следните свойства за всеки $ a, b, c \\ in \\ mathbb (N) $:

1. $ a + b \\ in \\ mathbb (N) $, $ a \\ cdot b \\ in \\ mathbb (N) $ наборът $ \\ mathbb (N) $ се затваря при операциите събиране и умножение
2. $ a + b \u003d b + a $, $ a \\ cdot b \u003d b \\ cdot a $ комутативност
3. $ (a + b) + c \u003d a + (b + c) $, $ (a \\ cdot b) \\ cdot c \u003d a \\ cdot (b \\ cdot c) $ асоциативност
4. $ a \\ cdot (b + c) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c $ разпределителен
5. $ a \\ cdot 1 \u003d a $ е неутралният елемент за умножение

Тъй като множеството $ \\ mathbb (N) $ съдържа неутрален елемент за умножение, но не и за събиране, добавянето на нула към този набор гарантира, че включва неутрален елемент за събиране.

В допълнение към тези две операции, на множеството $ \\ mathbb (N) $, връзките "по-малко" ($

1. $ a b $ трихотомия
2. ако $ a \\ leq b $ и $ b \\ leq a $, тогава $ a \u003d b $ антисиметрия
3. ако $ a \\ leq b $ и $ b \\ leq c $, тогава $ a \\ leq c $ е транзитивност
4. ако $ a \\ leq b $, след това $ a + c \\ leq b + c $
5. ако $ a \\ leq b $, след това $ a \\ cdot c \\ leq b \\ cdot c $

Цели числа $ \\ mathbb (Z) $

Примери за цели числа:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решението на уравнението $ a + x \u003d b $, където $ a $ и $ b $ са известни естествени числа, а $ x $ е неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова операция - изваждане (-). Ако има естествено число $ x $, отговарящо на това уравнение, тогава $ x \u003d b-a $. Това конкретно уравнение обаче не е задължително да има решение на множеството $ \\ mathbb (N) $, така че практическите съображения изискват разширяване на множеството от естествени числа, за да се включат решения на такова уравнение. Това води до въвеждане на набор от цели числа: $ \\ mathbb (Z) \u003d \\ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \\ rbrace $.

Тъй като $ \\ mathbb (N) \\ subset \\ mathbb (Z) $, логично е да се приеме, че по-рано въведените операции $ + $ и $ \\ cdot $ и отношенията $ 1. $ 0 + a \u003d a + 0 \u003d a $ има неутрален елемент за допълнения
2. $ a + (- a) \u003d (- a) + a \u003d 0 $ има противоположно число $ -a $ за $ a $

Свойство 5.:
5. ако $ 0 \\ leq a $ и $ 0 \\ leq b $, след това $ 0 \\ leq a \\ cdot b $

Наборът $ \\ mathbb (Z) $ също се затваря при операцията по изваждане, т.е. $ (\\ forall a, b \\ in \\ mathbb (Z)) (a-b \\ in \\ mathbb (Z)) $.

Рационални числа $ \\ mathbb (Q) $

Примери за рационални числа:
$ \\ frac (1) (2), \\ frac (4) (7), - \\ frac (5) (8), \\ frac (10) (20) ... $

Сега помислете за уравнения от вида $ a \\ cdot x \u003d b $, където $ a $ и $ b $ са известни цели числа, а $ x $ е неизвестно. За да стане възможно решението, е необходимо да се въведе операцията за разделяне ($: $) и решението приема формата $ x \u003d b: a $, тоест $ x \u003d \\ frac (b) (a) $. Отново възниква проблемът, че $ x $ не винаги принадлежи на $ \\ mathbb (Z) $, така че наборът от цели числа трябва да бъде разширен. Това въвежда множеството рационални числа $ \\ mathbb (Q) $ с елементи $ \\ frac (p) (q) $, където $ p \\ in \\ mathbb (Z) $ и $ q \\ in \\ mathbb (N) $. Наборът $ \\ mathbb (Z) $ е подмножество, в което всеки елемент е $ q \u003d 1 $, следователно $ \\ mathbb (Z) \\ subset \\ mathbb (Q) $ и операциите по събиране и умножение се разширяват до този набор съгласно следните правила, които запазват всички горни свойства на множеството $ \\ mathbb (Q) $:
$ \\ frac (p_1) (q_1) + \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1 \\ cdot q_2 + p_2 \\ cdot q_1) (q_1 \\ cdot q_2) $
$ \\ frac (p-1) (q_1) \\ cdot \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1 \\ cdot p_2) (q_1 \\ cdot q_2) $

Разделението се въвежда по този начин:
$ \\ frac (p_1) (q_1): \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1) (q_1) \\ cdot \\ frac (q_2) (p_2) $

На множеството $ \\ mathbb (Q) $ уравнението $ a \\ cdot x \u003d b $ има уникално решение за всеки $ a \\ neq 0 $ (делението на нула не е дефинирано). Това означава, че има обратно $ \\ frac (1) (a) $ или $ a ^ (- 1) $:
$ (\\ forall a \\ in \\ mathbb (Q) \\ setminus \\ lbrace 0 \\ rbrace) (\\ съществува \\ frac (1) (a)) (a \\ cdot \\ frac (1) (a) \u003d \\ frac (1) (а) \\ cdot a \u003d a) $

Редът на множеството $ \\ mathbb (Q) $ може да бъде удължен, както следва:
$ \\ frac (p_1) (q_1)

Множеството $ \\ mathbb (Q) $ има едно важно свойство: между всякакви две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, следователно няма две съседни рационални числа, за разлика от множествата на натурали и цели числа.

