Дробна степенна функция. Функция

Функциите y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - са конкретни форми на степенната функция за н = 1, н = 2, н = -1 .

Ако н дробно число стр/ q с четен знаменател qи нечетен числител r, след това стойността може да има два знака, а графиката има още една част в долната част на оста на абсцисата х, и е симетрично на върха.

Виждаме графика на двузначна функция y \u003d ± 2x 1/2, т.е. представена от парабола с хоризонтална ос.

Графики на функциите y \u003d x н в н = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... Тези графики преминават през точка (1; 1).

Кога н = -1 получаваме хипербола ... Кога н < - 1 графиката на степенната функция се намира първо над хиперболата, т.е. между x \u003d 0 и x \u003d 1и след това отдолу (за x\u003e 1). Ако н \u003e -1 графиката е обърната. Отрицателни стойности х и дробни стойности н са подобни за положителни н.

Всички графики се приближават неограничено по отношение на оста на абсцисата х, и към оста на ординатите вбез да ги докосва. Поради сходството с хиперболата, тези графики се наричат \u200b\u200bхиперболи н ти поръчка.

Нека си припомним свойствата и графиките на степенните функции с отрицателни цели числа.

За четно n:

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две неподвижни точки: (1; 1), (-1; 1). Особеността на функциите от този тип е тяхната паритетност, графиките са симетрични спрямо оста на OU.

Фигура: 1. Графика на функциите

За нечетно n:

Пример за функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1; 1), (-1; -1). Особеността на функциите от този тип е тяхната странност, графиките са симетрични по отношение на произхода.

Фигура: 2. Графика на функциите

Нека си припомним основното определение.

Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател е число.

Степента на положително число a с рационален отрицателен показател е число.

За равенството важи:

Например: ; - изразът не съществува по дефиниция на степента с отрицателен рационален показател; съществува, тъй като степента е цяло число,

Нека да преминем към разглеждане на степенни функции с рационален отрицателен степен.

Например:

За да начертаете тази функция, можете да създадете таблица. Ще действаме по различен начин: първо, ще изградим и изучим графиката на знаменателя - ние го знаем (Фигура 3).

Фигура: 3. Графика на функциите

Графиката на функцията знаменател преминава през фиксирана точка (1; 1). Когато се начертава оригиналната функция, тази точка остава, когато коренът също се стреми към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, тъй като x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).

Фигура: 4. Графика на функциите

Нека разгледаме още една функция от семейството на изследваните функции.

Важно е по дефиниция

Да разгледаме графиката на функцията в знаменателя :, графиката на тази функция ни е известна, тя се увеличава в своята област на дефиниция и преминава през точката (1; 1) (Фигура 5).

Фигура: 5. Графика на функциите

При начертаване на оригиналната функция остава точката (1; 1), когато коренът също се стреми към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, тъй като x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).

Фигура: 6. Графика на функциите

Разгледаните примери помагат да се разбере как работи графиката и какви са свойствата на изследваната функция - функция с отрицателен рационален показател.

Графиките на функциите от това семейство преминават през точката (1; 1), функцията намалява в цялата област на дефиниция.

Обхват на функцията:

Функцията не е ограничена отгоре, но е ограничена отдолу. Функцията няма нито най-високата, нито най-ниската стойност.

Функцията е непрекъсната и приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.

Изпъкнала функция надолу (Фигура 15.7)

Точки A и B се вземат на кривата, през тях се изчертава сегмент, цялата крива е под сегмента, това условие е изпълнено за произволни две точки на кривата, поради което функцията е изпъкнала надолу. Фигура: 7.

Фигура: 7. Изпъкналост на функция

Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но нямат никакво значение.

Пример 1 - намерете максимума и минимума на функция на интервал)