Fórmulas trigonométricas para converter um produto em uma soma. Lição "convertendo produtos de funções trigonométricas em somas"

neste caso, as coordenadas de seus pontos são definidas por expressões racionais na variável t? A resposta a esta pergunta depende da equação da curva. Se ambos os lados da equação contêm polinômios em xey de grau no máximo dois, então é sempre possível definir os pontos da curva usando funções racionais de uma variável (os exemplos estão no Problema 21.11). Se a curva é dada por uma equação de grau maior que 2, então, via de regra, é impossível especificar as coordenadas de seus pontos por funções racionais: já é o caso da curva x3 + y3 \u003d 1.

Tarefa 21.11. Especifique as coordenadas dos pontos das seguintes curvas usando funções racionais:

a) uma elipse com a equação x2 + 4y2 \u003d 1;

b) hipérboles com a equação xy \u003d 1;

c) hipérboles com a equação x2 - y2 \u003d 1.

Instruções. b) Se x \u003d t, então y \u003d 1 / t. c) Fatore o lado esquerdo.

Tarefa 21.12. a) Indique cinco soluções da equação x2 + y2 \u003d 1 em números racionais positivos.

b) Indique cinco soluções da equação a2 + b2 \u003d c2 em números naturais.

§ 22. Conversão de uma obra em uma soma e uma soma em uma obra

Vamos escrever um sob as outras fórmulas para o seno da soma e o seno da diferença:

sen (α + β) \u003d sen α cos β + cos α sen β; sin (α - β) \u003d sin α cos β - cos α sen β.

Adicionando essas fórmulas, obtemos sin (α + β) + sin (α - β) \u003d 2 sin α cos β, ou

sen α cos β \u003d 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)).

Procedendo de maneira semelhante com as fórmulas para o cosseno da soma e da diferença, obtemos:

cos (α + β) + cos (α - β) \u003d 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) \u003d −2 sen α sen β,

de onde tais fórmulas são obtidas:

cos α cos β \u003d 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β \u003d 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Obtivemos fórmulas que nos permitem passar do produto funções trigonométricas à sua soma. Agora vamos aprender como fazer a transição na outra direção: da soma para o produto.

Considere, por exemplo, a fórmula

2 sen α cos β \u003d sin (α + β) + sin (α - β).

Denotamos no lado direito desta fórmula α + β por x e α - β por y. Adicionando e subtraindo as igualdades α + β \u003d x e α - β \u003d y, descobrimos que α \u003d (x + y) / 2, β \u003d (x - y) / 2. Substituindo essas expressões no lado esquerdo da fórmula e lendo a fórmula da direita para a esquerda, finalmente obtemos:

sin x + sin y \u003d 2 sin x + y cosx - y. 2 2

Substituindo na fórmula recém-obtida −y em vez de y,

sin x - sin y \u003d 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Se processarmos as fórmulas para cos α cos β e para sin α sin β da mesma forma que fizemos com a fórmula para sin α cos β, teremos o seguinte:

(observe o sinal de menos na segunda fórmula).

Tarefa 22.1. Prove essas fórmulas.

As fórmulas para converter a soma das funções trigonométricas em um produto também podem ser obtidas geometricamente. Na própria

Por outro lado, como OA \u003d OB \u003d 1, o paralelogramo OACB é um losango. Portanto, OC é a bissetriz do ângulo AOB,

de acordo com nossas fórmulas derivadas.

Tarefa 22.2. Prove as identidades:

a) sin (α + β) sin (α - β) + sin (β + γ) sin (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) \u003d 0;

b) 4 sen α sen (π / 3 - α) sen (π / 3 + α) \u003d sen 3α;

c) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α \u003d 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Tarefa 22.3. Supondo que α + β + γ \u003d π, prove as igualdades:

c) sen2 α + sen2 β + sen2 γ \u003d 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Tarefa 22.4. Sejam os ângulos α, β, γ no triângulo oposto aos lados a, b, c. Prove as fórmulas:

Essas fórmulas são chamadas de fórmulas Regiomontan ou teorema da tangente.

