Encontre o menor valor da função f x x. Os menores e maiores valores de uma função em um segmento

Em julho de 2020, a NASA lança uma expedição a Marte. A espaçonave entregará a Marte uma transportadora eletrônica com os nomes de todos os membros registrados da expedição.

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Outra véspera de Ano Novo... tempo gelado e flocos de neve vidro da janela... Tudo isso me levou a escrever novamente sobre ... fractais, e o que Wolfram Alpha sabe sobre isso. Nesta ocasião, há um artigo interessante em que há exemplos de estruturas fractais bidimensionais. Aqui vamos considerar exemplos mais complexos de fractais tridimensionais.

Um fractal pode ser representado visualmente (descrito) como uma figura geométrica ou corpo (o que significa que ambos são um conjunto, neste caso, um conjunto de pontos), cujos detalhes têm a mesma forma que a própria figura original. Ou seja, é uma estrutura auto-semelhante, considerando os detalhes dos quais, quando ampliados, veremos a mesma forma que sem ampliação. Considerando que no caso de uma figura geométrica comum (não um fractal), quando ampliada, veremos detalhes que têm mais forma simples do que a própria forma original. Por exemplo, em uma ampliação suficientemente alta, parte de uma elipse parece um segmento de linha reta. Isso não acontece com fractais: com qualquer aumento neles, veremos novamente a mesma forma complexa, que a cada aumento será repetida várias vezes.

Benoit Mandelbrot, o fundador da ciência dos fractais, em seu artigo Fractals and Art for Science escreveu: "Fractais são formas geométricas que são tão complexas em seus detalhes quanto em suas Forma geral. Ou seja, se uma parte de um fractal for ampliada para o tamanho de um todo, parecerá um todo, exatamente, ou talvez com uma leve deformação.

O conceito dos maiores e menores valores de uma função.

O conceito de maior e menor valor está intimamente relacionado ao conceito de ponto crítico de uma função.

Definição 1

$x_0$ é chamado de ponto crítico da função $f(x)$ se:

1) $x_0$ - ponto interno do domínio de definição;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ou não existe.

Vamos agora apresentar as definições dos maiores e menores valores de uma função.

Definição 2

Uma função $y=f(x)$ definida no intervalo $X$ atinge seu valor máximo se existir um ponto $x_0\in X$ tal que para todo $x\in X$ a desigualdade

Definição 3

Uma função $y=f(x)$ definida no intervalo $X$ atinge seu valor mínimo se existir um ponto $x_0\in X$ tal que para todo $x\in X$ a desigualdade

Teorema de Weierstrass sobre uma função contínua em um intervalo

Vamos primeiro introduzir o conceito de uma função contínua em um intervalo:

Definição 4

Uma função $f\left(x\right)$ é dita contínua em um segmento $$ se for contínua em todos os pontos do intervalo $(a,b)$, e também contínua à direita no ponto $x= a$ e à esquerda no ponto $x =b$.

Vamos formular um teorema sobre uma função contínua em um intervalo.

Teorema 1

Teorema de Weierstrass

A função $f\left(x\right)$, que é contínua no intervalo $$, atinge seus valores máximo e mínimo neste intervalo, ou seja, existem pontos $\alpha ,\beta \in $ tal que para toda $x\in $ desigualdade $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

A interpretação geométrica do teorema é mostrada na Figura 1.

Aqui a função $f(x)$ atinge seu valor mínimo no ponto $x=\alpha $ atinge seu valor máximo no ponto $x=\beta $.

Esquema para encontrar os maiores e menores valores da função $f(x)$ no intervalo $$

1) Encontre a derivada $f"(x)$;

2) Encontre os pontos onde a derivada $f"\left(x\right)=0$;

3) Encontre pontos onde a derivada $f"(x)$ não existe;

4) Escolha entre os pontos obtidos nos parágrafos 2 e 3 aqueles que pertencem ao segmento $$;

5) Calcule o valor da função nos pontos obtidos no passo 4, bem como nas extremidades do segmento $$;

6) Escolha entre os valores obtidos o maior e o menor valor.

