Frações irracionais. Número irracional

O material neste artigo fornece informações iniciais sobre números irracionais... Primeiro, vamos dar uma definição de números irracionais e explicá-la. Abaixo estão exemplos de números irracionais. Finalmente, vamos examinar algumas abordagens para descobrir se um determinado número é irracional ou não.

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Definição e exemplos de números irracionais

Ao estudar frações decimais, consideramos separadamente infinitas frações decimais não periódicas. Essas frações surgem quando comprimentos decimais de segmentos são medidos, incomensuráveis \u200b\u200bcom um segmento unitário. Notamos também que infinitas frações decimais não periódicas não podem ser convertidas em frações (ver conversão de frações ordinárias em decimais e vice-versa), portanto, esses números não são números racionais, eles representam os chamados números irracionais.

Então viemos para definição de números irracionais.

Definição.

Os números que em notação decimal representam infinitas frações decimais não periódicas são chamados números irracionais.

A definição sonora permite exemplos de números irracionais... Por exemplo, a fração decimal não periódica infinita 4.10110011100011110000… (o número de uns e zeros aumenta em um a cada vez) é um número irracional. Vamos dar outro exemplo de um número irracional: −22,353335333335 ... (o número de triplos que separam os oitos é aumentado em dois a cada vez).

Deve-se notar que os números irracionais raramente são encontrados precisamente na forma de infinitas frações decimais não periódicas. Normalmente, eles são encontrados na forma, etc., bem como na forma de letras especialmente inseridas. Os exemplos mais famosos de números irracionais nesta notação são a raiz quadrada aritmética de dois, pi \u003d 3,141592 ..., e \u003d 2,718281 ... e o número dourado.

Números irracionais também pode ser definido por meio de números reais, que combinam números racionais e irracionais.

Definição.

Números irracionais São números reais que não são racionais.

Este número é irracional?

Quando um número é fornecido não na forma de uma fração decimal, mas na forma de alguns, raiz, logaritmo, etc., é muito difícil responder à questão de saber se ele é irracional em muitos casos.

Sem dúvida, ao responder a esta pergunta, é muito útil saber quais números não são irracionais. Segue-se da definição de números irracionais que os números racionais não são números irracionais. Assim, os números irracionais NÃO são:

decimais periódicos finitos e infinitos.

Além disso, qualquer composição de números racionais conectados por signos não é um número irracional operaçoes aritimeticas (+, -, ·, :). Isso ocorre porque a soma, diferença, produto e quociente de dois números racionais é um número racional. Por exemplo, os valores das expressões e são números racionais. Aqui notamos que se em tais expressões entre os números racionais houver um único número irracional, então o valor da expressão inteira será um número irracional. Por exemplo, na expressão, o número é irracional, e o resto dos números são racionais, portanto, um número irracional. Se fosse um número racional, então a racionalidade do número resultaria disso, mas não é racional.

Se a expressão que especifica o número contém vários números irracionais, sinais de raiz, logaritmos, funções trigonométricas, números π, e, etc., então é necessário provar a irracionalidade ou racionalidade de um determinado número em cada caso específico... No entanto, existem vários resultados já obtidos que podem ser utilizados. Vamos listar os principais.

Está provado que uma raiz de grau k de um inteiro é um número racional apenas se o número sob a raiz for a k-ésima potência de outro inteiro; em outros casos, essa raiz especifica um número irracional. Por exemplo, os números e são irracionais, uma vez que não existe um inteiro cujo quadrado seja 7, e não existe um inteiro cuja subida à quinta potência dê o número 15. E os números e não são irracionais, também.

Quanto aos logaritmos, às vezes é possível provar sua irracionalidade por contradição. Como exemplo, vamos provar que log 2 3 é um número irracional.

Suponha que log 2 3 seja um número racional, não irracional, ou seja, ele pode ser representado como uma fração ordinária m / n. e permitem que você escreva a seguinte cadeia de igualdades :. A última igualdade é impossível, já que em seu lado esquerdo número ímpar, e à direita - mesmo. Portanto, chegamos a uma contradição, o que significa que nossa suposição se revelou errada, e isso provou que log 2 3 é um número irracional.

