Em quais partes o seio é positivo. Círculo trigonométrico

Contando ângulos em um círculo trigonométrico.

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é "não muito ..."
E para aqueles que "muito ...")

É quase o mesmo que na lição anterior. Existem machados, um círculo, um ângulo, tudo é queixo-chinarem. Adicionou números de quartos (nos cantos do grande quadrado) - do primeiro ao quarto. E então, de repente, quem não sabe? Como você pode ver, trimestres (também são chamados de boa palavra "quadrantes") são numerados no sentido anti-horário. Adicionados valores de ângulo do eixo. Tudo está claro, sem problemas.

E uma seta verde foi adicionada. Com um plus. O que isso significa? Deixe-me lembrá-lo de que o lado fixo do canto sempre pregado no semieixo OX positivo. Então, se torcermos o lado móvel do canto seta com mais, ou seja, em ordem crescente dos números do trimestre, o ângulo será considerado positivo. Por exemplo, a imagem mostra um ângulo positivo de + 60 °.

Se adiarmos os cantos na direção oposta, no sentido horário, o ângulo será considerado negativo. Passe o mouse sobre a imagem (ou toque na imagem no tablet), você verá uma seta azul com um sinal de menos. Esta é a direção da leitura do ângulo negativo. Um ângulo negativo (- 60 °) é mostrado como exemplo. E você também verá como os números nos eixos mudaram ... Eu também os traduzi para ângulos negativos. A numeração do quadrante não muda.

É aqui que geralmente começam os primeiros mal-entendidos. Como assim !? E se o ângulo negativo do círculo coincidir com o positivo !? De qualquer forma, acontece que a mesma posição do lado móvel (ou um ponto no círculo numérico) pode ser chamada de ângulo negativo e positivo!?

Sim. Exatamente. Digamos que um ângulo positivo de 90 graus forma um círculo exatamente o mesmo posição como um ângulo negativo de 270 graus negativos. Um ângulo positivo, por exemplo + 110 ° graus, leva exatamente o mesmo posição como um ângulo negativo de -250 °.

Sem problemas. Tudo está correto.) A escolha do cálculo positivo ou negativo do ângulo depende da condição da tarefa. Se a condição não disser nada em texto simples sobre o sinal do ângulo, (como "determinar o menor positivo ângulo ", etc.), então trabalhamos com valores convenientes para nós.

A exceção (e como sem eles?!) São desigualdades trigonométricas, mas lá vamos dominar esse truque.

Agora uma pergunta para você. Como eu sabia que a posição do ângulo de 110 ° é igual à posição do ângulo de -250 °?
Vou sugerir que isso se deve a uma rotatividade total. 360 ° ... Não está claro? Em seguida, desenhe um círculo. Nós mesmos desenhamos no papel. Marque a esquina sobre 110 °. E considerarquanto resta até o giro total. Permanecerá apenas 250 ° ...

Entendi? E agora - atenção! Se os ângulos 110 ° e -250 ° estão no círculo mesmo posição, então o que? Sim, isso nos ângulos 110 ° e -250 ° exatamente o mesmo seno, cosseno, tangente e cotangente!
Essa. sin110 ° \u003d sin (-250 °), ctg110 ° \u003d ctg (-250 °) e assim por diante. Agora isso é muito importante! E em si - há uma série de tarefas em que você precisa simplificar as expressões e como base para o desenvolvimento subsequente de fórmulas de redução e outra sabedoria da trigonometria.

Claro, peguei 110 ° e -250 ° aleatoriamente, apenas para dar um exemplo. Todas essas igualdades funcionam para quaisquer ângulos que ocupem a mesma posição no círculo. 60 ° e -300 °, -75 ° e 285 ° e assim por diante. Notarei imediatamente que os cantos desses pares - vários. Mas suas funções trigonométricas - o mesmo.

Acho que você entende o que são ângulos negativos. É bem simples. No sentido anti-horário - contagem positiva. A caminho - negativo. Considere um ângulo positivo ou negativo depende de nós... Do nosso desejo. Bem, e também da tarefa, é claro ... Espero que você entenda como mudar de ângulos negativos para ângulos positivos em funções trigonométricas e vice-versa. Desenhe um círculo, um ângulo aproximado e veja quanto falta para uma volta completa, ou seja, até 360 °.

Ângulos maiores que 360 \u200b\u200b°.

Vamos ver ângulos maiores que 360 \u200b\u200b°. E existem tais? Existem, é claro. Como faço para desenhá-los em um círculo? Sem problemas! Digamos que precisamos descobrir em qual quarto o ângulo de 1000 ° cai? Facilmente! Damos uma volta completa no sentido anti-horário (o ângulo nos foi dado positivo!). Desenrolado 360 °. Bem, vamos em frente! Outra curva - já conseguiu 720 °. Quanto falta? 280 °. Não o suficiente para uma revolução completa ... Mas o ângulo é superior a 270 ° - e esta é a fronteira entre o terceiro e o quarto trimestre. Portanto, nosso ângulo de 1000 ° cai no quarto trimestre. Tudo.

Como você pode ver, é bastante simples. Deixe-me lembrar mais uma vez que o ângulo de 1000 ° e o ângulo de 280 °, que obtivemos descartando as revoluções completas "extras", são, estritamente falando, vários cantos. Mas as funções trigonométricas nesses ângulos exatamente o mesmo! Essa. sen1000 ° \u003d sen280 °, cos1000 ° \u003d cos280 °, etc. Se eu fosse um seno, não perceberia a diferença entre esses dois ângulos ...