Problemas para encontrar os maiores e menores valores de uma função em um segmento

Exemplo 1

Encontre o maior e o menor valor de uma função no segmento: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Solução.

1) $f"\esquerda(x\direita)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\esquerda(x\direita)=0$;

\ \ \

4) $2\in \esquerda,\3\in $;

5) Valores:

\ \ \ \

6) O maior dos valores encontrados é $33$, o menor dos valores encontrados é $1$. Assim, obtemos:

Responda:$max=33,\min=1$.

Exemplo 2

Encontre o maior e o menor valor de uma função no segmento: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Solução.

A solução será realizada de acordo com o esquema acima.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\esquerda(x\direita)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ existe em todos os pontos do domínio de definição;

4) $-3\notin\esquerda,\5\in $;

5) Valores:

\ \ \

6) O maior dos valores encontrados é $225$, o menor dos valores encontrados é $50$. Assim, obtemos:

Responda:$max=225,\min=50$.

Exemplo 3

Encontre o maior e o menor valor de uma função no intervalo [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Solução.

A solução será realizada de acordo com o esquema acima.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\esquerda(x\direita)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ não existe no ponto $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, porém 1 não pertence ao escopo;

5) Valores:

\ \ \

6) O maior dos valores encontrados é $1$, o menor dos valores encontrados é $-8\frac(1)(3)$. Assim, obtemos: \end(enumerate)

Responda:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

Deixe a função y=f(X) contínua no segmento [ a, b]. Como se sabe, tal função atinge seus valores máximos e mínimos neste segmento. A função pode tomar esses valores tanto em um ponto interior do segmento [ a, b], ou no limite do segmento.

Para encontrar os maiores e menores valores de uma função no intervalo [ a, b] necessário:

1) encontre os pontos críticos da função no intervalo ( a, b);

2) calcule os valores da função nos pontos críticos encontrados;

3) calcule os valores da função nas extremidades do segmento, ou seja, para x=mas e x = b;

4) de todos os valores calculados da função, escolha o maior e o menor.

Exemplo. Encontre os maiores e menores valores de uma função

no segmento.

Encontrando pontos críticos:

Esses pontos estão dentro do segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

no ponto x= 3 e no ponto x= 0.

Investigação de uma função para a convexidade e um ponto de inflexão.

Função y = f (x) chamado convexo entre (uma, b) , se seu gráfico está sob uma tangente traçada em qualquer ponto desse intervalo, e é chamado convexo para baixo (côncavo) se seu gráfico estiver acima da tangente.

O ponto na transição através do qual a convexidade é substituída pela concavidade ou vice-versa é chamado ponto de inflexão.

Algoritmo para estudar a convexidade e o ponto de inflexão:

1. Encontre os pontos críticos de segunda espécie, ou seja, os pontos em que a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

2. Coloque os pontos críticos na reta numérica, dividindo-a em intervalos. Encontre o sinal da segunda derivada em cada intervalo; se , então a função é convexa para cima, se, então a função é convexa para baixo.

3. Se, ao passar por um ponto crítico de segunda espécie, muda de sinal e neste ponto a segunda derivada é igual a zero, então este ponto é a abcissa do ponto de inflexão. Encontre sua ordenada.

Assíntotas do gráfico de uma função. Investigação de uma função em assíntotas.

Definição. A assíntota do gráfico de uma função é chamada direto, que tem a propriedade de que a distância de qualquer ponto do gráfico a esta linha tende a zero com uma remoção ilimitada do ponto do gráfico da origem.

Existem três tipos de assíntotas: vertical, horizontal e inclinada.

Definição. Chamado direto assíntota vertical gráfico de função y = f(x), se pelo menos um dos limites laterais da função neste ponto é igual ao infinito, que é

onde é o ponto de descontinuidade da função, ou seja, não pertence ao domínio de definição.

Exemplo.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ponto de ruptura.

Definição. Direto y=UMA chamado assíntota horizontal gráfico de função y = f(x) em , se

Exemplo.

x
y

Definição. Direto y=kx +b (k≠ 0) é chamado assíntota oblíqua gráfico de função y = f(x) onde

Esquema geral para o estudo de funções e plotagem.

Algoritmo de pesquisa de funçãoy = f(x) :

1. Encontre o domínio da função D (y).

2. Encontre (se possível) os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados (com x= 0 e em y = 0).

3. Investigue para funções pares e ímpares ( y (‒ x) = y (x) ‒ paridade; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ chance).

4. Encontre as assíntotas do gráfico da função.

5. Encontre intervalos de monotonicidade da função.

6. Encontre os extremos da função.

7. Encontre os intervalos de convexidade (concavidade) e pontos de inflexão do gráfico da função.

8. Com base na pesquisa realizada, construa um gráfico da função.

Exemplo. Investigue a função e trace seu gráfico.

1) D (y) =

x= 4 - ponto de ruptura.

2) Quando x = 0,

(0; – 5) – ponto de interseção com oi.

No y = 0,

3) y(‒ x)= função visão geral(nem par nem ímpar).

4) Investigamos assíntotas.

a) verticais

b) horizontais

c) encontre assíntotas oblíquas onde

‒equação assíntota oblíqua

5) Nesta equação, não é necessário encontrar intervalos de monotonicidade da função.

Esses pontos críticos dividem todo o domínio da função no intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) e (10; +∞). É conveniente apresentar os resultados obtidos na forma da seguinte tabela:



				nenhum extra.

Pode-se ver na tabela que o ponto X= ‒2‒ponto máximo, no ponto X= 4‒ sem extremo, X= 10 – ponto mínimo.

Substitua o valor (‒ 3) na equação:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

O máximo desta função é

(– 2; – 4) – extremo máximo.

O mínimo desta função é

(10; 20) é o extremo mínimo.

7) examine a convexidade e o ponto de inflexão do gráfico da função

Na prática, é bastante comum usar a derivada para calcular o maior e o menor valor de uma função. Realizamos essa ação quando descobrimos como minimizar custos, aumentar lucros, calcular a carga ideal na produção etc., ou seja, nos casos em que é necessário determinar o valor ideal de um parâmetro. Para resolver esses problemas corretamente, é preciso ter um bom entendimento do que são o maior e o menor valor de uma função.

Normalmente definimos esses valores dentro de algum intervalo x , que por sua vez pode corresponder a todo o escopo da função ou parte dela. Pode ser um segmento [ a ; b ] , e intervalo aberto (a ; b ), (a ; b ] , [ a ; b) , intervalo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b ) ou intervalo infinito - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Neste artigo, descreveremos como o maior e o menor valor de uma função explicitamente dada com uma variável y=f(x) y = f (x) é calculado.

Definições básicas

Começamos, como sempre, pela formulação das principais definições.

Definição 1

O maior valor da função y = f (x) em algum intervalo x é o valor maxy = f (x 0) x ∈ X , que, para qualquer valor xx ∈ X , x ≠ x 0, faz a desigualdade f (x ) ≤ f (x 0) .

Definição 2

O menor valor da função y = f (x) em algum intervalo x é o valor minx ∈ X y = f (x 0) , que, para qualquer valor x ∈ X , x ≠ x 0, faz a desigualdade f(X f(x) ≥ f(x0) .

Essas definições são bastante óbvias. Pode ser ainda mais simples dizer isso: o maior valor de uma função é seu maior valor em um intervalo conhecido na abscissa x 0, e o menor é o menor valor aceito no mesmo intervalo em x 0.

Definição 3

Pontos estacionários são tais valores do argumento da função em que sua derivada se torna 0.

Por que precisamos saber o que são pontos estacionários? Para responder a esta pergunta, precisamos lembrar o teorema de Fermat. Segue-se disso que um ponto estacionário é um ponto no qual o extremo de uma função diferenciável está localizado (ou seja, seu mínimo ou máximo local). Consequentemente, a função terá o menor ou o maior valor em um determinado intervalo exatamente em um dos pontos estacionários.

Outra função pode assumir o maior ou menor valor naqueles pontos em que a própria função é definida e sua primeira derivada não existe.