Tarefa 22.5. a) Supondo que α + β + γ + δ \u003d π, prove a identidade:

sen α sen γ + sen β sen δ \u003d sin (α + β) sen (β + γ).

b) O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. Prove que AB CD + BC AD \u003d AC BD (em um quadrângulo inscrito, a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais - teorema de Ptolomeu).

As fórmulas de que tratamos nesta seção são usadas na engenharia de rádio. Suponha que precisemos transmitir a voz do locutor pelo rádio com uma frequência de, digamos, 300. Nessas frequências baixas, a transmissão de rádio é impossível: as frequências das ondas de rádio usadas para a transmissão de rádio podem ser medidas na casa dos milhões. Ondas

tais frequências são usadas como segue. Enquanto o locutor está em silêncio, apenas ondas de rádio de alta freqüência ω vão no ar (freqüência da portadora - veja o gráfico na Fig. 22.2 a).

Nenhuma informação é transmitida com este sinal. Agora, deixe o alto-falante começar a emitir sons com uma frequência η (η é muito menor que ω); então o sinal u \u003d (A sin ηt) sin ωt vai para o ar. Seu gráfico aproximado é mostrado na Fig. 22,2 b. Podemos dizer que a própria amplitude das oscilações de alta frequência ω sofre oscilações de baixa frequência η. Como se costuma dizer, um sinal de alta frequência é modulado por um de baixa frequência (tudo isso é apenas um diagrama aproximado do que está realmente acontecendo no receptor).

Transformamos a expressão do sinal modulado:

u \u003d A sin ηt sin ωt \u003d A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Como você pode ver, nosso sinal modulado nada mais é do que a soma dos sinais com frequências ω + η e ω - η. Então, quando eles dizem que uma estação de rádio está transmitindo em uma freqüência, digamos, ω \u003d 10, devemos lembrar que, de fato, não apenas ondas de rádio de freqüência ω vão para o ar, mas também ondas de todas as freqüências do intervalo [ω −η; ω + η] onde η é a freqüência máxima do sinal útil transmitido pela estação de rádio. Isso significa que as frequências portadoras de diferentes estações de rádio não podem estar muito próximas umas das outras: se os segmentos [ω −η; ω + η] irá se sobrepor, então as estações de rádio irão interferir umas nas outras.

Outra aplicação das fórmulas desta seção é o cálculo da soma dos cossenos ou senos dos números que formam a aritmética

a progressão matemática (em física, esses cálculos são usados \u200b\u200bpara estudar o fenômeno da difração).

Suponha que precisamos simplificar a expressão

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h).

Primeiro, resolveremos este problema geometricamente e, em seguida, mostraremos como nossas fórmulas podem ser aplicadas a ele. Considere os seguintes vetores: a0 \u003d (cos α; sin α), a1 \u003d (cos (α + h); sin (α + h)) ,. ... ... , a10 \u003d (cos (α + 10h); sen (α + 10h)). Obviamente, a soma necessária é a abscissa do vetor a0 + a1 +. ... ... + a10. Vamos encontrar essa soma de vetores.

Para fazer isso, adiamos OA1 \u003d a0 da origem, A1 A2 \u003d a1 do ponto A1 e assim por diante (Figura 22.3). Então a0 + a1 +. ... ... + a10 \u003d OA11.

Figura: 22,3. OA1 \u003d a0, A1 A2 \u003d a1 ,. ... ... , A10 A11 \u003d a10.

Para encontrar as coordenadas do vetor OA, encontramos seu comprimento e ângulo de inclinação em relação ao eixo das abcissas. Para fazer isso, observe que cada um dos segmentos OA1, A1 A2 ,. ... ... tem um comprimento de 1 e é girado em relação ao anterior pelo mesmo ângulo h radianos. Portanto, os pontos O, A1, A2 ,. ... ... , A11 encontram-se no mesmo círculo. Seu centro Z é o ponto de intersecção das perpendiculares aos segmentos OA1 e A1 A2. Se F Z e GZ são essas perpendiculares, então F ZG \u003d h, de modo que F ZA1 \u003d h / 2 e o raio do círculo R é igual a F A1 / sin F ZA1 \u003d 1/2 sin (h / 2) (lembre-se de que os comprimentos de

os cortes OA1 e A1 A2 são iguais a um). Visto que, obviamente, OZA1 \u003d \u003d A1 ZA2 \u003d. ... ... \u003d A10 ZA11 \u003d h, então OZA11 \u003d 11h, e do triângulo isósceles OZA11 temos

