Função potência, suas propriedades e gráficos. Função de potência, suas propriedades e gráfico Gráfico de funções y x 2n

1. Função potência, suas propriedades e gráfico;

2. Conversões:

Transferência paralela;

Simetria sobre os eixos coordenados;

Simetria sobre a origem;

Simetria sobre a linha reta y \u003d x;

Estique e diminua ao longo dos eixos coordenados.

3. Função exponencial, suas propriedades e gráfico, transformações semelhantes;

4. Função logarítmica, suas propriedades e gráfico;

5. Função trigonométrica, suas propriedades e gráfico, transformações semelhantes (y \u003d sin x; y \u003d cos x; y \u003d tg x);

Função: y \u003d x \\ n - suas propriedades e gráfico.

Função potência, suas propriedades e gráfico

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x e assim por diante. Todas essas funções são casos especiais de uma função de potência, ou seja, as funções y \u003d x p, onde p é um determinado número real.
As propriedades e o gráfico da função de potência dependem essencialmente das propriedades da potência com um expoente real e, em particular, em quais valores xe pfaz sentido grau x p... Vamos proceder a uma consideração semelhante de vários casos, dependendo
expoente p.

1. Índice p \u003d 2n- um número natural par.

y \u003d x 2nOnde n - número natural, tem as seguintes propriedades:

• domínio de definição - todos os números reais, ou seja, o conjunto R;
• o conjunto de valores são números não negativos, ou seja, y é maior ou igual a 0;
• função y \u003d x 2n mesmo, desde x 2n \u003d (-x) 2n
• a função está diminuindo no intervalo x< 0 e aumentando no intervalo x\u003e 0.

Gráfico de função y \u003d x 2ntem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico de função y \u003d x 4.

2. Indicador p \u003d 2n - 1- número natural ímpar

Neste caso, a função de energia y \u003d x 2n-1, onde um número natural, tem as seguintes propriedades:

• domínio de definição - conjunto R;
• conjunto de valores - conjunto R;
• função y \u003d x 2n-1 estranho desde (- x) 2n-1= x 2n-1;
• a função está aumentando ao longo de todo o eixo real.

Gráfico de função y \u003d x 2n-1 y \u003d x 3.

3. Indicador p \u003d -2nOnde n -número natural.

Neste caso, a função de energia y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2ntem as seguintes propriedades:

• um conjunto de valores - números positivos y\u003e 0;
• função y \u003d 1 / x 2n mesmo, desde 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• a função está aumentando no intervalo x0.

Função y plot \u003d 1 / x 2n tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y \u003d 1 / x 2.

4. Indicador p \u003d - (2n-1)Onde n - número natural.
Neste caso, a função de energia y \u003d x - (2n-1) tem as seguintes propriedades:

• domínio de definição - conjunto R, exceto para x \u003d 0;
• conjunto de valores - conjunto R, exceto para y \u003d 0;
• função y \u003d x - (2n-1) estranho desde (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• a função está diminuindo em intervalos x< 0 e x\u003e 0.

Gráfico de função y \u003d x - (2n-1) tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y \u003d 1 / x 3.

As seguintes fórmulas são válidas no domínio de definição da função de potência y \u003d x p:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Propriedades das funções de potência e seus gráficos

Função de potência com expoente igual a zero, p \u003d 0

Se o expoente da função de potência y \u003d x p for igual a zero, p \u003d 0, então a função de potência é definida para todo x ≠ 0 e é constante igual a um:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Função de potência com expoente ímpar natural, p \u003d n \u003d 1, 3, 5, ...

Considere uma função de potência y \u003d x p \u003d x n com um expoente ímpar natural n \u003d 1, 3, 5, .... Esse indicador também pode ser escrito como: n \u003d 2k + 1, onde k \u003d 0, 1, 2, 3, ... é um número inteiro não negativo. Abaixo estão as propriedades e gráficos de tais funções.

Gráfico de uma função de potência y \u003d x n com um expoente ímpar natural para vários valores do expoente n \u003d 1, 3, 5, ....

Domínio: -∞ < x < ∞
Muitos valores: -∞ < y < ∞
Paridade: ímpar, y (-x) \u003d - y (x)
Monótono: aumenta monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em -∞< x < 0 выпукла вверх
em 0< x < ∞ выпукла вниз
Pontos de inflexão: x \u003d 0, y \u003d 0
x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valores privados:
para x \u003d -1,
y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 \u003d -1
para x \u003d 0, y (0) \u003d 0 n \u003d 0
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Função inversa:
para n \u003d 1, a função é inversa a si mesma: x \u003d y
para n ≠ 1, a função inversa é uma raiz do grau n:

Função de potência com um expoente par natural, p \u003d n \u003d 2, 4, 6, ...

