Диференциация на експоненциални и логаритмични функции. Диференциация на експоненциални и логаритмични функции

Нека бъде
(1)
е диференцируема функция на променливата x. Първо, ще го разгледаме на множеството от x стойности, за които y приема положителни стойности :. По-нататък ще покажем, че всички получени резултати са приложими за отрицателни стойности.

В някои случаи, за да се намери производната на функция (1), е удобно да се логаритмираме предварително
,
и след това изчислете производната. Тогава, според правилото за диференциация на сложна функция,
.
Оттук
(2) .

Производната на логаритъма на функция се нарича логаритмична производна:
.

Логаритмичната производна на функцията y \u003d f (x) е производното на естествения логаритъм на тази функция: (ln f (x)) ′.

Случаят на отрицателни y стойности

Сега нека разгледаме случая, когато променлива може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. В този случай вземаме логаритъма на модула и намираме производната му:
.
Оттук
(3) .
Тоест, в общия случай трябва да намерите производната на логаритъма на модула на функцията.

Сравнявайки (2) и (3) имаме:
.
Тоест формалният резултат от изчисляването на логаритмичното производно не зависи от това дали сме взели по модул или не. Следователно, когато изчисляваме логаритмичната производна, не е нужно да се тревожим за знака на функцията.

Можете да изясните тази ситуация, като използвате комплексни числа. Нека за някои стойности на x бъде отрицателно :. Ако разглеждаме само реални числа, тогава функцията е недефинирана. Ако обаче въведем комплексни числа под внимание, ще получим следното:
.
Тоест функциите и се различават със сложна константа:
.
Тъй като производната на константата е нула, тогава
.

Логаритмично производно свойство

От това съображение следва, че логаритмичната производна не се променя, ако функцията се умножи по произволна константа :
.
Наистина, кандидатстване свойства на логаритъма , формули производна сума и производна на константата , ние имаме:

.

Приложение на логаритмичното производно

Удобно е да се използва логаритмичното производно в случаите, когато оригиналната функция се състои от произведение на степен или експоненциални функции. В този случай операцията по вземане на логаритъма превръща произведението на функциите в тяхната сума. Това опростява изчисляването на производната.

Пример 1

Намерете производната на функция:
.

Решение

Логаритъм на оригиналната функция:
.

Разграничаваме по отношение на променливата x.
В таблицата с производни намираме:
.
Прилагаме правилото за диференциация на сложна функция.
;
;
;
;
(А1.1) .
Умножете по:

.

И така, намерихме логаритмичното производно:
.
Оттук намираме производната на оригиналната функция:
.

Забележка

Ако искаме да използваме само реални числа, тогава трябва да вземем логаритъма от модула на първоначалната функция:
.
Тогава
;
.
И получихме формулата (А1.1). Следователно резултатът не се е променил.

Отговор

Пример 2

Използвайки логаритмичната производна, намерете производната на функцията
.

Решение

Логаритъм:
(A2.1) .
Разграничаваме по отношение на променливата x:
;
;

;
;
;
.

Умножете по:
.
Оттук получаваме логаритмичното производно:
.

Производно на оригиналната функция:
.

Забележка

Тук оригиналната функция е неотрицателна :. Определя се в. Ако не приемате, че логаритъмът може да бъде определен за отрицателни стойности на аргумента, тогава формулата (A2.1) трябва да бъде написана по следния начин:
.
Дотолкова доколкото

и
,
това няма да повлияе на крайния резултат.

Отговор

Пример 3

Намерете производната
.

Решение

Диференциацията се извършва с помощта на логаритмичното производно. Нека вземем логаритъма, като се има предвид, че:
(A3.1) .

Разграничавайки се, получаваме логаритмичното производно.
;
;
;
(A3.2) .

От тогава

.

Забележка

Нека направим изчисленията, без да приемаме, че логаритъмът може да бъде определен за отрицателни стойности на аргумента. За да направите това, вземете логаритъма на модула на оригиналната функция:
.
Тогава вместо (A3.1) имаме:
;

.
В сравнение с (A3.2), виждаме, че резултатът не се е променил.

Диференциация на експоненциални и логаритмични функции

1. Число д. Функция у \u003d е х, нейните свойства, графика, диференциация

Помислете за ориентировъчно функция y \u003d ax, където a\u003e 1. За различните бази a получаваме различни графики (фиг. 232-234), но можете да видите, че всички те преминават през точката (0; 1), всички те имат хоризонтална асимптота y \u003d 0 при , всички те са изпъкнали надолу и накрая всички имат допирателни във всичките си точки. Например, нарисувайте допирателната към графика функция y \u003d 2x в точката x \u003d 0 (фиг. 232). Ако правите точни конструкции и измервания, можете да се уверите, че тази допирателна образува ъгъл от 35 ° с оста x (приблизително).

Сега нарисувайте допирателната към графиката на функцията y \u003d 3 x също в точката x \u003d 0 (фиг. 233). Тук ъгълът между допирателната и оста x ще бъде по-голям - 48 °. А за експоненциалната функция y \u003d 10 x в подобна
ситуации, получаваме ъгъл от 66,5 ° (фиг. 234).

И така, ако основата a на експоненциалната функция y \u003d ax постепенно се увеличава от 2 до 10, тогава ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точка x \u003d 0 и оста на абсцисата постепенно се увеличава от 35 ° до 66,5 °. Логично е да се приеме, че има основа a, за която съответният ъгъл е 45 °. Тази основа трябва да е между числата 2 и 3, тъй като за функцията y-2x интересният за нас ъгъл е 35 °, което е по-малко от 45 °, а за функцията y \u003d 3 x е 48 °, което вече е малко повече от 45 °. Интересуващата ни база обикновено се обозначава с буквата е. Установено е, че числото e е ирационално, т.е. е безкраен десетичен непериодичен фракция:

e \u003d 2,7182818284590 ...;

на практика обикновено се приема, че e \u003d 2,7.

Коментирайте(не много сериозно). Ясно е, че Л.Н. Толстой няма нищо общо с числото e, въпреки това, в обозначението на числото e, обърнете внимание, че числото 1828 се повтаря два пъти подред - годината на раждане на L.N. Толстой.

Графиката на функцията y \u003d ex е показана на фиг. 235. Това е степенна степен, която се различава от другите експоненциални показатели (графики на експоненциални функции с други бази) по това, че ъгълът между допирателната към графиката в точката x \u003d 0 и оста на абсцисата е 45 °.

Свойства на функцията y \u003d e x:

1)
2) не е нито четен, нито странен;
3) увеличава;
4) не ограничено отгоре, ограничено отдолу;
5) няма нито най-високите, нито най-ниските стойности;
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнала надолу;
9) диференцируеми.

Върнете се в § 45, разгледайте списъка със свойства на експоненциалната функция y \u003d ax за a\u003e 1. Ще намерите същите свойства 1-8 (което е съвсем естествено) и деветото свойство, свързано с
диференцируемост на функцията, тогава не споменахме. Нека да го обсъдим сега.

Нека изведем формула за намиране на производната y-ex. В този случай няма да използваме обичайния алгоритъм, разработен в раздел 32 и който успешно сме използвали повече от веднъж. В този алгоритъм на последния етап е необходимо да се изчисли границата, а познанията ни по теорията на границите са все още много, много ограничени. Следователно ще разчитаме на геометрични предпоставки, като по-специално, като се има предвид самият факт на съществуването на допирателна към графиката на експоненциалната функция, не подлежи на съмнение (затова ние толкова уверено записахме деветото свойство в горния списък на свойствата - диференцируемостта на функцията y \u003d ex).

1. Обърнете внимание, че за функцията y \u003d f (x), където f (x) \u003d ex, вече знаем стойността на производната в точката x \u003d 0: f / \u003d tan45 ° \u003d 1.

2. Въведете под внимание функцията y \u003d g (x), където g (x) -f (x-a), т.е. g (x) -ex "a. Фиг. 236 показва графиката на функцията y \u003d g (x): тя се получава от графиката на функцията y - fx) чрез преместване по оста x с | a | мащабни единици. Допирателната към графиката на функцията y \u003d g (x) в точка x-a е успоредна на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x -0 (виж фиг. 236), което означава, че тя образува ъгъл от 45 ° с оста x. Използвайки геометричното значение на производната, можем да напишем, че g (a) \u003d tan45 °; \u003d 1.

3. Да се \u200b\u200bвърнем към функцията y \u003d f (x). Ние имаме:

4. Установихме, че за всяка стойност на дадена връзка е валидна. Вместо буквата а, можете естествено да използвате буквата х; тогава получаваме

Тази формула дава съответната формула за интегриране:

А.Г. Алгебра на Мордкович 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видео по математика онлайн, Математика в училище изтегляне

Съдържание на урока конспект на урока подкрепа рамка урок презентация ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения семинари за самопроверка, обучения, казуси, куестове домашни задачи дискусионни въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видеоклипове и мултимедия снимки, картини, диаграми, таблици, схеми хумор, вицове, забавления, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюмета статии чипове за любопитните шпаргалки учебници основен и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроците корекции на грешки в урока актуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновации в урока, заместващи остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен план за годината насоки дневен ред на дискусията Интегрирани уроци