A primeira pergunta que surge ao estudar este tópico é: em todos os casos, podemos determinar o valor máximo ou mínimo de uma função em um determinado intervalo? Não, não podemos fazer isso quando os limites de um dado intervalo coincidem com os limites do domínio de definição, ou se estamos lidando com um intervalo infinito. Também acontece que uma função em um determinado intervalo ou no infinito assumirá valores infinitamente pequenos ou infinitamente grandes. Nestes casos, não é possível determinar o maior e/ou menor valor.

Esses momentos ficarão mais compreensíveis após a imagem nos gráficos:

A primeira figura nos mostra uma função que toma os maiores e menores valores (m a x y e m i n y) em pontos estacionários localizados no segmento [ - 6 ; 6].

Vamos examinar em detalhes o caso indicado no segundo gráfico. Vamos alterar o valor do segmento para [ 1 ; 6] e obtemos que o maior valor da função será alcançado no ponto com a abcissa no limite direito do intervalo e o menor - no ponto estacionário.

Na terceira figura, as abcissas dos pontos representam os pontos limites do segmento [ - 3 ; 2]. Eles correspondem ao maior e menor valor da função dada.

Agora vamos olhar para a quarta foto. Nela, a função recebe m a x y (o maior valor) e m i n y (o menor valor) em pontos estacionários no intervalo aberto (- 6 ; 6) .

Se tomarmos o intervalo [ 1 ; 6) , então podemos dizer que o menor valor da função sobre ela será alcançado em um ponto estacionário. Não saberemos o valor máximo. A função poderia ter o maior valor em x igual a 6 se x = 6 pertencesse ao intervalo. É este caso que é mostrado na Figura 5.

No gráfico 6, esta função adquire o menor valor na borda direita do intervalo (- 3 ; 2 ] , e não podemos tirar conclusões definitivas sobre o maior valor.

Na figura 7, vemos que a função terá m a x y no ponto estacionário, tendo uma abcissa igual a 1 . A função atinge seu valor mínimo no limite do intervalo com lado direito. No infinito menos, os valores da função se aproximarão assintoticamente de y = 3 .

Se tomarmos um intervalo x ∈ 2 ; + ∞ , então veremos que a função dada não assumirá nem o menor nem o maior valor. Se x tende a 2, então os valores da função tenderão a menos infinito, pois a linha reta x = 2 é uma assíntota vertical. Se a abcissa tende a mais infinito, então os valores da função se aproximarão assintoticamente de y = 3. Este é o caso mostrado na Figura 8.

Neste parágrafo, daremos uma sequência de ações que devem ser executadas para encontrar o maior ou o menor valor de uma função em um determinado intervalo.

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Vamos verificar se o segmento especificado na condição está incluído nela.
Agora vamos calcular os pontos contidos neste segmento em que a primeira derivada não existe. Na maioria das vezes eles podem ser encontrados em funções cujo argumento é escrito sob o sinal de módulo, ou em funções de energia, cujo expoente é um número fracionalmente racional.
Em seguida, descobrimos quais pontos estacionários caem em um determinado segmento. Para fazer isso, você precisa calcular a derivada da função, igualá-la a 0 e resolver a equação resultante e, em seguida, escolher as raízes apropriadas. Se não obtivermos nenhum ponto estacionário ou eles não se enquadrarem no segmento fornecido, passaremos para a próxima etapa.
Vamos determinar quais valores a função assumirá nos pontos estacionários fornecidos (se houver), ou naqueles pontos onde a primeira derivada não existe (se houver), ou calculamos os valores para x = a e x = b.
5. Temos uma série de valores de função, dos quais agora precisamos escolher o maior e o menor. Este será o maior e o menor valor da função que precisamos encontrar.

Vamos ver como aplicar este algoritmo corretamente ao resolver problemas.

Exemplo 1

Doença: a função y = x 3 + 4 x 2 é dada. Determine seu maior e menor valor nos segmentos [ 1 ; 4] e [-4; - 1 ] .

Solução:

Vamos começar encontrando o domínio desta função. Nesse caso, será o conjunto de todos os números reais, exceto 0 . Em outras palavras, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Ambos os segmentos especificados na condição estarão dentro da área de definição.