Observe que lna é um número irracional para qualquer a racional que seja positivo e diferente da unidade. Por exemplo, e são números irracionais.

Também foi provado que o número e a para qualquer racional diferente de zero a é irracional, e que o número π z para qualquer inteiro diferente de zero z é irracional. Por exemplo, os números são irracionais.

Os números irracionais também são funções trigonométricas sin, cos, tg e ctg para qualquer valor racional e diferente de zero do argumento. Por exemplo, sin1, tg (−4), cos5,7, são números irracionais.

Existem outros resultados comprovados, mas nos limitaremos aos já listados. Deve-se dizer também que, ao provar os resultados soados acima, a teoria associada números algébricos e números transcendentais.

Em conclusão, notamos que não se deve tirar conclusões precipitadas sobre a irracionalidade dos números dados. Por exemplo, parece claro que um número irracional em um grau irracional é um número irracional. No entanto, nem sempre é esse o caso. Como confirmação do fato expresso, damos o diploma. Sabe-se que é um número irracional, e também está provado que é um número irracional, mas é um número racional. Você também pode dar exemplos de números irracionais, cuja soma, diferença, produto e quociente são números racionais. Além disso, a racionalidade ou irracionalidade dos números π + e, π - e, π · e, π π, π e e muitos outros ainda não foi provada.

Lista de referências.

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Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para candidatos a escolas técnicas): Livro didático. manual. - M.; Superior. shk., 1984.-351 p., Ill.

Os matemáticos antigos já sabiam com um segmento de comprimento unitário: eles sabiam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado de um quadrado, o que equivale à irracionalidade de um número.

Irracionais são:

Exemplos de prova de irracionalidade

Raiz de 2

Suponha o contrário: racional, ou seja, é representado como uma fração irredutível, onde e são inteiros. Vamos elevar ao quadrado a igualdade assumida:

Portanto, segue-se que mesmo significa mesmo e. Deixe onde está o todo. Então

Portanto, mesmo significa mesmo e. Conseguimos isso e somos pares, o que contradiz a irredutibilidade da fração. Isso significa que a suposição original estava errada e - um número irracional.

Logaritmo binário de 3

Suponha o oposto: racional, isto é, representado como uma fração, onde e são números inteiros. Desde então, e pode ser escolhido positivo. Então

Mas par e estranho. Temos uma contradição.

e

História

O conceito de números irracionais foi implicitamente adotado por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que raízes quadradas alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressos explicitamente.

A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hippasus de Metapontus (c. 500 aC), um pitagórico que encontrou essa prova estudando os comprimentos laterais do pentagrama. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que havia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que entrava em qualquer segmento um número inteiro de vezes. No entanto, Hippasus provou que não existe uma unidade única de comprimento, uma vez que a suposição de sua existência leva a uma contradição. Ele mostrou que se a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles contiver um número inteiro de segmentos unitários, então esse número deve ser par e ímpar. A prova era assim:

A razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento da perna de um triângulo retângulo isósceles pode ser expressa como uma:bOnde uma e b selecionado como o menor possível.
Pelo teorema de Pitágoras: uma² \u003d 2 b².
Porque uma² mesmo, uma deve ser par (já que o quadrado de um número ímpar seria ímpar).
Na medida em que uma:b irredutível, b deve ser estranho.
Porque uma mesmo, denotar uma = 2y.
Então uma² \u003d 4 y² \u003d 2 b².
b² \u003d 2 y², portanto bÉ mesmo então b até.
No entanto, está provado que b ímpar. Contradição.

Os matemáticos gregos chamam esta proporção de quantidades incomensuráveis aalogos (inefável), porém, segundo as lendas, eles não deram a Hippas o respeito que ele merecia. Diz a lenda que Hippasus fez uma descoberta durante uma viagem marítima e foi atirado ao mar por outros pitagóricos "por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades no universo podem ser reduzidas a inteiros e seus relacionamentos". A descoberta de Hipaso confrontou a matemática pitagórica problema sério, destruindo a suposição subjacente de toda a teoria de que números e objetos geométricos são um e inseparáveis.

