Dans quelles parties sont des sinus positifs. Cercle trigonométrique

Compter les coins sur un cercle trigonométrique.

Attention!
Ce sujet a plus
Matériaux dans une section spéciale 555.
Pour ceux qui sont fortement "pas très ..."
Et pour ceux qui sont "très ...")

Il est presque comme dans la leçon précédente. Il y a des axes, un cercle, un angle, tout rang chinar. Des quartiers ajoutés (dans les coins d'une grande place) - du premier à quatrième. Et puis et si quelqu'un ne sait pas? Comme vous pouvez le constater, un quart (ils sont également appelés beau mot "Quadrants") numéros contre le déroulement du sens des aiguilles d'une montre. Ajout de valeurs d'angle sur les axes. Tout est clair, pas de problèmes.

Et la flèche verte a été ajoutée. Avec un plus. Qu'est-ce que ça veut dire? Laissez-moi vous rappeler que le côté stationnaire du coin toujours Il est cloué sur le semi-axe positif Oh. Donc, si nous allons tourner le côté mouvement de l'angle sur la flèche avec un plus. Nombres de quarta ascendants, l'angle sera considéré comme positif. Par exemple, l'image montre un angle positif + 60 °.

Si nous retenons les coins dans la direction opposée, le long de la flèche dans le sens des aiguilles d'une montre, l'angle sera considéré comme négatif. Souris sur la photo (ou tapez sur les images sur la tablette), voir la flèche bleue avec un moins. C'est la direction de la référence négative des coins. Par exemple, un angle négatif est représenté (60 °). Et vous verrez comment les diqus ont changé sur les axes ... Je les ai également transférés aux angles négatifs. La numérotation des quadrants ne change pas.

Ici, généralement, les premiers malentendus commencent. Comment!? Et si l'angle négatif sur le cercle coïncide avec positif !? Et en général, il s'avère que la même position du côté mobile (ou du point sur le cercle numérique) peut être appelée angle négatif et positif !?

Oui. Exactement. Disons qu'un angle positif de 90 degrés occupe un cercle exactement le même La situation est comme un angle négatif en moins de 270 degrés. Angle positif, par exemple, + 110 ° degrés occupe exactement le même position comme angle négatif -250 °.

Aucun problème. Ci-dessus correctement.) Le choix d'un calcul positif ou négatif de l'angle dépend de la condition de la tâche. Si rien n'est dit à l'état texte ouvert sur le panneau de coin, (type »pour déterminer le plus petit positif Corner ", etc.), nous travaillons avec des valeurs confortables.

Exception (et comment sans eux ?!) sont inégalités trigonométriquesMais nous allons maîtriser cette puce.

Et maintenant la question que vous. Comment ai-je reconnu que la position de l'angle de 110 ° coïncide avec la position de l'angle -250 °?
Surnom que cela est dû au tour complet. À 360 ° ... pas clair? Puis dessinez un cercle. Nous tirons sur papier. Nous marquons le coin à propos de 110 °. ET considérercombien il reste à un chiffre d'affaires complet. Il ne restera que 250 ° ...

Pris? Et maintenant - attention! Si les angles sont de 110 ° et -250 ° occuper dans un cercle même position, quoi? Oui que les angles sont de 110 ° et -250 ° complètement identique Sinus, Kosinus, Tangent et Cotangent!
Ceux. SIN110 ° \u003d péché (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °) et ainsi de suite. C'est déjà vraiment important! Et en soi - il y a beaucoup de tâches, où il est nécessaire de simplifier les expressions et, comme une base pour le développement ultérieur des formules d'apport et d'une autre sagesse de la trigonométrie.

Clear Case, 110 ° et -250 ° J'ai pris l'autoamum, purement par exemple. Toutes ces égalités fonctionnent pour tous les coins qui occupent une position dans le cercle. 60 ° et -300 °, -75 ° et 285 °, et ainsi de suite. Je note immédiatement que les angles de ces couples - différent. Et voici les fonctions trigonométriques d'entre eux - le même.

Je pense que de tels angles négatifs que vous comprenez. C'est assez simple. Contre les progrès dans le sens des aiguilles d'une montre - un compte à rebours positif. Dans le cours - négatif. Lire l'angle positif ou négatif dépend de nous. De notre désir. Eh bien, et de la tâche, bien sûr ... J'espère que vous comprenez et comment vous déplacer dans des fonctions trigonométriques des angles négatifs à positif et à l'arrière. Dessinez un cercle, un angle approximatif, mais voyez combien de manque de chiffre d'affaires complet, c'est-à-dire jusqu'à 360 °.

Les coins sont supérieurs à 360 °.

Coins qui sont plus de 360 \u200b\u200b°. Y a-t-il de tel? Il y a bien sûr. Comment les dessiner dans un cercle? Oui, pas un problème! Supposons que nous ayons besoin de comprendre quel quartier aura un angle de 1000 °? Facilement! Nous faisons un tour complet contre le temps du sens des aiguilles d'une montre (l'angle a été donné positif!). Déplacé à 360 °. Eh bien, et vent! Un autre tour - déjà il s'est avéré 720 °. Combien en reste-t-il? 280 °. Il n'y a pas assez pour un tour complet ... mais l'angle est supérieur à 270 ° - et c'est la frontière entre le troisième et le quatrième trimestre. C'était notre angle en 1000 ° entre dans le quatrième trimestre. Tout.

Comme vous pouvez le constater, c'est assez facile. Encore une fois, je vous rappelle que l'angle est de 1000 ° et un angle de 280 °, que nous avons traversé les révolutions complètes "inutiles inutiles" - c'est, à proprement parler, différent Coins. Mais les fonctions trigonométriques de ces coins complètement identique! Ceux. SIN1000 ° \u003d SIN280 °, COS1000 ° \u003d COS280 °, etc. Si j'étais sinus, je ne remarquerais pas la différence entre ces deux coins ...