Por que você precisa de tudo isso? Por que precisamos traduzir os ângulos de um para outro? Sim, todos pelo mesmo.) Para simplificar as expressões. A simplificação das expressões é, de fato, a principal tarefa da matemática escolar. Bem, ao longo do caminho, a cabeça está treinando.)

Bem, vamos praticar?)

Respondemos a perguntas. Simples no começo.

1. Em qual quadrante o ângulo -325 ° cai?

2. Em que quarto o ângulo de 3000 ° cai?

3. Em qual quadrante o ângulo -3000 ° cai?

Há um problema? Ou insegurança? Vamos para a Seção 555, Trabalho prático com o círculo trigonométrico. Aí, na primeira aula desse mesmo “Trabalho prático ...” tudo é detalhado ... tal questões de incerteza para ser não deveria!

4. Que sinal tem sin555 °?

5. Qual é o sinal de tg555 °?

Você se identificou? Excelente! Dúvida? Deve estar na Seção 555 ... Aliás, lá você aprenderá como desenhar tangente e cotangente no círculo trigonométrico. Uma coisa muito útil.

E agora as perguntas são mais sábias.

6. Reduza a expressão sin777 ° ao seno do menor ângulo positivo.

7. Reduza a expressão cos777 ° ao cosseno do maior ângulo negativo.

8. Reduza a expressão cos (-777 °) para o cosseno do menor ângulo positivo.

9. Reduza a expressão sin777 ° ao seno do maior ângulo negativo.

As perguntas 6 a 9 são intrigantes? Acostume-se, no exame e não se encontra tais formulações ... Assim seja, vou traduzir. Apenas para você!

As palavras "lançar uma expressão para ..." significam transformar uma expressão para que seu valor não mudou e aparência alterado de acordo com a atribuição. Então, nas tarefas 6 e 9, devemos obter um seno, dentro do qual é menor ângulo positivo. Todo o resto não importa.

Darei as respostas na ordem (violando nossas regras). E o que fazer, existem apenas dois sinais, e existem apenas quatro quartos ... Você não vai fugir nas variantes.

6.sin57 °.

7.cos (-57 °).

8.cos57 °.

9.-sen (-57 °)

Suponho que as respostas às perguntas 6 a 9 tenham confundido alguns. Especial -sin (-57 °), certo?) De fato, nas regras elementares de contagem de ângulos há margem para erros ... Por isso tive que fazer uma lição: "Como determinar os sinais das funções e trazer os ângulos em um círculo trigonométrico?" Na seção 555. As tarefas 4 - 9 são classificadas. Bem desmontado, com todas as armadilhas. E eles estão aqui.)

Na próxima lição, lidaremos com os misteriosos radianos e o número pi. Vamos aprender como converter de maneira fácil e correta graus em radianos e vice-versa. E ficamos surpresos ao descobrir que esta informação elementar no site já o suficiente para resolver alguns problemas de trigonometria não padrão!

Se você gosta deste site ...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testando com verificação instantânea. Aprendizagem - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivados.

O círculo trigonométrico é um dos elementos básicos da geometria para resolver equações com seno, cosseno, tangente e cotangente.

Qual é a definição deste termo, como construir um determinado círculo, como definir um quarto em trigonometria, como descobrir os ângulos em um círculo trigonométrico construído - falaremos sobre isso e muito mais adiante.

Círculo trigonométrico

A forma trigonométrica de um círculo numérico em matemática é um círculo que tem um único raio centralizado na origem do plano de coordenadas. Via de regra, é formado pelo espaço das fórmulas seno com cosseno, tangente e cotangente no sistema de coordenadas.

O propósito de tal esfera com espaço n-dimensional é que graças a ela as funções trigonométricas podem ser descritas. Parece simples: um círculo, dentro do qual há um sistema de coordenadas e vários triângulos retangulares formados a partir desse círculo por funções trigonométricas.

O que é seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo

Uma vista de triângulo retangular é aquela com um dos ângulos igual a 90 °. É formado por pernas e uma hipotenusa com todos os valores de trigonometria. As pernas são dois lados do triângulo que estão adjacentes a um ângulo de 90 °, e o terceiro é a hipotenusa, ela é sempre mais longa que as pernas.

O seno é a proporção de uma das pernas para a hipotenusa, o cosseno é a proporção da outra perna para ela e a tangente é a proporção das duas pernas. Atitude simboliza divisão. Além disso, a tangente é a divisão de um ângulo agudo por um seno com um cosseno. Cotangente é o oposto de tangente.

As fórmulas para as duas últimas relações são as seguintes: tg (a) \u003d sin (a) / cos (a) e ctg (a) \u003d cos (a) / sin (a).

Construindo um círculo unitário

A construção de um círculo unitário é reduzida ao seu desenho com um raio unitário no centro do sistema de coordenadas. Depois, para construir, é preciso contar os ângulos e, no sentido anti-horário, dar a volta em um círculo inteiro, anotando as coordenadas correspondentes a eles.

A construção começa depois de desenhar o círculo e colocar um ponto em seu centro, colocando o sistema de coordenadas OX. O ponto O no topo do eixo das coordenadas é seno e X é cosseno. Conseqüentemente, são a abscissa e a ordenada. Então você precisa fazer medições ∠. Eles são mostrados em graus e radianos.

É fácil traduzir esses indicadores - um círculo completo é igual a dois pi radianos. O ângulo de zero vai no sentido anti-horário com um sinal +, e ∠ vai no sentido horário a partir de 0 com um sinal -. Os valores de seno positivo e negativo com cosseno são repetidos a cada revolução do círculo.

Ângulos no círculo trigonométrico

Para dominar a teoria do círculo trigonométrico, você precisa entender como ∠ são contados e como são medidos. Eles são considerados muito simples.

