Област с интегрални примери. Намиране на площта на фигура, ограничена от линии y = f (x), x = g (y)

От определението следва, че за неотрицателна функция f (x) определеният интеграл е равен на площта на криволинейна трапеция, ограничена от кривата y = f (x), прави линии x = a, x = b и оста на абсцисата y = 0 (Фигура 4.1).

Ако функцията - f (x) е положителна, тогава определеният интеграл
е равна на площта на съответния извит трапец, взета със знак минус (фигура 4.7).

Фигура 4.7 - Геометричното значение на определен интеграл за неположителна функция

За произволна непрекъсната функция f (x), определения интеграл
е равна на сумата от площите на криволинейни трапеции, лежащи под графиката на функцията f (x) и над оста на абсцисата, минус сумата от площите на криволинейни трапеции, лежащи над графиката на функцията f (x) и под абсцисата (Фигура 4.8).

Фигура 4.8 - Геометричното значение на определен интеграл за произволна непрекъсната функция f (x) (знакът плюс маркира областта, която се добавя, а знакът минус бележи областта, която се изважда).

Когато се изчисляват на практика областите на извити форми, често се използва следната формула:
, където S е областта на фигурата, затворена между кривите y = f 1 (x) и y = f 2 (x) на сегмента [a, b], и f 1 (x) и f 2 (x ) са непрекъснати функции, определени на този сегмент, така че f 1 (x) ≥ f 2 (x) (виж фигури 4.9, 4.10).

При изучаване на икономическия смисъл на деривата е установено, че дериватът действа като скорост на промяна на някакъв икономически обект или процес във времето или спрямо друг изследван фактор. За да се установи икономическия смисъл на определен интеграл, е необходимо да се разгледа самата тази скорост като функция на времето или друг фактор. След това, тъй като определен интеграл е промяна в антидеривативата, получаваме, че в икономиката той оценява промяната в този обект (процес) за определен период от време (или с определена промяна в друг фактор).

Например, ако функцията q = q (t) описва производителността на труда като функция на времето, тогава определен интеграл на тази функция
представлява обемът на продуктите Q за периода от t 0 до t 1.

Методи за изчисляване на определени интегралисе основават на разгледаните по -рано методи за интегриране (няма да извършваме доказателства).

За да намерим неопределения интеграл, използвахме метода за промяна на променливата, базиран на формулата: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, където x =  (t) е диференцируема функция на разглеждания интервал. За определен интеграл формулата за промяна на променливата приема формата
, където
и за всички.

Пример 1... Да намеря

Нека t = 2 –x 2. Тогава dt = -2xdx и xdx = - ½dt.

За x = 0 t = 2 - 0 2 = 2. За x = 1t = 2 - 1 2 = 1. Тогава

Пример 2... Да намеря

Пример 3... Да намеря

Формулата за интегриране по части за определен интеграл ще приеме формата:
, където
.

Пример 1... Да намеря

Нека u = ln (1 + x), dv = dx. Тогава

Пример 2... Да намеря

Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на определен интеграл

Пример 1.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 2 - 2 и y = x.

Графиката на функцията y = x 2 - 2 е парабола с минимална точка при x = 0, y = -2; оста на абсцисата се пресича в точки
... Графиката на функцията y = x е права линия, бисектриса на неотрицателна координатна четвърт.

Нека намерим координатите на точките на пресичане на параболата y = x 2 - 2 и правата y = x, решавайки системата от тези уравнения:

x 2 - x - 2 = 0

x = 2; y = 2 или x = -1; y = -1

По този начин фигурата, чиято площ трябва да бъде намерена, може да бъде представена на фигура 4.9.

Фигура 4.9 - Фигурата, ограничена от линиите y = x 2 - 2 и y = x

На сегмента [-1, 2] x ≥ x 2 - 2.

Нека използваме формулата
, настройка f 1 (x) = x; f 2 (x) = x 2 - 2; a = -1; b = 2.

Пример 2.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите y = 4 - x 2 и y = x 2 - 2x.

Графиката на функцията y = 4 - x 2 е парабола с максимална точка при x = 0, y = 4; оста на абсцисата се пресича в точки 2 и -2. Графиката на функцията y = x 2 - 2x е парабола с минимална точка при 2x- 2 = 0, x = 1; y = -1; оста на абсцисата се пресича в точки 0 и 2.