Pourquoi avez-vous besoin de tout cela? Pourquoi avons-nous besoin de traduire les coins de l'un à l'autre? Oui, tout est pareil.) Afin de simplifier les expressions. Simplification des expressions, en fait, la tâche principale des mathématiques scolaires. Eh bien, dans la voie, la tête est une formation.)

Bien, pratique?)

Répondez aux questions. Premier simple.

1. Quel trimestre le coin -325 ° est-il tombé?

2. Quel trimestre l'angle de 3000 ° tombe-t-il?

3. Quel trimestre l'angle -3000 est-il tombé?

Il ya un problème? Ou incertitude? Nous allons à la section 555, travail pratique avec un cercle trigonométrique. Là, dans la première leçon, ce très "travail pratique ..." Tout est détaillé ... dans tel Problèmes d'insécurité à être pas!

4. Quel signe SIN555 °?

5. Quel signe est TG555 °?

Défini? Excellent! Doute? Il est nécessaire de faire l'article 555 ... Au fait, ils apprendront à dessiner tangente et cotangente sur un cercle trigonométrique. Chose très utile.

Et maintenant des questions à la racine.

6. Certifiez l'expression SIN777 ° au sinus du plus petit angle positif.

7. Créez une expression COS777 ° au cosinus du plus grand angle négatif.

8. Fournir l'expression de la COS (-777 °) au cacinus du plus petit angle positif.

9. Certifiez l'expression SIN777 ° au sinus de l'angle négatif le plus élevé.

Quelles sont les questions 6-9 perplexe? Habituez-vous à, lors de l'examen et non de telles performances de formulation ... SO SO, je vais traduire. Seulement pour toi!

Les mots "apportent une expression à ..." signifie convertir une expression de sorte que sa valeur inchangé mais apparence modifié conformément à la tâche. Donc, dans la tâche 6 et 9, nous devons avoir des sinus, dans lesquels cela coûte coin positif muet. Tout le reste - ça n'a pas d'importance.

Les réponses seront émises dans l'ordre (en violation de nos règles). Et que faire, le signe est seulement deux, et le quart n'est que quatre ... vous ne fonctionnerez pas dans les options.

6. SIN57 °.

7. COS (-57 °).

8. COS57 °.

9. -Sin (-57 °)

Je suppose que les réponses aux questions 6 -9 une personne confuse. Spécial -sin (-57 °)Est-ce vrai?) En effet, dans les règles élémentaires de coins de référence, il y a une place pour les erreurs ... C'est pourquoi j'ai dû faire une leçon: «Comment identifier les signes de fonctions et amener les coins sur un cercle trigonométrique? " Dans la section 5555. Il y a 4 à 9 tâches désassemblées. Bien désassemblé, avec toutes les pierres sous-marines. Et ils sont là.)

Dans la prochaine leçon, nous allons traiter avec des radians mystérieux et le nombre "PI". Nous allons apprendre à traduire facilement et correctement de degrés en radians et en arrière. Et avec surprise, vous constaterez que cette information élémentaire sur le site sais déjà Pour résoudre des tâches de trigonométrie non standard!

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Le cercle trigonométrique est l'un des principaux éléments de la géométrie pour résoudre des équations avec sinus, cosinus, tangente et kotangente.

Quelle est la définition de ce terme, comment construire ce cercle, comment définir un quart de trigonométrie, comment découvrir les coins dans un cercle trigonométrique construit - nous en raconterons à ce sujet et de nombreuses autres choses.

Cercle trigonométrique

La vue trigonométrique du cercle numérique en mathématiques est un cercle ayant un seul rayon avec le centre au début du plan de coordonnées. En règle générale, il est formé par l'espace des formules de sinus avec cosinus, tangente et catagnent sur le système de coordonnées.

La nomination d'une telle sphère avec un espace N-dimensionnel est que, grâce à elle, des fonctions trigonométriques peuvent être décrites. Il semble simple: le cercle à l'intérieur de laquelle il existe un système de coordonnées et de multiples triangles rectangulaires formés à partir de ce cercle le long des fonctions trigonométriques.

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, les catagnes dans un triangle rectangulaire

La vue rectangulaire du triangle est celle qui a l'un des coins est de 90 °. Il est formé par des crétes et des hypoténus avec toutes les valeurs de la trigonométrie. Kattenets - Deux côtés du triangle, qui sont adjacents au coin de 90 ° et la troisième - hypoténuse, il est toujours plus long que les cathètes.

Sine s'appelle l'attitude de l'une des cathestes à l'hypoténuse, cosinus - le ratio d'une autre catégorie à celui-ci, et la tangente est le ratio de deux cathètes. L'attitude symbolise la division. Aussi tangente est la division d'un coin tranchant sur un sinus avec un cosinus. Kotangenes est le contraire de la tangente.

Les formules des deux dernières relations ressemblent à ceci: TG (A) \u003d Sin (a) / Cos (A) et CTG (A) \u003d COS (A) / SIN (A).

Construction d'un cercle unique

La construction d'un cercle unique est réduite à son dessin avec un seul rayon au centre du système de coordonnées. Ensuite, il est nécessaire de compter les coins et de se déplacer dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, de contourner tout un cercle entier, de mettre les lignes de coordonnées correspondantes.

Il commence à construire après le dessin du cercle et l'installation du point dans son centre avec le placement du système de coordonnées OH. Le point de l'axe de la coordonnée est le sinus et X - cosinus. En conséquence, ils sont abscinsa et ordinaires. Ensuite, vous devez mesurer ∠. Ils ont effectué des degrés et des radians.

Effectuez la traduction de ces indicateurs simplement - la gamme complète est égale à deux radians PI. L'angle de zéro dans le sens antihoraire est livré avec un signe +, et ∠ de 0 dans le sens des aiguilles d'une montre avec un signe -. Les valeurs de sinus positives et négatives avec les cosinus répètent chaque chiffre d'affaires du cercle.