O círculo é dividido em quatro partes pelo sistema de coordenadas. Cada parte forma ∠ 90 °. Metade desses ângulos são de 45 graus. Consequentemente, duas partes de um círculo são iguais a 180 ° e três - 360 °. Como usar esta informação?

Se for necessário para resolver o problema de encontrar ∠, recorra a teoremas sobre triângulos e as leis pitagóricas básicas associadas a eles.

Os ângulos são medidos em radianos:

• de 0 a 90 ° - valores de ângulo de 0 a ∏ / 2;
• de 90 a 180 ° - valores de ângulo de ∏ / 2 a ∏;
• de 180 a 270 ° - de ∏ a 3 * ∏ / 2;
• o último trimestre de 270 0 a 360 0 - valores de 3 * ∏ / 2 a 2 * ∏.

Para descobrir uma medida específica, converta radianos em graus, ou vice-versa, você deve recorrer a uma folha de dicas.

Convertendo ângulos de graus em radianos

Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos. É necessário estar ciente da conexão entre os dois significados. Esta relação é expressa em trigonometria usando fórmula especial... Graças à compreensão da relação, você pode aprender a controlar rapidamente os ângulos e voltar de graus para radianos.

Para descobrir exatamente o que é um radiano, você pode usar a seguinte fórmula:

Estou feliz. \u003d 180 / ∏ \u003d 180 / 3,1416 \u003d 57,2956

Em última análise, 1 radiano é igual a 57 ° e 1 grau é igual a 0,0175 radianos:

1 grau \u003d (∏ / 180) rad. \u003d 3,1416 / 180 rad. \u003d 0,0175 rad.

Cosseno, seno, tangente, cotangente em um círculo trigonométrico

Cosseno com seno, tangente e cotangente em um círculo trigonométrico - funções de ângulos alfa de 0 a 360 graus. Cada função tem um positivo ou valor negativo dependendo de quão grande é o ângulo. Eles simbolizam a relação com os triângulos retos formados em um círculo.

A trigonometria, como ciência, originou-se no Antigo Oriente. As primeiras relações trigonométricas foram derivadas por astrônomos para criar um calendário preciso e a orientação das estrelas. Esses cálculos estavam relacionados à trigonometria esférica, enquanto no curso escolar eles estudam a relação de aspecto e o ângulo de um triângulo plano.

Trigonometria é o ramo da matemática que lida com propriedades funções trigonométricas e a relação entre os lados e ângulos dos triângulos.

Durante o apogeu da cultura e da ciência no primeiro milênio DC, o conhecimento se espalhou do Antigo Oriente para a Grécia. Mas as principais descobertas da trigonometria são mérito dos homens do califado árabe. Em particular, o cientista turcomano al-Marazvi introduziu funções como tangente e cotangente, compilou as primeiras tabelas de valores para senos, tangentes e cotangentes. O conceito de seno e cosseno foi introduzido por cientistas indianos. Muita atenção é dada à trigonometria nas obras de grandes figuras da antiguidade como Euclides, Arquimedes e Eratóstenes.

Quantidades básicas de trigonometria

As funções trigonométricas básicas de um argumento numérico são seno, cosseno, tangente e cotangente. Cada um deles tem seu próprio gráfico: seno, cosseno, tangente e cotangente.

As fórmulas de cálculo dos valores dessas quantidades são baseadas no teorema de Pitágoras. Os escolares a conhecem melhor na redação: "Calça pitagórica, igual em todas as direções", pois a prova se dá no exemplo de um triângulo retângulo isósceles.

Seno, cosseno e outras dependências estabelecem uma relação entre ângulos agudos e os lados de qualquer triângulo retângulo. Vamos fornecer fórmulas para calcular esses valores para o ângulo A e traçar a relação das funções trigonométricas:

Como você pode ver, tg e ctg são funções inversas. Se representarmos a perna a como o produto de sen A e hipotenusa c, e a perna b como cos A * c, obteremos as seguintes fórmulas para tangente e cotangente:

Círculo trigonométrico

Graficamente, a proporção dessas quantidades pode ser representada da seguinte forma:

O círculo, neste caso, representa tudo valores possíveis ângulo α - de 0 ° a 360 °. Como você pode ver na figura, cada função assume um valor negativo ou positivo dependendo do ângulo. Por exemplo, sen α terá um sinal "+" se α pertencer aos quartos I e II do círculo, ou seja, está na faixa de 0 ° a 180 °. Quando α é de 180 ° a 360 ° (quartos III e IV), sen α só pode ser negativo.

Vamos tentar construir tabelas trigonométricas para ângulos específicos e descobrir o valor das quantidades.

Os valores de α iguais a 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° e assim por diante são chamados de casos especiais. Os valores das funções trigonométricas para eles são calculados e apresentados na forma de tabelas especiais.

Esses ângulos não são escolhidos por acaso. A designação π nas tabelas significa radianos. Rad é o ângulo no qual o comprimento de um arco circular corresponde ao seu raio. Este valor foi introduzido para estabelecer uma dependência universal: no cálculo em radianos, o comprimento real do raio em cm não importa.

Os ângulos nas tabelas para funções trigonométricas correspondem aos valores de radianos:

Portanto, não é difícil adivinhar que 2π é um círculo completo ou 360 °.

Propriedades das funções trigonométricas: seno e cosseno

Para considerar e comparar as propriedades básicas de seno e cosseno, tangente e cotangente, é necessário desenhar suas funções. Isso pode ser feito na forma de uma curva localizada em um sistema de coordenadas bidimensional.