Veja também

Notas

Sistemas numéricos
Contando multidões	Números naturais () Inteiros ()

Racional é um número que pode ser representado como uma fração, onde ... Q é o conjunto de todos os números racionais.

Os números racionais são subdivididos em positivo, negativo e zero.

Cada número racional pode ser associado a um único ponto da linha de coordenadas. A proporção "à esquerda" para pontos corresponde à proporção "menos" para as coordenadas desses pontos. Pode-se observar que todo número negativo é menor que zero e todo número positivo; de dois números negativos, menor é aquele cujo módulo é maior. Então, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Qualquer número racional pode ser representado por uma fração periódica decimal. Por exemplo, .

Algoritmos para ações em números racionais seguem as regras de sinal das ações correspondentes em frações zero e positivas. Em Q, a divisão é realizada, exceto a divisão por zero.

Qualquer equação linear, ou seja, uma equação da forma ax + b \u003d 0, onde, é solucionável no conjunto Q, mas não qualquer equação quadrática da forma , é decidível em números racionais. Nem todo ponto na linha de coordenadas tem um ponto racional. Mesmo no final do século VI a. n. e na escola de Pitágoras ficou provado que a diagonal de um quadrado não é compatível com sua altura, o que equivale à afirmação: “A equação não tem raízes racionais”. Todos os itens acima levaram à necessidade de expandir o conjunto Q, o conceito de um número irracional foi introduzido. Vamos denotar o conjunto de números irracionais pela letra J .

Na linha de coordenadas, as coordenadas irracionais têm todos os pontos que não têm coordenadas racionais. , onde r são conjuntos de números reais. As frações decimais são uma forma universal de especificar números reais. Frações decimais periódicas são números racionais e decimais não periódicos são números irracionais. Portanto, 2,03 (52) é um número racional, 2,03003000300003 ... (o período de cada próximo dígito "3" é escrito mais um zero) é um número irracional.

Os conjuntos Q e R têm propriedades positivas: entre quaisquer dois números racionais existe um número racional, por exemplo, isoi a

Para cada número irracional α pode-se indicar uma aproximação racional com uma deficiência e um excesso com qualquer precisão: a< α

A operação de obter a raiz de alguns números racionais leva a números irracionais. Extrair uma raiz de grau natural é uma operação algébrica, ou seja, sua introdução está associada à resolução de uma equação algébrica da forma ... Se n for ímpar, ou seja, n \u003d 2k + 1, onde, então, a equação tem uma única raiz. Se n for par, n \u003d 2k, onde, então para a \u003d 0, a equação tem uma única raiz x \u003d 0, para um<0 корней нет, при a>0 tem duas raízes opostas uma à outra. Extrair uma raiz é a operação inversa de elevar a uma potência natural.

Uma raiz aritmética (por brevidade, uma raiz) do enésimo grau de um número não negativo a é um número não negativo b que é a raiz da equação. A enésima raiz do número a é denotada pelo símbolo. Para n \u003d 2, o grau da raiz 2 não é indicado :.

Por exemplo, desde 2 2 \u003d 4 e 2\u003e 0; Desde a 3 3 \u003d 27 e 3\u003e 0; não existe porque -4<0.

Para n \u003d 2k e a\u003e 0, as raízes da equação (1) são escritas como segue. Por exemplo, as raízes da equação x 2 \u003d 4 são 2 e -2.

Quando n é ímpar, a equação (1) tem uma raiz única para qualquer. Se a≥0, então é a raiz desta equação. Se um<0, то –а>0 e é a raiz da equação. Portanto, a equação x 3 \u003d 27 tem uma raiz.

Muitos números irracionais são geralmente indicados por uma letra latina maiúscula I (\\ displaystyle \\ mathbb (I)) em negrito, sem preenchimento. Nesse caminho: I \u003d R ∖ Q (\\ displaystyle \\ mathbb (I) \u003d \\ mathbb (R) \\ barra invertida \\ mathbb (Q)), ou seja, o conjunto de números irracionais é a diferença entre os conjuntos de números reais e racionais.

