Функция на мощността, нейните свойства и графики. Функция на мощността, нейните свойства и графика Графика на функцията y x 2n

1. Функция на мощността, нейните свойства и графика;

2. Преобразувания:

Паралелен трансфер;

Симетрия относно координатните оси;

Симетрия за произхода;

Симетрия за права линия y \u003d x;

Разтегнете и свийте по координатните оси.

3. Експоненциална функция, нейните свойства и графика, подобни трансформации;

4. Логаритмична функция, нейните свойства и графика;

5. Тригонометрична функция, нейните свойства и графика, подобни трансформации (y \u003d sin x; y \u003d cos x; y \u003d tg x);

Функция: y \u003d x \\ n - неговите свойства и графика.

Функция на мощността, нейните свойства и графика

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x и т. н. Всички тези функции са специални случаи на степенна функция, тоест функциите y \u003d x p, където p е дадено реално число.
Свойствата и графиката на степенната функция по същество зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от това при какви стойности хи стрима смисъл степен x стр... Нека да пристъпим към подобно разглеждане на различни случаи в зависимост от
експонента стр.

1. Индекс p \u003d 2n- четно естествено число.

y \u003d x 2nкъдето н - естествено число, има следните свойства:

• домейн на дефиницията - всички реални числа, тоест множеството R;
• множеството от стойности е неотрицателни числа, т.е. y е по-голямо или равно на 0;
• функция y \u003d x 2n дори, тъй като x 2n \u003d (-x) 2n
• функцията намалява в интервала х< 0 и се увеличава в интервала x\u003e 0.

Графика на функциите y \u003d x 2nима същата форма като например графиката на функциите y \u003d x 4.

2. Индикатор p \u003d 2n - 1- нечетно естествено число

В този случай функцията на мощността y \u003d x 2n-1, където естествено число, има следните свойства:

• домейн на дефиницията - набор R;
• набор от стойности - набор R;
• функция y \u003d x 2n-1 странно от (- х) 2n-1= x 2n-1;
• функцията се увеличава по цялата реална ос.

Графика на функциите y \u003d x 2n-1 y \u003d x 3.

3. Индикатор p \u003d -2nкъдето н -естествено число.

В този случай функцията на мощността y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2nима следните свойства:

• набор от стойности - положителни числа y\u003e 0;
• функция y \u003d 1 / x 2n дори, тъй като 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• функцията се увеличава на интервала x0.

Функция y графика \u003d 1 / x 2n има същата форма като например графиката на функцията y \u003d 1 / x 2.

4. Индикатор p \u003d - (2n-1)където н - естествено число.
В този случай функцията на мощността y \u003d x - (2n-1) има следните свойства:

• домейн на дефиниция - набор R, с изключение на x \u003d 0;
• набор от стойности - набор R, с изключение на y \u003d 0;
• функция y \u003d x - (2n-1) странно от (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• функцията намалява на интервали х< 0 и x\u003e 0.

Графика на функциите y \u003d x - (2n-1) има същата форма като например графиката на функцията y \u003d 1 / x 3.

Следните формули се държат в областта на дефиницията на степенната функция y \u003d x p:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства на степенните функции и техните графики

Функция на степента с степен, равна на нула, p \u003d 0

Ако степента на степенната функция y \u003d x p е нула, p \u003d 0, тогава степенната функция е дефинирана за всички x ≠ 0 и е константа равна на единица:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Функция на мощността с естествен нечетен експонент, p \u003d n \u003d 1, 3, 5, ...

Помислете за степенна функция y \u003d x p \u003d x n с естествен нечетен показател n \u003d 1, 3, 5, .... Такъв показател може да бъде записан и като: n \u003d 2k + 1, където k \u003d 0, 1, 2, 3, ... е неотрицателно цяло число. По-долу са показани свойствата и графиките на такива функции.

Графика на степенна функция y \u003d x n с естествен нечетен експонент за различни стойности на степента n \u003d 1, 3, 5, ....

Домейн: -∞ < x < ∞
Много ценности: -∞ < y < ∞
Паритет: нечетно, y (-x) \u003d - y (x)
Монотонен: се увеличава монотонно
Крайности: не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
в 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на огъване: x \u003d 0, y \u003d 0
x \u003d 0, y \u003d 0
Ограничения:
;
Частни ценности:
за x \u003d -1,
y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 \u003d -1
за x \u003d 0, y (0) \u003d 0 n \u003d 0
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Обратна функция:
за n \u003d 1, функцията е обратна на себе си: x \u003d y
за n ≠ 1, обратната функция е корен от степен n:

Функция на мощността с естествен четен показател, p \u003d n \u003d 2, 4, 6, ...