Coins sur un cercle trigonométrique

Afin de maîtriser la théorie du cercle trigonométrique, vous devez comprendre comment ∠ est considéré sur celui-ci et de ce qu'ils sont mesurés. Ils sont considérés comme très simples.

Le cercle est divisé par le système de coordonnées en quatre parties. Chaque pièce forme de 90 °. La moitié de ces coins est de 45 degrés. En conséquence, deux fractions de la circonférence sont de 180 ° et trois à 360 °. Comment utiliser cette information?

Si vous devez résoudre le problème pour trouver ∠, recourir aux théorèmes sur les triangles et les principales lois de Pythagore qui leur sont liées.

Les coins sont mesurés dans les radians:

• de 0 à 90 ° - les valeurs des angles de 0 à π / 2;
• de 90 à 180 ° - les valeurs des angles de π / 2 à π;
• de 180 à 270 ° - de π à 3 * π / 2;
• le dernier trimestre de 270 0 à 360 0 - Valeurs de 3 * π / 2 à 2 * π.

Pour connaître une mesure spécifique, traduisez des radians en degrés ou inversement, vous devriez recourir à la table de triche de la table.

Traduction de angles de degrés aux radians

Les coins peuvent être mesurés en degrés ou à des radians. Il est nécessaire d'être conscient de la relation entre les deux valeurs. Cette relation est exprimée en trigonométrie avec formule spéciale. En raison de la compréhension de la communication, vous pouvez apprendre à instruire les coins à l'avance et à passer de degrés aux radians.

Afin de découvrir avec précision ce qui est égal à un radian, vous pouvez profiter de la formule suivante:

1 heureux. \u003d 180 / π \u003d 180/3 1416 \u003d 57.2956

En fin de compte, 1 radian est de 57 ° et en 1 degré 0,0175 radians:

1 degré \u003d (π / 180) est heureux. \u003d 3 1416/180 rad. \u003d 0,0175 rad.

Kosinus, sinus, tangente, cotangènes sur un cercle trigonométrique

Cosine avec sinus, tangente et catagnent sur un cercle trigonométrique - les fonctions des angles alpha de 0 à 360 degrés. Chaque fonction a un positif ou sens négatif En fonction de la valeur au coin. Ils symbolisent les relations avec des triangles rectangulaires formés dans le cercle.

La trigonométrie, comme la science, est originaire de l'ancienne Est. Les premiers ratios trigonométriques ont été dérivés d'astronomes pour créer un calendrier précis et se concentrer sur les étoiles. Ces calculs appartenaient à la trigonométrie sphérique, tandis que dans le cours de l'école, les ratios des parties et un angle d'un triangle plat sont étudiés.

La trigonométrie est une section de mathématiques engagées dans des propriétés fonctions trigonométriques et dépendance entre les parties et les coins des triangles.

Pendant l'apogée de la culture et de la science du premier millénaire, notre ère de la connaissance s'est répandue de l'ancien est de la Grèce. Mais les principales découvertes de la trigonométrie sont le mérite des maris du califat arabe. En particulier, le scientifique turkmène Al-Marazvi est entré dans les fonctions telles que Tangent et Kotangent, compilée des premières tables de valeurs sinusales, de tangentes et de catalles. Le concept de sinus et de cosinus est introduit par des scientifiques indiens. La trigonométrie est consacrée à beaucoup d'attention aux écrits de si grands leaders de l'Antiquité, tels que l'euclidea, les Archimédes et l'eratosthène.

Les principales valeurs de la trigonométrie

Les principales fonctions trigonométriques de l'argument numérique sont des sinus, cosinus, tangents et catangents. Chacun d'entre eux a son propre emploi du temps: sinusoïde, cosinéide, tangensoïde et catangensoïde.

La base des formules pour calculer les valeurs des quantités spécifiées est le théorème Pythagoreo. Les écoliers sont plus connus dans le libellé: «Ptaliers Pythagore, dans toutes les directions sont égaux», étant donné que la preuve est donnée sur un exemple d'un triangle rectangulaire de taille égale.

Les sinus, cosinus et autres dépendances établissent un lien entre les coins tranchants et les côtés de tout triangle rectangulaire. Nous donnons des formules pour calculer ces valeurs pour angle A et tracer la relation des fonctions trigonométriques:

Comme on peut le voir, TG et CTG sont des fonctions inverse. Si vous soumettez CATAT A comme un morceau de péché A et des hypoténus avec et roulez B sous la forme de COS A * C, nous recevrons les formules suivantes pour Tangent et Kotangent:

Cercle trigonométrique

Graphique, le rapport desdites valeurs peut être représenté comme suit:

Cercle, dans ce cas, est tout valeurs possibles L'angle α est compris entre 0 ° et 360 °. Comme on peut le voir sur la figure, chaque fonction prend une valeur négative ou positive en fonction de la valeur de coin. Par exemple, le péché α sera avec le signe "+", si α appartient aux I et II du quart du cercle, c'est-à-dire qu'il est compris entre 0 ° et 180 °. Avec des α de 180 ° à 360 ° (III et IV Quarters), le péché α ne peut être qu'une valeur négative.

Essayons de construire des tables trigonométriques pour des angles spécifiques et de trouver la valeur des valeurs.

Les valeurs α sont de 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 °, et ainsi de suite - sont appelées cas spéciaux. Les valeurs des fonctions trigonométriques sont calculées pour elles et sont présentées sous la forme de tables spéciales.

Ces angles ne sont choisis par aucun accident. La désignation π dans les tables représente des radians. Rad est un angle auquel la longueur de l'arc de circonférence correspond à son rayon. Cette valeur a été introduite afin d'établir une dépendance universelle, lors du calcul des radians, la longueur réelle du rayon en cm n'a pas d'importance.