Considere uma tabela comparativa de propriedades para uma onda senoidal e uma onda cossenoidal:

Determinar se uma função é par ou não é muito simples. Basta imaginar um círculo trigonométrico com sinais de grandezas trigonométricas e "somar" mentalmente o gráfico em torno do eixo OX. Se os sinais coincidirem, a função é par, caso contrário, é ímpar.

A introdução de radianos e a enumeração das propriedades principais de uma senoide e cosseno nos permitem dar o seguinte padrão:

É muito fácil certificar-se de que a fórmula está correta. Por exemplo, para x \u003d π / 2 o seno é 1, assim como o cosseno x \u003d 0. A verificação pode ser realizada referindo-se a tabelas ou traçando as curvas das funções para determinados valores.

Propriedades Tangentóide e Cotangentóide

Os gráficos das funções tangente e cotangente diferem significativamente de seno e cosseno. Os valores tg e ctg são inversos um ao outro.

1. Y \u003d tg x.
2. A tangentóide tende para os valores de y em x \u003d π / 2 + πk, mas nunca os atinge.
3. O menor período positivo da tangentóide é π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ou seja, a função é ímpar.
5. Tg x \u003d 0, para x \u003d πk.
6. A função está aumentando.
7. Tg x ›0, para x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, para x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x) ’\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Considere uma representação gráfica de um cotangentóide abaixo no texto.

As principais propriedades de um cotangensóide:

1. Y \u003d ctg x.
2. Ao contrário das funções seno e cosseno, na tangentóide Y pode assumir os valores do conjunto de todos os números reais.
3. O cotangensóide tende aos valores de y em x \u003d πk, mas nunca os atinge.
4. O menor período positivo de um cotangensóide é π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ou seja, a função é ímpar.
6. Ctg x \u003d 0, para x \u003d π / 2 + πk.
7. A função está diminuindo.
8. Ctg x ›0, para x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, para x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Derivada (ctg x) ’\u003d - 1 / sin 2 \u2061x correto

Na última lição, dominamos com sucesso (ou repetimos - como qualquer um) os conceitos-chave de toda trigonometria. isto círculo trigonométrico , canto em um círculo , o seno e cosseno deste ângulo e também dominado sinais de funções trigonométricas em quartos . Dominei em detalhes. Nos dedos, pode-se dizer.

Mas isso ainda não é suficiente. Para um sucesso aplicação prática de todos esses conceitos simples, precisamos de outra habilidade útil. Ou seja, o correto trabalhar com cantos em trigonometria. Sem essa habilidade em trigonometria - nada. Mesmo nos exemplos mais primitivos. Por quê? Porque o ângulo é uma figura chave em toda trigonometria! Não, não funções trigonométricas, não seno com cosseno, não tangente com cotangente, a saber a própria esquina... Sem ângulo - sem funções trigonométricas, sim ...

Como trabalhar com os cantos de um círculo corretamente? Para fazer isso, precisamos aprender dois pontos.

1) quão os ângulos do círculo são contados?

2) o que eles são contados (medidos)?

A resposta à primeira pergunta é o tópico da lição de hoje. Lidaremos com a primeira pergunta em detalhes aqui e agora. Não vou dar a resposta à segunda pergunta aqui. Pois está bastante desenvolvido. Como a segunda pergunta em si, é muito escorregadia, sim.) Não vou entrar em detalhes ainda. Este é o tópico da próxima lição separada.

Vamos começar?

Como os ângulos são medidos em um círculo? Ângulos positivos e negativos.

Quem leu o título do parágrafo já pode estar com os cabelos em pé. Como assim ?! Ângulos negativos? Isso é mesmo possível?

Para negativo números nós já nos acostumamos. Sabemos representá-los no eixo numérico: positivo à direita de zero, negativo à esquerda de zero. E periodicamente olhamos para o termômetro fora da janela. Especialmente no inverno, no tempo frio.) E o dinheiro no telefone é "menos" (ou seja, dívida) às vezes vão embora. Tudo isso é familiar.

E quanto aos cantos? Acontece ângulos negativos em matemática também acontecem! Tudo depende de como medir esse mesmo ângulo ... não, não na reta numérica, mas no círculo numérico! Quero dizer, no círculo. Um círculo - aqui está, um análogo de uma reta numérica em trigonometria!

Então, como são contados os ângulos do círculo? Não há nada a ser feito, primeiro temos que desenhar este mesmo círculo.

Vou desenhar uma bela imagem como esta:

É muito parecido com as fotos da última lição. Existem eixos, existe um círculo, existe um ângulo. Mas também há novas informações.

Eu também adicionei 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° e 360 \u200b\u200b° nos eixos. Agora isso é mais interessante.) O que são esses números? Corretamente! Estes são os valores dos ângulos, medidos do nosso lado fixo, que caem nos eixos de coordenadas. Lembramos que o lado fixo do canto está sempre firmemente amarrado ao semieixo OX positivo. E qualquer ângulo em trigonometria é medido a partir dessa semieixo. Este ponto de partida básico para ângulos deve ser mantido em mente. E os eixos - eles se cruzam em ângulos retos, certo? Portanto, adicionamos 90 ° em cada trimestre.

E mais adicionado flecha Vermelha. Com um plus. O vermelho tem o propósito de chamar a atenção. E no fundo da minha memória. Pois isso deve ser lembrado com segurança.) O que essa seta significa?

Acontece que se torcermos nosso canto ao longo da seta com um sinal de mais (sentido anti-horário, na direção da numeração do quarto), então o ângulo será considerado positivo!Como exemplo, a figura mostra um ângulo de + 45 °. A propósito, observe que os ângulos axiais de 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° e 360 \u200b\u200b° também são rebobinados em um ponto positivo! Ao longo da seta vermelha.

Agora vamos olhar para outra foto:

Quase tudo é igual aqui. Apenas os ângulos dos eixos são numerados revertido. Sentido horário. E eles têm um sinal de menos.) Ainda desenhado seta azul. Também com um sinal de menos. Esta seta é a direção da leitura negativa dos ângulos do círculo. Ela nos mostra que se adiarmos nosso canto sentido horárioentão o ângulo será considerado negativo.Por exemplo, mostrei um ângulo de -45 °.

A propósito, observe que a numeração do trimestre nunca muda! Não importa se viramos os cantos para mais ou para menos. Sempre estritamente anti-horário.)

Lembrar:

1. A origem dos ângulos é do semieixo OX positivo. Pelo relógio - "menos", contra o relógio - "mais".

2. A numeração dos quartos é sempre no sentido anti-horário, independentemente da direção do cálculo dos ângulos.

A propósito, assinar os ângulos nos eixos 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °, cada vez desenhando um círculo, não é obrigatório. Isso é puramente para compreender a essência produzida. Mas esses números devem estar presentes. na sua cabeçaao resolver qualquer problema de trigonometria. Por quê? Porque esse conhecimento elementar dá respostas a muitas outras questões em toda trigonometria! A maioria questão principal – em que trimestre está o canto que nos interessa? Acredite ou não, a resposta correta a essa pergunta resolve grande parte de todos os outros problemas de trigonometria. Trataremos desta importante lição (distribuição dos ângulos por quartos) na mesma lição, mas um pouco mais tarde.

Os valores dos ângulos situados nos eixos de coordenadas (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° e 360 \u200b\u200b°) devem ser lembrados! Lembre-se disso com firmeza, ao ponto do automatismo. E tanto em mais quanto em menos.

Mas a partir deste momento começam as primeiras surpresas. E junto com eles, perguntas complicadas dirigidas a mim, sim ...) E o que acontecerá se um ângulo negativo em um círculo corresponde a positivo? Acontece que o mesmo pontono círculo pode ser designado como um ângulo positivo e negativo ???

Muito bem! É.) Por exemplo, um ângulo positivo de + 270 ° forma um círculo a mesma posição como um ângulo negativo de -90 °. Ou, por exemplo, um ângulo positivo de + 45 ° em um círculo levaria a mesma posição como o ângulo negativo de -315 °.

Olhamos para o próximo desenho e vemos tudo:

Da mesma forma, um ângulo positivo de + 150 ° irá para o mesmo lugar que um ângulo negativo de -210 °, e um ângulo positivo de + 230 ° irá para o mesmo lugar que um ângulo negativo de -130 °. E assim por diante…

E agora o que posso fazer? Como exatamente você conta os ângulos, se pode fazer isso e aquilo? Como isso está correto?

Responda: em todos os sentidos certo! A matemática não proíbe nenhuma das duas direções dos ângulos de leitura. E a escolha de uma direção específica depende exclusivamente da tarefa. Se a tarefa não disser nada em texto simples sobre o sinal de ângulo (como "determinar o maior negativo ângulo" etc.), então trabalhamos com os ângulos mais convenientes.

Claro, por exemplo, em tópicos legais como equações trigonométricas e as desigualdades, a direção dos ângulos de cálculo pode ter um grande impacto na resposta. E nos tópicos relevantes, vamos considerar essas armadilhas.

Lembrar:

Qualquer ponto do círculo pode ser marcado com um ângulo positivo ou negativo. Alguém! Como queremos.

Agora vamos pensar sobre isso. Descobrimos que 45 ° é exatamente igual a -315 °? Como eu sabia sobre esses mesmos 315° ? Você não adivinha? Sim! Através de uma revolução completa.) 360 °. Temos um ângulo de 45 °. Quanto falta para completar o giro? Subtraia 45° de 360° - aqui temos 315° ... Tremendo na direção negativa - e obtemos um ângulo de -315 °. Ainda não está claro? Então olhe para a foto acima novamente.

E isso sempre deve ser feito ao converter ângulos positivos em negativos (e vice-versa) - desenhe um círculo, marque sobre No ângulo dado, consideramos quantos graus não são suficientes para completar uma revolução e enrolamos a diferença resultante na direção oposta. E isso é tudo.)

O que mais é interessante sobre os cantos ocupando a mesma posição no círculo, o que você acha? E o fato de que em tais cantos exatamente o mesmo seno, cosseno, tangente e cotangente! Sempre!

Por exemplo:

Sin45 ° \u003d sin (-315 °)

Cos120 ° \u003d cos (-240 °)

Tg249 ° \u003d tg (-111 °)

Ctg333 ° \u003d ctg (-27 °)

Mas isso já é extremamente importante! Pelo que? Sim, tudo pelo mesmo!) Para simplificar as expressões. Pois a simplificação das expressões é o procedimento chave para uma solução de sucesso qualquer atribuições em matemática. E incluindo trigonometria.

Então com regra geral contar ângulos no círculo descoberto. Bem, se aqui sugerimos curvas completas, cerca de quartos, então seria hora de torcer e desenhar esses mesmos ângulos. Vamos desenhar?)

Vamos começar com positivo cantos. Eles serão mais fáceis de desenhar.

Desenhe os cantos em uma revolução (entre 0 ° e 360 \u200b\u200b°).

Vamos desenhar, por exemplo, um ângulo de 60 °. Tudo é simples, sem problemas. Desenhamos os eixos coordenados, um círculo. Você pode fazer isso com as mãos, sem compasso e régua. Desenhar esquematicamente: não temos nenhum esboço com você. Não há necessidade de observar GOSTs, eles não serão punidos.)

Você pode (por si mesmo) marcar os valores dos ângulos nos eixos e apontar a seta na direção contra o relógio.Afinal, vamos adiar no plus?) Você não pode fazer isso, mas precisa manter tudo na cabeça.

E agora desenhamos o segundo lado (móvel) do canto. Qual trimestre? Na primeira, claro! Para 60 graus é estritamente entre 0 ° e 90 °. Então desenhamos no primeiro trimestre. Inclinado sobre 60 graus para o lado estacionário. Como contar sobre 60 graus sem um transferidor? Facilmente! 60 ° é dois terços de um ângulo reto! Mentalmente, dividimos a primeira linha do círculo em três partes, tomamos dois terços para nós. E desenhamos ... Quanto realmente chegamos lá (se você anexar um transferidor e medi-lo) - 55 graus ou 64 - não importa! É importante que ainda esteja em algum lugar cerca de 60 °.

Nós entendemos:

Isso é tudo. E nenhuma ferramenta foi necessária. Desenvolvendo o olho! É útil em problemas de geometria.) Este desenho desagradável pode ser indispensável quando você precisa rabiscar um círculo e um ângulo com pressa, sem realmente pensar na beleza. Mas ao mesmo tempo rabiscar corretamente, sem erros, com todas as informações necessárias. Por exemplo, como um auxílio na solução de equações trigonométricas e desigualdades.

Agora vamos desenhar um ângulo, por exemplo, 265 °. Descobrindo onde ele pode estar localizado? Bem, é claro que nem no primeiro trimestre e nem mesmo no segundo: eles terminam em 90 e 180 graus. Você pode imaginar que 265 ° é 180 ° mais outros 85 °. Ou seja, ao semieixo OX negativo (onde 180 °), você precisa adicionar sobre 85 °. Ou, ainda mais fácil, adivinhe que 265 ° não atinge o semieixo OY negativo (onde 270 °) de alguns infelizes 5 °. Resumindo, esse canto será no terceiro trimestre. Muito perto do semieixo negativo OY, a 270 graus, mas ainda no terceiro!

Nos desenhamos:

Novamente, a precisão absoluta não é necessária aqui. Na realidade, esse ângulo acabou sendo, digamos, 263 graus. Mas a questão mais importante (qual trimestre?) respondemos inequivocamente. Por que essa questão é a mais importante? Porque qualquer trabalho com um ângulo em trigonometria (não importa se traçamos esse ângulo ou não) começa com a resposta para essa pergunta! Sempre. Se você ignorar essa pergunta ou tentar respondê-la mentalmente, os erros serão quase inevitáveis, sim ... Você precisa disso?

Lembrar:

Qualquer trabalho com um ângulo (incluindo o desenho desse mesmo ângulo em um círculo) sempre começa com a definição do quarto em que esse ângulo cai.

Agora, espero que você já tenha representado com precisão os ângulos, por exemplo 182 °, 88 °, 280 °. NO corrigir quartos. No terceiro, primeiro e quarto, se isso ...)

O quarto trimestre termina com um ângulo de 360 \u200b\u200b°. Esta é uma volta completa. É evidente que este ângulo ocupa a mesma posição no círculo que 0 ° (ou seja, a origem). Mas os cantos não param por aí, sim ...

O que fazer com ângulos maiores que 360 \u200b\u200b°?

"Eles realmente existem?" - você pergunta. Existem, como! Existe, por exemplo, um ângulo de 444 °. E às vezes, digamos, um ângulo de 1000 °. Existem todos os tipos de ângulos.) É só que visualmente, esses ângulos exóticos são percebidos um pouco mais difíceis do que os ângulos a que estamos acostumados em uma revolução. Mas você também precisa ser capaz de desenhar e calcular esses ângulos, sim.

Para desenhar corretamente esses ângulos no círculo, você precisa fazer o mesmo - descobrir em qual trimestre o canto de interesse cai. Aqui, a capacidade de determinar com precisão o quarto é muito mais importante do que para ângulos de 0 ° a 360 °! O próprio procedimento para determinar o trimestre é complicado por apenas uma etapa. O quê, você verá em breve.

Então, por exemplo, precisamos descobrir em qual quarto o ângulo de 444 ° cai. Começamos a nos torcer. Para onde? Além disso, é claro! Eles nos deram um ângulo positivo! + 444 °. Giramos, giramos ... Giramos uma volta - chegamos a 360 °.

Quanto tempo há para 444 °?Contamos a cauda restante:

444 ° -360 ° \u003d 84 °.

Portanto, 444 ° é uma revolução completa (360 °) mais outros 84 °. Obviamente, este é o primeiro trimestre. Então, o ângulo de 444 ° cai no primeiro trimestre.Metade da batalha acabou.

Resta agora descrever este canto. Como? Muito simples! Fazemos uma volta completa ao longo da seta vermelha (mais) e adicionamos outro 84 °.

Como isso:

Aqui, não me preocupei em bagunçar o desenho - para assinar moedas, desenhar cantos nos eixos. Todo esse bem deveria estar na minha cabeça há muito tempo.)

Mas eu mostrei com um "caracol" ou uma espiral como exatamente o ângulo 444 ° dos ângulos 360 ° e 84 ° é adicionado. A linha vermelha pontilhada é uma volta completa. Ao qual 84 ° são aparafusados \u200b\u200badicionalmente (linha contínua). A propósito, observe que se esta rotação mais completa for descartada, ela não afetará a posição do nosso canto de forma alguma!

Mas isso é importante! Posição angular 444 ° combina completamente com uma posição angular de 84 °. Não há milagres, simplesmente acontece.)

É possível descartar não uma revolução completa, mas duas ou mais?

Por que não? Se o ângulo for forte, não é apenas possível, mas mesmo necessário! O ângulo não muda! Mais precisamente, o próprio ângulo, é claro, mudará de tamanho. Mas sua posição no círculo - de jeito nenhum!) É por isso que eles cheio voltas, que não importa quantas cópias você adicione, não importa quanto você subtraia, você ainda atingirá o mesmo ponto. Legal, certo?

Lembrar:

Se você adicionar (subtrair) qualquer todo o número de revoluções completas, a posição do ângulo inicial no círculo NÃO mudará!

Por exemplo:

Em que quarto o ângulo de 1000 ° cai?

Sem problemas! Contamos quantas revoluções completas estão sentadas em mil graus. Uma revolução é 360 °, outra é 720 °, a terceira é 1080 ° ... Pare! Exagero! Então, em um ângulo de 1000 ° senta dois volume de negócios completo. Nós os eliminamos de 1000 ° e calculamos o restante:

1000 ° - 2 360 ° \u003d 280 °

Portanto, a posição do ângulo de 1000 ° no círculo mesmocomo no ângulo de 280 °. Qual é muito mais agradável de trabalhar.) E onde é que esse canto vai parar? Cai no quarto trimestre: 270 ° (semieixo negativo OY) mais outros dez.

Nos desenhamos:

Aqui, não desenhei mais duas voltas completas com uma espiral pontilhada: ela acabou sendo dolorosamente longa. Acabei de desenhar o rabo de cavalo restante do zerodescartando tudo voltas extras. Como se eles nem existissem.)

De novo. De forma amigável, os ângulos 444 ° e 84 °, assim como 1000 ° e 280 ° são diferentes. Mas para seno, cosseno, tangente e cotangente, esses ângulos são o mesmo!

Como você pode ver, para trabalhar com ângulos maiores que 360 \u200b\u200b°, você precisa determinar quantas revoluções completas ficam em um determinado ângulo grande. Esta é a etapa adicional que deve ser realizada de antemão ao trabalhar com tais ângulos. Nada complicado, certo?

Baixar a velocidade máxima é certamente um prazer.) Mas, na prática, ao trabalhar com ângulos realmente terríveis, também ocorrem dificuldades.

Por exemplo:

Em qual quarto o ângulo 31240 ° cai?

Então, vamos adicionar 360 graus muitas e muitas vezes? Você pode, se não queimar especialmente. Mas não podemos apenas adicionar.) Também podemos dividir!

Então, vamos dividir nosso grande ângulo por 360 graus!

Com essa ação, acabamos de descobrir quantas revoluções completas estão ocultas em nossos 31240 graus. Você pode dividir o canto, você pode (sussurre em seu ouvido :)) na calculadora.)

Obtemos 31240: 360 \u003d 86,777777….

O fato de que o número acabou sendo fracionário não é assustador. Nós apenas todo as vendas são de interesse! Portanto, não é necessário dividir até o fim.)

Então, em nosso canto desgrenhado, já são 86 revoluções completas. Horror…

Em graus será86 360 ° \u003d 30960 °

Como isso. Isto é exatamente quantos graus podem ser projetados sem dor para fora de um determinado ângulo de 31240 °. Permanece:

31240 ° - 30960 ° \u003d 280 °

Tudo! A posição do ângulo de 31240 ° está totalmente identificada! No mesmo lugar que 280 °. Essa. quarto quarto). Parece que já desenhamos este canto antes? Quando o ângulo de 1000 ° foi desenhado?) Lá também fomos 280 graus. Coincidência.)

Então, a moral desta fábula é esta:

Se tivermos um ângulo terrível e robusto, então:

1. Determine quantas voltas completas existem neste canto. Para fazer isso, divida o ângulo original por 360 e descarte a parte fracionária.

2. Consideramos quantos graus existem no número de revoluções recebidas. Para fazer isso, multiplique o número de revoluções por 360.

3. Subtraia essas revoluções do ângulo original e trabalhe com o ângulo usual variando de 0 ° a 360 °.

Como faço para trabalhar com ângulos negativos?

Sem problemas! Da mesma forma que com os positivos, com apenas uma diferença. Como? Sim! Você precisa torcer os cantos lado traseiro, no negativo! Sentido horário.)

Vamos desenhar, por exemplo, um ângulo de -200 °. No início, tudo é normal para ângulos positivos - eixos, círculo. Também iremos representar uma seta azul com um sinal de menos e sinalizar os ângulos nos eixos de uma maneira diferente. Naturalmente, eles também terão que ser contados na direção negativa. Esses serão todos os mesmos ângulos passando por 90 °, mas contados na direção oposta, em menos: 0 °, -90 °, -180 °, -270 °, -360 °.

A imagem ficará assim:

Ao trabalhar com ângulos negativos, geralmente há uma sensação de leve perplexidade. Como assim ?! Acontece que um único eixo é simultaneamente, digamos, + 90 ° e -270 °? Nah, algo esta sujo aqui ...

Sim, está tudo limpo e transparente! Afinal, já sabemos que qualquer ponto do círculo pode ser chamado de ângulo positivo e negativo! Absolutamente qualquer. Incluindo em alguns dos eixos coordenados. No nosso caso, precisamos negativo cálculo de ângulos. Então, removemos todos os cantos com menos.)