Приключена работа

ДИПЛОМНИ РАБОТИ

Много вече е назад и сега сте завършил, ако, разбира се, напишете дипломната си работа навреме. Но животът е такова нещо, че едва сега ви става ясно, че след като сте престанали да бъдете студент, ще загубите всички студентски радости, много от които никога не сте опитвали, отлагайки всичко и отлагайки за по-късно. И сега, вместо да компенсирате загубеното време, работите усилено върху дипломната си работа? Има чудесен изход: изтеглете необходимата теза от нашия сайт - и веднага ще имате много свободно време!
Дисертациите са защитени успешно във водещите университети на Република Казахстан.
Разходи за работа от 20 000 тенге

КУРСОВИ РАБОТИ

Курсовият проект е първата сериозна практическа работа. С написването на курсова работа започва подготовката за разработване на дипломни проекти. Ако студентът се научи как правилно да представи съдържанието на темата в курсовия проект и да го проектира правилно, тогава в бъдеще той няма да има проблеми нито с писането на доклади, нито със съставянето дисертации, нито с изпълнението на други практически задачи. За да се помогне на учениците при написването на този вид студентска работа и да се изяснят въпросите, които възникват по време на подготовката му, всъщност е създаден този информационен раздел.
Цена на работа от 2 500 тенге

МАЙСТОРСКИ ДИСЕРТАЦИИ

Понастоящем нивото на висше образование е много разпространено във висшите учебни заведения на Казахстан и страните от ОНД. професионално образование, което следва след бакалавърска степен - магистърска степен. В магистратурата студентите учат с цел да получат магистърска степен, която е призната в повечето страни по света повече от бакалавърска степен, и е призната и от чуждестранни работодатели. Резултатът от обучението в магистърска степен е защитата на магистърска теза.
Ние ще Ви предоставим съответните аналитични и текстови материали, като цената включва 2 научни статии и резюме.
Разходи за работа от 35 000 тенге

ОТЧЕТИ ЗА ПРАКТИКА

След завършване на всякакъв вид студентска практика (образователна, индустриална, преддипломна) се изисква доклад. Този документ ще бъде потвърждение на практическата работа на студента и основа за формиране на оценка за практика. Обикновено, за да се изготви доклад за практиката, се изисква да се събере и анализира информация за предприятието, да се разгледа структурата и работният график на организацията, в която се провежда практиката, да се изготви календарен план и да се опише вашата практика.
Ще ви помогнем да напишете отчет за стажа, като вземете предвид спецификата на дейността на конкретно предприятие.

Тема на урока: „Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Антидериватът на експоненциалната функция "в UNT задачите

цел : да развие уменията на учениците за прилагане на теоретични знания по темата „Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Антидериватът на експоненциалната функция "за решаване на UNT проблемите.

Задачи

Образователни: да систематизира теоретичните знания на учениците, да затвърди уменията за решаване на проблеми по тази тема.

Разработване: развиват памет, наблюдение, логическо мислене, математическа реч на учениците, умения за внимание, самооценка и самоконтрол.

Образователни: допринесе:

насърчаване на отговорно отношение към ученето сред учениците;

развиване на устойчив интерес към математиката;

създаване на положителна вътрешна мотивация за изучаване на математика.

Методи на преподаване: словесни, визуални, практически.

Форми на работа:индивидуално, фронтално, по двойки.

По време на занятията

Епиграф: „Умът се състои не само в знанието, но и в способността да се прилага знанието на практика“ Аристотел (слайд 2)

I. Организиращо време.

II. Решаване на кръстословица. (слайд 3-21)

Френският математик от 17-ти век Пиер Ферма дефинира тази линия като „Правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точка“.

Допирателна

Функцията, която се дава от формулата y \u003d log а х.

Логаритмично

Функцията, която се дава от формулата y \u003d и х.

Показателно

В математиката тази концепция се използва за намиране на скоростта на движение на материалната точка и наклона на допирателната към графиката на функция в дадена точка.

Производно

Какво е името на функцията F (x) за функцията f (x), ако условието F "(x) \u003d f (x) е изпълнено за всяка точка от интервала I.

Антидеривативен

Как се нарича връзката между X и Y, при която всеки елемент на X е свързан с един елемент на Y.

Производно на изместване

Скорост

Функцията, която се дава от формулата y \u003d e x.

Изложител

Ако функцията f (x) може да бъде представена като f (x) \u003d g (t (x)), тогава тази функция се нарича ...

