Diferenciação da função exponencial. Derivado logarítmico

Trabalho feito

DIPLOMA WORKS

Muito já ficou para trás e agora você se formou, se, é claro, escrever sua tese no prazo. Mas a vida é tal que só agora fica claro para você que, tendo deixado de ser estudante, perderá todas as alegrias estudantis, muitas das quais nunca experimentou, adiando tudo e deixando para depois. E agora, em vez de compensar o tempo perdido, você trabalha duro na sua tese? Há uma ótima saída: baixe a tese de que precisa em nosso site - e você terá instantaneamente muito tempo livre!
Teses foram defendidas com sucesso nas principais universidades da República do Cazaquistão.
Custo do trabalho de 20.000 tenge

TRABALHOS DO CURSO

O projeto do curso é o primeiro trabalho prático sério. É com a redação de um trabalho de conclusão de curso que se inicia a preparação para o desenvolvimento de projetos de graduação. Se o aluno aprende a apresentar corretamente o conteúdo do tema no projeto do curso e a desenhá-lo corretamente, no futuro não terá problemas com a redação de relatórios ou com a elaboração teses, nem com a implementação de outras tarefas práticas. Para auxiliar os alunos na escrita deste tipo de trabalho do aluno e para esclarecer as dúvidas que surgem durante a sua preparação, de fato, esta seção de informações foi criada.
Custo do trabalho de 2.500 tenge

DISSERTAÇÕES MESTRE

Atualmente, o nível de ensino superior é muito comum em instituições de ensino superior do Cazaquistão e dos países da CEI. educação vocacional, que segue após o bacharelado - o mestrado. Na magistratura, os alunos estudam com o objetivo de obter o grau de mestre, que é reconhecido na maioria dos países do mundo mais do que o bacharelado, e também é reconhecido por empregadores estrangeiros. O resultado do curso de mestrado é a defesa de uma dissertação de mestrado.
Forneceremos material analítico e textual relevante, o preço inclui 2 artigos de ciência e o resumo.
Custo do trabalho de 35.000 tenge

RELATÓRIOS DE PRÁTICA

Após a conclusão de qualquer tipo de estágio estudantil (educacional, industrial, pré-diploma), é necessário um relatório. Este documento será a confirmação do trabalho prático do aluno e a base para a formação de uma avaliação para a prática. Normalmente, para a elaboração de um relatório sobre a prática, é necessário coletar e analisar informações sobre o empreendimento, considerar a estrutura e o horário de trabalho da organização onde a prática é realizada, traçar um plano de calendário e descrever a sua prática.
Vamos ajudá-lo a escrever um relatório de estágio tendo em conta as especificidades da atividade de uma determinada empresa.

Ao diferenciar, é significativo função liga-desliga ou expressões fracionárias complicadas, é conveniente usar a derivada logarítmica. Neste artigo, veremos exemplos de seu uso com soluções detalhadas.

A apresentação posterior implica a capacidade de usar a tabela de derivadas, as regras de diferenciação e o conhecimento da fórmula para a derivada de uma função complexa.

Derivação da fórmula da derivada logarítmica.

Primeiro, fazemos o logaritmo para a base e, simplificamos a forma da função usando as propriedades do logaritmo e, em seguida, encontramos a derivada da função dada implicitamente:

Por exemplo, vamos encontrar a derivada da função exponencial x à potência de x

Pegando o logaritmo dá. Pelas propriedades do logaritmo. A diferenciação de ambos os lados da igualdade leva ao resultado:

Responda: .

O mesmo exemplo pode ser resolvido sem usar a derivada logarítmica. Você pode realizar algumas transformações e ir da diferenciação de uma função exponencial para encontrar a derivada de uma função complexa:

Exemplo.

Encontre a derivada de uma função .

Decisão.

Neste exemplo, a função é uma fração e sua derivada pode ser pesquisada usando as regras de diferenciação. Mas, devido à expressão pesada, isso exigirá muitas transformações. Nesses casos, é mais sensato usar a fórmula para o derivado logarítmico ... Por quê? Você vai entender agora.

Vamos descobrir primeiro. Nas transformações, usaremos as propriedades do logaritmo (o logaritmo da fração é igual à diferença entre os logaritmos e o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos, e o grau da expressão sob o sinal do logaritmo pode ser retirado como um coeficiente na frente do logaritmo):

Essas transformações nos levaram a uma expressão bastante simples, cuja derivada é fácil de encontrar:

Substituímos o resultado obtido na fórmula pela derivada logarítmica e obtemos a resposta:

Para consolidar o material, daremos mais alguns exemplos sem explicações detalhadas.

Exemplo.

Encontre a derivada da função exponencial

Tópico da lição: “Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas. Antiderivado função exponencial“Nas tarefas da UNT

objetivo : desenvolver nos alunos a capacidade de aplicação de conhecimentos teóricos sobre o tema “Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas. A antiderivada da função exponencial "para resolver os problemas da UNT.

Tarefas

Educacional: sistematizar os conhecimentos teóricos dos alunos, para consolidar as competências de resolução de problemas nesta temática.

Em desenvolvimento: desenvolver memória, observação, pensamento lógico, discurso matemático dos alunos, atenção, habilidades de autoavaliação e autocontrole.

Educacional: contribuir:

promover uma atitude responsável em relação à aprendizagem entre os alunos;

desenvolver um interesse sustentado em matemática;

criando uma motivação intrínseca positiva para estudar matemática.

Métodos de ensino: verbal, visual, prático.

Formas de trabalho:individual, frontal, em pares.

Durante as aulas

Epígrafe: "A mente consiste não apenas em conhecimento, mas também na capacidade de aplicar o conhecimento na prática" Aristóteles (slide 2)

EU. Tempo de organização.

