Quadrado usando os exemplos integrais. Encontrar a área da figura limitada pelas linhas y \u003d f (x), x \u003d g (y)

Da definição, segue-se que para uma função não negativa f (x), um determinado integralista da área do trapézio curvilíneo, limitado pela curva y \u003d f (x), eixo direto x \u003d a, x \u003d b de abscissy \u003d 0 (Figura 4.1).

Se a função for f (x) não é positiva, uma integral específica
É igual à área do trapézio curvilíneo correspondente tomado com um sinal de menos (Figura 4.7).

Figura 4.7 - Significado geométrico de uma integral específica para uma função inadequada

Para uma função contínua arbitrária f (x) uma integral específica
É igual à soma da área de trapézios curvilíneos sob o gráfico do funcionáriof (x) e acima do eixo abscissa, menos a soma da área de trapezes curvilíneas no gráfico do functff (x ) e abaixo do eixo abscissa (Figura 4.8).

Figura 4.8 - O significado geométrico de uma integral específica para uma função contínua arbitrária f (x) (o sinal de mais é marcado pela área, que é adicionada e "menos" é a que é deduzida).

Ao calcular na prática da área de figuras curvilíneas, a seguinte fórmula é frequentemente usada:
onde a área da figura concluiu entre as curvas y \u003d f 1 (x) e y \u003d f 2 (x) no segmento [a, b] e f 1 (x) e f 2 (x) são contínuos Funções especificadas neste segmento, como f 1 (x) ≥ f 2 (x) (veja as Figuras 4.9, 4.10).

Ao estudar o sentido econômico, o derivativo descobriu-se que o derivativo atua como a taxa de alterações em um determinado objeto ou processo econômico em tempo ou outro fator relativo em estudo. Para estabelecer o significado econômico de uma integral específica, é necessário considerar essa velocidade na forma de uma função de tempo ou outro fator. Em seguida, uma certa integral é uma mudança na primária, obtemos que na economia estima a mudança neste objeto (processo) por um determinado período de tempo (ou com uma certa mudança em outro fator).

Por exemplo, se a função q \u003d q (t) descreve a produtividade do trabalho, dependendo do tempo, então uma determinada integral desta função
É o volume de produtos liberados Q. Lapso de tempo de 0 DT 1.

Métodos para calcular certas integraisbaseado em métodos discutidos anteriormente de integração (evidência, não vamos realizar).

Ao encontrar uma integral indefinida, usamos o método de substituição de uma variável com base na fórmula: f (x) dx \u003d \u003d f ( ((t))  (t), onde x \u003d  (t) é uma função diferenciável na lacuna considerada. Para uma integral específica, a fórmula de substituição variável assumirá o formulário
Onde
e para todos.

Exemplo 1.. Encontrar

Deixe t \u003d 2 -x 2. Thendt \u003d -2xdxiXDX \u003d - ½ ½.

Em x \u003d 0 t \u003d 2 - 0 2 \u003d 2. em x \u003d 1T \u003d 2 - 1 2 \u003d 1. Então

Exemplo 2.. Encontrar

Exemplo 3.. Encontrar

A fórmula de integração para peças para uma integral específica assumirá a forma:
Onde
.

Exemplo 1.. Encontrar

Deixe u \u003d ln (1 + x), DV \u003d DX. Então

Exemplo 2.. Encontrar

Cálculo de recursos planas usando uma integral específica

Exemplo 1.Encontre a área da figura limitada às linhas y \u003d x 2 - 2 e \u003d x.

O gráfico da função Y \u003d x 2 - 2 é uma parábola com um ponto de mínimo, pelo menos \u003d 0, y \u003d -2; O eixo da abscissa intercepta em pontos
. O gráfico da função Y \u003d X é reticado, o BISector é um trimestre de coordenada não negativo.

Encontramos as coordenadas dos pontos de interseção de parábola y \u003d x 2 - 2 e direto y \u003d x, resolvendo o sistema dessas equações:

x 2 - x - 2 \u003d 0

x \u003d 2; y \u003d 2 ou x \u003d -1; y \u003d -1

Assim, a figura, cuja área que você deseja encontrar, pode ser representada na Figura 4.9.

Figura 4.9 - Figura limitada por linhas y \u003d x 2 - 2 e \u003d x

No segmento [-1, 2] x ≥ x 2 - 2.

Nós usamos fórmula
, acreditando f 1 (x) \u003d x; F 2 (x) \u003d x 2 - 2; a \u003d -1; b \u003d 2.

Exemplo 2.Encontre a área da figura limitada pelas linhas y \u003d 4 - x 2 e \u003d x 2 - 2x.

O gráfico da função Y \u003d 4 - X 2 é uma parábola com um ponto máximo em um máximo \u003d 0, y \u003d 4; O eixo Abscissa intercepta em pontos 2 e -2. O gráfico da função y \u003d x 2 - 2x- parabola com um ponto de mínimo a 2x- 2 \u003d 0, x \u003d 1; y \u003d -1; O Axis Abscissa intercepta em pontos 0 e 2.

Vamos encontrar as coordenadas da interseção de curvas:

4 - x 2 \u003d x 2 - 2x

2x 2 - 2x - 4 \u003d 0

x 2 - x - 2 \u003d 0

x \u003d 2; y \u003d 0 ou x \u003d -1; y \u003d 3

Assim, a figura, cuja área de que você precisa encontrar, pode ser criada na Figura 4.10.

Figura 4.10 - Figura limitada por linhas y \u003d 4 - x 2 e \u003d x 2 - 2x

No segmento [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 - 2x.

Nós usamos fórmula
, acreditando f 1 (x) \u003d 4 - - - x 2; F 2 (x) \u003d x 2 - 2x; a \u003d -1; b \u003d 2.

Exemplo 3.Encontre a área da figura limitada às linhas y \u003d 1 / x; y \u003d x 2 e \u003d 4 em um trimestre de coordenadas não negativas.

O gráfico da função Y \u003d 1 / x é uma hipérbole, com X positivo, convexa; Os eixos das coordenadas são as simpetes. O gráfico da função Y \u003d x 2 em um trimestre de coordenadas não negativas é um ramo da parábola com um ponto de um mínimo no início das coordenadas. Estes gráficos se cruzam em 1 / x \u003d x 2; x 3 \u003d 1; x \u003d 1; y \u003d 1.

Um gráfico reto Y \u003d 4 da função Y \u003d 1 / x cruzes no X \u003d 1/4 e o gráfico da função Y \u003d x 2 em x \u003d 2 (ou -2).

Assim, a figura, cuja área deve ser encontrada, pode ser representada na Figura 4.11.

Figura 4.11 - Figura limitada por linhas y \u003d 1 / x; y \u003d x 2 e \u003d 4 em um trimestre de coordenadas não negativas

A área desejada da diferença na diferença entre a área de retângulo AVNN, que é de 4 * (2 - ¼) \u003d 7, e a soma das áreas de duas armadilhas curvilíneas de ASFE e SVNF. Nós calculamos a área de ASF:

Calcule SVNF Square:

Assim, a área desejada é 7 - (LN4 + 7/3) \u003d 14/3 -LN433,28 (unidades 2).

Cálculo da figura praça - Esta é uma das tarefas mais complexas da teoria do espaço. Na geometria da escola, é ensinado a encontrar áreas das principais formas geométricas, como, por exemplo, um triângulo, losango, um retângulo, um trapézio, um círculo e afins. No entanto, muitas vezes é necessário lidar com o cálculo dos quadrados de figuras mais complexas. É quando resolver essas tarefas é muito conveniente usar cálculo integral.

Definição.

Trapézio curvilíneo Eles chamam alguma figura g, limitada pelas linhas y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a e x \u003d b, e a função f (x) é contínua no segmento [a; b] e não muda seu sinal sobre ele (Figura 1).A área do trapézio curvilíneo pode ser denotada por s (g).

Uma integral específica ʃ A B F (x) DX para a função f (x), que é contínua e não negativa no segmento [a; b], e há uma área do trapézio curvilíneo correspondente.

Isto é, para encontrar a área da figura g, limitada pelas linhas y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a e x \u003d b, é necessário calcular uma certa integral ʃ AB F (x ) Dx.

Desta maneira, S (g) \u003d ʃ a b f (x) dx.

Caso a função y \u003d f (x) não seja positiva em [a; b], então a área do trapézio curvilíneo pode ser encontrada pela fórmula S (g) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

Exemplo 1.

Calcule a área da figura limitada pelas linhas y \u003d x 3; y \u003d 1; x \u003d 2.

Decisão.

As linhas especificadas formam uma figura ABC, que é mostrada pela eclosão fIG. 2.

A área desejada é igual à diferença entre as áreas de trapézio curvilíneas dáceas e a Praça Darce.

Usando a fórmula S \u003d ʃ A B F (x) DX \u003d S (B) - S (a), encontraremos os limites de integração. Para fazer isso, resolva o sistema de duas equações:

(y \u003d x 3,
(y \u003d 1.

Assim, temos x 1 \u003d 1 - o limite inferior e x \u003d 2 - o limite superior.

Então, S \u003d S Dace - S Dabe \u003d ʃ 1 2 x 3 DX - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (sq.).

Resposta: 11/4 kV. unidades.

Exemplo 2.

Calcule a área da figura limitada pelas linhas y \u003d √h; y \u003d 2; x \u003d 9.

Decisão.

As linhas especificadas formam uma figura de ABC, que é limitada de cima do gráfico

y \u003d √h, e abaixo do gráfico da função Y \u003d 2. A figura resultante é mostrada pela eclosão fIG. 3.

A área desejada é s \u003d ʃ a b (√x - 2). Encontraremos os limites de integração: B \u003d 9, por encontrar A, resolvendo o sistema de duas equações:

(y \u003d √h,
(y \u003d 2.

Assim, temos que x \u003d 4 \u003d a é o limite inferior.

Então, S \u003d ∫ 4 9 (√x - 2) DX \u003d ∫ 4 9 √x dx-4 9 2DX \u003d 2/3 x√ x | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (sq.).

Resposta: S \u003d 2 2/3 metros quadrados. unidades.

Exemplo 3.

Calcule a área da figura, limitada pelas linhas y \u003d x 3 - 4x; y \u003d 0; x ≥ 0.

Decisão.

Construímos um gráfico da função Y \u003d x 3 - 4x em x ≥ 0. Para fazer isso, encontre a derivada do ':

y '\u003d 3x 2 - 4, y' \u003d 0 em x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1.1 - pontos críticos.

Se você descrever pontos críticos no eixo numérico e definir os sinais da derivada, obtemos que a função diminui de zero a 2 / √3 e aumenta de 2 / √3 para além do infinito. Então x \u003d 2 / √3 é um ponto mínimo, o valor mínimo da função em min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Definimos os pontos de interseção do gráfico com os eixos das coordenadas:

se x \u003d 0, então y \u003d 0 e, portanto, e (0; 0) - o ponto de interseção com o eixo ou o eixo;

se y \u003d 0, x 3 - 4x \u003d 0 ou x (x 2 - 4) \u003d 0 ou x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, onde x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (não adequado, porque x ≥ 0).

Pontos A (0; 0) e em (2; 0) - os pontos de interseção do gráfico com o eixo Oh.

As linhas especificadas formam uma figura do OAV, que é mostrada pela eclosão em fIG. quatro.

Como a função Y \u003d x 3 - 4x assume (0; 2) um valor negativo, então

S \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) DX |.

Temos: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) DX \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4, de onde s \u003d 4 metros quadrados. unidades.

Resposta: S \u003d 4 metros quadrados. unidades.

Exemplo 4.

Encontre a área da figura limitada por parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, reto x \u003d 0, y \u003d 0 e tangente deste parabole no ponto com a abscissa x 0 \u003d 2.

Decisão.

Primeiro, a equação é tangente para parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 no ponto com a abscissa x₀ \u003d 2.

Desde o derivado Y '\u003d 4x - 2, depois a X 0 \u003d 2, obtemos K \u003d Y' (2) \u003d 6.