III. Математическа диктовка. (Слайд 22)

1. Запишете формулата за производната на експоненциалната функция. ( и х) "\u003d и x ln а

2. Запишете формулата за производната на степента. (e x) "\u003d e x

3. Запишете формулата за производната на естествения логаритъм. (ln x) "\u003d

4. Запишете формулата за производната на логаритмичната функция. (дневник а х) "\u003d

5. Запишете общата форма на антидеривати за функцията f (x) \u003d и х. F (x) \u003d

6. Запишете общата форма на антидеривати за функцията f (x) \u003d, x ≠ 0. F (x) \u003d ln | x | + C

Проверете работата (отговори на слайд 23).

IV. Решаване на UNT проблеми (симулатор)

А) № 1,2,3,6,10,36 на дъската и в тетрадката (слайд 24)

Б) Работа по двойки № 19.28 (симулатор) (слайд 25-26)

V. 1. Намерете грешки: (слайд 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f (x) \u003d log 5 (7x + 1), f "(x) \u003d

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

Vi. Презентация на ученика.

Епиграф: „Знанието е толкова ценно нещо, че не е срамно да се получи от който и да е източник“ Тома Аквински (слайд 28)

Vii. Домакинско задание No 19.20 стр. 116

VIII. Тест (задача за архивиране) (слайд 29-32)

IX. Обобщение на урока.

„Ако искате да участвате в големия живот, напълнете главата си с математика, докато можете. След това тя ще ви оказва огромна помощ през целия ви живот "М. Калинин (слайд 33)

Алгебра и начало на математическия анализ

Диференциация на експоненциални и логаритмични функции

Съставител:

учител по математика MOU SOSH №203 HEC

град Новосибирск

Т. В. Видутова

Брой д. Функция y \u003d e х , неговите свойства, графика, диференциация

1. Да конструираме графики за различни бази: 1. y \u003d 2 x 3. y \u003d 10 x 2. y \u003d 3 x (опция 2) (опция 1) "width \u003d" 640 "

Да разгледаме експоненциалната функция y \u003d a х , където a 1.

Нека да градим за различни бази и графика:

1. y \u003d 2 х

3. y \u003d 10 х

2. y \u003d 3 х

(Вариант 2)

(Опция 1)

1) Всички диаграми преминават през точката (0; 1);

2) Всички графики имат хоризонтална асимптота y \u003d 0

в х  ∞;

3) Всички са изправени надолу към изпъкналостта;

4) Всички те имат допирателни във всички точки.

Нека нарисуваме допирателна към графиката на функцията y \u003d 2 х в точката х \u003d 0 и измерете ъгъла, който допирателната образува с оста х

С помощта на точно начертаване на допирателните линии към графиките можете да видите, че ако основата и експоненциална функция y \u003d a х основата постепенно се увеличава от 2 до 10, след което ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката х \u003d 0 и абсцисата постепенно се увеличава от 35 'на 66,5'.

Следователно има причина и , за които съответният ъгъл е 45 '. И това значение и е между 2 и 3, защото в и \u003d 2 ъгълът е 35 ', за и \u003d 3 е равно на 48 '.

В хода на математическия анализ беше доказано, че тази основа съществува, обичайно е да се обозначава с буквата д.

Определи това д – ирационално число, тоест това е безкрайна непериодична десетична дроб:

e \u003d 2, 7182818284590 ... ;

На практика обикновено се приема, че д ≈ 2,7.

Графика на функции и свойства y \u003d e х :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) увеличава;

4) не ограничено отгоре, ограничено отдолу

5) няма нито най-голямото, нито най-малкото

стойности;

6) непрекъснато;

7) Д (е) = (0; + ∞);

8) изпъкнала надолу;

9) диференцируеми.

Функция y \u003d e х Наречен изложител .

В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y \u003d e х има производна във всяка точка х :

(д х ) \u003d д х

(д 5 пъти ) "\u003d 5е 5 пъти

(д х-3 ) "\u003d д х-3

(д -4x + 1 ) "\u003d -4e -4x-1

Пример 1 . Начертайте допирателна към графиката на функцията в точката x \u003d 1.

2) f () \u003d f (1) \u003d e

4) y \u003d e + e (x-1); y \u003d напр

Отговор:

Пример 2 .

х = 3.

Пример 3 .

Проучете функцията за екстремум

x \u003d 0 и x \u003d -2

х \u003d -2 - максимална точка

х \u003d 0 - минимална точка

Ако основата на логаритъма е числото д , тогава те казват това естествен логаритъм ... За естествени логаритми въведено е специално обозначение ln (l е логаритъм, n е естествен).