Para encontrar o ângulo de inclinação do vetor OA11 ao eixo de abscissa, substitua

observe que o ângulo central A1 ZA11 \u003d 10h, de modo que o inscrito

o ângulo A11 OA1 apoiado no arco A1 A11 é 10h / 2 \u003d 5h, e A11 OX \u003d A11 OA1 + α \u003d α + 5h. Isso é,

Comparando os dois registros para as coordenadas do vetor OA11, obtemos as fórmulas:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) \u003d

A primeira dessas fórmulas é o que pretendíamos, a segunda saiu como um subproduto.

Como você pode ver, os cálculos acabaram sendo muito longos. Além disso, o leitor pedante pode notar que o desenho na Fig. 22.3 é obtido apenas para h suficientemente pequeno, e para h grande, a linha quebrada OA1 · · · A10 A11 pode contornar todo o círculo, e mais de uma vez, então o desenho será diferente. Na verdade, nossa fórmula é verdadeira para todos α e h (a menos que o denominador sin (h / 2) seja zero; mas o último só é possível se h \u003d 2πn para algum inteiro n, e então sem qualquer fórmula é claro que a soma é

- sen α + m -

Substituindo isso em nossa fórmula, vemos que a soma é

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sen α + 9 + 2

se você abrir os colchetes, todos os termos serão cancelados, com exceção de

(convertemos a soma para o produto). Cancelando dois no numerador e denominador, obtemos a mesma fórmula que encontramos geometricamente.

Nosso segundo cálculo é mais curto e mais simples do que o primeiro, mas menos natural. Quando nos familiarizarmos com os números complexos, aprenderemos como encontrar essas somas da maneira mais natural (embora não a mais curta).

Na décima série, os alunos passarão por uma seção de álgebra como trigonometria. Será estudado em um grande número de aulas.

A própria trigonometria, como ciência, apareceu há mais de dois milênios. Desde comum operações algébricas não seria o suficiente para expressar funções trigonométricas, os cientistas tiveram que introduzir uma nova notação. Esta ciência estuda a relação entre os lados de um triângulo e seus ângulos. Em muitos problemas geométricos e algébricos, torna-se necessário lidar com essa área. Problemas de física às vezes também levam a funções trigonométricas.

Os alunos já estudaram as funções trigonométricas básicas, aprenderam a construir seus gráficos, transformar, fórmulas básicas em trigonometria, usar uma tabela de valores de argumentos frequentemente encontrados em trigonometria, etc. Para estudar esta vídeo aula, eles já lidaram com grande quantia expressões trigonométricas e equações.

Em alguns exemplos, torna-se necessário converter a fórmula da soma de uma função trigonométrica em um produto. Você pode usar esta ação para encurtar e simplificar grandes expressões, resolver equações, sistemas de equações e muito mais.

A gravação de vídeo "Convertendo as somas das funções trigonométricas em obras" é um excelente material de acompanhamento no estudo deste tópico. Os professores podem usar os exemplos fornecidos no recurso, definições e fórmulas. O arquivo de mídia é de excelente qualidade. Pode ser tocado durante a aula. Isso ajudará os alunos a se concentrarem no assunto que está sendo estudado.

No início da videoaula, o locutor diz que algumas fórmulas de somatório serão exibidas na tela, que ajudarão na solução equações trigonométricas.

Em primeiro lugar, a soma dos seios da face é considerada. A primeira expressão é a soma do seno da soma de dois argumentos e o seno da diferença dos mesmos argumentos. Cada membro assina de acordo com as fórmulas estudadas anteriormente. Eles são exibidos no lado direito da tela para lembrar os alunos.

Com notação completa, expansão e simplificação entre parênteses, obtemos um trabalho. A substituição com variáveis \u200b\u200bé executada. X-th denotam a soma dos argumentos, y-th - a diferença. Substituindo na expressão resultante, obtemos a primeira fórmula para converter somas em um produto em trigonometria.

Para que os escolares se lembrem da fórmula, não basta mostrar o caminho para obtê-la. É preciso tentar resolver com um exemplo. A soma dos senos de alguns valores é fornecida. Convertido por fórmula em produto.

A segunda fórmula, cujo recibo será mostrado passo a passo, é a diferença dos senos. Para não fazer as etapas anteriores além disso, você pode usar a fórmula já obtida para o valor. Lembre-se de que o seno é uma função ímpar. Se escrevermos a diferença como uma soma e substituirmos um menos na fórmula da soma, obteremos uma nova regra para converter a diferença em um produto.

Um exemplo é dado de forma semelhante. O locutor detalha sua decisão.

A soma e a diferença dos cossenos com exemplos são fornecidas na mesma ordem. As fórmulas estudadas anteriormente são usadas de maneira semelhante, uma substituição é fornecida e o resultado é exibido. Ao derivar a fórmula da diferença, pode-se recorrer ao fato de que o cosseno é uma função par.

Ao resolver a equação, o lado esquerdo é convertido em um produto. Como você sabe, será igual a zero quando alguns dos fatores também serão iguais a zero. Portanto, a conversão para uma obra será muito útil.

Finalmente, outro exemplo, mais complexo, é dado. Você pode indicar aos alunos a direção certa e eles enfrentarão o exemplo sozinhos se compreenderem o princípio como um todo.

A gravação de vídeo será muito útil para alunos que estudam em casa. Com ele, você pode dominar fórmulas importantes, sem as quais a solução de equações trigonométricas será difícil e às vezes impossível.

CÓDIGO DE TEXTO:

Converter somas de funções trigonométricas em produtos

Hoje veremos mais algumas fórmulas trigonométricas que permitem a soma (diferença) de senos ou cossenos a serem fatorados. Essas fórmulas serão úteis ao resolver equações trigonométricas.

A primeira fórmula é SOMA DOS SINUSES.

Considere a expressão sin (s + t) + sin (s - t), onde s e t são argumentos de funções trigonométricas.

Aplicamos as fórmulas já conhecidas para soma de seno e diferença de seno:

sin (x - y) \u003d sin xcos y - cos xsin y,

então a expressão pecado ( s + t) terá a forma pecado s cos t + cos specado t

e a expressãopecado (s - t) será pecado scos t- cos specado t,

então temos:

pecado ( s + t) + pecado ( s - t) \u003d (pecado s cos t + cos specado t) + (pecado s cos t - cos specado t)

Expanda os colchetes:

pecado s cos t + cos specado t+ pecado s cos t - cos specado t

realizamos cálculos:

cos specado t- cos specado t=0

pecado s cos t + pecado s cos t \u003d 2 pecado s cos t.

pecado ( s + t) + pecado ( s - t) \u003d (pecado s cos t + cos specado t) + (pecado s cos t - cos specado t) \u003d pecado s cos t + cos specado t + pecado scos t - cos specado t \u003d 2 pecado s cos t.

Assim, obtemos que a expressão sin (s + t) + sin (s - t) \u003d 2 sin scos t.

Vamos introduzir novas variáveis x \u003ds +t e y \u003ds- t.

Adicionamos essas igualdades termo a termo, obtemos

x + y= s +t + s- t.

x + y= 2s

Encontre o valors

s= .

No segundo caso, subtraímos essas igualdades termo por termo para obter

x - em= s + t- (s - t)

x - em= s + t- s + t

x - y= 2t

Encontre o valort

Na expressão sin (s + t) + sin (s - t) \u003d 2 sin s cos t

substituirs e t para as novas variáveis \u200b\u200bque introduzimos:

s +t substitua por x

s- t substituir com em

s em

t em.

Então temos:

sinх + sinу \u003d 2 sincos

(a soma dos senos de dois argumentos é igual ao duplo produto do seno da meia soma desses argumentos pelo cosseno de sua meia diferença).

sin 7x + sin 3x \u003d 2 sin cos \u003d 2 sen5x cos2x.

A segunda fórmula é SINE DIFFERENCE.

Para que possamos aplicar a fórmula já derivada para a soma dos senos de dois argumentos sinх + sinу \u003d 2 sincos

Vamos aproveitar o fato de que o seno é uma função ímpar, ou seja, - sinу \u003d sin (- у),

sinx - sinу \u003d sinx + sin (- y)

Agora aplicamos a fórmula para a soma dos senos, obtemos

2 pecados cos \u003d 2 sin cos.

sin x - sin y \u003d sin x + sin (- y) \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin cos.

Portanto, temos a fórmula para a diferença de senos:

sinх - sinу \u003d 2 pecado cos (a diferença dos senos de dois argumentos é igual ao duplo produto do seno da meia diferença desses argumentos pelo cosseno de sua meia soma).

Exemplo. Simplifique a expressão sin 77 ° - sen 17 °.

pecado 77 ° - pecado 17 ° \u003d 2 pecado cos \u003d 2 sin cos 47º.

(uma vez que sin 30º \u003d, então) \u003d 2 ∙ ∙ cos \u003d cos.

A terceira fórmula é SOMA DE COSINUS.

Para expressar cos (s + t) + cos (s - t), usamos as fórmulas já conhecidas para o cosseno da soma e o cosseno da diferença:

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y,

Na expressão cos (s + t) + cos (s - t), substitua os valores das fórmulas e obtenha:

cos ( s+ t) + cos ( s - t) \u003d cos s cos t - pecado specado t + cos scos t + pecado specado t \u003d 2 cos s cos t

Daí cos ( s+ t) + cos ( s - t) \u003d 2 cos s cos t

Vamos introduzir novas variáveis x \u003ds +t e y \u003ds - t... Como na derivação da fórmula SOMA DOS SINUSES.

s +t substitua por x

s- t substituir com em

s em

t em.

E obtemos a fórmula para a soma dos cossenos

cos x + acolhedor \u003d 2 cos cos

(a soma dos cossenos de dois argumentos é igual ao duplo produto do cosseno da meia soma desses argumentos pelo cosseno de sua meia diferença).

Exemplo. Simplifique a expressão cos (x + 2y) + cos (3x - 2y).

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) \u003d 2 coscos \u003d

2cos 2x cos (- x + 2y) \u003d 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (e como cos (- t) \u003d custo, então) \u003d

2cos2x cos (x - 2y).

A quarta fórmula é COSIN DIFFERENCE.

Para expressar cos (s + t) - cos (s - t), usamos as fórmulas já conhecidas para o cosseno da soma e o cosseno da diferença:

cos (x + y) \u003d cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y, obtemos

cos ( s+ t) - cos ( s - t) \u003d cos s cos t - pecado specado t- cos scos t - pecado specado t \u003d - 2sin specado t... Introduzir novas variáveis x\u003d s + te em\u003d s - ttão s \u003d e t \u003d... Substituindo as designações inseridas na fórmula:

cos ( s+t) - cos ( s - t) \u003d - 2sin specado t, obtemos a fórmula para a diferença de cossenos:

cosх - cosу \u003d -2sin sen (a diferença entre os cossenos de dois argumentos é igual ao duplo produto do seno da meia-soma desses argumentos e o seno de sua meia-diferença tomada com um sinal de menos).

Exemplo. Simplifique a expressão cos - cos.

cos - cos \u003d - 2sin sin \u003d - 2 sin sin (uma vez que sin \u003d então) \u003d

2 ∙ ∙ sin \u003d - sin.

EXEMPLO 1. Resolva a equação cos6x + cos2x \u003d 0.

Decisão. Converter a soma dos cossenos em um produto usando a fórmula:

(cos x + cosy \u003d 2 cos cos,

obtemos 2cos4x cos2x \u003d 0. Esta equação se transforma em verdadeira igualdade se

EXEMPLO 2. Resolva a equação sin7x + sin3x - sin5x \u003d 0.

Decisão. Para a soma do primeiro e do segundo termos, aplicamos a fórmula da soma dos senos

sin (x + y) \u003d sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x \u003d 0

2 sincos - sin5x \u003d 0

sin5x (2 cos2x - 1) \u003d 0.

sin5x \u003d 0 ou 2 cos2x - 1 \u003d 0,

As soluções para a equação sint \u003d a são adotadas para a \u003d 0:

sint \u003d 0 para t \u003d πk,

então nós temos

x \u003d, (pi en dividido por cinco)

Usando os valores da Tabela do cosseno e a definição da solução para a equação custo \u003d a, onde (| a | 1) escrever de forma geral:

t \u003d arccos e + 2πk

a segunda equação cos2x \u003d tem as seguintes soluções

2x \u003d arccos + 2πn,

(mais menos pi por seis mais pi en).