Les coins des tableaux pour les fonctions trigonométriques correspondent aux valeurs de radian:

Donc, il n'est pas difficile de deviner que 2π est un cercle complet ou à 360 °.

Propriétés des fonctions trigonométriques: sinus et cosinus

Afin de considérer et de comparer les principales propriétés de sinus et de cosinus, de tangents et de Catangens, il est nécessaire de tirer leurs fonctions. Cela peut être fait sous la forme d'une courbe située dans un système de coordonnées bidimensionnel.

Considérez un tableau comparatif des propriétés pour les sinusoïdes et les cosinéides:

Déterminez si la fonction est même ou non très simple. Il suffit de présenter un cercle trigonométrique avec des signes de valeurs trigonométriques et de "plié mentalement" le planning relatif à l'axe de bœuf. Si les signes coïncident, la fonction est même, sinon - un étrange.

L'introduction de radians et de transfert des principales propriétés des sinusoïdes et des cosinesids vous permettent d'apporter la régularité suivante:

Assurez-vous que la formule est très simple. Par exemple, pour x \u003d π / 2 sinus est 1, ainsi que cosinus x \u003d 0. Vous pouvez vérifier les tables ou la traçage des fonctions des fonctions pour les valeurs spécifiées.

Propriétés des tangensoïdes et des kottangensoïdes

Les graphiques des fonctions de tangente et de kotangent diffèrent considérablement de sinusoïdes et de cosinéides. Les valeurs de TG et de CTG sont de retour les unes aux autres.

1. Y \u003d tg x.
2. Les tangentsoïdes ont tendance à valider y à x \u003d π / 2 + πk, mais ne les atteintes jamais.
3. La période positive la plus basse du tangensoïde est égale à π.
4. TG (- x) \u003d - Tg x, c'est-à-dire, la fonction est impair.
5. Tg x \u003d 0, à x \u003d πk.
6. La fonction augmente.
7. Tg x\u003e 0, à x ε (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x \u003c0, à x ε (- π / 2 + πk, πk).
9. Dérivé (TG X) '\u003d 1 / COS 2 \u2061X.

Considérez l'image graphique des catangensoïdes sous le texte.

Les principales propriétés des kotangensoïdes:

1. Y \u003d ctg x.
2. Contrairement aux fonctions de sinus et de cosinus, dans des tangentsoïde y, il peut prendre les valeurs de nombreux nombres valides.
3. KothagenSoïde a tendance à valider Y à x \u003d πk, mais ne les atteintes jamais.
4. La plus petite période positive du catangensoïde est égale à π.
5. CTG (- x) \u003d - CTG X, c'est-à-dire impair.
6. Ctg x \u003d 0, à x \u003d π / 2 + πk.
7. La fonction est décroissante.
8. CTG X\u003e 0, à x ε (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x \u003c0, à x ε (π / 2 + πk, πk).
10. Dérivé (CTG X) '\u003d - 1 / SIN 2 \u2061X Fix

Dans la dernière leçon, nous avons maîtrisé avec succès (ou répété - à quelqu'un comme) les concepts clés de toute trigonométrie. il cercle trigonométrique , angle sur un cercle , sinus et cosinus de ce coin et aussi maîtrisé signes de fonctions trigonométriques pour les quartiers . Décroché en détail. Sur les doigts, vous pouvez dire.

Mais c'est encore petit. Pour réussir application pratique Tous ces concepts simples nous avons besoin d'une autre compétence utile. Nommément - correct travailler avec des coins en trigonométrie. Sans cette compétence en trigonométrie - en aucun cas. Même dans les exemples les plus primitifs. Pourquoi? Oui, car l'angle est un chiffre d'action clé dans toute la trigonométrie! Non, pas de fonctions trigonométriques, pas sinus avec cosinus, pas tangent avec nom kotangent maïs lui-même. Pas de coin - pas de fonctions trigonométriques, oui ...

Comment travailler avec des coins dans un cercle? Pour ce faire, nous devons saisir le chemin de fer.

1) comment Les coins sont comptés sur un cercle?

2) En quoi Ils sont considérés (mesurés)?

La réponse à la première question est - et il y a le thème de la leçon d'aujourd'hui. Avec la première question, nous allons le comprendre en détail ici et maintenant. La réponse à la deuxième question ici ne sera pas garçon. Pour le déplier suffisamment. Comme la deuxième question elle-même est très glissante, oui.) Je ne vais pas encore entrer dans les détails. C'est le sujet de la prochaine leçon individuelle.

Continuons?

Comment sont les angles sur le Circle comptent? Angles positifs et négatifs.

Au nom du paragraphe, les cheveux étaient peut-être déjà debout. Comment?! Angles négatifs? Est-ce du tout possible?

À la négative nombres Nous avons déjà été publiés. Sur l'axe numérique, vous pouvez les décrire: à droite de zéro sont positifs, à gauche de zéro sont négatifs. Oui, et sur un thermomètre à l'extérieur de la fenêtre, je regarde périodiquement. Surtout en hiver, dans le gelée.) Et l'argent au téléphone dans "moins" (c'est-à-dire dette) Va parfois aller. Tout cela est familier.

Et qu'en est-il des coins? Il éteint les angles négatifs en mathématiques il y a aussi! Tout dépend de la façon de compter ce coin même ... Non, pas sur une droite numérique, mais sur un cercle numérique! Que tu veux dire, dans un cercle. Cercle - Ici c'est, analogique d'une ligne numérique en trigonométrie!

Donc, comment sont les angles sur le Circle comptent? Ne faites rien, vous devrez commencer ce cercle même pour commencer.

Je peins cette belle image:

Elle ressemble beaucoup aux images de la leçon passée. Il y a des axes, il y a un cercle, il y a un angle. Mais il y a une nouvelle information.

