Como encontro a raiz quadrada? Propriedades, exemplos de extração de raízes. Raiz quadrada

Fórmulas de raiz. Propriedades das raízes quadradas.

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Na lição anterior, descobrimos o que é uma raiz quadrada. É hora de descobrir quais existem fórmulas de raizo que são propriedades de raiz, e o que você pode fazer com tudo isso.

Fórmulas de raiz, propriedades de raiz e regras para ações com raízes são, em essência, a mesma coisa. Fórmulas para raízes quadradas surpreendentemente pequeno. O que, claro, agrada! Em vez disso, você pode escrever muitos tipos de fórmulas, mas para um trabalho prático e confiante com raízes, apenas três são suficientes. O restante desses três fluxos. Embora muitas pessoas se percam nas três fórmulas básicas, sim ...

Vamos começar com o mais simples. Aqui está ela:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testando com verificação instantânea. Aprendizagem - com interesse!)

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Este artigo é uma coleção de informações detalhadas relacionadas ao tópico das propriedades da raiz. Considerando o assunto, começaremos com propriedades, estudaremos todas as formulações e forneceremos as provas. Para reforçar o tópico, consideraremos as propriedades do n-ésimo grau.

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Propriedades de raiz

Falaremos sobre propriedades.

1. Propriedade números multiplicados uma e b, que é representado como a igualdade a b \u003d a b. Pode ser representado como fatores, positivos ou iguais a zero a 1, a 2, ..., a k como a 1 · a 2 ·… · a k \u003d a 1 · a 2 ·… · a k;
2. do quociente a: b \u003d a: b, a ≥ 0, b\u003e 0, também pode ser escrito nesta forma a b \u003d a b;
3. Propriedade pelo poder de um número uma com um expoente par a 2 m \u003d a m para qualquer número uma, por exemplo, uma propriedade do quadrado do número a 2 \u003d a.

Em qualquer uma das equações apresentadas, você pode trocar as partes antes e depois do traço em lugares, por exemplo, a igualdade a b \u003d a b é transformada em a b \u003d a b. As propriedades de igualdade são freqüentemente usadas para simplificar equações complexas.

A prova das primeiras propriedades é baseada na definição da raiz quadrada e nas propriedades dos expoentes naturais. Para substanciar a terceira propriedade, é necessário referir-se à definição do módulo de um número.

O primeiro passo é provar as propriedades da raiz quadrada a b \u003d a b. De acordo com a definição, é necessário considerar que a b é um número, positivo ou igual a zero, que será igual a a bao erguer em um quadrado. O valor de a · b é positivo ou igual a zero como produto de números não negativos. A propriedade do grau dos números multiplicados permite representar a igualdade na forma (a b) 2 \u003d a 2 b 2. Pela definição da raiz quadrada a 2 \u003d a e b 2 \u003d b, então a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Da mesma forma, pode-se provar que a partir do produto k multiplicadores a 1, a 2, ..., a k será igual ao produto das raízes quadradas desses fatores. De fato, a 1 · a 2 ·… · a k 2 \u003d a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 \u003d a 1 · a 2 ·… · a k.

Segue dessa igualdade que a 1 · a 2 ·… · a k \u003d a 1 · a 2 ·… · a k.

Vejamos alguns exemplos para solidificar o tópico.

Exemplo 1

3 5 2 5 \u003d 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 \u003d 4, 2 13 1 2 e 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) \u003d 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

É necessário provar a propriedade da raiz quadrada aritmética do quociente: a: b \u003d a: b, a ≥ 0, b\u003e 0. A propriedade permite que você escreva a igualdade a: b 2 \u003d a 2: b 2 e a 2: b 2 \u003d a: b, com a: b sendo um número positivo ou igual a zero. Essa expressão se tornará a prova.

Por exemplo, 0: 16 \u003d 0: 16, 80: 5 \u003d 80: 5 e 3 0, 121 \u003d 3 0, 121.