Намерете координатите на пресечните точки на кривите:

4 - x 2 = x 2 - 2x

2x 2 - 2x - 4 = 0

x 2 - x - 2 = 0

x = 2; y = 0 или x = -1; y = 3

По този начин фигурата, чиято площ трябва да бъде намерена, може да бъде представена на фигура 4.10.

Фигура 4.10 - Фигурата, ограничена от линиите y = 4 - x 2 и y = x 2 - 2x

На сегмента [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 - 2x.

Нека използваме формулата
, настройка f 1 (x) = 4 - - x 2; f 2 (x) = x 2 - 2x; a = -1; b = 2.

Пример 3.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите y = 1 / x; y = x 2 и y = 4 в неотрицателна координатна четвърт.

Графиката на функцията y = 1 / x е хипербола, за положителна x е изпъкнала надолу; координатните оси са асимптоти. Графиката на функцията y = x 2 в неотрицателна координатна четвърт е клон на парабола с минимална точка в началото. Тези графики се пресичат в 1 / x = x 2; x 3 = 1; x = 1; y = 1.

Правата y = 4, графиката на функцията y = 1 / x се пресича при x = 1/4 и графиката на функцията y = x 2 при x = 2 (или -2).

По този начин фигурата, чиято площ трябва да бъде намерена, може да бъде представена на фигура 4.11.

Фигура 4.11 - Фигурата, ограничена от линиите y = 1 / x; y = x 2 и y = 4 в неотрицателно координатно тримесечие

Търсената площ на фигурата ABC е равна на разликата между площта на правоъгълника ABHE, която е 4 * (2 - ¼) = 7, и сумата от площите на два криволинейни трапеца ACFE и CBHF. Нека изчислим площта ACFE:

Изчисляваме площта на CBHF:

И така, необходимата площ е 7 - (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (единица 2).

Изчисляване на площта на фигурата- това е може би един от най -трудните проблеми в теорията на областите. В училищната геометрия те учат как да намират областите на основните геометрични фигури като например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и т.н. Често обаче се налага да се занимавате с изчисляване на областите с по -сложни форми. При решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегралното смятане.

Определение.

Извит трапецсе нарича някаква фигура G, ограничена от правите y = f (x), y = 0, x = a и x = b, а функцията f (x) е непрекъсната на отсечката [a; b] и не променя знака си върху него (Фиг. 1).Площта на извит трапец може да бъде обозначена като S (G).

Определеният интеграл ʃ a b f (x) dx за функцията f (x), която е непрекъсната и неотрицателна на интервала [а; b], и е площта на съответния извит трапец.

Тоест, за да се намери площта на фигурата G, ограничена от линиите y = f (x), y = 0, x = a и x = b, е необходимо да се изчисли определеният интеграл ʃ abf (x) dx.

По този начин, S (G) = ʃ a b f (x) dx.

Ако функцията y = f (x) не е положителна на [a; b], тогава площта на извит трапец може да се намери по формулата S (G) = -ʃ a b f (x) dx.

Пример 1.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 3; y = 1; x = 2.

Решение.

Посочените линии образуват фигурата на ABC, която се показва чрез излюпване ориз. 2.

Желаната площ е равна на разликата между зоните на DACE извития трапец и квадрата DABE.

Използвайки формулата S = ʃ и b f (x) dx = S (b) - S (a), намираме границите на интегриране. За целта решаваме система от две уравнения:

(y = x 3,
(y = 1.

По този начин имаме x 1 = 1 - долната граница и x = 2 - горната граница.

И така, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (кв. Единици).

Отговор: 11/4 кв. единици

Пример 2.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = √x; y = 2; x = 9.

Решение.

Дадените линии образуват ABC фигура, която е ограничена отгоре от графиката на функцията

y \ u003d √x, а под графиката на функцията y = 2. Получената цифра се показва чрез засенчване върху ориз. 3.

Изискваната площ е S = ʃ a b (√x - 2). Нека намерим границите на интегриране: b = 9, за да намерим a, решаваме системата от две уравнения:

(y = √x,
(y = 2.

По този начин имаме, че x = 4 = a - това е долната граница.

И така, S = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) = 2 2/3 (кв. Единици).

Отговор: S = 2 2/3 кв. единици

Пример 3.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Решение.