Agora calculamos a derivada da função de acordo com a regra de diferenciação de uma fração:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Aprendemos que a derivada da função existirá em todos os pontos dos segmentos [ 1 ; 4] e [-4; - 1 ] .

Agora precisamos determinar os pontos estacionários da função. Vamos fazer isso com a equação x 3 - 8 x 3 = 0. Ele tem apenas uma raiz real, que é 2. Será um ponto estacionário da função e cairá no primeiro segmento [ 1 ; 4].

Vamos calcular os valores da função nas extremidades do primeiro segmento e no ponto dado, ou seja, para x = 1 , x = 2 e x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Obtivemos que o maior valor da função m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 será alcançado em x = 1 , e o menor m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – em x = 2 .

O segundo segmento não inclui nenhum ponto estacionário, portanto, precisamos calcular os valores da função apenas nas extremidades do segmento fornecido:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Assim, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Responda: Para o segmento [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , para o segmento [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Ver foto:

Antes de estudar este método, recomendamos que você repita como calcular corretamente o limite unilateral e o limite no infinito, além de aprender os métodos básicos para encontrá-los. Para encontrar o maior e/ou menor valor de uma função em um intervalo aberto ou infinito, realizamos os seguintes passos em sequência.

Primeiro você precisa verificar se o intervalo dado será um subconjunto do domínio da função dada.
Vamos determinar todos os pontos que estão contidos no intervalo requerido e nos quais a primeira derivada não existe. Geralmente eles ocorrem em funções onde o argumento é colocado no sinal de módulo e em funções de potência com um expoente fracionalmente racional. Se esses pontos estiverem ausentes, você poderá prosseguir para a próxima etapa.
Agora determinamos quais pontos estacionários caem em um determinado intervalo. Primeiro, igualamos a derivada a 0, resolvemos a equação e encontramos raízes adequadas. Se não tivermos um único ponto estacionário ou eles não estiverem dentro do intervalo especificado, procederemos imediatamente a outras ações. Eles são determinados pelo tipo de intervalo.

Se o intervalo se parece com [ a ; b) , então precisamos calcular o valor da função no ponto x = a e o limite unilateral lim x → b - 0 f (x) .
Se o intervalo tem a forma (a ; b ] , então precisamos calcular o valor da função no ponto x = b e o limite unilateral lim x → a + 0 f (x) .
Se o intervalo tem a forma (a ; b) , então precisamos calcular os limites laterais lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
Se o intervalo se parece com [ a ; + ∞) , então é necessário calcular o valor no ponto x = a e o limite para mais infinito lim x → + ∞ f (x) .
Se o intervalo se parece com (- ∞ ; b ] , calculamos o valor no ponto x = b e o limite em menos infinito lim x → - ∞ f (x) .
Se - ∞ ; b , então consideramos o limite unilateral lim x → b - 0 f (x) e o limite no infinito menos lim x → - ∞ f (x)
Se - ∞ ; + ∞ , então consideramos os limites para menos e mais infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Ao final, você precisa tirar uma conclusão com base nos valores obtidosda função e nos limites. Há muitas opções aqui. Portanto, se o limite unilateral é igual a menos infinito ou mais infinito, fica imediatamente claro que nada pode ser dito sobre o menor e o maior valor da função. Abaixo vamos considerar um exemplo típico. Descrições detalhadas ajudarão você a entender o que é o quê. Se necessário, você pode retornar às figuras 4 - 8 na primeira parte do material.

Exemplo 2

Condição: dada uma função y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcule seu maior e menor valor nos intervalos - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Solução

Em primeiro lugar, encontramos o domínio da função. O denominador da fração é um trinômio quadrado, que não deve ir para 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Obtivemos o escopo da função, à qual pertencem todos os intervalos especificados na condição.

Agora vamos derivar a função e obter:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Consequentemente, as derivadas de uma função existem em todo o domínio de sua definição.