Considere uma função de potência y \u003d x p \u003d x n com um expoente par natural n \u003d 2, 4, 6, .... Esse indicador também pode ser escrito na forma: n \u003d 2k, onde k \u003d 1, 2, 3, ... - natural. As propriedades e gráficos de tais funções são fornecidos abaixo.

Gráfico de uma função de potência y \u003d x n com um expoente par natural para vários valores do expoente n \u003d 2, 4, 6, ....

Domínio: -∞ < x < ∞
Muitos valores: 0 ≤ y< ∞
Paridade: par, y (-x) \u003d y (x)
Monótono:
para x ≤ 0 diminui monotonicamente
para x ≥ 0 aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo, x \u003d 0, y \u003d 0
Convexo: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k \u003d 1
para x \u003d 0, y (0) \u003d 0 n \u003d 0
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Função inversa:
para n \u003d 2, raiz quadrada:
para n ≠ 2, raiz do grau n:

Função de potência com expoente inteiro negativo, p \u003d n \u003d -1, -2, -3, ...

Considere uma função de potência y \u003d x p \u003d x n com um expoente inteiro negativo n \u003d -1, -2, -3, .... Se colocarmos n \u003d -k, onde k \u003d 1, 2, 3, ... é um número natural, então ele pode ser representado como:

O gráfico da função de potência y \u003d x n com um expoente inteiro negativo para vários valores do expoente n \u003d -1, -2, -3, ....

Expoente ímpar, n \u003d -1, -3, -5, ...

Abaixo estão as propriedades da função y \u003d x n com um expoente negativo ímpar n \u003d -1, -3, -5, ....

Domínio: x ≠ 0
Muitos valores: y ≠ 0
Paridade: ímpar, y (-x) \u003d - y (x)
Monótono: diminui monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em x< 0 : выпукла вверх
para x\u003e 0: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: não
Placa:
em x< 0, y < 0
para x\u003e 0, y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Função inversa:
para n \u003d -1,
para n< -2 ,

Expoente par, n \u003d -2, -4, -6, ...

Abaixo estão as propriedades da função y \u003d x n com um expoente negativo par n \u003d -2, -4, -6, ....

Domínio: x ≠ 0
Muitos valores: y\u003e 0
Paridade: par, y (-x) \u003d y (x)
Monótono:
em x< 0 : монотонно возрастает
para x\u003e 0: diminui monotonicamente
Extremos: não
Convexo: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: não
Placa: y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Função inversa:
para n \u003d -2,
para n< -2 ,

Função de potência com expoente racional (fracionário)

Considere uma função de potência y \u003d x p com expoente racional (fracionário), onde n é um inteiro, m\u003e 1 é um número natural. Além disso, n, m não têm divisores comuns.

O denominador do expoente fracionário é ímpar

Deixe o denominador indicador fracionário grau ímpar: m \u003d 3, 5, 7, .... Neste caso, a função de potência x p é definida tanto para positivo quanto valores negativos argumento x. Vamos considerar as propriedades de tais funções de potência quando o expoente p está dentro de certos limites.

Indicador p é negativo, p< 0

Deixe o expoente racional (com um denominador ímpar m \u003d 3, 5, 7, ...) ser menor que zero :.

Gráficos de funções de potência com um expoente racional negativo para vários valores do expoente, onde m \u003d 3, 5, 7, ... é ímpar.

Numerador ímpar, n \u003d -1, -3, -5, ...

Apresentamos as propriedades de uma função de potência y \u003d x p com um expoente negativo racional, onde n \u003d -1, -3, -5, ... é um inteiro negativo ímpar, m \u003d 3, 5, 7 ... é um inteiro positivo ímpar.

Domínio: x ≠ 0
Muitos valores: y ≠ 0
Paridade: ímpar, y (-x) \u003d - y (x)
Monótono: diminui monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em x< 0 : выпукла вверх
para x\u003e 0: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: não
Placa:
em x< 0, y < 0
para x\u003e 0, y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n \u003d -1
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Função inversa:

Numerador uniforme, n \u003d -2, -4, -6, ...

Propriedades da função de potência y \u003d x p com um expoente negativo racional, onde n \u003d -2, -4, -6, ... é um número inteiro negativo par, m \u003d 3, 5, 7 ... é um natural ímpar.

Domínio: x ≠ 0
Muitos valores: y\u003e 0
Paridade: par, y (-x) \u003d y (x)
Monótono:
em x< 0 : монотонно возрастает
para x\u003e 0: diminui monotonicamente
Extremos: não
Convexo: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: não
Placa: y\u003e 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n \u003d 1
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Função inversa:

O expoente p é positivo, menor que um, 0< p < 1

Gráfico da função de potência com expoente racional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numerador ímpar, n \u003d 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domínio: -∞ < x < +∞
Muitos valores: -∞ < y < +∞
Paridade: ímpar, y (-x) \u003d - y (x)
Monótono: aumenta monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em x< 0 : выпукла вниз
para x\u003e 0: convexo para cima
Pontos de inflexão: x \u003d 0, y \u003d 0
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Placa:
em x< 0, y < 0
para x\u003e 0, y\u003e 0
Limites:
;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d -1
para x \u003d 0, y (0) \u003d 0
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Função inversa:

Numerador par, n \u003d 2, 4, 6, ...