II. Resolvendo um quebra-cabeça de palavras cruzadas. (slide 3-21)

O matemático francês do século 17 Pierre Fermat definiu esta linha como "A linha reta mais próxima da curva em uma pequena vizinhança de um ponto."

Tangente

A função que é dada pela fórmula y \u003d log uma x.

Logarítmico

A função que é dada pela fórmula y \u003d e x.

Indicativo

Em matemática, esse conceito é usado para encontrar a velocidade de movimento de um ponto material e a inclinação da tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto.

Derivado

Qual é o nome da função F (x) para a função f (x) se a condição F "(x) \u003d f (x) for satisfeita para qualquer ponto do intervalo I.

Antiderivado

Qual é o nome da relação entre X e Y, na qual cada elemento de X está associado a um único elemento de Y.

Derivada de deslocamento

Rapidez

A função que é dada pela fórmula y \u003d e x.

Expositor

Se a função f (x) pode ser representada como f (x) \u003d g (t (x)), então esta função é chamada ...

III. Ditado matemático. (Slide 22)

1. Escreva a fórmula para a derivada da função exponencial. ( e x) "\u003d e x ln uma

2. Escreva a fórmula para a derivada do expoente. (e x) "\u003d e x

3. Escreva a fórmula da derivada do logaritmo natural. (ln x) "\u003d

4. Escreva a fórmula para a derivada da função logarítmica. (registro uma x) "\u003d

5. Escreva a forma geral das antiderivadas para a função f (x) \u003d e x. F (x) \u003d

6. Escreva a forma geral das antiderivadas para a função f (x) \u003d, x ≠ 0. F (x) \u003d ln | x | + C

Confira o trabalho (respostas no slide 23).

IV. Resolvendo problemas da UNT (simulador)

A) No. 1,2,3,6,10,36 no quadro-negro e no caderno (slide 24)

B) Trabalho em pares nº 19.28 (simulador) (slide 25-26)

V. 1. Encontre erros: (slide 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f (x) \u003d log 5 (7x + 1), f "(x) \u003d

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

Vi. Apresentação do aluno.

Epígrafe: "O conhecimento é uma coisa tão preciosa que não é vergonhoso obtê-lo de qualquer fonte" Tomás de Aquino (slide 28)

Vii. Atribuição doméstica nº 19.20 p. 116

VIII. Teste (tarefa de backup) (slides 29-32)

IX. Resumo da lição.

“Se você quer participar da grande vida, então preencha sua cabeça com matemática enquanto pode. Ela, então, fornecerá uma grande ajuda ao longo de sua vida "M. Kalinin (slide 33)

Álgebra e início da análise matemática

Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas

Compilado por:

professor de matemática MOU SOSH №203 HEC

cidade de Novosibirsk

T.V. Vidutova

Número e. Função y \u003d e x , suas propriedades, gráfico, diferenciação

1. Vamos construir gráficos para bases diferentes: 1. y \u003d 2 x 3. y \u003d 10 x 2. y \u003d 3 x (opção 2) (opção 1) "largura \u003d" 640 "

Considere a função exponencial y \u003d a x , onde um 1.

Vamos construir para bases diferentes e gráficos:

1. y \u003d 2 x

3. y \u003d 10 x

2. y \u003d 3 x

(Opção 2)

(Opção 1)

1) Todas as cartas passam pelo ponto (0; 1);

2) Todos os gráficos possuem uma assíntota horizontal y \u003d 0

em x  ∞;

3) Todos estão voltados para a convexidade para baixo;

4) Todos eles têm tangentes em todos os seus pontos.

Vamos desenhar uma tangente ao gráfico da função y \u003d 2 x no ponto x \u003d 0 e meça o ângulo que a tangente forma com o eixo x

Com a ajuda da plotagem precisa das linhas tangentes aos gráficos, você pode ver que se a base e função exponencial y \u003d a x a base aumenta gradualmente de 2 a 10, então o ângulo entre a tangente ao gráfico da função no ponto x \u003d 0 e a abcissa aumenta gradativamente de 35 'para 66,5'.

Portanto, há uma razão e , para o qual o ângulo correspondente é de 45 '. E este significado e está entre 2 e 3, porque em e \u003d 2 o ângulo é 35 ', para e \u003d 3 é igual a 48 '.

No decorrer da análise matemática, foi comprovado que esse fundamento existe, costuma-se denotá-lo pela letra. e.

Determinou que e – número irracional, ou seja, é uma fração decimal não periódica infinita:

e \u003d 2, 7182818284590 ... ;

Na prática, geralmente é assumido que e ≈ 2,7.

Gráfico de funções e propriedades y \u003d e x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) aumenta;

4) não limitado de cima, limitado de baixo

5) não tem o maior nem o menor

valores;

6) contínuo;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) convexo para baixo;

9) diferenciável.

Função y \u003d e x chamado expositor .

No decorrer da análise matemática, foi provado que a função y \u003d e x tem uma derivada em qualquer ponto x :

(e x ) \u003d e x

(e 5x ) "\u003d 5e 5x

(e x-3 ) "\u003d e x-3

(e -4x + 1 ) "\u003d -4e -4x-1

Exemplo 1 . Desenhe uma tangente ao gráfico da função no ponto x \u003d 1.

2) f () \u003d f (1) \u003d e

4) y \u003d e + e (x-1); y \u003d ex

Responda:

Exemplo 2 .

x = 3.

Exemplo 3 .

Examine a função para extremos

x \u003d 0 e x \u003d -2

x \u003d -2 - ponto máximo

x \u003d 0 - ponto mínimo

Se a base do logaritmo é o número e , então eles dizem que logaritmo natural ... Para logaritmos naturais uma designação especial foi introduzida em (l é logaritmo, n é natural).