Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas. Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas

Deixe ser
(1)
é uma função diferenciável da variável x. Primeiro, vamos considerá-lo no conjunto de valores de x para os quais y assume valores positivos :. A seguir, mostraremos que todos os resultados obtidos são aplicáveis \u200b\u200ba valores negativos.

Em alguns casos, a fim de encontrar a derivada da função (1), é conveniente pré-logaritmo-la
,
e então calcular a derivada. Então, de acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa,
.
Daqui
(2) .

A derivada do logaritmo de uma função é chamada de derivada logarítmica:
.

A derivada logarítmica da função y \u003d f (x) é a derivada do logaritmo natural desta função: (ln f (x)) ′.

O caso de valores negativos de y

Agora vamos considerar o caso em que uma variável pode assumir valores positivos e negativos. Nesse caso, pegamos o logaritmo do módulo e encontramos sua derivada:
.
Daqui
(3) .
Ou seja, no caso geral, você precisa encontrar a derivada do logaritmo do módulo da função.

Comparando (2) e (3), temos:
.
Ou seja, o resultado formal do cálculo da derivada logarítmica não depende se tomamos o módulo ou não. Portanto, ao calcular a derivada logarítmica, não precisamos nos preocupar com o sinal da função.

Você pode esclarecer essa situação com a ajuda de números complexos. Deixe, para alguns valores de x, ser negativo :. Se considerarmos apenas números reais, a função é indefinida. No entanto, se levarmos em consideração os números complexos, teremos o seguinte:
.
Ou seja, as funções e diferem por uma constante complexa:
.
Uma vez que a derivada da constante é zero, então
.

Propriedade derivada logarítmica

Conclui-se desta consideração que a derivada logarítmica não muda se a função é multiplicada por uma constante arbitrária :
.
Na verdade, aplicando propriedades de logaritmo , fórmulas soma derivada e derivada da constante , temos:

.

Aplicação da derivada logarítmica

É conveniente usar a derivada logarítmica nos casos em que a função original consiste em um produto de potência ou funções exponenciais. Nesse caso, a operação de tomar o logaritmo transforma o produto das funções em sua soma. Isso simplifica o cálculo da derivada.

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função:
.

Decisão

Logaritmo da função original:
.

Diferenciamos em relação à variável x.
Na tabela de derivados, encontramos:
.
Aplicamos a regra de diferenciação de uma função complexa.
;
;
;
;
(A1.1) .
Multiplique por:

.

Então, encontramos a derivada logarítmica:
.
A partir daqui, encontramos a derivada da função original:
.

Nota

Se quisermos usar apenas números reais, devemos pegar o logaritmo do módulo da função original:
.
Então
;
.
E obtivemos a fórmula (A1.1). Portanto, o resultado não mudou.

Responda

Exemplo 2

Usando a derivada logarítmica, encontre a derivada da função
.

Decisão

Logaritmo:
(A2.1) .
Diferenciamos em relação à variável x:
;
;

;
;
;
.

Multiplique por:
.
A partir daqui, obtemos a derivada logarítmica:
.

Derivada da função original:
.

Nota

Aqui, a função original não é negativa :. É definido em. Se você não assumir que o logaritmo pode ser determinado para valores negativos do argumento, a fórmula (A2.1) deve ser escrita da seguinte maneira:
.
Na medida em que

e
,
não afetará o resultado final.

Responda

Exemplo 3

Encontre a derivada
.

Decisão

A diferenciação é realizada usando a derivada logarítmica. Vamos pegar o logaritmo, considerando que:
(A3.1) .

Diferenciando, obtemos a derivada logarítmica.
;
;
;
(A3.2) .

Desde então

.

Nota

Vamos fazer os cálculos sem assumir que o logaritmo pode ser determinado para valores negativos do argumento. Para fazer isso, pegue o logaritmo do módulo da função original:
.
Então, em vez de (A3.1), temos:
;

.
Comparando com (A3.2), vemos que o resultado não mudou.

Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas

1. Número e. Função y \u003d e x, suas propriedades, gráfico, diferenciação

Considere um indicativo função y \u003d ax, onde a\u003e 1. Para bases diferentes a, obtemos gráficos diferentes (Fig. 232-234), mas você pode ver que todos eles passam pelo ponto (0; 1), todos eles têm uma assíntota horizontal y \u003d 0 em , todos estão voltados para a convexidade para baixo e, por fim, todos possuem tangentes em todos os seus pontos. Por exemplo, desenhe a tangente para gráficos função y \u003d 2x no ponto x \u003d 0 (Fig. 232). Se você fizer construções e medidas precisas, pode ter certeza de que essa tangente forma um ângulo de 35 ° com o eixo x (aproximadamente).

Agora desenhe a tangente ao gráfico da função y \u003d 3 x também no ponto x \u003d 0 (Fig. 233). Aqui, o ângulo entre a tangente e o eixo x será maior - 48 °. E para a função exponencial y \u003d 10 x em um similar
situação obtemos um ângulo de 66,5 ° (Fig. 234).

Portanto, se a base a da função exponencial y \u003d ax aumenta gradualmente de 2 para 10, então o ângulo entre a tangente ao gráfico da função no ponto x \u003d 0 e o eixo da abscissa aumenta gradualmente de 35 ° para 66,5 °. É lógico supor que existe uma base a para a qual o ângulo correspondente é de 45 °. Essa base deve estar entre os números 2 e 3, pois para a função y-2x o ângulo de interesse para nós é 35 °, que é menor que 45 °, e para a função y \u003d 3 x é 48 °, que já é um pouco maior que 45 °. A base de interesse para nós é geralmente indicada pela letra e. Foi estabelecido que o número e é irracional, ou seja, é um infinito decimal não periódico fração:

e \u003d 2,7182818284590 ...;

na prática, geralmente assume-se que e \u003d 2,7.

Comente(não muito sério). É claro que L.N. Tolstoi não tem nada a ver com o número e, no entanto, na notação do número e, observe que o número 1828 é repetido duas vezes consecutivas - o ano de nascimento de L.N. Tolstoi.

O gráfico da função y \u003d ex é mostrado na Fig. 235. Esta é uma exponencial, que difere de outras exponenciais (gráficos de funções exponenciais com outras bases) porque o ângulo entre a tangente ao gráfico no ponto x \u003d 0 e a abscissa é de 45 °.

Propriedades da função y \u003d e x:

1)
2) não é par nem ímpar;
3) aumenta;
4) não limitado de cima, limitado de baixo;
5) não tem o maior nem o menor valor;
6) contínuo;
7)
8) convexo para baixo;
9) diferenciável.

Volte para § 45, dê uma olhada na lista de propriedades da função exponencial y \u003d ax para a\u003e 1 lá. Você encontrará as mesmas propriedades 1-8 (o que é bastante natural), e a nona propriedade associada com
diferenciabilidade da função, não mencionamos então. Vamos discutir isso agora.

Vamos derivar uma fórmula para encontrar a derivada y-ex. Nesse caso, não usaremos o algoritmo usual que desenvolvemos na Seção 32 e que usamos com sucesso mais de uma vez. Nesse algoritmo, no estágio final, é necessário calcular o limite, e nosso conhecimento da teoria dos limites ainda é muito, muito limitado. Portanto, nos basearemos nos pré-requisitos geométricos, considerando, em particular, o próprio fato da existência de uma tangente ao gráfico da função exponencial estar fora de dúvida (portanto, escrevemos com tanta confiança a nona propriedade na lista de propriedades acima - a diferenciabilidade da função y \u003d ex).

1. Observe que para a função y \u003d f (x), onde f (x) \u003d ex, já sabemos o valor da derivada no ponto x \u003d 0: f / \u003d tan45 ° \u003d 1.