Нека построим графика на функцията y = x 3 - 4x за x ≥ 0. За да направим това, намираме производната y ':

y ’= 3x 2 - 4, y’ = 0 при x = ± 2 / √3 ≈ 1,1 са критичните точки.

Ако изобразим критичните точки по числовата ос и подредим знаците на производната, тогава получаваме, че функцията намалява от нула до 2 / √3 и се увеличава от 2 / √3 до плюс безкрайност. Тогава x = 2 / √3 е минималната точка, минималната стойност на функцията е min = -16 / (3√3) ≈ -3.

Нека определим пресечните точки на графиката с координатните оси:

ако x = 0, тогава y = 0, което означава, че A (0; 0) е точката на пресичане с оста Oy;

ако y = 0, тогава x 3 - 4x = 0 или x (x 2 - 4) = 0, или x (x - 2) (x + 2) = 0, откъдето x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (не е подходящо, тъй като x ≥ 0).

Точките A (0; 0) и B (2; 0) са пресечните точки на графиката с оста Ox.

Посочените линии образуват форма OAB, която се показва чрез излюпване ориз. 4.

Тъй като функцията y = x 3 - 4x приема отрицателна стойност на (0; 2), тогава

S = | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Имаме: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 = -4, откъдето S = 4 кв. единици

Отговор: S = 4 кв. единици

Пример 4.

Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y = 2x 2 - 2x + 1, правите линии x = 0, y = 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 = 2.

Решение.

Първо, съставяме уравнението на допирателната към параболата y = 2x 2 - 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ = 2.

Тъй като производната y ’= 4x - 2, тогава при x 0 = 2 получаваме k = y’ (2) = 6.

Намерете ординатата на допирната точка: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5.

Следователно уравнението на допирателната има вида: y - 5 = 6 (x - 2) или y = 6x - 7.

Нека нарисуваме форма, ограничена от линии:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.

G y = 2x 2 - 2x + 1 - парабола. Точки на пресичане с координатните оси: A (0; 1) - с оста Oy; с оста Ox - няма точки на пресичане, т.к уравнението 2x 2 - 2x + 1 = 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, тоест върхът на точката B на парабола има координати B (1/2; 1/2).

И така, фигурата, чиято площ искате да определите, е показана чрез излюпване ориз. пет.

Имаме: S О A В D = S OABC - S ADBC.

Намерете координатите на точка D от условието:

6x - 7 = 0, т.е. x = 7/6, така че DC = 2 - 7/6 = 5/6.

Площта на триъгълника DBC се намира по формулата S ADBC = 1/2 DC BC. По този начин,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 кв. единици

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 = 10/3 (кв. Единици).

Накрая получаваме: S О A В D = S OABC - S ADBC = 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (квадратни единици).

Отговор: S = 1 1/4 кв. единици

Анализирахме примери намиране на областите на фигурите, ограничени от определени линии... За да разрешите успешно такива проблеми, трябва да можете да изграждате линии и графики на функции в равнината, да намирате точките на пресичане на линии, да прилагате формула за намиране на площта, която предполага наличието на умения и способности за изчисляване на определени интеграли.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Използвайки определен интеграл, можете да изчислите площите на плоски фигури, тъй като тази задача винаги се свежда до изчисляване на площите на извити трапеци.

Площта на всяка фигура в правоъгълна координатна система може да се състои от областите на извити трапеци, съседни на оста Охили към оста OU.

Удобно е да се решават задачи за изчисляване на площите на плоски фигури съгласно следния план:

1. Съгласно условието на задачата, направете схематичен чертеж

2. Представете необходимата площ като сума или разлика на площите на извити трапеци. От условието на задачата и чертежа се определят границите на интегриране за всеки компонент на извития трапец.

3. Всяка функция се записва като y = f (x).

4. Изчислете площта на всеки извит трапец и площта на желаната фигура.

Помислете за няколко варианта за местоположението на фигурите.

едно). Нека върху сегмента [ а; б] функция f (x)не приема отрицателни стойности... След това графиката на функцията y = f (x)разположени над оста Ох.

S =

2). Нека върху сегмента [ а; б] неположителна непрекъсната функция f (x).След това графиката на функцията y = f (x)разположени под оста Ох:

Площта на такава фигура се изчислява по формулата: S = -

Площта на такава фигура се изчислява по формулата: S =

4). Нека върху сегмента [ а; б] функция f (x)приема както положителни, така и отрицателни стойности. Тогава сегментът [ а; б] трябва да бъдат разделени на такива части, във всяка от които функцията не променя знака, след това, използвайки формулите, дадени по -горе, изчислете областите, съответстващи на тези части, и добавете намерените области.