De plus, j'ai ajouté une différence de 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° et 360 ° sur les axes. C'est plus intéressant.) Quel est ce tsiferki? Droite! Ce sont les valeurs des angles, comptées de notre côté fixe qui tombent sur les axes de coordonnées. Nous nous rappelons que le côté fixé de l'angle est toujours fermement fermement attaché à l'axe semi-axe positif oh. Et n'importe quel angle en trigonométrie est compté à partir de ce semi-axe. Cette origine de base des coins doit être conservée dans la tête du fer. Et les axes - ils se croisent aux angles droits, non? Ajoutez donc 90 ° chacun de chaque trimestre.

Et aussi ajouté flèche rouge. Avec un plus. Rouge - il est spécifiquement jeté dans les yeux. Et en mémoire, elle s'est bien écrasée. Pour cela, il faut se souvenir de manière fiable.) Qu'est-ce que cette arrow signifie?

Donc, il s'avère si notre angle nous allons tourner sur la flèche avec un plus (dans le sens antihoraire, le long du nombre de numérotation de quantité), puis de l'angle sera considéré comme positif!Par exemple, la figure montre un angle + 45 °. À propos, notez que les angles axiaux de 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° et 360 ° sont également votés dans Plus! Sur l'aîné rouge.

Regardons maintenant l'autre image:

Ici presque tout de même. Seuls les angles sur les axes sont numérotés renversé. Dans le sens des aiguilles d'une montre. Et avoir un signe "moins".) Plus peint shooter bleu. Aussi avec un moins. Cette flèche est la direction de la référence négative des coins sur le cercle. Elle nous montre que si nous reporterons notre coin dans le sens des aiguilles d'une montreT. l'angle sera considéré comme négatif.Par exemple, j'ai montré un angle -45 °.

Au fait, je vous demande de noter que la numérotation des quarts ne change jamais! Cela n'a pas d'importance, dans plus ou moins, nous étirons les coins. Toujours strictement dans le sens anti-horaire.)

Rappelles toi:

1. Le début de la référence des coins - du semi-axe positif oh. À l'heure - "moins", contre l'horloge - "Plus".

2. La numérotation des trimestres est toujours dans le sens antihoraire, quelle que soit la direction de la calcification des coins.

Au fait, signer les coins sur les axes 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °, chaque fois que le dessin d'un cercle n'est pas du tout obligé. Ceci est pur pour comprendre l'essence. Mais ces diqus doivent être présents dans ta têteen résolvant une tâche sur la trigonométrie. Pourquoi? Oui, parce que ces connaissances élémentaires donnent des réponses à de très nombreuses autres questions de toutes les trigonométries! Les plus question principale – quel trimestre fait le coin d'intérêt? Vous voulez croire, vous ne voulez pas, mais la bonne réponse à cette question résout la part du lion de tous les autres problèmes de trigonométrie. Cette occupation importante (distribution des coins dans les quartiers) Nous traiterons de la même leçon, mais un peu plus tard.

Les valeurs des angles allongés sur les axes des coordonnées (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° et 360 °) doivent être rappelés! Rappelez-vous la récession, à l'automatisme. Et à la fois dans plus et moins.

Mais à partir de ce moment, les premières surprises commencent. Et avec eux et des questions difficiles dans mon adresse, oui ...) Et que se passera-t-il si l'angle négatif est sur le cercle coïncide avec positif? Il se trouve que un et le même pointsur un cercle, vous pouvez désigner comme un angle positif et négatif ???

Ce soir! Donc il y a.) Par exemple, l'angle positif + 270 ° prend un cercle la même position Comme angle négatif -90 °. Ou, par exemple, un angle positif + 45 ° dans un cercle prendra la même position Comme angle négatif -315 °.

Nous regardons le prochain dessin et voyons tout:

De même, l'angle positif + 150 ° ira là, où et l'angle négatif de -210 °, l'angle positif de + 230 ° - là-bas, où et l'angle négatif de -130 °. Etc…

Et maintenant ce que je peux faire? Comment sont exactement les coins, si vous le pouvez et tremper? Comment corriger?

Répondre: tout est juste! Aucune des deux directions de référence des coins des mathématiques interdit. Et le choix d'une direction particulière dépend uniquement de la tâche. Si dans la tâche, rien n'est dit par Texte direct sur le signe de l'angle (type "Déterminer le plus grand négatif angle" Etc.), nous travaillons avec les coins les plus pratiques.

Bien sûr, par exemple, dans de tels sujets escarpés, comme Équations trigonométriques Et les inégalités, la direction de calcul des angles peut être énoncée pour affecter la réponse. Et dans les sujets pertinents, nous examinerons ces pièges.

Rappelles toi:

Tout point dans le cercle peut être désigné à la fois un angle positif et négatif. Personne! Que voulons-nous.

Et maintenant, vous penserez à quoi. Nous avons découvert que l'angle de 45 ° exact coïncide avec l'angle de -315 °? Comment ai-je découvert sur ces mêmes 315° ? Ne devinez pas? Oui! À travers la révolution complète.) À 360 °. Nous avons un angle de 45 °. Combien manque-t-il à un tour complet? Pris 45.° à partir de 360.° - Nous obtenons donc 315° . Mothe du côté négatif - et nous obtenons un angle -315 °. N'est-ce pas clair? Ensuite, nous regardons la photo ci-dessus une fois de plus.

Et il est donc nécessaire de faire avec le transfert d'angles positifs en négatif (et au contraire) - dessiner un cercle, célébrer à propos de L'angle spécifié, nous croyons que de combien de degrés ne suffisent pas pour compléter le chiffre d'affaires et la différence de la face opposée. Et c'est ça.)

Quels sont les angles intéressants qui occupent la même position sur le cercle, que pensez-vous? De sorte que dans de tels angles complètement identique Sinus, Kosinus, Tangent et Cotangent! Toujours!