A chave para o sucesso com a soma está em nossa capacidade de converter uma soma em outra - simplificando o original ou nos aproximando do objetivo. E depois de aprender e praticar algumas regras básicas de transformação, você pode facilmente dominar essa habilidade.

Seja K algum conjunto finito de inteiros. As somas dos elementos de K podem ser convertidas com base em três regras simples:

A lei distributiva permite a entrada e dedução de constantes sob o signo e além do signo. A lei de combinação permite que você divida um valor em dois ou combine dois valores em um. A lei de transposição afirma que os termos da soma podem ser reorganizados em qualquer ordem desejada; aqui está alguma permutação do conjunto de todos os inteiros. Por exemplo, se e se essas três leis afirmam, respectivamente, que

O truque de Gauss do Ch. 1 pode ser visto como uma das aplicações dessas três leis básicas. Suponha que queremos

calcular a soma de uma progressão aritmética geral

De acordo com a lei de transposição, substituindo k por obtemos

Essas duas equações podem ser adicionadas usando a lei de combinação:

Agora vamos aplicar a lei de distribuição e calcular a soma trivial:

Dividindo por 2, descobrimos que

O lado direito pode ser lembrado como a média do primeiro e último termos, ou seja, como multiplicado pelo número de termos, ou seja, por

É importante ter em mente que a função em forma geral a lei do deslocamento (2.17) é considerada uma permutação de todos os inteiros. Em outras palavras, para cada todo deve haver exatamente um todo k, tal que. Caso contrário, a lei de transposição pode não ser cumprida - exercício. 3 é um bom exemplo. As conversões do tipo c ou onde c é uma constante inteira são sempre permutações, portanto, são boas.

No entanto, pode-se enfraquecer ligeiramente a restrição à permutação: é apenas suficiente que exista exatamente um inteiro k tal que quando é um elemento do conjunto de índice K. Se (isto é, se não pertence a K), então não é essencial, como muitas vezes tem igualdade de lugar, visto que semelhante a não participa da soma. Assim, por exemplo, pode-se argumentar que

pois há exatamente um k, de modo que quando é par.

A notação de Iverson, que permite obter 0 ou 1 como os valores das expressões lógicas dentro de uma determinada fórmula, pode ser usada em conjunto com as leis distributivas, combinacionais e de deslocamento para revelar propriedades adicionais das somas. Aqui, por exemplo, regra importante uniões de diferentes conjuntos de índices: se forem alguns conjuntos de inteiros, então

Isso segue das fórmulas gerais

Normalmente, a regra (2.20) é usada para unir dois conjuntos de índices quase separados, como no caso

ou para alocar um membro separado do montante, como no caso

Esta operação de atribuição de um membro é a base do método de redução, que muitas vezes permite calcular uma determinada soma de forma fechada. A essência deste método é começar com o valor a ser calculado e indicá-lo

(Indique e conquiste.) Em seguida, reescrevemos de duas maneiras, destacando o último e o primeiro termos:

Agora podemos lidar com a última soma e tentar expressá-la em termos de Se a tentativa for bem-sucedida, obteremos uma equação, cuja solução será a soma desejada.

Vamos usar, por exemplo, esta abordagem para encontrar a soma de uma progressão geométrica de forma geral

De acordo com o esquema geral de redução (2.24), a soma é reescrita como

e a soma da direita é igual à lei de distribuição. Assim, e, resolvendo esta equação com respeito a, obtemos

(Para x \u003d 1, esta soma, é claro, é simplesmente igual à parte direita desta fórmula pode ser memorizada como a diferença entre o primeiro e o primeiro termo não entrante, dividido pela diferença de 1 e o denominador da progressão.

Isso tudo foi muito simples, então vamos tentar o método de fundição em uma soma um pouco mais difícil,