Agora é fácil desenhar o ângulo de -200 ° corretamente. É -180 ° e menos outros 20 °. Começamos a enrolar de zero a menos: voamos pelo quarto trimestre, o terceiro também contorna, chegamos a -180 °. Onde enrolar os vinte restantes? Sim, está tudo aí! Pelo relógio.) O ângulo total de -200 ° cai em segundo quarto.

Agora você entende como é importante lembrar os ângulos nos eixos coordenados?

Os ângulos nos eixos de coordenadas (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) devem ser lembrados com precisão para determinar com precisão o quarto onde o ângulo cai!

E se o ângulo for grande, com várias voltas completas? Nada errado! Que diferença faz onde virar essas curvas muito completas - mais ou menos? O ponto no círculo não mudará de posição!

Por exemplo:

Em que quarto o ângulo -2000 ° cai?

Tudo o mesmo! Para começar, contamos quantas revoluções completas estão sentadas neste canto maligno. Para não cortar os sinais, vamos deixar o menos sozinho por enquanto e apenas dividir 2.000 por 360. Temos 5 com uma cauda. A cauda ainda não nos incomoda, vamos contá-la um pouco mais tarde, quando desenharmos o canto. Nós contamos cinco revoluções completas em graus:

5 360 ° \u003d 1800 °

Vooot. São tantos graus extras que você pode jogar com segurança do nosso lado sem prejudicar a saúde.

Contamos a cauda restante:

2000 ° - 1800 ° \u003d 200 °

Mas agora podemos nos lembrar sobre o menos.) Onde vamos enrolar a cauda de 200 °? Um sinal de menos, é claro! Demos um ângulo negativo.)

2000 ° \u003d -1800 ° - 200 °

Assim, desenhamos um ângulo de -200 °, mas sem curvas desnecessárias. Eles apenas desenharam, mas, que seja, estarei bombeando mais uma vez. À mão.

A pimenta é claro que o ângulo especificado de -2000 °, bem como -200 °, cai em segundo quarto.

Então, nós nos sacudimos em um círculo ... desculpe ... em um bigode:

Se um ângulo negativo muito grande for especificado, a primeira parte de trabalhar com ele (encontrar o número de revoluções completas e descartá-las) é a mesma de trabalhar com um ângulo positivo. O sinal de menos não desempenha nenhum papel nesta fase da solução. O sinal é levado em consideração apenas no final, ao trabalhar com o ângulo remanescente após o afastamento das revoluções completas.

Como você pode ver, desenhar ângulos negativos em um círculo não é mais difícil do que desenhar ângulos positivos.

Tudo é igual, só que na outra direção! Por hora!

E agora - a parte divertida! Olhamos para ângulos positivos, ângulos negativos, ângulos grandes, pequenos - a gama completa. Também descobrimos que qualquer ponto do círculo pode ser chamado de ângulo positivo e ângulo negativo, caímos nas revoluções completas ... Sem pensamentos? Deve ser adiado ...

Sim! Qualquer ponto do círculo que você tomar, ele corresponderá ângulos sem fim! Grande e não tão, positivo e negativo - todos os tipos! E a diferença entre esses ângulos será todo número de revoluções completas. Sempre! É assim que funciona o círculo trigonométrico, sim ...) É por isso que reverter a tarefa - encontrar o ângulo pelo seno / cosseno / tangente / cotangente conhecido - está resolvida ambíguo... E muito mais difícil. Em contraste com o problema direto - para um determinado ângulo, encontre todo o conjunto de suas funções trigonométricas. E em tópicos mais sérios de trigonometria ( arcos , trigonométrico equações e desigualdades ) encontraremos constantemente esse contador. Vamos nos acostumar.)

1. Em qual quadrante o ângulo -345 ° cai?

2. Em qual quarto o ângulo de 666 ° cai?

3. Em qual quadrante o ângulo de 5555 ° cai?

4. Em qual quarto o ângulo de -3700 ° cai?

5. Qual sinal temcos999 °?

6. Que signo temctg999 °?

E deu certo? Perfeitamente! Há um problema? Então você.

Respostas:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Desta vez, as respostas foram dadas em ordem, violando a tradição. Pois existem apenas quatro quartos e existem apenas dois sinais. Principalmente você não vai fugir ...)

Na próxima lição falaremos sobre radianos, sobre o misterioso número "pi", aprenderemos como converter radianos para graus e vice-versa de maneira fácil e simples. E ficaremos surpresos ao descobrir que mesmo esse conhecimento e habilidades simples serão suficientes para resolvermos com sucesso muitos problemas não triviais de trigonometria!

Este artigo contém tabelas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes... Primeiro, damos uma tabela dos principais valores das funções trigonométricas, ou seja, uma tabela de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 graus ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radiano). Em seguida, daremos uma tabela de senos e cossenos, bem como uma tabela de tangentes e cotangentes de V. M. Bradis, e mostraremos como usar essas tabelas para encontrar os valores das funções trigonométricas.

Navegação da página.

Tabela de senos, cossenos, tangentes e cotangentes para ângulos 0, 30, 45, 60, 90, ... graus

Lista de referências.

• Álgebra: Livro didático. para 9 cl. Quarta feira escola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 p.: Ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Álgebra e o início da análise: livro didático. para 10-11 cl. Quarta feira shk. - 3ª ed. - M: Education, 1993.-- 351 p .: Ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra e o início da análise: livro didático. para 10-11 cl. Educação geral. instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu, P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14ª ed. - M.: Education, 2004. - 384 p.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para candidatos a escolas técnicas): Livro didático. manual. - M.; Superior. shk., 1984.-351 p., Ill.
• Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos: para educação geral. estude. instituições. - 2ª ed. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: Ill. ISBN 5-7107-2667-2