Os antigos matemáticos já sabiam da existência de números irracionais, mais precisamente, segmentos incomensuráveis \u200b\u200bcom um segmento de comprimento unitário: eles sabiam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado de um quadrado, que equivale à irracionalidade de um número.

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Irracionais são:

Exemplos de prova de irracionalidade

Raiz de 2

Suponha o oposto: 2 (\\ displaystyle (\\ sqrt (2))) racional, isto é, representado como uma fração m n (\\ displaystyle (\\ frac (m) (n)))Onde m (\\ displaystyle m) é um número inteiro, e n (\\ displaystyle n) - número natural .
Vamos elevar ao quadrado a igualdade assumida:
2 \u003d mn ⇒ 2 \u003d m 2 n 2 ⇒ m 2 \u003d 2 n 2 (\\ displaystyle (\\ sqrt (2)) \u003d (\\ frac (m) (n)) \\ Rightarrow 2 \u003d (\\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \\ Rightarrow m ^ (2) \u003d 2n ^ (2)).
História

Antiguidade

O conceito de números irracionais foi implicitamente adotado por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressos explicitamente [ ] .
A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hippasus de Metapontus (c. 500 aC), um pitagórico. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que havia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que é um número inteiro de vezes incluído em qualquer segmento [ ] .
Não há dados exatos sobre a irracionalidade de qual número foi provado por Hippasus. Segundo a lenda, ele o encontrou estudando os comprimentos das laterais do pentagrama. Portanto, é razoável supor que foi a proporção áurea [ ] .
Os matemáticos gregos chamam esta proporção de quantidades incomensuráveis aalogos (inefável), porém, segundo as lendas, eles não deram a Hippas o respeito que ele merecia. Diz a lenda que Hippasus fez uma descoberta durante uma viagem marítima e foi atirado ao mar por outros pitagóricos "por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades no universo podem ser reduzidas a inteiros e seus relacionamentos". A descoberta de Hippasus representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente a toda a teoria de que números e objetos geométricos são um e inseparáveis.

Número racional - um número representado por uma fração ordinária m / n, onde o numerador m é um inteiro e o denominador n é um número natural. Qualquer número racional pode ser representado como uma fração decimal infinita periódica. O conjunto de números racionais é denotado por Q.

Se o número real não for racional, então número irracional... As frações decimais que expressam números irracionais são infinitas e não periódicas. O conjunto de números irracionais é geralmente denotado por uma letra maiúscula I.

O número real é chamado algébricose for uma raiz de algum polinômio (grau diferente de zero) com coeficientes racionais. Qualquer número não algébrico é chamado transcendental.

Algumas propriedades:
Ao resolver problemas, pode ser conveniente, juntamente com o número irracional a + b√ c (onde a, b são números racionais, c é um inteiro que não é um quadrado de um número natural), considerar o número "conjugado" a - b√ c: sua soma e produto com o original - números racionais. Portanto, a + b√ c e a - b√ c são as raízes de uma equação quadrática com coeficientes inteiros.

Problemas com soluções

1. Prove que

a) número √ 7;

b) o número lg 80;

c) o número √ 2 + 3 √ 3;

é irracional.

a) Suponha que o número √ 7 seja racional. Então, existem coprimos p e q tais que √ 7 \u003d p / q, de onde obtemos p 2 \u003d 7q 2. Como peq são coprimos, p é 2 e, portanto, p é divisível por 7. Então p \u003d 7k, onde k é algum número natural. Logo, q 2 \u003d 7k 2 \u003d pk, o que contradiz o fato de que p e q são coprimos.

Portanto, a suposição é falsa, o que significa que o número √ 7 é irracional.

b) Suponhamos que o número lg 80 seja racional. Então existem números naturais p e q tais que lg 80 \u003d p / q, ou 10 p \u003d 80 q, de onde obtemos 2 p - 4q \u003d 5 q - p. Levando em consideração que os números 2 e 5 são coprimos, obtemos que a última igualdade só é possível para p - 4q \u003d 0 eq - p \u003d 0. Donde p \u003d q \u003d 0, o que é impossível, já que p e q são escolhidos de forma natural.