Vamos passar para encontrar pontos estacionários. A derivada da função torna-se 0 em x = - 1 2 . Este é um ponto estacionário que está nos intervalos (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Vamos calcular o valor da função em x = - 4 para o intervalo (- ∞ ; - 4 ] , bem como o limite em menos infinito:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Como 3 e 1 6 - 4 > - 1 , então maxyx ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Isso não nos permite determinar exclusivamente o menor valor da função. Podemos apenas concluir que existe um limite abaixo de - 1 , pois é desse valor que a função se aproxima assintoticamente em menos infinito.

Uma característica do segundo intervalo é que ele não possui um único ponto estacionário e nem um único limite estrito. Portanto, não podemos calcular o maior ou o menor valor da função. Ao definir o limite em menos infinito e como o argumento tende a -3 no lado esquerdo, obtemos apenas o intervalo de valores:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Isso significa que os valores da função estarão localizados no intervalo - 1; +∞

Para encontrar o valor máximo da função no terceiro intervalo, determinamos seu valor no ponto estacionário x = - 1 2 se x = 1 . Também precisamos saber o limite unilateral para o caso em que o argumento tende a - 3 no lado direito:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 anos (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Descobriu-se que a função terá o maior valor no ponto estacionário maxyx ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quanto ao menor valor, não podemos determiná-lo. saber , é a presença de um limite inferior a - 4 .

Para o intervalo (- 3 ; 2), vamos pegar os resultados do cálculo anterior e mais uma vez calcular a que o limite unilateral é igual quando tende a 2 do lado esquerdo:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Assim, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , e o menor valor não pode ser determinado, e os valores da função são limitados a partir de baixo pelo número - 4 .

Com base no que fizemos nos dois cálculos anteriores, podemos afirmar que no intervalo [ 1 ; 2) a função terá o maior valor em x = 1, e é impossível encontrar o menor.

No intervalo (2 ; + ∞), a função não atingirá nem o maior nem o menor valor, ou seja. levará valores do intervalo - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tendo calculado qual será o valor da função em x = 4 , descobrimos que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e a função dada em mais infinito se aproximará assintoticamente da reta y = - 1 .

Vamos comparar o que obtivemos em cada cálculo com o gráfico da função dada. Na figura, as assíntotas são mostradas por linhas pontilhadas.

Isso é tudo o que queríamos falar sobre encontrar o maior e o menor valor de uma função. Essas sequências de ações que fornecemos ajudarão você a fazer os cálculos necessários da maneira mais rápida e simples possível. Mas lembre-se de que muitas vezes é útil descobrir primeiro em quais intervalos a função diminuirá e em quais intervalos ela aumentará, após o que outras conclusões podem ser tiradas. Assim, você pode determinar com mais precisão o maior e o menor valor da função e justificar os resultados.

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As figuras abaixo mostram onde a função pode atingir seu menor e maior valor. Na figura à esquerda, o menor e maior valor são fixados nos pontos de mínimo e máximo locais da função. Na figura à direita - nas extremidades do segmento.

Se a função y = f(x) contínua no segmento [ uma, b] , então atinge este segmento ao menos E valores mais altos . Isso, como já mencionado, pode acontecer tanto em pontos extremos ou nas extremidades do segmento. Portanto, para encontrar ao menos E os maiores valores da função , contínua no segmento [ uma, b] , você precisa calcular seus valores em todos Pontos críticos e nas extremidades do segmento e, em seguida, escolha o menor e o maior deles.

Seja, por exemplo, necessário determinar o valor máximo da função f(x) no segmento [ uma, b] . Para fazer isso, encontre todos os seus pontos críticos sobre [ uma, b] .

ponto crítico é chamado de ponto em que função definida, e ela derivadoé zero ou não existe. Então você deve calcular os valores da função em pontos críticos. E, por fim, deve-se comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do segmento ( f(uma) E f(b)). O maior desses números será o maior valor da função no segmento [uma, b] .

O problema de encontrar os menores valores da função .

Estamos procurando os menores e maiores valores da função juntos

Exemplo 1. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 2] .

Solução. Encontramos a derivada desta função. Iguale a derivada a zero () e obtenha dois pontos críticos: e . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, basta calcular seus valores nas extremidades do segmento e no ponto , pois o ponto não pertence ao segmento [-1, 2] . Esses valores de função são os seguintes: , , . Segue que menor valor de função(marcado em vermelho no gráfico abaixo), igual a -7, é alcançado na extremidade direita do segmento - no ponto , e o melhor(também vermelho no gráfico), é igual a 9, - no ponto crítico .