As propriedades da função de potência y \u003d x p com um expoente racional dentro de 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domínio: -∞ < x < +∞
Muitos valores: 0 ≤ y< +∞
Paridade: par, y (-x) \u003d y (x)
Monótono:
em x< 0 : монотонно убывает
para x\u003e 0: aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo em x \u003d 0, y \u003d 0
Convexo: é convexo para cima para x ≠ 0
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Placa: para x ≠ 0, y\u003e 0
Limites:
;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d 1
para x \u003d 0, y (0) \u003d 0
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Função inversa:

P é maior que um, p\u003e 1

O gráfico de uma função de potência com um expoente racional (p\u003e 1) para vários valores do expoente, onde m \u003d 3, 5, 7, ... é ímpar.

Numerador ímpar, n \u003d 5, 7, 9, ...

Propriedades da função potência y \u003d x p com um expoente racional maior que um :. Onde n \u003d 5, 7, 9, ... é um natural ímpar, m \u003d 3, 5, 7 ... é um natural ímpar.

Domínio: -∞ < x < ∞
Muitos valores: -∞ < y < ∞
Paridade: ímpar, y (-x) \u003d - y (x)
Monótono: aumenta monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em -∞< x < 0 выпукла вверх
em 0< x < ∞ выпукла вниз
Pontos de inflexão: x \u003d 0, y \u003d 0
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d -1
para x \u003d 0, y (0) \u003d 0
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Função inversa:

Numerador par, n \u003d 4, 6, 8, ...

Propriedades da função potência y \u003d x p com um expoente racional maior que um :. Onde n \u003d 4, 6, 8, ... é um natural par, m \u003d 3, 5, 7 ... é um natural ímpar.

Domínio: -∞ < x < ∞
Muitos valores: 0 ≤ y< ∞
Paridade: par, y (-x) \u003d y (x)
Monótono:
em x< 0 монотонно убывает
para x\u003e 0 aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo em x \u003d 0, y \u003d 0
Convexo: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
;
Valores privados:
para x \u003d -1, y (-1) \u003d 1
para x \u003d 0, y (0) \u003d 0
para x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Função inversa:

O denominador do expoente fracionário é par

Seja o denominador do expoente fracionário par: m \u003d 2, 4, 6, .... Nesse caso, a função exponencial x p é indefinida para valores de argumento negativos. Suas propriedades são as mesmas de uma função de potência com um expoente irracional (consulte a próxima seção).

Função de potência com expoente irracional

Considere uma função de potência y \u003d x p com um expoente irracional p. As propriedades de tais funções diferem daquelas consideradas acima porque não são definidas para valores negativos do argumento x. Para valores positivos do argumento, as propriedades dependem apenas da magnitude do expoente p e não dependem de p ser inteiro, racional ou irracional.

y \u003d x p para diferentes valores do expoente p.

Função de potência com expoente negativo p< 0

Domínio: x\u003e 0
Muitos valores: y\u003e 0
Monótono: diminui monotonicamente
Convexo: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: não
Limites: ;
Valor privado: Para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Função de potência com expoente positivo p\u003e 0

Indicador menor que um 0< p < 1

Domínio: x ≥ 0
Muitos valores: y ≥ 0
Monótono: aumenta monotonicamente
Convexo: convexo para cima
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
Valores privados: Para x \u003d 0, y (0) \u003d 0 p \u003d 0.
Para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Indicador maior que um p\u003e 1

Domínio: x ≥ 0
Muitos valores: y ≥ 0
Monótono: aumenta monotonicamente
Convexo: convexo para baixo
Pontos de inflexão: não
Pontos de intersecção com eixos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0
Limites:
Valores privados: Para x \u003d 0, y (0) \u003d 0 p \u003d 0.
Para x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Referências:
DENTRO. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições Técnicas, "Lan", 2009.

Gráfico de funçãoy = machado 2 + n .

Explicação.

y = 2x 2 + 4.
y = 2x 2, move quatro unidades acima do eixo y... Claro, todos os valores y aumentar regularmente em 4.

Aqui está uma tabela de valores de função y = 2x 2:

E aqui está a tabela de valores y = 2x 2 + 4:

Vemos na tabela que o vértice da parábola da segunda função é 4 unidades mais alto que o vértice da parábola da primeira (suas coordenadas são 0; 4). E os valores y a segunda função tem mais 4 valores y primeira função.

Gráfico de funçãoy = uma(x – m) 2 .

Explicação.

Por exemplo, você precisa representar graficamente a função y = 2 (x – 6) 2 .
Isso significa que a parábola, que é o gráfico da função y = 2x 2, move seis unidades para a direita ao longo do eixo x(no gráfico - parábola vermelha).

Gráfico de funçãoy = uma(x – m) 2 + n.

Duas funções nos levam à terceira função: y = uma(x – m) 2 + n.

Explicação:

Por exemplo, você precisa representar graficamente a função y = 2 (x – 6) 2 + 2.
Isso significa que a parábola, que é o gráfico da função y = 2x 2, move 6 unidades para a direita (valor m) e 2 unidades para cima (valor n). A parábola vermelha no gráfico é o resultado desses movimentos.

Você está familiarizado com as funções y \u003d x, y \u003d x 2 , y \u003d x 3 , y \u003d 1 / xetc. Todas essas funções são casos especiais de uma função de potência, ou seja, as funções y \u003d x p , onde p é um determinado número real. As propriedades e o gráfico da função de potência dependem essencialmente das propriedades da potência com um expoente real e, em particular, em quais valores xe pfaz sentido grau x p ... Vamos prosseguir para uma consideração semelhante de vários casos, dependendo do expoente p.

Índice p \u003d 2né um número natural par.

Neste caso, a função de energia y \u003d x 2n Onde n- um número natural, tem o seguinte

propriedades:

domínio de definição - todos os números reais, ou seja, o conjunto R;

o conjunto de valores são números não negativos, ou seja, y é maior ou igual a 0;

função y \u003d x 2n mesmo, desde x 2n \u003d (- x) 2n

a função está diminuindo no intervalo x<0 e aumentando no intervalo x\u003e 0.

Gráfico de função y \u003d x 2n tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico de função y \u003d x 4 .

2. Indicador p \u003d 2n-1é um número natural ímpar. Neste caso, a função de potência y \u003d x 2n-1 , onde um número natural, tem as seguintes propriedades:

domínio de definição - conjunto R;

conjunto de valores - conjunto R;

função y \u003d x 2n-1 estranho desde (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

a função está aumentando ao longo de todo o eixo real.

Gráfico de função y \u003d x2n-1tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y \u003d x3.

3. Indicador p \u003d -2nOnde n -número natural.

Neste caso, a função de energia y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2n tem as seguintes propriedades:

um conjunto de valores - números positivos y\u003e 0;

função y \u003d 1 / x 2n mesmo, desde 1 / (- x) 2n =1 / x 2n ;

a função está aumentando no intervalo x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Função y plot \u003d 1 / x 2n tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y \u003d 1 / x 2 .

4. Indicador p \u003d - (2n-1)Onde n- número natural. Neste caso, a função de energia y \u003d x - (2n-1) tem as seguintes propriedades:

domínio de definição - conjunto R, exceto para x \u003d 0;

conjunto de valores - conjunto R, exceto para y \u003d 0;

função y \u003d x - (2n-1) estranho desde (- x) - (2n-1) =-x - (2n-1) ;

a função está diminuindo em intervalos x<0 e x\u003e 0.

Gráfico de função y \u003d x - (2n-1) tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y \u003d 1 / x 3 .

1. Funções trigonométricas inversas, suas propriedades e gráficos.

Inverso funções trigonométricas, suas propriedades e gráficos.Funções trigonométricas inversas (funções circulares, funções de arco) - funções matemáticas que são inversas às funções trigonométricas.

1. Função Arcsin

Gráfico de função .

Arcsine números m este ângulo é chamado x, para qual

A função é contínua e limitada em toda a linha numérica. Função está aumentando estritamente.

1. [Editar] Propriedades da função arcsin

1. [Editar] Obtendo a função arcsin

A função é dada em todos os seus áreas de definição ela passa a ser monótono por partese, portanto, a correspondência inversa não é uma função. Portanto, vamos considerar um segmento no qual ele aumenta estritamente e assume todos os valores faixa de valores -. Visto que para uma função no intervalo, cada valor do argumento corresponde a um valor único da função, então neste intervalo existe função inversa cujo gráfico é simétrico ao gráfico de uma função em um segmento em relação a uma linha reta

Função y \u003d x2n, onde n pertence ao conjunto de inteiros positivos. Uma função de potência deste tipo tem um expoente positivo par a \u003d 2n. Como x2n \u003d (- x) 2n sempre, os gráficos de todas essas funções são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Todas as funções da forma y \u003d x2n, n pertencem ao conjunto de inteiros positivos e têm as seguintes propriedades idênticas: X \u003d R X? \u003d (-?;?) Y \u003d)