Ирационални числа $ \\ mathbb (I) $

Примери за ирационални числа:
$0.333333...$
$ \\ sqrt (2) \\ приблизително 1.41422135 ... $
$ \\ pi \\ приблизително 3,1415926535 ... $

Предвид факта, че между всякакви две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, лесно е да се направи погрешно заключение, че множеството рационални числа е толкова плътно, че няма нужда от по-нататъшното му разширяване. Дори Питагор е направил такава грешка по негово време. Обаче вече съвременниците му опровергаха това заключение, когато изучаваха решенията на уравнението $ x \\ cdot x \u003d 2 $ ($ x ^ 2 \u003d 2 $) върху множеството рационални числа. За да се реши такова уравнение, е необходимо да се въведе понятието квадратен корен и тогава решението на това уравнение има формата $ x \u003d \\ sqrt (2) $. Уравнение от типа $ x ^ 2 \u003d a $, където $ a $ е известно рационално число, а $ x $ е неизвестно, не винаги има решение за множеството рационални числа и отново има нужда от разширяване на множеството. Възниква набор от ирационални числа и числа като $ \\ sqrt (2) $, $ \\ sqrt (3) $, $ \\ pi $ ... принадлежат към този набор.

Реални числа $ \\ mathbb (R) $

Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа. Тъй като $ \\ mathbb (Q) \\ subset \\ mathbb (R) $, отново е логично да се приеме, че въведените аритметични операции и релации запазват своите свойства в новия набор. Официалното доказателство за това е много трудно, следователно горните свойства аритметични операции и отношенията върху множеството реални числа се въвеждат като аксиоми. В алгебра такъв обект се нарича поле, така че те казват, че множеството от реални числа е подредено поле.

За да бъде дефиницията на множеството реални числа пълна, е необходимо да се въведе допълнителна аксиома, разграничаваща множествата $ \\ mathbb (Q) $ и $ \\ mathbb (R) $. Да предположим, че $ S $ е непразно подмножество от множеството реални числа. Елементът $ b \\ in \\ mathbb (R) $ се нарича горната граница на множеството $ S $, ако $ \\ forall x \\ in S $ е вярно $ x \\ leq b $. Тогава се казва, че множеството $ S $ е ограничено по-горе. Най-малката горна граница на множеството $ S $ се нарича супремум и се обозначава с $ \\ sup S $. Подобно се въвеждат понятията за долна граница, набор, ограничен отдолу, и безкраен $ \\ inf S $. Липсващата аксиома сега е формулирана по следния начин:

Всяко непразно и ограничено подмножество на множеството реални числа има супремум.
Можете също така да докажете, че полето с реални числа, дефинирано по горния начин, е уникално.

Комплексни числа $ \\ mathbb (C) $

Примери за комплексни числа:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ където $ i \u003d \\ sqrt (-1) $ или $ i ^ 2 \u003d -1 $

Наборът от комплексни числа представлява всички подредени двойки реални числа, т.е. начин:
$ (a, b) + (c, d) \u003d (a + b, c + d) $
$ (a, b) \\ cdot (c, d) \u003d (ac-bd, ad + bc) $

Има няколко форми на нотация за комплексни числа, от които най-често срещаният е $ z \u003d a + ib $, където $ (a, b) $ е двойка реални числа, а числото $ i \u003d (0,1) $ се нарича въображаема единица.

Лесно е да се покаже, че $ i ^ 2 \u003d -1 $. Разширяването на множеството $ \\ mathbb (R) $ до множеството $ \\ mathbb (C) $ ни позволява да определим квадратния корен от отрицателни числа, което беше причината за въвеждането на набор от комплексни числа. Също така е лесно да се покаже, че подмножество от множеството $ \\ mathbb (C) $, дефинирано като $ \\ mathbb (C) _0 \u003d \\ lbrace (a, 0) | a \\ in \\ mathbb (R) \\ rbrace $, удовлетворява всички аксиоми реално числа, следователно $ \\ mathbb (C) _0 \u003d \\ mathbb (R) $ или $ R \\ subset \\ mathbb (C) $.

Алгебричната структура на множеството $ \\ mathbb (C) $ по отношение на събиране и умножение има следните свойства:
1. съвместимост на събирането и умножението
2. асоциативност на събиране и умножение
3. $ 0 + i0 $ - неутрален елемент за добавяне
4. $ 1 + i0 $ - неутрален елемент за умножение
5. умножението е разпределително по отношение на събирането
6. има един обратен елемент както за събиране, така и за умножение.