Помислете за степенна функция y \u003d x p \u003d x n с четен естествен показател n \u003d 2, 4, 6, .... Такъв показател може да се запише и под формата: n \u003d 2k, където k \u003d 1, 2, 3, ... - естествен. Свойствата и графиките на такива функции са дадени по-долу.

Графика на степенна функция y \u003d x n с естествена четна степен за различни стойности на степента n \u003d 2, 4, 6, ....

Домейн: -∞ < x < ∞
Много ценности: 0 ≤ y< ∞
Паритет: четно, y (-x) \u003d y (x)
Монотонен:
при x ≤ 0 монотонно намалява
за x ≥ 0 монотонно се увеличава
Крайности: минимум, x \u003d 0, y \u003d 0
Изпъкнал: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Ограничения:
;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k \u003d 1
за x \u003d 0, y (0) \u003d 0 n \u003d 0
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Обратна функция:
за n \u003d 2, корен квадратен:
за n ≠ 2, корен от степен n:

Функция на мощността с отрицателна степенна степен, p \u003d n \u003d -1, -2, -3, ...

Помислете за степенна функция y \u003d x p \u003d x n с отрицателна цялостна степен n \u003d -1, -2, -3, .... Ако поставим n \u003d -k, където k \u003d 1, 2, 3, ... е естествено число, то то може да бъде представено като:

Графиката на степенната функция y \u003d x n с отрицателно цяло число степен за различни стойности на степента n \u003d -1, -2, -3, ....

Нечетен експонент, n \u003d -1, -3, -5, ...

По-долу са показани свойствата на функцията y \u003d x n с нечетен отрицателен степен n \u003d -1, -3, -5, ....

Домейн: x ≠ 0
Много ценности: y ≠ 0
Паритет: нечетно, y (-x) \u003d - y (x)
Монотонен: намалява монотонно
Крайности: не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x\u003e 0: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x\u003e 0, y\u003e 0
Ограничения:
; ; ;
Частни ценности:
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Обратна функция:
за n \u003d -1,
за n< -2 ,

Четна степен, n \u003d -2, -4, -6, ...

По-долу са показани свойствата на функцията y \u003d x n с четен отрицателен степен n \u003d -2, -4, -6, ....

Домейн: x ≠ 0
Много ценности: y\u003e 0
Паритет: четно, y (-x) \u003d y (x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x\u003e 0: монотонно намалява
Крайности: не
Изпъкнал: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: не
Знак: y\u003e 0
Ограничения:
; ; ;
Частни ценности:
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Обратна функция:
за n \u003d -2,
за n< -2 ,

Степенна функция с рационален (дробен) степен

Помислете за степенна функция y \u003d x p с рационален (дробен) степен, където n е цяло число, m\u003e 1 е естествено число. Освен това n, m нямат общи делители.

Знаменателят на дробния показател е нечетен

Нека знаменателят дробен индикатор степен нечетна: m \u003d 3, 5, 7, .... В този случай степенната функция x p е дефинирана както за положителни, така и за отрицателни стойности аргумент x. Нека разгледаме свойствата на такива степенни функции, когато степента p е в определени граници.

Индикаторът p е отрицателен, p< 0

Нека рационалният показател (с нечетен знаменател m \u003d 3, 5, 7, ...) да бъде по-малък от нула :.

Графики на степенни функции с рационален отрицателен степен за различни стойности на степента, където m \u003d 3, 5, 7, ... е нечетно.

Нечетен числител, n \u003d -1, -3, -5, ...

Представяме свойствата на степенната функция y \u003d x p с рационален отрицателен степен, където n \u003d -1, -3, -5, ... е нечетно отрицателно цяло число, m \u003d 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: x ≠ 0
Много ценности: y ≠ 0
Паритет: нечетно, y (-x) \u003d - y (x)
Монотонен: намалява монотонно
Крайности: не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x\u003e 0: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x\u003e 0, y\u003e 0
Ограничения:
; ; ;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n \u003d -1
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Обратна функция:

Четен числител, n \u003d -2, -4, -6, ...

Свойства на степенната функция y \u003d x p с рационален отрицателен степен, където n \u003d -2, -4, -6, ... е четно отрицателно цяло число, m \u003d 3, 5, 7 ... е нечетно положително цяло число.

Домейн: x ≠ 0
Много ценности: y\u003e 0
Паритет: четно, y (-x) \u003d y (x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x\u003e 0: монотонно намалява
Крайности: не
Изпъкнал: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: не
Знак: y\u003e 0
Ограничения:
; ; ;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d (-1) n \u003d 1
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Обратна функция:

Показателят p е положителен, по-малък от един, 0< p < 1

Графика на степенната функция с рационален показател (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетен числител, n \u003d 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Много ценности: -∞ < y < +∞
Паритет: нечетно, y (-x) \u003d - y (x)
Монотонен: се увеличава монотонно
Крайности: не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вниз
за x\u003e 0: изпъкнало нагоре
Точки на огъване: x \u003d 0, y \u003d 0
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Знак:
при х< 0, y < 0
за x\u003e 0, y\u003e 0
Ограничения:
;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d -1
за x \u003d 0, y (0) \u003d 0
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Обратна функция:

Четен числител, n \u003d 2, 4, 6, ...