S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2

Всъщност, за да се намери площта на една фигура, човек не се нуждае от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата "изчисляване на площ с помощта на определен интеграл" винаги включва изграждане на чертежследователно вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по -належащ въпрос. В тази връзка е полезно да се опресни паметта на графиките на основните елементарни функции и поне да се изгради права линия и хипербола.

Криволинейният трапец е плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на непрекъсната функция на сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази цифра бъде локализирана не по -малкооста на абсцисата:

Тогава площта на криволинеен трапец е числено равна на определения интеграл... Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение.

От гледна точка на геометрията, определения интеграл е ОБЛАСТТА.

Т.е.определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура. Например, помислете за определен интеграл. Интегрантът задава крива в равнината, която се намира над оста (тези, които желаят, могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типична формулировка на заданието. Първо и най -важният моментрешения - чертежна сграда... Освен това чертежът трябва да бъде изграден ПРАВО.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека нарисуваме чертеж (имайте предвид, че уравнението определя оста):

На сегмента се намира графиката на функцията над оста, така:

Отговор:

След като задачата бъде изпълнена, винаги е полезно да разгледате плана и да прецените дали отговорът е реален. В този случай "на око" броим броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат набрани, изглежда като истината. Съвсем ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава очевидно някъде е допусната грешка - разглежданата цифра очевидно не побира 20 клетки, най -много десет. Ако отговорът е отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Пример 3

Изчислете площта на форма, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Нека изпълним чертежа:

Ако се намира извитият трапец под оста(или поне не по -високодадена ос), тогава нейната площ може да се намери по формулата:

В такъв случай:

Внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без геометричен смисъл, той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, използвайки определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо в току -що разгледаната формула се появява минус.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете областта на плоска фигура, ограничена с линии ,.

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най -общо казано, когато конструираме чертеж в задачи на дадена област, най -много се интересуваме от точките на пресичане на линии. Намерете точките на пресичане на параболата и линията. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграцията.

По -добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по -изгодно и по -бързо е да се конструират линиите точка по точка, докато границите на интеграцията стават ясни, така или иначе, „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още трябва да се използва понякога, ако например графиката е достатъчно голяма или точната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат частични или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашия проблем: по -рационално е първо да се построи права линия и едва след това парабола. Нека изпълним чертежа:

И сега работната формула: Ако на сегмент някаква непрекъсната функция по -голямо или равнона някоя непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, важно е кой график е ГОРЕ(спрямо друга графика), и кой е по -долу.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата се намира над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

Необходимата фигура е ограничена от парабола в горната част и права линия в долната част.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Пример 4

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите ,,,.

Решение: Първо, нека изпълним чертежа:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е засенчена в синьо(внимателно разгледайте състоянието - с какво е ограничена цифрата!). Но на практика поради невнимание често възниква "бъг", че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура, използвайки два определени интеграла.

Наистина ли:

1) Линейна графика се намира на сегмента над оста;

2) Графиката на хипербола се намира на сегмента над оста.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Определен интеграл. Как да се изчисли площта на фигурата

Сега се обръщаме към разглеждането на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типична и най -често срещана задача. - как да се изчисли площта на плоска фигура, като се използва определен интеграл... И накрая, тези, които търсят смисъл във висшата математика - нека го открият. Никога не знаеш. Ще трябва да го доближим в живота селска вилна зонаелементарни функции и намират нейната площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределения интеграл поне на средното ниво. По този начин манекените първо трябва да се запознаят с урока Не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определен интеграл. Можете да изградите топли приятелства с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност всеки е запознат с проблема за намирането на района с помощта на определен интеграл още от училище и ще отидем малко по -далеч от училищна програма... Тази статия може изобщо да не съществува, но факт е, че проблемът възниква в 99 случая от 100, когато студент страда от омразната кула с ентусиазъм, овладявайки курса на висшата математика.

Материалите на тази работилница са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с извит трапец.

Извит трапецсе нарича плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на непрекъсната функция на сегмент, която не променя знака на този интервал. Нека тази цифра бъде локализирана не по -малкооста на абсцисата:

Тогава площта на криволинеен трапец е числено равна на определения интеграл... Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В класната стая Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да заявим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определения интеграл е ОБЛАСТТА.