Se a função é contínua em um determinado intervalo e esse intervalo não é um segmento (mas é, por exemplo, um intervalo; a diferença entre um intervalo e um segmento: os pontos de fronteira do intervalo não estão incluídos no intervalo, mas o pontos de limite do segmento estão incluídos no segmento), então entre os valores da função pode não haver o menor e o maior. Assim, por exemplo, a função representada na figura abaixo é contínua em ]-∞, +∞[ e não possui o maior valor.

No entanto, para qualquer intervalo (fechado, aberto ou infinito), vale a seguinte propriedade de funções contínuas.

Para autoverificação durante os cálculos, você pode usar calculadora de derivativos online .

Exemplo 4. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 3] .

Solução. Encontramos a derivada desta função como a derivada do quociente:

Igualamos a derivada a zero, o que nos dá um ponto crítico: . Pertence ao intervalo [-1, 3] . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

Vamos comparar esses valores. Conclusão: igual a -5/13, no ponto e o maior valor igual a 1 no ponto .

Continuamos a procurar os menores e maiores valores da função juntos

Há professores que, no tópico de encontrar os menores e maiores valores de uma função, não dão aos alunos exemplos mais complicados do que os que acabamos de considerar, ou seja, aqueles em que a função é um polinômio ou uma fração, o numerador e denominador são polinômios. Mas não nos limitaremos a tais exemplos, pois entre os professores há amantes de fazer os alunos pensarem por completo (tabela de derivadas). Portanto, o logaritmo e a função trigonométrica serão usados.

Exemplo 8. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento .

Solução. Encontramos a derivada desta função como derivado do produto :

Igualamos a derivada a zero, o que dá um ponto crítico: . Pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

O resultado de todas as ações: a função atinge seu valor mínimo, igual a 0, em um ponto e em um ponto e o maior valor igual a e², no ponto.

Para autoverificação durante os cálculos, você pode usar calculadora de derivativos online .

Exemplo 9. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento .

Solução. Encontramos a derivada desta função:

Igualando a derivada a zero:

O único ponto crítico pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

Saída: a função atinge seu valor mínimo, igual a , no ponto e o maior valor, igual a , no ponto .

Em problemas extremos aplicados, encontrar os menores (maiores) valores da função, via de regra, é reduzido a encontrar o mínimo (máximo). Mas não são os mínimos ou máximos em si que são de maior interesse prático, mas os valores do argumento em que são alcançados. Ao resolver problemas aplicados, surge uma dificuldade adicional - a compilação de funções que descrevem o fenômeno ou processo em consideração.

Exemplo 10 Um tanque com capacidade para 4, em forma de paralelepípedo com base quadrada e aberto na parte superior, deve ser estanhado. Quais devem ser as dimensões do tanque para cobri-lo com a menor quantidade de material?

Solução. Deixe ser x- lado da base h- altura do tanque, S- sua superfície sem cobertura, V- seu volume. A área de superfície do tanque é expressa pela fórmula , ou seja, é uma função de duas variáveis. Para expressar S como função de uma variável, usamos o fato de que , de onde . Substituindo a expressão encontrada h na fórmula de S:

Vamos examinar esta função para um extremo. É definido e diferenciável em todos os lugares em ]0, +∞[ , e

Igualamos a derivada a zero () e encontramos o ponto crítico. Além disso, em , a derivada não existe, mas esse valor não está incluído no domínio de definição e, portanto, não pode ser um ponto extremo. Então, - o único ponto crítico. Vamos verificar a presença de um extremo usando o segundo sinal suficiente. Vamos encontrar a segunda derivada. Quando a segunda derivada é maior que zero (). Isso significa que quando a função atinge um mínimo . Porque isso mínimo - o único extremo desta função, é o seu menor valor. Portanto, o lado da base do tanque deve ser igual a 2 m e sua altura.

Para autoverificação durante os cálculos, você pode usar