2. Apresente em consideração a função y \u003d g (x), onde g (x) -f (x-a), ou seja, g (x) -ex "a. A Fig. 236 mostra o gráfico da função y \u003d g (x): é obtido a partir do gráfico da função y - fx) deslocando-se ao longo do eixo x por | a | unidades de escala. A tangente ao gráfico da função y \u003d g (x) em ponto x-a é paralelo à tangente ao gráfico da função y \u003d f (x) no ponto x -0 (ver Fig. 236), o que significa que forma um ângulo de 45 ° com o eixo x. Usando o significado geométrico da derivada, podemos escrever que g (a) \u003d tan45 °; \u003d 1.

3. Voltemos à função y \u003d f (x). Nós temos:

4. Estabelecemos que para qualquer valor de a a relação é válida. Em vez da letra a, você pode usar naturalmente a letra x; então nós temos

Esta fórmula fornece a fórmula de integração correspondente:

A.G. Álgebra de Mordkovich 10ª série

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Após a conclusão de qualquer tipo de prática do aluno (educacional, industrial, pré-diploma), é necessária a elaboração de um relatório. Este documento será a confirmação do trabalho prático do aluno e a base para a formação de uma avaliação para a prática. Normalmente, para a elaboração de um relatório sobre a prática, é necessário coletar e analisar informações sobre o empreendimento, considerar a estrutura e o cronograma de trabalho da organização onde a prática é realizada, traçar um cronograma e descrever a sua prática.
Vamos ajudá-lo a escrever um relatório de estágio tendo em conta as especificidades da atividade de uma determinada empresa.

Tópico da lição: “Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas. A antiderivada da função exponencial "nas tarefas UNT

objetivo : desenvolver nos alunos a capacidade de aplicação de conhecimentos teóricos sobre o tema “Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas. A antiderivada da função exponencial "para resolver os problemas da UNT.

Tarefas

Educacional: sistematizar os conhecimentos teóricos dos alunos, para consolidar a capacidade de resolução de problemas nesta temática.

Em desenvolvimento: desenvolver memória, observação, pensamento lógico, discurso matemático dos alunos, atenção, habilidades de autoavaliação e autocontrole.

Educacional: contribuir:

promover uma atitude responsável em relação à aprendizagem entre os alunos;

desenvolver um interesse sustentado em matemática;

criando uma motivação intrínseca positiva para estudar matemática.

Métodos de ensino: verbal, visual, prático.

Formas de trabalho:individual, frontal, em pares.

Durante as aulas

Epígrafe: "A mente não está apenas no conhecimento, mas também na capacidade de aplicar o conhecimento na prática" Aristóteles (slide 2)

EU. Tempo de organização.

II. Resolvendo palavras cruzadas. (slide 3-21)

O matemático francês do século 17 Pierre Fermat definiu esta linha como "A linha reta mais próxima da curva em uma pequena vizinhança de um ponto."

Tangente

A função que é dada pela fórmula y \u003d log uma x.

Logarítmico

A função que é dada pela fórmula y \u003d e x.

Indicativo

Em matemática, esse conceito é usado para encontrar a velocidade de movimento de um ponto material e a inclinação da tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto.

Derivado

Qual é o nome da função F (x) para a função f (x) se a condição F "(x) \u003d f (x) for satisfeita para qualquer ponto do intervalo I.

Antiderivado

Qual é o nome da relação entre X e Y, na qual cada elemento de X está associado a um único elemento de Y.

Derivada de deslocamento

Rapidez

A função que é dada pela fórmula y \u003d e x.

Expositor

Se a função f (x) pode ser representada como f (x) \u003d g (t (x)), então esta função é chamada ...

III. Ditado matemático. (Slide 22)

1. Escreva a fórmula para a derivada da função exponencial. ( e x) "\u003d e x ln uma

2. Escreva a fórmula para a derivada do expoente. (e x) "\u003d e x

3. Escreva a fórmula da derivada do logaritmo natural. (ln x) "\u003d

4. Escreva a fórmula para a derivada da função logarítmica. (registro uma x) "\u003d

5. Escreva a forma geral das antiderivadas para a função f (x) \u003d e x. F (x) \u003d

6. Escreva a forma geral das antiderivadas para a função f (x) \u003d, x ≠ 0. F (x) \u003d ln | x | + C

Confira o trabalho (respostas no slide 23).

IV. Resolvendo problemas da UNT (simulador)

A) No. 1,2,3,6,10,36 no quadro-negro e no caderno (slide 24)

B) Trabalho em pares nº 19.28 (simulador) (slide 25-26)

V. 1. Encontre erros: (slide 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f (x) \u003d log 5 (7x + 1), f "(x) \u003d

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

Vi. Apresentação do aluno.

Epígrafe: "O conhecimento é uma coisa tão preciosa que não é vergonhoso obtê-lo de qualquer fonte" Tomás de Aquino (slide 28)

Vii. Atribuição doméstica nº 19.20 p. 116

VIII. Teste (tarefa de backup) (slides 29-32)

IX. Resumo da lição.

“Se você quer participar da grande vida, então preencha sua cabeça com matemática enquanto pode. Ela, então, fornecerá uma ajuda tremenda ao longo de sua vida "M. Kalinin (slide 33)

Álgebra e início da análise matemática

Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas

Compilado por:

professor de matemática MOU SOSH №203 HEC

cidade de Novosibirsk

T.V. Vidutova

Número e. Função y \u003d e x , suas propriedades, gráfico, diferenciação

1. Vamos construir gráficos para bases diferentes: 1. y \u003d 2 x 3. y \u003d 10 x 2. y \u003d 3 x (opção 2) (opção 1) "largura \u003d" 640 "

Considere a função exponencial y \u003d a x , onde um 1.

Vamos construir para bases diferentes e gráficos:

1. y \u003d 2 x

3. y \u003d 10 x

2. y \u003d 3 x

(Opção 2)

(Opção 1)

1) Todas as cartas passam pelo ponto (0; 1);

2) Todos os gráficos têm uma assíntota horizontal y \u003d 0

em x  ∞;

3) Todos estão voltados para a convexidade para baixo;

4) Todos eles têm tangentes em todos os seus pontos.

Vamos desenhar uma tangente ao gráfico da função y \u003d 2 x no ponto x \u003d 0 e meça o ângulo que a tangente forma com o eixo x

Com a ajuda da plotagem precisa das linhas tangentes aos gráficos, você pode ver que se a base e função exponencial y \u003d a x a base aumenta gradualmente de 2 a 10, então o ângulo entre a tangente ao gráfico da função no ponto x \u003d 0 e a abcissa aumenta gradativamente de 35 'para 66,5'.

Portanto, há uma razão e , para o qual o ângulo correspondente é de 45 '. E este significado e está entre 2 e 3, porque em e \u003d 2 o ângulo é de 35 ', para e \u003d 3 é igual a 48 '.

No decorrer da análise matemática, foi comprovado que esse fundamento existe, costuma-se denotá-lo pela letra. e.

Determinou que e – número irracional, ou seja, é uma fração decimal não periódica infinita:

e \u003d 2, 7182818284590 ... ;

Na prática, geralmente é assumido que e ≈ 2,7.

Gráfico de funções e propriedades y \u003d e x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) aumenta;

4) não limitado de cima, limitado de baixo

5) não tem o maior nem o menor

valores;

6) contínuo;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) convexo para baixo;

9) diferenciável.

Função y \u003d e x chamado expositor .

No decorrer da análise matemática, foi provado que a função y \u003d e x tem uma derivada em qualquer ponto x :

(e x ) \u003d e x

(e 5x ) "\u003d 5e 5x

(e x-3 ) "\u003d e x-3

(e -4x + 1 ) "\u003d -4e -4x-1

Exemplo 1 . Desenhe uma tangente ao gráfico da função no ponto x \u003d 1.

2) f () \u003d f (1) \u003d e

4) y \u003d e + e (x-1); y \u003d ex

Responda:

Exemplo 2 .

x = 3.

Exemplo 3 .

Examine a função para extremos

x \u003d 0 e x \u003d -2

x \u003d -2 - ponto máximo

x \u003d 0 - ponto mínimo

Se a base do logaritmo é o número e , então eles dizem que logaritmo natural ... Para logaritmos naturais uma designação especial foi introduzida em (l é logaritmo, n é natural).