Portanto, a suposição é falsa, o que significa que o número lg 80 é irracional.

c) Denotamos este número por x.

Então (x - √ 2) 3 \u003d 3, ou x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Depois de elevar esta equação ao quadrado, descobrimos que x deve satisfazer a equação

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Apenas os números 1 e -1 podem ser suas raízes racionais. A verificação mostra que 1 e -1 não são raízes.

Portanto, o número fornecido √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bé irracional.

2. Sabe-se que os números a, b, √ a –√ b, - racional. Provar que √ a e √ bTambém são números racionais.

Considere o produto

(√ a - √ b) (√ a + √ b) \u003d a - b.

Número √ a + √ b, que é igual à proporção dos números a - b e √ a –√ b, é racional, uma vez que o quociente de divisão de dois números racionais é um número racional. A soma de dois números racionais

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- número racional, sua diferença,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

também é um número racional, conforme necessário.

3. Prove que existem números irracionais positivos aeb para os quais o número a b é natural.

4. Existem números racionais a, b, c, d satisfazendo a igualdade

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2,

onde n é um número natural?

Se a igualdade dada na condição for mantida, e os números a, b, c, d forem racionais, a igualdade será válida:

(a - b √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

Mas 5 - 4√2 (a - b√2) 2n + (c - d√2) 2n\u003e 0. A contradição resultante prova que a igualdade original é impossível.

Resposta: não existe.

5. Se os segmentos com comprimentos a, b, c formarem um triângulo, então para todos n \u003d 2, 3, 4 ,. ... ... segmentos com comprimentos n √ a, n √ b, n √ c também formam um triângulo. Prove.

Se segmentos com comprimentos a, b, c formam um triângulo, então a desigualdade do triângulo dá

Portanto temos

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Os demais casos de verificação da desigualdade do triângulo são considerados de maneira semelhante, de onde se segue a conclusão.

6. Prove que a fração decimal infinita 0,1234567891011121314 ... (depois que o ponto decimal em uma linha são escritos todos os números naturais em ordem) é um número irracional.

Como você sabe, os números racionais são expressos em frações decimais, que têm um ponto a partir de um determinado sinal. Portanto, basta provar que a fração dada não é periódica a partir de qualquer sinal. Suponha que esse não seja o caso e que alguma sequência T, consistindo de n dígitos, seja um período da fração, começando na enésima casa decimal. É claro que entre os dígitos após o m-ésimo caractere existem outros diferentes de zero, portanto, há um dígito diferente de zero na sequência de dígitos T. Isso significa que, a partir do m-ésimo dígito após a vírgula decimal, há um dígito diferente de zero entre quaisquer n dígitos em uma linha. No entanto, na notação decimal desta fração, deve haver uma notação decimal do número 100 ... 0 \u003d 10 k, onde k\u003e mek\u003e n. É claro que essa entrada ocorrerá à direita do m-ésimo dígito e contém mais de n zeros em uma linha. Assim, obtemos uma contradição que completa a prova.

7. Você recebe uma fração decimal infinita 0, a 1 a 2 .... Prove que os números em sua notação decimal podem ser reorganizados de forma que a fração resultante expresse um número racional.

Lembre-se de que uma fração expressa um número racional se, e somente se, for periódica, começando com um certo sinal. Dividimos os números de 0 a 9 em duas classes: na primeira classe incluiremos aqueles números que ocorrem na fração original um número finito de vezes, na segunda classe - aqueles que ocorrem na fração original um número infinito de vezes. Vamos começar a escrever a fração periódica, que pode ser obtida da permutação original dos números. Primeiro, depois de zero e uma vírgula, escrevemos em ordem aleatória todos os números da primeira classe - cada um tantas vezes quanto ocorre na fração inicial. Os dígitos da primeira classe registrados precederão o ponto em fração decimal. Além disso, anotamos em alguma ordem, uma vez que os números da segunda classe. Declararemos essa combinação como um período e a repetiremos um número infinito de vezes. Assim, escrevemos a fração periódica exigida, expressando algum número racional.