Т.е. определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура... Например, помислете за определен интеграл. Интегрантът задава крива в равнината, която се намира над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типична формулировка на заданието. Първият и най -важен момент от решението е изграждането на чертежа... Освен това чертежът трябва да бъде изграден ПРАВО.

При изграждането на чертеж препоръчвам следния ред: първопо -добре е да изградите всички линии (ако има такива) и само Тогава- параболи, хиперболи, графики на други функции. По -изгодно е да се изграждат графики на функции точково, техниката на конструиране по точки може да се намери в справочния материал Графики и свойства на елементарни функции... Там можете да намерите и много полезен материал във връзка с нашия урок - как бързо да изградим парабола.

Няма да излюпвам извит трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента се намира графиката на функцията над оста, така:

Отговор:

Който има затруднения с изчисляването на определен интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата бъде изпълнена, винаги е полезно да разгледате плана и да прецените дали отговорът е реален. В този случай "на око" броим броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат набрани, изглежда като истината. Съвсем ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава очевидно някъде е допусната грешка - въпросната цифра очевидно не побира 20 клетки, най -много десет. Ако отговорът е отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на форма, ограничена от линии и ос

Това е пример за независимо решение... Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на форма, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Нека изпълним чертежа:

Ако се намира извитият трапец под оста(или поне не по -високодадена ос), тогава нейната площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:

Внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без геометричен смисъл, той може да бъде отрицателен.

Пример 4

Намерете областта на плоска фигура, ограничена с линии ,.

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграцията.
По -добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по -изгодно и по -бързо е да се конструират линиите точка по точка, докато границите на интеграцията стават ясни, „сами по себе си“. Техниката на нанасяне на точки по точка за различни диаграми е подробно разгледана в помощта. Графики и свойства на елементарни функции... Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още трябва да се използва понякога, ако например графиката е достатъчно голяма или точната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат частични или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашия проблем: по -рационално е първо да се построи права линия и едва след това парабола. Нека изпълним чертежа:

Повтарям, че в случай на точкова конструкция, границите на интегриране най -често се установяват от „автомат“.

Завършването на решението може да изглежда така:

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинеен трапец в долната полуравнина (виж прост пример № 3) е частен случай на формулата ... Тъй като оста е дадена от уравнението, а графиката на функцията е разположена не по -високоос, значи

И сега няколко примера за независимо решение

Пример 5

Пример 6

Намерете областта на фигурата, ограничена с линии ,.

В процеса на решаване на задачи за изчисляване на площта с помощта на определен интеграл понякога се случва забавен инцидент. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но по невнимание ... зоната на грешната фигура е намерена, ето как скромният ти слуга прецака няколко пъти. Ето случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите ,,,.

Решение: Първо, нека изпълним чертежа:

... Ех, една гадна рисунка излезе, но май всичко се чете.

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура, използвайки два определени интеграла. Наистина ли:

1) Линейна графика се намира на сегмента над оста;

2) Графиката на хипербола се намира на сегмента над оста.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Нека преминем към още една смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на форма, ограничена от линии,
Нека да представим уравненията във „училищната“ форма и да изпълним рисунка по точка:

От чертежа се вижда, че горната ни граница е "добра" :.
Но каква е долната граница ?! Ясно е, че това не е цяло число, но кое? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да е така. Или корен. Ами ако въобще изчертаем графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да подобрите аналитично границите на интеграцията.

Намерете точките на пресичане на линията и параболата.
За целта решаваме уравнението:

,

Наистина ли, .

По -нататъшното решение е тривиално, основното е да не се объркате в заместванията и знаците, изчисленията тук не са най -лесните.

На сегмента , съгласно съответната формула:

Отговор:

Е, в заключение на урока ще разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,

Решение: Нека изобразим тази фигура в чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика, но за да преработя снимката, съжалявам, не hotz. Не рисувам, накратко, днес е денят =)

За по-точкова конструкция трябва да знаете външен видсинусоиди (и като цяло е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица... В редица случаи (както в този) е позволено да се конструира схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да се показват правилно по принцип.

Няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: - "x" се променя от нула на "pi". Взимаме допълнително решение:

В сегмента графиката на функцията се намира над оста, следователно: