Calculadora online. Encontre (com solução) a derivada da função

A operação de encontrar uma derivada é chamada de diferenciação.

Como resultado da resolução dos problemas de encontrar derivadas das funções mais simples (e não muito simples) determinando a derivada como o limite da razão do incremento para o incremento do argumento, uma tabela de derivadas e regras de diferenciação precisamente definidas apareceu. Os primeiros no campo da descoberta de derivados foram Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Portanto, em nosso tempo, para encontrar a derivada de qualquer função, não é necessário calcular o limite acima mencionado da razão do incremento da função para o incremento do argumento, mas você só precisa usar o tabela de derivados e as regras de diferenciação. O seguinte algoritmo é adequado para encontrar a derivada.

Para encontrar a derivada, você precisa de uma expressão sob o sinal de traço desmonte funções simples e determinar quais ações (produto, soma, quociente) essas funções estão vinculadas. Além disso, as derivadas de funções elementares são encontradas na tabela de derivadas, e as fórmulas para as derivadas do produto, soma e quociente são encontradas nas regras de diferenciação. A tabela derivada e as regras de diferenciação são fornecidas após os dois primeiros exemplos.

Exemplo 1. Encontre a derivada de uma função

Decisão. A partir das regras de diferenciação, descobrimos que a derivada da soma das funções é a soma das derivadas das funções, ou seja,

Na tabela de derivadas, descobrimos que a derivada de "x" é igual a um, e a derivada do seno é igual ao cosseno. Substituímos esses valores na soma das derivadas e encontramos a derivada exigida pela condição do problema:

Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função

Decisão. Nós diferenciamos como a derivada da soma, em que o segundo termo com um fator constante, pode ser tomado fora do sinal da derivada:

Se ainda há dúvidas sobre de onde vem, elas, via de regra, ficam mais claras após a familiarização com a tabela de derivadas e as regras mais simples de diferenciação. Nós nos voltamos para eles agora.

Tabela derivada de funções simples

1. Derivada de uma constante (número). Qualquer número (1, 2, 5, 200 ...) que esteja na expressão da função. Sempre zero. É muito importante lembrar isso, pois é necessário muitas vezes
2. Derivada da variável independente. Na maioria das vezes, "x". Sempre igual a um. Isso também é importante lembrar por muito tempo.
3. Grau derivado. Ao resolver problemas, você precisa transformar raízes não quadradas em um poder.
4. Derivada de uma variável à potência de -1
5. Derivado raiz quadrada
6. Derivado do seno
7. Derivada do cosseno
8. Derivada da tangente
9. Derivado cotangente
10. Derivado do arco seno
11. Derivado do arco-cosseno
12. Derivada do arco tangente
13. Derivada do arco cotangente
14. Derivada do logaritmo natural
15. Derivada da função logarítmica
16. Derivada do expoente
17. Derivada da função exponencial

Regras de diferenciação

1. Derivada da soma ou diferença
2. Derivado do trabalho
2a. A derivada de uma expressão multiplicada por um fator constante
3. Derivada do quociente
4. Derivada de uma função complexa

Regra 1. Funções If

diferenciável em algum ponto, então, no mesmo ponto, as funções

além disso

essa. a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções.

Consequência. Se duas funções diferenciáveis \u200b\u200bdiferem por um termo constante, então suas derivadas são iguais, ou seja,

Regra 2.Funções If

são diferenciáveis \u200b\u200bem algum ponto, então no mesmo ponto seu produto também é diferenciável

além disso

essa. a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra.

Corolário 1. O fator constante pode ser movido para fora do sinal da derivada:

Corolário 2. A derivada do produto de várias funções diferenciáveis \u200b\u200bé igual à soma dos produtos da derivada de cada um dos fatores por todos os outros.

Por exemplo, para três fatores:

Regra 3.Funções If

diferenciável em algum ponto e , então, neste ponto é diferenciável e seu quocienteu / v, e

essa. a derivada do quociente de duas funções é igual à fração, o numerador do qual é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador pela derivada do denominador, e o denominador é o quadrado de o numerador anterior.

Onde o que procurar em outras páginas

Ao encontrar a derivada do produto e o quociente em problemas reais, é sempre necessário aplicar várias regras de diferenciação ao mesmo tempo, portanto, mais exemplos sobre essas derivadas estão no artigo"Derivada de uma obra e de uma função particular".

Comente.Uma constante (isto é, um número) não deve ser confundida com um somatório e como um fator constante! No caso de um termo, sua derivada é igual a zero e, no caso de um fator constante, é retirada do sinal das derivadas. Este é um erro típico que ocorre no estágio inicial do estudo de derivados, mas depois de resolver vários exemplos de um ou dois componentes, o estudante médio não comete mais esse erro.

E se, ao diferenciar uma obra ou particular, você tem um termo você"v , no qual você - um número, por exemplo, 2 ou 5, ou seja, uma constante, então a derivada desse número será igual a zero e, portanto, todo o termo será igual a zero (neste caso é analisado no Exemplo 10).

Outro erro comum é a solução mecânica de uma derivada de uma função complexa como uma derivada de uma função simples. Portanto derivada de uma função complexa um artigo separado é dedicado. Mas primeiro aprenderemos a encontrar derivados de funções simples.

Ao longo do caminho, você não pode prescindir de transformações de expressão. Para fazer isso, você pode precisar abrir os tutoriais em novas janelas Ações com poderes e raízes e Ações com frações .

Se você está procurando soluções para derivadas de frações com potências e raízes, ou seja, quando a função parece e siga a lição "Derivada da soma das frações com potências e raízes".

Se você tem uma tarefa como , então sua lição "Derivados de funções trigonométricas simples".

Exemplos passo a passo - como encontrar a derivada

Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função

Decisão. Determinamos as partes da expressão da função: a expressão inteira representa o produto e seus fatores são somas, no segundo dos quais um dos termos contém um fator constante. Aplicamos a regra de diferenciação do produto: a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra:

A seguir, aplicamos a regra para diferenciar a soma: a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções. Em nosso caso, cada soma contém o segundo termo com um sinal de menos. Em cada soma, vemos uma variável independente, cuja derivada é igual a um, e uma constante (número), cuja derivada é igual a zero. Então, "x" para nós se transforma em um e menos 5 - em zero. Na segunda expressão, "x" é multiplicado por 2, portanto, multiplicamos dois pela mesma unidade da derivada de "x". Obtemos os seguintes valores das derivadas:

Substituímos as derivadas encontradas na soma dos produtos e obtemos a derivada de toda a função exigida pela condição do problema:

Exemplo 4. Encontre a derivada de uma função

Decisão. Precisamos encontrar a derivada do quociente. Aplicamos a fórmula para diferenciar o quociente: a derivada do quociente de duas funções é igual à fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e do numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do numerador anterior. Nós temos:

Já encontramos a derivada dos fatores no numerador no Exemplo 2. Não se esqueça que o produto que é o segundo fator no numerador no exemplo atual é obtido com um sinal de menos:

Se você está procurando soluções para problemas em que você precisa encontrar a derivada de uma função, onde há um monte contínuo de raízes e poderes, como, por exemplo, então bem-vindo à aula "Derivada da soma das frações com potências e raízes" .

Se você precisa aprender mais sobre as derivadas de senos, cossenos, tangentes e outros funções trigonométricas, isto é, quando a função parece , então sua lição "Derivados de funções trigonométricas simples" .

Exemplo 5. Encontre a derivada de uma função

Decisão. Nesta função, vemos um produto, um dos fatores do qual é a raiz quadrada da variável independente, cuja derivada vimos na tabela de derivadas. De acordo com a regra de diferenciação do produto e o valor da tabela da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Exemplo 6. Encontre a derivada de uma função

Decisão. Nesta função, vemos o quociente, cujo dividendo é a raiz quadrada da variável independente. De acordo com a regra de diferenciação do quociente, que repetimos e aplicamos no exemplo 4, e o valor da tabela da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Para eliminar a fração no numerador, multiplique o numerador e o denominador por.

Definição. Deixe a função \\ (y \u003d f (x) \\) ser definida em algum intervalo contendo o ponto \\ (x_0 \\). Dê ao argumento um incremento \\ (\\ Delta x \\) de forma que ele não saia deste intervalo. Encontre o incremento correspondente da função \\ (\\ Delta y \\) (ao passar do ponto \\ (x_0 \\) para o ponto \\ (x_0 + \\ Delta x \\)) e componha a razão \\ (\\ frac (\\ Delta y) ( \\ Delta x) \\). Se houver um limite desta proporção em \\ (\\ Delta x \\ rightarrow 0 \\), então o limite especificado é chamado função derivada \\ (y \u003d f (x) \\) no ponto \\ (x_0 \\) e denotar \\ (f "(x_0) \\).

$$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ a 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \u003d f "(x_0) $$

O símbolo y "é frequentemente usado para denotar a derivada. Observe que y" \u003d f (x) é uma nova função, mas naturalmente relacionada à função y \u003d f (x), definida em todos os pontos x nos quais o limite acima existe ... Esta função é chamada assim: derivada da função y \u003d f (x).

O significado geométrico da derivada é o seguinte. Se o gráfico da função y \u003d f (x) em um ponto com abscissa x \u003d a pode ser desenhado tangente, não paralelo ao eixo y, então f (a) expressa a inclinação da tangente:
\\ (k \u003d f "(a) \\)

Como \\ (k \u003d tg (a) \\), a igualdade \\ (f "(a) \u003d tg (a) \\) é verdadeira.

E agora vamos interpretar a definição da derivada do ponto de vista das igualdades aproximadas. Deixe a função \\ (y \u003d f (x) \\) ter uma derivada em um ponto específico \\ (x \\):
$$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ a 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \u003d f "(x) $$
Isso significa que perto do ponto x a igualdade aproximada \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\ approx f "(x) \\) é cumprida, ou seja, \\ (\\ Delta y \\ approx f" (x) \\ cdot \\ Delta x \\). O significado significativo da igualdade aproximada obtida é o seguinte: o incremento da função é "quase proporcional" ao incremento do argumento, e o coeficiente de proporcionalidade é o valor da derivada em um determinado ponto x. Por exemplo, a função \\ (y \u003d x ^ 2 \\) satisfaz a igualdade aproximada \\ (\\ Delta y \\ approx 2x \\ cdot \\ Delta x \\). Se analisarmos cuidadosamente a definição da derivada, descobriremos que ela contém um algoritmo para encontrá-la.

Vamos formular isso.

Como encontrar a derivada da função y \u003d f (x)?

1. Fixe o valor \\ (x \\), encontre \\ (f (x) \\)
2. Dê ao argumento \\ (x \\) um incremento \\ (\\ Delta x \\), vá para um novo ponto \\ (x + \\ Delta x \\), encontre \\ (f (x + \\ Delta x) \\)
3. Encontre o incremento da função: \\ (\\ Delta y \u003d f (x + \\ Delta x) - f (x) \\)
4. Faça a relação \\ (\\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) \\)
5. Calcule $$ \\ lim _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (\\ Delta y) (\\ Delta x) $$
Este limite é a derivada da função no ponto x.

Se a função y \u003d f (x) tem uma derivada no ponto x, então ela é chamada diferenciável no ponto x. O procedimento para encontrar a derivada de uma função y \u003d f (x) é chamado diferenciação função y \u003d f (x).

Vamos discutir a seguinte questão: como a continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas entre si?

Seja a função y \u003d f (x) diferenciável no ponto x. Em seguida, uma tangente pode ser desenhada para o gráfico da função no ponto M (x; f (x)) e, lembre-se, a inclinação da tangente é f "(x). Esse gráfico não pode" quebrar "no ponto M, ou seja, a função deve ser contínua no ponto x.

Esse foi o raciocínio da "ponta dos dedos". Vamos dar um raciocínio mais rigoroso. Se a função y \u003d f (x) é diferenciável no ponto x, então a igualdade aproximada \\ (\\ Delta y \\ approx f "(x) \\ cdot \\ Delta x \\) é válida. Se nesta igualdade \\ (\\ Delta x \\) tende a zero, então \\ (\\ Delta y \\) tende a zero, e esta é a condição para a continuidade da função no ponto.

Então, se a função é diferenciável no ponto x, então também é contínua neste ponto.

O inverso não é verdadeiro. Por exemplo: função y \u003d | x | é contínua em todo lugar, em particular no ponto x \u003d 0, mas a tangente ao gráfico da função no "ponto de junção" (0; 0) não existe. Se em algum ponto do gráfico da função for impossível desenhar uma tangente, então neste ponto não há derivada.

Mais um exemplo. A função \\ (y \u003d \\ sqrt (x) \\) é contínua em toda a reta numérica, incluindo no ponto x \u003d 0. E a tangente ao gráfico da função existe em qualquer ponto, incluindo no ponto x \u003d 0 .Mas neste ponto a reta tangente coincide com o eixo y, ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, sua equação tem a forma x \u003d 0. Não há inclinação para tal reta, então ela não existe e \\ (f "(0) \\)

Assim, conhecemos uma nova propriedade de uma função - diferenciabilidade. E como, a partir do gráfico da função, pode-se concluir que ela é diferenciável?

A resposta é realmente recebida acima. Se em algum ponto do gráfico da função for possível desenhar uma tangente que não seja perpendicular ao eixo das abscissas, então, neste ponto, a função é diferenciável. Se em algum ponto a tangente ao gráfico da função não existe ou é perpendicular ao eixo das abcissas, então, neste ponto, a função não é diferenciável.

Regras de diferenciação

A operação de encontrar a derivada é chamada diferenciação... Ao realizar esta operação, muitas vezes você tem que trabalhar com quocientes, somas, produtos de funções, bem como "funções de funções", ou seja, funções complexas. Com base na definição de uma derivada, é possível derivar regras de diferenciação que facilitam este trabalho. Se C é um número constante ef \u003d f (x), g \u003d g (x) são algumas funções diferenciáveis, então o seguinte regras de diferenciação:

Tabela derivada de algumas funções

Prova e derivação de fórmulas para a derivada do logaritmo natural e a base um logaritmo. Exemplos de cálculo de derivadas de ln 2x, ln 3x e ln nx. Prova da fórmula da derivada da ordem enésima do logaritmo pelo método da indução matemática.

Derivação de fórmulas para derivados do logaritmo natural e do logaritmo de base a

A derivada do logaritmo natural de x é igual a um dividido por x:
(1) (ln x) ′ \u003d.

A base a derivada do logaritmo é igual a um dividido pela variável x multiplicada pelo logaritmo natural de a:
(2) (log a x) ′ \u003d.

Provas

Que haja algum número positivo diferente de um. Considere uma função que depende da variável x, que é o logaritmo para a base:
.
Esta função é definida em. Vamos encontrar sua derivada em relação à variável x. Por definição, a derivada é o seguinte limite:
(3) .

Transformamos essa expressão para reduzi-la às propriedades e regras matemáticas conhecidas. Para fazer isso, precisamos saber os seguintes fatos:
A) Propriedades de logaritmo. Precisamos das seguintes fórmulas:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuidade do logaritmo e a propriedade dos limites para uma função contínua:
(7) .
Aqui está alguma função que tem um limite e esse limite é positivo.
DENTRO) O significado do segundo limite notável:
(8) .

Nós aplicamos esses fatos ao nosso limite. Primeiro, transformamos a expressão algébrica
.
Para isso, aplicamos as propriedades (4) e (5).

.

Vamos usar a propriedade (7) e o segundo limite notável (8):
.

E, finalmente, aplicamos a propriedade (6):
.
Base de logaritmo e chamado logaritmo natural... É designado da seguinte forma:
.
Então;
.

Assim, obtivemos a fórmula (2) para a derivada do logaritmo.

Derivado do logaritmo natural

Mais uma vez, escreva a fórmula para a derivada do logaritmo em relação à base a:
.
Esta fórmula tem a forma mais simples para o logaritmo natural, para o qual ,. Então
(1) .

Por causa dessa simplicidade, o logaritmo natural é amplamente usado em análises matemáticas e em outros ramos da matemática relacionados ao cálculo diferencial. Funções logarítmicas com outras bases pode ser expresso em termos do logaritmo natural usando a propriedade (6):
.

A derivada de base do logaritmo pode ser encontrada na fórmula (1), se a constante for retirada do sinal de diferenciação:
.

Outras maneiras de provar a derivada do logaritmo

Aqui, assumimos que conhecemos a fórmula para a derivada do expoente:
(9) .
Então, podemos derivar a fórmula para a derivada do logaritmo natural, dado que o logaritmo é a função inversa do expoente.

Vamos provar a fórmula para a derivada do logaritmo natural, aplicando a fórmula para a derivada da função inversa:
.
No nosso caso . O inverso do logaritmo natural é o expoente:
.
Sua derivada é determinada pela fórmula (9). As variáveis \u200b\u200bpodem ser designadas com qualquer letra. Na fórmula (9), substitua a variável x por y:
.
Desde então
.
Então
.
A fórmula está comprovada.

Agora provamos a fórmula para a derivada do logaritmo natural usando regras complexas de diferenciação de funções... Uma vez que as funções e são inversas entre si, então
.
Diferenciamos esta equação em relação à variável x:
(10) .
A derivada de x é igual a um:
.
Aplicamos a regra de diferenciar uma função complexa:
.
Aqui . Substituir em (10):
.
Daqui
.

Exemplo

Encontre derivados de em 2x, em 3x e ln nx.

Decisão

As funções originais são semelhantes. Portanto, vamos encontrar a derivada da função y \u003d ln nx ... Em seguida, substitua n \u003d 2 e n \u003d 3. E, assim, obtemos fórmulas para os derivados de ln 2x e em 3x .

Então, estamos procurando a derivada da função
y \u003d ln nx .
Vamos imaginar essa função como uma função complexa, consistindo em duas funções:
1) Funções dependentes de variáveis \u200b\u200b:;
2) Funções dependentes de variáveis \u200b\u200b:.
Então, a função original é composta de funções e:
.

Encontre a derivada da função em relação à variável x:
.
Vamos encontrar a derivada da função em relação à variável:
.
Aplicamos a fórmula para a derivada de uma função complexa.
.
Aqui nós configuramos.

Então, encontramos:
(11) .
Vemos que a derivada é independente de n. Este resultado é bastante natural se transformarmos a função original usando a fórmula para o logaritmo do produto:
.
é constante. Sua derivada é zero. Então, de acordo com a regra de diferenciação da soma, temos:
.

Responda

; ; .

Derivada do logaritmo do módulo x

Vamos encontrar a derivada de outra função muito importante - o logaritmo natural do módulo x:
(12) .

Vamos considerar um caso. Então, a função tem a forma:
.
Sua derivada é determinada pela fórmula (1):
.

Agora considere o caso. Então, a função tem a forma:
,
Onde.
Mas também encontramos a derivada dessa função no exemplo acima. Não depende de n e é igual a
.
Então
.

Combinamos esses dois casos em uma fórmula:
.

Assim, para o logaritmo de base a, temos:
.

Derivadas de ordem superior do logaritmo natural

Considere a função
.
Encontramos sua derivada de primeira ordem:
(13) .

Encontre a derivada de segunda ordem:
.
Encontre a derivada de terceira ordem:
.
Vamos encontrar a derivada de quarta ordem:
.

Pode-se ver que a derivada de enésima ordem é:
(14) .
Vamos provar isso pelo método da indução matemática.

Provas

Vamos substituir o valor n \u003d 1 na fórmula (14):
.
Desde então, para n \u003d 1 , a fórmula (14) é válida.

Suponha que a fórmula (14) seja válida para n \u003d k. Vamos provar que isso implica que a fórmula é válida para n \u003d k + 1 .

Na verdade, para n \u003d k temos:
.
Diferenciamos em relação à variável x:

.
Então nós temos:
.
Esta fórmula coincide com a fórmula (14) para n \u003d k + 1 ... Assim, partindo do pressuposto de que a fórmula (14) é válida para n \u003d k, segue-se que a fórmula (14) é válida para n \u003d k + 1 .

Portanto, a fórmula (14), para a derivada de enésima ordem, é válida para qualquer n.

Derivadas de ordem superior do logaritmo com a base a

Para encontrar a derivada de enésima ordem da base um logaritmo, você precisa expressá-la em termos do logaritmo natural:
.
Aplicando a fórmula (14), encontramos a enésima derivada:
.