Considere a propriedade da raiz quadrada do quadrado de um número. Pode ser escrito como uma igualdade como a 2 \u003d a. Para provar esta propriedade, é necessário considerar em detalhes várias igualdades para a ≥ 0 e em uma< 0 .

Obviamente, para a ≥ 0, a igualdade a 2 \u003d a é verdadeira. Quando uma< 0 a igualdade a 2 \u003d - a será verdadeira. Na verdade, neste caso - a\u003e 0 e (- a) 2 \u003d a 2. Podemos concluir que a 2 \u003d a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2

5 2 \u003d 5 \u003d 5 e - 0,36 2 \u003d - 0,36 \u003d 0,36.

A propriedade provada ajudará a justificar a 2 m \u003d a m, onde uma - real, e m -número natural. Na verdade, a propriedade de aumentar um poder permite que você substitua o poder a 2 m expressão (a m) 2, então a 2 m \u003d (a m) 2 \u003d a m.

Exemplo 3

3 8 \u003d 3 4 \u003d 3 4 e (- 8, 3) 14 \u003d - 8, 3 7 \u003d (8, 3) 7.

Propriedades da enésima raiz

Primeiro, você precisa considerar as propriedades básicas das n-ésimas raízes:

1. Propriedade do produto de números uma e b, que são positivos ou iguais a zero, podem ser expressos como a igualdade a b n \u003d a n b n, esta propriedade é válida para o produto k números a 1, a 2, ..., a k como a 1 · a 2 ·… · a k n \u003d a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
2. de um número fracionário tem a propriedade a b n \u003d a n b n, onde uma - qualquer número real que seja positivo ou igual a zero, e b - número real positivo;
3. Para qualquer uma e até mesmo indicadores n \u003d 2 m a 2 m 2 m \u003d a, e para ímpar n \u003d 2 m - 1 a igualdade a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a é válida.
4. Propriedade de extração de a m n \u003d a n m, onde uma - qualquer número, positivo ou igual a zero, n e m - números naturais, esta propriedade também pode ser representada como. ... ... a n k n 2 n 1 \u003d a n 1 n 2. ... ... · N k;
5. Para qualquer a não negativo e arbitrário n e m, que são naturais, você também pode determinar a igualdade justa a m n · m \u003d a n;
6. Grau de propriedade n do poder do número umaque é positivo ou igual a zero, em grau natural mdefinido pela igualdade a m n \u003d a n m;
7. Propriedade de comparação que tem os mesmos indicadores: para quaisquer números positivos uma e b de tal modo que uma< b , a desigualdade a n< b n ;
8. Propriedade de comparação que tem os mesmos números na raiz: se m e n -números naturais que m\u003e n, então em 0 < a < 1 a desigualdade a m\u003e a n é verdadeira, e para a\u003e 1 sou< a n .

As igualdades fornecidas acima são válidas se as partes antes e depois do sinal de igual forem trocadas. Eles podem ser usados \u200b\u200bcomo tal. Isso é freqüentemente usado para simplificar ou converter expressões.

A prova das propriedades acima da raiz é baseada na definição, nas propriedades do grau e na definição do módulo de um número. Essas propriedades devem ser comprovadas. Mas tudo está em ordem.

1. Em primeiro lugar, provamos as propriedades da enésima raiz do produto a b n \u003d a n b n. Para uma e b qualestão positivo ou igual a zero , o valor a n · b n também é positivo ou igual a zero, pois é conseqüência da multiplicação de números não negativos. A propriedade do produto em grau natural nos permite escrever a igualdade a n b n n \u003d a n n b n n. Por definição da raiz n-ésimo grau a n n \u003d a e b n n \u003d b, portanto, a n b n n \u003d a b. A igualdade resultante é exatamente o que era necessário para ser provada.

Esta propriedade é comprovada de forma semelhante para o produto k fatores: para números não negativos a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Vamos dar exemplos de como usar a propriedade root n-º grau do produto: 5 2 1 2 7 \u003d 5 7 2 1 2 7 e 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 \u003d 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

1. Vamos provar a propriedade da raiz do quociente a b n \u003d a n b n. Quando a ≥ 0 e b\u003e 0a condição a n b n ≥ 0 é satisfeita, e a n b n n \u003d a n n b n n \u003d a b.

Vamos mostrar exemplos:

Exemplo 4

8 27 3 \u003d 8 3 27 3 e 2, 3 10: 2 3 10 \u003d 2, 3: 2 3 10.

1. Para a próxima etapa, é necessário provar as propriedades do enésimo grau do número ao grau n... Representamos isso como a igualdade a 2 m 2 m \u003d ae a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a para qualquer real uma e natural m... Quando a ≥ 0 obtemos a \u003d ae a 2 m \u003d a 2 m, o que prova a igualdade a 2 m 2 m \u003d a, e a igualdade a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a é óbvia. Quando uma< 0 obtemos, respectivamente, a \u003d - ae a 2 m \u003d (- a) 2 m \u003d a 2 m. A última transformação do número é válida de acordo com a propriedade do grau. Isso é o que prova a igualdade a 2 m 2 m \u003d a, e a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a será verdadeira, pois para um grau ímpar consideramos - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m - 1 para qualquer número c,positivo ou igual a zero.

Para consolidar as informações recebidas, considere vários exemplos de uso da propriedade:

Exemplo 5

7 4 4 \u003d 7 \u003d 7, (- 5) 12 12 \u003d - 5 \u003d 5, 0 8 8 \u003d 0 \u003d 0, 6 3 3 \u003d 6 e (- 3, 39) 5 5 \u003d - 3, 39.

1. Vamos provar a seguinte igualdade a m n \u003d a n · m. Para fazer isso, você precisa alterar os números antes do sinal de igual e depois dele nos lugares a n · m \u003d a m n. Isso significará a entrada correta. Para uma,o que é positivo ou igual a zero , da forma a m n é um número positivo ou igual a zero. Vamos nos voltar para a propriedade de elevar um grau a um expoente e definição. Com a ajuda deles, você pode transformar igualdades na forma a m n n · m \u003d a m n n m \u003d a m m \u003d a. Isso prova a propriedade sob consideração de uma raiz de uma raiz.

Outras propriedades são comprovadas de forma semelhante. De fato,. ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... N k \u003d. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... N k \u003d. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... N k \u003d. ... ... \u003d a n k n k \u003d a.

Por exemplo, 7 3 5 \u003d 7 5 3 e 0, 0009 6 \u003d 0, 0009 2 2 6 \u003d 0, 0009 24.

1. Vamos provar a seguinte propriedade a m n · m \u003d a n. Para isso, é necessário mostrar que a n é um número, positivo ou igual a zero. Quando elevado à potência n m é sou... Se o número uma é positivo ou igual a zero, então n-ésimo grau de uma é um número positivo ou igual a 0. Além disso, a n · m n \u003d a n n m, conforme necessário.

Para consolidar o conhecimento adquirido, considere alguns exemplos.

1. Vamos provar a seguinte propriedade - a propriedade de uma raiz de um grau da forma a m n \u003d a n m. Obviamente, para a ≥ 0 o grau a n m é um número não negativo. Além disso, é n-º grau é sou, de fato, a n m n \u003d a n m n \u003d a n n m \u003d a m. Isso prova a propriedade do grau em consideração.

Por exemplo, 2 3 5 3 \u003d 2 3 3 5.

1. É necessário provar que para quaisquer números positivos uma eb a condição uma< b ... Considere a desigualdade a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию uma< b ... Portanto, um n< b n при uma< b .

Por exemplo, vamos dar 12 4< 15 2 3 4 .

1. Considere a propriedade root n-º grau. Primeiro, precisamos considerar a primeira parte da desigualdade. Quando m\u003e n e 0 < a < 1 verdadeiro a m\u003e a n. Suponha que a m ≤ a n. As propriedades simplificarão a expressão para a n m · n ≤ a m m · n. Então, de acordo com as propriedades de um grau com um expoente natural, a desigualdade a n m n m n ≤ a m m n m n é satisfeita, ou seja, a n ≤ a m... O valor obtido em m\u003e n e 0 < a < 1 não corresponde às propriedades acima.

Da mesma forma, pode-se provar que para m\u003e n e a\u003e 1a condição a m< a n .

Para consolidar as propriedades acima, considere vários exemplos específicos. Considere as desigualdades usando números específicos.

Exemplo 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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A área de um terreno quadrado é de 81 dm². Encontre seu lado. Suponha que o comprimento lateral de um quadrado seja x decímetros. Então a área do site é x² decímetros quadrados. Como, por condição, essa área é de 81 dm², então x² \u003d 81. O comprimento do lado do quadrado é um número positivo. O número positivo cujo quadrado é 81 é o número 9. Ao resolver o problema, era necessário encontrar o número x, cujo quadrado é 81, ou seja, resolver a equação x² \u003d 81. Esta equação tem duas raízes: x 1 \u003d 9 e x 2 \u003d - 9, visto que 9² \u003d 81 e (- 9) ² \u003d 81. Ambos os números 9 e - 9 são chamados de raízes quadradas de 81.

Observe que uma das raízes quadradas x \u003d 9 é um número positivo. É chamada de raiz quadrada aritmética de 81 e é denotada √81, portanto √81 \u003d 9.

Raiz quadrada aritmética de um número e é um número não negativo cujo quadrado é e.

Por exemplo, 6 e - 6 são as raízes quadradas de 36. Nesse caso, 6 é a raiz quadrada aritmética de 36, já que 6 é um número não negativo e 6² \u003d 36. O número - 6 não é uma raiz aritmética.

Raiz quadrada aritmética de um número e denotado como segue: √ e.

O sinal é denominado sinal de raiz quadrada aritmética; e - é chamada de expressão radical. Expressão √ eler então: raiz quadrada aritmética de um número e. Por exemplo, √36 \u003d 6, √0 \u003d 0, √0,49 \u003d 0,7. Nesses casos, quando fica claro que estamos falando de uma raiz aritmética, eles dizem resumidamente: “a raiz quadrada de e«.

O ato de encontrar a raiz quadrada de um número é chamado de extração de raiz quadrada. Esta ação é o reverso da quadratura.

Qualquer número pode ser elevado ao quadrado, mas nem todo número pode ter raízes quadradas. Por exemplo, você não pode extrair a raiz quadrada do número - 4. Se tal raiz existisse, então, denotando-a com a letra x, obteríamos uma igualdade incorreta х2 \u003d - 4, uma vez que há um número não negativo à esquerda e um número negativo à direita.

Expressão √ efaz sentido apenas quando a ≥0. A definição de raiz quadrada pode ser escrita resumidamente da seguinte forma: √ a ≥0, (√e)² = e... Igualdade (√ e)² = evalido para a ≥0. Assim, para se certificar de que a raiz quadrada de um número não negativo e é igual b, ou seja, que √ e =b, você precisa verificar se as duas condições a seguir foram atendidas: b ≥0, b² = e.

Raiz quadrada da fração

Vamos calcular. Observe que √25 \u003d 5, √36 \u003d 6 e verifique se a igualdade se mantém.

Porque e, então, a igualdade é verdadeira. Então, .

Teorema: Se um e ≥ 0 e b \u003e 0, ou seja, a raiz da fração é igual à raiz do numerador dividida pela raiz do denominador. É necessário provar que: e .

Desde √ e ≥0 e √ b \u003e 0, então.

Pela propriedade de elevar uma fração a uma potência e a definição de uma raiz quadrada o teorema está provado. Vejamos alguns exemplos.

Calcule, pelo teorema provado .

Segundo exemplo: Prove que , se um e ≤ 0, b < 0. .

Outro exemplo: Calcule.

.

Conversão de raízes quadradas

Removendo o fator do sinal de raiz. Deixe a expressão ser dada. Se um e ≥ 0 e b ≥ 0, então pelo teorema da raiz do produto podemos escrever:

Essa transformação é chamada de tirar um fator do signo da raiz. Vejamos um exemplo;

Calcule em x \u003d 2. Substituição direta x \u003d 2 a uma expressão radical leva a cálculos complexos. Esses cálculos podem ser simplificados removendo primeiro os fatores do sinal de raiz :. Substituindo agora x \u003d 2, obtemos:.

Assim, ao remover o fator sob o sinal da raiz, a expressão do radical é apresentada como um produto no qual um ou mais fatores são quadrados de números não negativos. Em seguida, o teorema da raiz do produto é aplicado e a raiz de cada fator é extraída. Considere um exemplo: Simplifique a expressão А \u003d √8 + √18 - 4√2 removendo os fatores do sinal de raiz nos primeiros dois termos, obtemos:. Ressaltamos que a igualdade válido apenas para e ≥ 0 e b ≥ 0. se e < 0, то .

A matemática nasceu quando a pessoa tomou consciência de si mesma e passou a se posicionar como unidade autônoma do mundo. O desejo de medir, comparar, calcular o que o cerca - é o que está por trás de uma das ciências fundamentais de nossos dias. No início, eram partículas da matemática elementar, que permitiam associar os números às suas expressões físicas, depois as conclusões passaram a ser apresentadas apenas teoricamente (devido à sua abstração), mas depois de um tempo, como disse um cientista, “a matemática atingiu o teto da complexidade ao desaparecer todos os números. " O conceito de “raiz quadrada” surgiu em um momento em que poderia ser facilmente sustentado por dados empíricos, indo além do plano dos cálculos.

Como tudo começou

A primeira menção de uma raiz que é este momento denotado como √, foi registrado nas obras de matemáticos babilônios, que lançaram as bases para a aritmética moderna. Claro, eles não se assemelhavam à forma atual - os cientistas daqueles anos usaram comprimidos volumosos pela primeira vez. Mas no segundo milênio AC. e. eles derivaram uma fórmula de cálculo aproximada que mostrou como extrair a raiz quadrada. A foto abaixo mostra uma pedra na qual os cientistas babilônios esculpiram o processo de inferência √2, e ela se mostrou tão correta que a discrepância na resposta foi encontrada apenas na décima casa decimal.

Além disso, a raiz foi usada se fosse necessário encontrar o lado de um triângulo, desde que os outros dois fossem conhecidos. Bem, ao resolver equações quadráticas, você não pode escapar de extrair a raiz.

Junto com as obras babilônicas, o objeto do artigo foi estudado na obra chinesa "Matemática em Nove Livros", e os antigos gregos chegaram à conclusão de que qualquer número da qual a raiz não seja extraída sem um resto dá um resultado irracional.

A origem desse termo está associada à representação árabe do número: os cientistas antigos acreditavam que o quadrado de um número arbitrário cresce a partir da raiz, como uma planta. Em latim, esta palavra soa como radix (você pode traçar um padrão - tudo que tem uma carga semântica "raiz", é consoante, seja rabanete ou radiculite).

Os cientistas das gerações subsequentes adotaram essa ideia, referindo-se a ela como Rx. Por exemplo, no século 15, para indicar que a raiz quadrada de um número arbitrário a foi extraída, eles escreveram R 2 a. O "tick", familiar ao look moderno, só apareceu no século XVII graças a René Descartes.

Nossos dias

Matematicamente, a raiz quadrada de y é o número z cujo quadrado é y. Em outras palavras, z 2 \u003d y é equivalente a √y \u003d z. No entanto, esta definição é relevante apenas para raiz aritméticauma vez que implica o valor não negativo da expressão. Em outras palavras, √y \u003d z, onde z é maior ou igual a 0.

Em geral, o que vale para a definição de uma raiz algébrica, o valor da expressão pode ser positivo ou negativo. Assim, devido ao fato de que z 2 \u003d y e (-z) 2 \u003d y, temos: √y \u003d ± z ou √y \u003d | z |.