Par example:

Sin45 ° \u003d péché (-315 °)

COS120 ° \u003d COS (-240 °)

TG249 ° \u003d TG (-111 °)

CTG333 ° \u003d CTG (-27 °)

Mais c'est déjà extrêmement important! Pourquoi? Oui, tout est pareil!) Pour simplifier les expressions. Pour la simplification des expressions est la procédure clé pour une solution réussie. quelconque Tâches en mathématiques. Et en trigonométrie, y compris.

Alors, S. règle générale Les coins sur le cercle ont compris. Eh bien, si nous plaisantais à toute vitesse, environ un quart, il est temps de tordre et de reposer ces mêmes angles. Verser?)

Commençons par S. positif Coins. Ils seront plus faciles à dessiner.

Nous dessinons des angles dans un tour (entre 0 ° et 360 °).

Dessinez, par exemple, un angle de 60 °. Tout est simple ici, pas de problèmes. Dessinez des axes de coordonnées, cercle. Vous pouvez tout de suite de la main, sans circulation ni règle. Dessiner schématique: Nous n'avons pas de dessin avec vous. Aucun invité n'observe pas, ne punissez pas.)

Peut (pour vous-même) marquer les valeurs des coins sur les axes et spécifier la flèche dans la direction contre la montre.Après tout, nous sommes dans un pays qui va reporter?) Vous ne pouvez pas faire cela, mais il est nécessaire de garder dans ma tête.

Et maintenant, nous passons le deuxième côté (mobile) du coin. Quel trimestre? Dans le premier, bien sûr! Pendant 60 degrés sont strictement compris entre 0 ° et 90 °. Ici et attirer au premier trimestre. À un angle à propos de 60 degrés au côté stationnaire. Comment compter à propos de 60 degrés sans transport? Facilement! 60 ° est deux tiers du coin droit! Nous divisons mentalement, le premier cherwettinka du cercle en trois parties, se prenant deux tiers. Et dessinez-vous ... Combien faites-nous en fait (si vous attachez le transport et la mesure) - 55 degrés ou 64 - Peu importe! Il est important que de toute façon quelque part environ 60 °.

Nous avons une photo:

C'est tout. Et les outils n'ont pas besoin. Développez Eyemer! Dans les tâches de la géométrie, il est utile.) Ce modèle de non-enregistrement est irremplaçable lorsqu'il est nécessaire de gratter le cercle et l'angle de la main d'ambulance, sans vraiment penser à la beauté. Mais en même temps, gratter droite, sans erreurs, avec toutes les informations nécessaires. Par exemple, comme des moyens auxiliaires pour résoudre des équations trigonométriques et des inégalités.

Tracez un angle, par exemple 265 °. Prétendre où il peut être situé? Eh bien, une chose claire qui n'est pas au premier trimestre et même pas dans la seconde: ils sont à 90 et 180 degrés se termine. Il peut être d'impact que 265 ° est 180 ° plus 85 °. C'est-à-dire aux semi-axes négatifs OH (où 180 °) devraient être ajoutés à propos de 85 °. Ou plus facilement, il est conseillé que 265 ° n'atteigne pas le demi-un négatif d'OY (où 270 °) est une malheureuse 5 °. En un mot, au troisième trimestre, il y aura cet angle. Très proche du semi-axe négatif OY, à 270 degrés, mais toujours dans la troisième!

Dessiner:

Je répète, la précision absolue n'est pas requise ici. Laissez-moi entrer en réalité, ce coin s'est avéré, disons 263 degrés. Mais la question la plus importante (Quel quartier?) Nous avons répondu indéniable. Pourquoi cette question est-elle la plus importante? Oui, car tout travail avec un angle en trigonométrie (peu importe, nous attirerons cet angle ou nous ne ferons pas) commence par la réponse à cette question! Toujours. Si cette question ignore ou essaie de répondre mentalement, les erreurs sont presque inévitables, oui ... en avez-vous besoin?

Rappelles toi:

Tout travail avec un angle (y compris le dessin de ce coin même dans le cercle) commence toujours par un quart pour déterminer cet angle.

J'espère que vous décrivez déjà indistinctement les angles, par exemple 182 °, 88 °, 280 °. DANS droite quarts. Au troisième, premier et quatrième, si cela ...)

Le quatrième quart se termine par un angle de 360 \u200b\u200b°. Ceci est un tour complet. Le poivre est clair que cet angle occupe la même position que 0 ° (c'est-à-dire le début de la référence). Mais les coins ne s'arrêtent pas là-bas, oui ...

Que faire avec les coins, Big 360 °?

"Y a-t-il un tel?" - tu demandes. Il y a toujours aussi! Cela se produit, par exemple, un angle de 444 °. Et cela arrive, disons, un angle de 1000 °. Tous les angles sont.) Juste visuellement, de tels angles exotiques sont perçus un peu plus compliqués que ceux qui sont familiers aux angles américains à un tour. Mais il est nécessaire de dessiner et de calculer des angles aussi, oui.

Dessiner correctement de tels angles sur le cercle, tout est nécessaire - pour savoir quel trimestre obtient le coin d'intérêt. Ici la capacité de déterminer indistinctement un quart beaucoup plus important que pour les angles de 0 ° à 360 °! La procédure de détermination du trimestre est compliquée avec une seule étape. Comment allez-vous voir bientôt.

Ainsi, par exemple, nous devons découvrir quel trimestre un angle de 444 ° Falls. Nous commençons à tordre. Où? Dans plus, bien sûr! L'angle a été donné positif! + 444 °. Nous torsions, torsadons ... Soutune un tour - atteint 360 °.

Combien de gauche il y a jusqu'à 444 °?Nous considérons la queue restante:

444 ° - 360 ° \u003d 84 °.

Donc, 444 ° est un virage complet (360 °) plus 84 °. De toute évidence, c'est le premier trimestre. Donc, l'angle de 444 ° devient au premier trimestre.Filmé fait.

Il reste maintenant de représenter cet angle. Comment? Très simple! Nous faisons un tour complet sur la flèche rouge (plus) et ajoutons 84 ° de plus.

Comme ça:

Ici, je ne m'accroche vraiment pas au dessin - pour signer un quart, tracez les angles sur les axes. Tout est bon pendant longtemps dans ma tête devrait être.)

Mais je "escargot" ou une spirale a montré à quel point un angle de 444 ° d'un angle de 360 \u200b\u200b° et 84 ° est précisément. La ligne rouge en pointillée est une tour à pied. À laquelle est également vissé 84 ° (ligne solide). À propos, notez que si ce chiffre d'affaires le plus complet est mis au rebut, cela n'affectera pas la position de notre coin!

Et c'est important! Position d'angle 444 ° coïncider complètement avec une position de coin à 84 °. Il n'y a pas de merveilles, donc il s'avère.)

Est-il possible de supprimer pas un virage complet, mais deux ou plus?

Pourquoi pas? Si l'angle est lourd, il n'est pas facile, mais même si vous avez besoin! L'angle ne changera pas! Plus précisément, le coin de la taille, bien sûr, changera. Mais sa position sur le cercle - il n'y a aucun moyen!) Qu'ils sont plein Cela fait que le nombre de copies n'ajoutent pas combien vous serez réduit, vous tomberez toujours dans le même point. Bonne droite?

Rappelles toi:

Si vous ajoutez au coin (emporter) ensemble Le nombre de tours complètes, la position de l'angle de la source sur le cercle ne changera pas!

Par example:

Quel trimestre est l'angle de 1000 °?

Aucun problème! Nous considérons à quel point les révolutions complètes sont assises sur mille degrés. Un tour est à 360 °, un autre - déjà 720 °, la troisième - 1080 ° ... arrêtez-vous! Bousiller! Donc, sous l'angle de 1000 ° SITS deux Tournets complètes. Nous les jetons sur 1000 ° et considérons le reste:

1000 ° - 2 · 360 ° \u003d 280 °

Donc, la position de l'angle est de 1000 ° dans le cercle mêmeComme un angle de 280 °. Avec lequel il est déjà beaucoup plus agréable de travailler.) Et où est-ce que cet angle tombe-t-il? Au quatrième trimestre, il frappe: 270 ° (semi-axes négatifs OY) plus un autre dix.

Dessiner:

Ici, je n'ai pas encore dessiné une spirale en pointillé de deux tours complètes: c'est douloureux long, il s'avère. Juste peint la queue restante à partir de zéro, chute tout Révolutions supplémentaires. Comme si elles n'étaient pas du tout.)

Encore une fois. En bon état, les angles sont de 444 ° et 84 °, ainsi que de 1000 ° et 280 ° - différents. Mais pour les sinus, cosinus, tangents et catangens ces coins - le même!

Comme vous le voyez, afin de travailler avec des coins, de grande 360 \u200b\u200b°, il est nécessaire de déterminer combien de tours complètes se trouve dans un grand coin prédéterminé. C'est l'étape la plus supplémentaire qui doit être prédéterminée lorsque vous travaillez avec de tels angles. Rien de difficile, non?

Bien sûr, les révolutions complètes sont agréables.) Mais dans la pratique, lorsque vous travaillez avec des angles absolument cauchemarish, cela se produit.

Par example:

Quel trimestre est l'angle de 31240 °?

Et quoi, nous ajouterons beaucoup de temps à 360 degrés? Vous pouvez, sinon brûler. Mais nous pouvons non seulement plier.) Je sais aussi comment partager!

Nous divisons donc notre angle intensif pendant 360 degrés!

Avec cette action, nous découvrons simplement combien de tours complètes sont exploitées dans nos 31240 degrés. Vous pouvez partager un coin, vous pouvez (chuchoter sur les yeux :)) sur la calculatrice.)

Nous obtenons 31240: 360 \u003d 86 777777 ....

Le fait que le nombre était la fraction n'est pas effrayant. Nous sommes aussi ensemble Les virages sont intéressés! Il est devenu, de partager et de ne pas avoir besoin.)

Donc, dans notre charbon lochmatique, il y a déjà 86 tours complètes. Horreur…

En degrés ce sera86 · 360 ° \u003d 30960 °

Comme ça. C'est tellement de degrés qui peuvent être sans douleur à un angle donné de 31240 °. Il restera:

31240 ° - 30960 ° \u003d 280 °

Tout! La position de l'angle de 31240 ° est complètement identifiée! Là, où et 280 °. Ceux. Quatrième trimestre.) Il semble que nous avons déjà décrit ce coin plus tôt? Lorsque l'angle de 1000 ° dessiné?) Nous sommes également sortis à 280 degrés. Coïncidence.)

Donc, la morale de cette fable est la suivante:

Si nous recevons un terrible angle lourd, alors:

1. Déterminez le nombre de révolutions complètes dans ce charbon. Pour ce faire, divisez l'angle initial de 360 \u200b\u200bet jetez la partie fractionnée.

2. Nous considérons combien de degrés dans le nombre de révolutions résultant. Pour ce faire, multipliez le nombre de révolutions de 360.

3. Prenez ces vitesses de l'angle source et nous travaillons avec l'angle habituel allant de 0 ° à 360 °.

Comment travailler avec des angles négatifs?

Aucun problème! Tout comme avec positif, une seule différence seulement. Quelle? Oui! Transformer les coins verso, en moins! Au cours du sens des aiguilles d'une montre.)

Dessine, par exemple, angle -200 °. Tout d'abord, tout est comme d'habitude pour les angles positifs - axe, cercle. Une autre flèche courte avec un minus a montré des angles oui sur les axes d'un autre signe. Ils doivent naturellement être comptés dans la direction négative. Ce seront tous les mêmes coins qui marchent à 90 °, mais comptent dans la direction opposée, en moins: 0 °, -90 °, -180 °, -270 °, -270 °, -360 °.

La photo sera comme ceci:

Lorsque vous travaillez avec des angles négatifs, un sentiment de lumière au-delà se pose souvent. Comment?! Il s'avère que le même axe est simultanément, disons et + 90 ° et -270 °? Nah, quelque chose est impur ...

Oui, tout est propre et transparent! Nous savons déjà que tout point dans le cercle peut être appelé à la fois un angle positif et négatif! Un complètement tout. Y compris certains des axes de coordonnées. Dans notre cas, nous avons besoin négatif Calcul de coin. Donc, je retiens tous les coins en moins.)

Dessinez maintenant le coin droit -200 ° pas de travail. Il est -180 ° et moins 20 plus. Nous commençons à rester de zéro en moins: Quatrième trimestre, le troisième dépassera également jusqu'à -180 °. Où éolienne les vingt restants? Oui, tout est là! Par heure.) Angle total -200 ° tombe dans deuxième Quatrième.

Vous comprenez maintenant à quel point il est important de se souvenir des coins des axes de coordonnées?

Les coins sur les axes de coordonnées (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) doivent être rappelés précisément de déterminer avec précision un quart où le coin obtient!

Et si l'angle est grand, plusieurs virages complètes? Rien de mal! Quelle est la différence là où ce sont les virages les plus complètes, plus ou moins? Le point sur le cercle ne changera pas sa position!

Par example:

Quel trimestre fait-il l'angle -2000 °?

Tous les mêmes! Pour un début, nous considérons combien de tours complètes se situent dans ce coin mauvais. Afin de ne pas toucher aux signes, nous partirons moins jusqu'à ce que seuls et simplement partager 2000 sur 360. Nous obtiendrons 5 avec une queue. La queue ne se soucie pas de nous, il est un peu plus tard à compter quand ils vont dessiner l'angle. Considérer cinq Révolutions complètes en degrés:

5 · 360 ° \u003d 1800 °

Chaud C'est tellement de degrés supplémentaires qui peuvent être hardiment de jeter notre angle sans préjudice de la santé.

Nous considérons la queue restante:

2000 ° - 1800 ° \u003d 200 °

Mais maintenant, vous vous souviendrez de moins.) Où allons-nous éoliner la queue de 200 °? En moins, bien sûr! Nous avons également un angle négatif.)

2000 ° \u003d -1800 ° - 200 °

Ici et dessinez un angle de -200 °, déjà déjà sans révolutions inutiles. Je viens de le peindre, mais, alors en commençant une autre fois. De la main.

Le poivre est clair comme l'angle spécifié -2000 °, ainsi que de -200 °, tombe dans former un quart.

Donc, nous vous lavons dans la cruelle ... désolé ... sur la moustache:

Si un angle négatif très important est spécifié, la première partie de l'utilisation de celui-ci (la recherche du nombre de tours complètes et de son écartement) est la même que lorsque vous travaillez avec un angle positif. Le signe "moins" à ce stade de la solution ne joue aucun rôle. Le signe est pris en compte uniquement à la fin, lorsque vous travaillez avec un angle laissé après la suppression des révolutions complètes.

Comme vous pouvez le constater, dessinez des angles négatifs sur le cercle n'est pas plus difficile que positif.

Tout de même, seulement de l'autre côté! Pendant des heures!

Et maintenant - le plus intéressant! Nous avons examiné des angles positifs, des angles négatifs, des grands coins, une petite gamme complète. Nous avons également découvert que tout point sur le cercle peut être appelé un angle positif et négatif, le chiffre d'affaires total a été rejeté ... Il n'y a pas de pensées. Doit reporter ...

Oui! Quel point le cercle ne le prend pas pour s'adapter coins multiples infinis! Grand et pas très positif et négatif - toutes sortes! Et la différence entre ces angles sera ensemble Le nombre de révolutions complètes. Toujours! Un cercle trigonométrique est donc disposé, oui ...) C'est pourquoi inverse Tâche - Trouvez un angle de célèbre sinus / cosinus / tangente / kotangent - résolu ambigu. Et beaucoup plus difficile. Contrairement à la tâche directe - à un angle donné pour trouver l'ensemble de ses fonctions trigonométriques. Et dans des sujets plus graves de la trigonométrie ( arki. , trigonométrique équations et inégalités ) Nous allons constamment ce poulet. S'habituer à.)

1. Quel trimestre le coin -345 ° est-il tombé?

2. Quel trimestre le coin de 666 ° tombe-t-il?

3. Quel trimestre l'angle 5555 ° est-il tombé?

4. Quel trimestre est-il le coin -3700 °?

5. Quel signe acos.999 °?

6. Quel signe acTG.999 °?

Et il s'est avéré? À la perfection! Il ya un problème? Alors vous.

Réponses:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Cette fois, les réponses sont émises pour violation des traditions. Pour les quartiers de quatre seulement, et il y a deux signes. Surtout vous ne pouvez pas courir ...)

Au cours de la prochaine leçon, nous parlerons de radians, du numéro mystérieux "PI", apprennent à aller facilement et à traduire des radians en degrés et en arrière. Et avec surprise, nous constaterons que même ces connaissances et compétences simples seront suffisantes pour la solution réussie de nombreuses tâches non séventielles sur la trigonométrie!

Cet article collecté tables Sinus, Cosinees, Tangents et Catangers. Nous présentons d'abord le tableau des valeurs principales des fonctions trigonométriques, c'est-à-dire la table des sinus, cosinus, tangents et catalles des angles 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 degrés ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radian). Après cela, nous donnerons une table de sinus et de cosinés, ainsi qu'une table de tangents et de Kotangens V. M. Bradis, et montrez comment utiliser ces tables lorsque les valeurs des fonctions trigonométriques sont trouvées.

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Table des sinus, cosinées, tangentes et catantine pour angles 0, 30, 45, 60, 90, ... degrés

Bibliographie.

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