8. Prove que em cada fração decimal infinita existe uma sequência de casas decimais de comprimento arbitrário, que ocorre infinitamente muitas vezes na expansão da fração.

Seja m um número natural arbitrário. Vamos quebrar a fração decimal infinita fornecida em segmentos, com m dígitos em cada um. Haverá infinitamente muitos desses segmentos. Por outro lado, existem apenas 10 m sistemas diferentes compostos por m dígitos, ou seja, um número finito. Conseqüentemente, pelo menos um desses sistemas deve ser repetido aqui infinitamente muitas vezes.

Comente. Para números irracionais √ 2, π ou e nem mesmo sabemos qual dígito se repete infinitamente muitas vezes nas infinitas frações decimais que os representam, embora cada um desses números, como pode ser facilmente provado, contenha pelo menos dois desses dígitos diferentes.

9. Prove de maneira elementar que a raiz positiva da equação

é irracional.

Para x\u003e 0, o lado esquerdo da equação aumenta com o aumento de x, e é fácil ver que para x \u003d 1,5 é menor que 10 e para x \u003d 1,6 é maior que 10. Portanto, a única raiz positiva da equação está dentro do intervalo (1,5 ; 1.6).

Escrevemos a raiz como uma fração irredutível p / q, onde peq são alguns números naturais coprimos. Então, para x \u003d p / q, a equação terá a seguinte forma:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

daí segue que p é um divisor de 10, portanto, p é igual a um dos números 1, 2, 5, 10. No entanto, escrevendo as frações com numeradores 1, 2, 5, 10, notamos imediatamente que nenhum deles cai dentro do intervalo (1,5; 1,6).

Portanto, a raiz positiva da equação original não pode ser representada como uma fração ordinária, o que significa que é um número irracional.

10. a) Existem três pontos A, B e C no plano de modo que para qualquer ponto X o comprimento de pelo menos um dos segmentos XA, XB e XC seja irracional?

b) As coordenadas dos vértices do triângulo são racionais. Prove que as coordenadas do centro da circunferência também são racionais.

c) Existe tal esfera na qual há exatamente um ponto racional? (Um ponto racional é um ponto em que todas as três coordenadas cartesianas são números racionais.)

a) Sim, existem. Seja C o ponto médio do segmento AB. Então XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Se o número AB 2 for irracional, os números XA, XB e XC não podem ser racionais ao mesmo tempo.

b) Sejam (a 1; b 1), (a 2; b 2) e (a 3; b 3) as coordenadas dos vértices do triângulo. As coordenadas do centro de seu círculo circunscrito são dadas por um sistema de equações:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

É fácil verificar que essas equações são lineares, o que significa que a solução do sistema de equações considerado é racional.

c) Essa esfera existe. Por exemplo, uma esfera com a equação

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

O ponto O com coordenadas (0; 0; 0) é um ponto racional situado nesta esfera. O resto dos pontos da esfera são irracionais. Vamos provar.

Vamos supor o oposto: seja (x; y; z) um ponto racional da esfera, diferente do ponto O. É claro que x é diferente de 0, pois em x \u003d 0 há uma solução única (0; 0; 0), que não somos agora interessado. Vamos expandir os colchetes e expressar √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

que não pode ser para x, y, z e irracional √ 2. Portanto, O (0; 0; 0) é o único ponto racional na esfera considerada.

Tarefas sem soluções

1. Prove que o número

\\ [\\ sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

é irracional.

2. Para quais inteiros m e n a igualdade (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n se mantém?

3. Existe um número a tal que os números a - √ 3 e 1 / a + √ 3 são inteiros?

4. Os números 1, √ 2, 4 podem ser membros (não necessariamente adjacentes) de uma progressão aritmética?

5. Prove que, para qualquer número natural n, a equação (x + y√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 não tem soluções em números racionais (x; y).