Devido ao fato de que o amor pela matemática só aumentou com o desenvolvimento da ciência, existem várias manifestações de apego a ela que não são expressas em cálculos secos. Por exemplo, junto com fenômenos divertidos como o dia do pi, os feriados da raiz quadrada também são celebrados. Eles são celebrados nove vezes em cem anos e são determinados de acordo com o seguinte princípio: os números que designam o dia e o mês na ordem devem ser a raiz quadrada do ano. Portanto, da próxima vez, este feriado será celebrado em 4 de abril de 2016.

Propriedades de raiz quadrada no campo R

Quase todas as expressões matemáticas têm uma base geométrica, esse destino não passou e √y, que é definido como o lado de um quadrado com área y.

Como faço para encontrar a raiz de um número?

Existem vários algoritmos de cálculo. O mais simples, mas ao mesmo tempo bastante complicado, é o cálculo aritmético usual, que é o seguinte:

1) os números ímpares são subtraídos do número de cuja raiz precisamos, por sua vez, até que o resto na saída seja menor que o subtraído ou mesmo zero. O número de movimentos acabará por se tornar o número necessário. Por exemplo, calculando a raiz quadrada de 25:

O próximo número ímpar é 11, temos o seguinte resto: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para tais casos, existe uma expansão da série Taylor:

√ (1 + y) \u003d ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, onde n assume valores de 0 a

+ ∞ e | y | ≤1.

Representação gráfica da função z \u003d √y

Considere uma função elementar z \u003d √y no campo de números reais R, onde y é maior ou igual a zero. Seu gráfico se parece com este:

A curva cresce a partir da origem e necessariamente cruza o ponto (1; 1).

Propriedades da função z \u003d √y no campo dos números reais R

1. O domínio de definição da função em consideração é o intervalo de zero a mais infinito (zero está incluído).

2. A faixa de valores da função em consideração é o intervalo de zero a mais o infinito (zero é novamente incluído).

3. A função assume o valor mínimo (0) apenas no ponto (0; 0). Não há valor máximo.

4. A função z \u003d √y não é par nem ímpar.

5. A função z \u003d √y não é periódica.

6. Existe apenas um ponto de intersecção do gráfico da função z \u003d √y com os eixos coordenados: (0; 0).

7. O ponto de intersecção do gráfico da função z \u003d √y também é o zero desta função.

8. A função z \u003d √y cresce continuamente.

9. A função z \u003d √y assume apenas valores positivos, portanto, seu gráfico ocupa o primeiro ângulo coordenado.

Variantes da função z \u003d √y

Em matemática, para facilitar o cálculo de expressões complexas, eles às vezes usam a forma de poder de escrever a raiz quadrada: √y \u003d y 1/2. Esta opção é conveniente, por exemplo, ao elevar uma função a uma potência: (√y) 4 \u003d (y 1/2) 4 \u003d y 2. Este método também é uma boa representação para diferenciação com integração, pois graças a ele a raiz quadrada é representada por uma função de potência ordinária.

E na programação, a substituição do símbolo √ é a combinação das letras sqrt.

É importante notar que nesta área a raiz quadrada é muito procurada, pois faz parte da maioria das fórmulas geométricas necessárias para os cálculos. O algoritmo de contagem em si é bastante complexo e se baseia na recursão (uma função que se chama a si mesma).

Raiz quadrada em um campo complexo C

De modo geral, foi o assunto deste artigo que estimulou a descoberta do campo dos números complexos C, uma vez que os matemáticos se preocupavam com a questão de obter uma raiz par de um número negativo. Assim surgiu a unidade imaginária i, que se caracteriza por uma propriedade muito interessante: seu quadrado é -1. Devido a isso, equações quadráticas e com discriminante negativo obtiveram solução. Em C, as mesmas propriedades são relevantes para a raiz quadrada como em R, a única coisa é que as restrições foram removidas da expressão radical.