Свойствата на степенната функция y \u003d x p с рационален показател в рамките на 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Много ценности: 0 ≤ y< +∞
Паритет: четно, y (-x) \u003d y (x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно убывает
за x\u003e 0: монотонно се увеличава
Крайности: минимум при x \u003d 0, y \u003d 0
Изпъкнал: е изпъкнала нагоре за x ≠ 0
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Знак: за x ≠ 0, y\u003e 0
Ограничения:
;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d 1
за x \u003d 0, y (0) \u003d 0
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Обратна функция:

P е по-голямо от единица, p\u003e 1

Графиката на степенна функция с рационален показател (p\u003e 1) за различни стойности на степента, където m \u003d 3, 5, 7, ... е нечетна.

Нечетен числител, n \u003d 5, 7, 9, ...

Свойства на степенната функция y \u003d x p с рационален показател, по-голям от един: Където n \u003d 5, 7, 9, ... е странно естествено, m \u003d 3, 5, 7 ... е странно естествено.

Домейн: -∞ < x < ∞
Много ценности: -∞ < y < ∞
Паритет: нечетно, y (-x) \u003d - y (x)
Монотонен: се увеличава монотонно
Крайности: не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
в 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на огъване: x \u003d 0, y \u003d 0
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Ограничения:
;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d -1
за x \u003d 0, y (0) \u003d 0
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Обратна функция:

Четен числител, n \u003d 4, 6, 8, ...

Свойства на степенната функция y \u003d x p с рационален показател, по-голям от един :. Когато n \u003d 4, 6, 8, ... е четно естествено, m \u003d 3, 5, 7 ... е странно естествено.

Домейн: -∞ < x < ∞
Много ценности: 0 ≤ y< ∞
Паритет: четно, y (-x) \u003d y (x)
Монотонен:
при х< 0 монотонно убывает
при x\u003e 0 монотонно се увеличава
Крайности: минимум при x \u003d 0, y \u003d 0
Изпъкнал: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Ограничения:
;
Частни ценности:
за x \u003d -1, y (-1) \u003d 1
за x \u003d 0, y (0) \u003d 0
за x \u003d 1, y (1) \u003d 1
Обратна функция:

Знаменателят на дробния експонент е четен

Нека знаменателят на дробния показател е четен: m \u003d 2, 4, 6, .... В този случай експоненциалната функция x p е недефинирана за отрицателни стойности на аргументи. Неговите свойства са същите като тези на степенна функция с ирационален показател (вижте следващия раздел).

Функция на мощността с ирационален експонентен показател

Помислете за степенна функция y \u003d x p с ирационален експонентен p. Свойствата на такива функции се различават от разгледаните по-горе по това, че не са дефинирани за отрицателни стойности на аргумента x. За положителни стойности на аргумента свойствата зависят само от стойността на степента p и не зависят от това дали p е цяло число, рационално или ирационално.

y \u003d x p за различни стойности на степента p.

Функция на мощността с отрицателен експонентен p< 0

Домейн: x\u003e 0
Много ценности: y\u003e 0
Монотонен: намалява монотонно
Изпъкнал: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: не
Ограничения: ;
Частна стойност: За x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Функция на мощността с положителен експонентен p\u003e 0

Индикатор по-малък от един 0< p < 1

Домейн: x ≥ 0
Много ценности: y ≥ 0
Монотонен: се увеличава монотонно
Изпъкнал: изпъкнали нагоре
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Ограничения:
Частни ценности: За x \u003d 0, y (0) \u003d 0 p \u003d 0.
За x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Индикатор, по-голям от един p\u003e 1

Домейн: x ≥ 0
Много ценности: y ≥ 0
Монотонен: се увеличава монотонно
Изпъкнал: изпъкнала надолу
Точки на огъване: не
Точки на пресичане с координатни оси: x \u003d 0, y \u003d 0
Ограничения:
Частни ценности: За x \u003d 0, y (0) \u003d 0 p \u003d 0.
За x \u003d 1, y (1) \u003d 1 p \u003d 1

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от технически институти, "Лан", 2009.

Графика на функциитеу = брадва 2 + н .

Обяснение.

у = 2х 2 + 4.
у = 2х 2, премества четири единици нагоре по оста у... Разбира се, всички ценности у редовно увеличавайте с 4.

Ето таблица на стойностите на функциите у = 2х 2:

И ето таблицата на ценностите у = 2х 2 + 4:

От таблицата виждаме, че върхът на параболата на втората функция е с 4 единици по-висок от върха на параболата на първата (нейните координати са 0; 4). И ценностите у втората функция има още 4 стойности у първа функция.

Графика на функциитеу = а(х – м) 2 .

Обяснение.

Например трябва да начертаете функцията у = 2 (х – 6) 2 .
Това означава, че параболата, която е графиката на функцията у = 2х 2, премества шест единици надясно по оста х(на графиката - червена парабола).

Графика на функциитеу = а(х – м) 2 + н.

Две функции ни водят до третата функция: у = а(х – м) 2 + н.

Обяснение:

Например трябва да начертаете функцията у = 2 (х – 6) 2 + 2.
Това означава, че параболата, която е графиката на функцията у = 2х 2 премества 6 единици надясно (m-стойност) и 2 единици нагоре (n-стойност). Червената парабола на графиката е резултат от тези движения.

Запознати ли сте с функциите y \u003d x, y \u003d x 2 , y \u003d x 3 , y \u003d 1 / xи т. н. Всички тези функции са специални случаи на степенна функция, тоест функциите y \u003d x стр , където p е дадено реално число. Свойствата и графиката на степенната функция по същество зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от това при какви стойности хи стрима смисъл степен х стр ... Нека да преминем към подобно разглеждане на различни случаи в зависимост от степента стр.

Индекс p \u003d 2nе четно естествено число.

В този случай функцията на мощността y \u003d x 2н където н- естествено число, има следното

имоти:

домейн на дефиницията - всички реални числа, тоест множеството R;

множеството от стойности е неотрицателни числа, т.е. y е по-голямо или равно на 0;

функция y \u003d x 2н дори, тъй като х 2н \u003d (- x) 2н

функцията намалява в интервала х<0 и се увеличава в интервала x\u003e 0.

Графика на функциите y \u003d x 2н има същата форма като например графиката на функциите y \u003d x 4 .

2. Индикатор p \u003d 2n-1е нечетно естествено число В този случай степенната функция y \u003d x 2n-1 , където естествено число, има следните свойства:

домейн на дефиницията - набор R;

набор от стойности - набор R;

функция y \u003d x 2n-1 странно от (- х) 2n-1 =х 2n-1 ;

функцията се увеличава по цялата реална ос.

Графика на функциите y \u003d x2n-1има същата форма като например графиката на функцията y \u003d x3.

3. Индикатор p \u003d -2nкъдето н -естествено число.

В този случай функцията на мощността y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2н има следните свойства:

набор от стойности - положителни числа y\u003e 0;

функция y \u003d 1 / x 2н дори, тъй като 1 / (- x) 2н =1 / х 2н ;

функцията се увеличава на интервала x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Функция y графика \u003d 1 / x 2н има същата форма като например графиката на функцията y \u003d 1 / x 2 .

4. Индикатор p \u003d - (2n-1)където н- естествено число. В този случай функцията на мощността y \u003d x - (2n-1) има следните свойства:

домейн на дефиниция - набор R, с изключение на x \u003d 0;

набор от стойности - набор R, с изключение на y \u003d 0;

функция y \u003d x - (2n-1) странно от (- х) - (2n-1) =-х - (2n-1) ;

функцията намалява на интервали х<0 и x\u003e 0.

Графика на функциите y \u003d x - (2n-1) има същата форма като например графиката на функцията y \u003d 1 / x 3 .

1. Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Обратно тригонометрични функции, техните свойства и графики.Обратни тригонометрични функции (кръгови функции, дъгови функции) - математически функции, които са обратни на тригонометричните функции.

1. Функция Arcsin

Графика на функциите .

Arcsine числа м този ъгъл се нарича х, за което

Функцията е непрекъсната и ограничена по цялата си цифрова линия. Функция се увеличава стриктно.

1. [Редактиране] Свойства на функцията arcsin

1. [Редактиране] Получаване на функцията arcsin

Функцията е дадена във всичките си области на дефиниция тя случайно е на части монотонен, а оттам и обратното съответствие не е функция. Затова ще разгледаме сегмент, на който той строго се увеличава и приема всички стойности диапазон от стойности -. Тъй като за функция на интервала всяка стойност на аргумента съответства на уникална стойност на функцията, тогава на този интервал съществува обратна функция чиято графика е симетрична на графиката на функция върху сегмент спрямо права линия

Функция y \u003d x2n, където n принадлежи към множеството положителни цели числа. Една степенна функция от този тип има дори положителен степен a \u003d 2n. Тъй като x2n \u003d (- x) 2n винаги, графиките на всички такива функции са симетрични спрямо оста на ординатите. Всички функции от формата y \u003d x2n, n принадлежат към множеството положителни цели числа имат следните идентични свойства: X \u003d R X? \u003d (-?;?) Y \u003d)