Encontramos o ponto de ponta do toque: a 0 \u003d 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 \u003d 5.

Consequentemente, a equação de tangente tem a forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ou y \u003d 6x - 7.

Construa uma figura linhas limitadas:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parábola. Pontos de interseção com eixos de coordenadas: A (0; 1) - com eixo ou eixo; com o eixo oh - não há pontos de interseção, porque Equação 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 não tem soluções (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, isto é, o ponto de parábola do vértice B tem coordenadas em (1/2; 1/2).

Então, a figura cuja área é necessária para determinar é mostrada pela eclosão fIG. cinco.

Temos: S O A em D \u003d S OABC - S ADBC.

Vamos encontrar as coordenadas do ponto D da condição:

6x - 7 \u003d 0, isto é. X \u003d 7/6, significa DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Área de triângulo DBC Encontre de acordo com a fórmula S adbc \u003d 1/2 · dc · bc. Desta maneira,

S adbc \u003d 1/2 · 5/6 · 5 \u003d 25/12 kV. unidades.

S oabc \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) DX \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (sq. Alimentos).

Finalmente obtemos: S O A em D \u003d S OABC - S ADBC \u200b\u200b\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (sq. M. UZH).

Resposta: S \u003d 1 1/4 kV. unidades.

Nós desmontamos exemplos encontrando os quadrados de figuras limitadas pelas linhas especificadas. Para resolver tais tarefas, você deve ser capaz de construir no plano da linha e gráficos de funções, encontrar os pontos de interseção de linhas, aplicar a fórmula para encontrar a área, que implica a presença de habilidades e habilidades para calcular certos Integrais.

o site, com cópia total ou parcial da referência do material para a fonte original é necessária.

Com a ajuda de uma integral específica, é possível calcular a área de figuras planas, uma vez que esta tarefa sempre se resume a calcular a área do trapézio curvilíneo.

A área de qualquer forma no sistema de coordenadas retangular pode ser composta pela área de trapezes curvilíneos adjacentes ao eixo Oh ou para o eixo Ou..

As tarefas para calcular a área de figuras planas são convenientemente resolvidas pelo seguinte plano:

1. Pela condição da tarefa, faça um desenho esquemático

2. apresentar a área desejada como uma quantidade ou diferença nas áreas de trapézio curvilíneo. A partir da condição do problema e do desenho, os limites de integração para cada componente do trapézio curvilíneo são determinados.

3. Registre cada função na forma de y \u003d f (x).

4. Calcule a área de cada trapézio curvilíneo e a área da figura desejada.

Considere várias opções para a localização das figuras.

1). Deixe no segmento [ uma; B.] Função. f (x)não é preciso valores negativos. Então a programação da função y \u003d f (x) Localizado acima do eixo Oh.

S \u003d.

2). Deixe no segmento [ uma; B.] Função contínua não atenciosa f (x).Então a programação da função y \u003d f (x) Localizado sob o eixo Oh:

A área de tal figura é calculada pela fórmula: S \u003d -

A área de tal figura é calculada pela fórmula: S \u003d.

quatro). Deixe no segmento [ uma; B.] Função. f (x)leva valores positivos e negativos. Então o segmento [ uma; B.] Você precisa dividir em tais partes, em cada uma das quais a função não altera o sinal, de acordo com as fórmulas acima, calcule a área correspondente a essas partes e as áreas encontradas para adicionar.

S 1 \u003d s 2 \u003d - s f \u003d s 1 + s 2

De fato, a fim de encontrar a área da figura, não há nenhum conhecimento da integral incerta e definida. A tarefa "Calcule a área com a ajuda de uma integral específica" sempre implica a construção do desenhoPortanto, uma questão muito mais relevante será seu conhecimento e habilidades de desenhos de construção. A este respeito, é útil atualizar na memória de gráficos das funções elementares básicas, e pelo menos ser capaz de construir uma linha reta e hiperbole.

O trapezion curvilíneo é chamado de figura plana, limitada ao eixo, em linha reta e um cronograma contínuo sobre um segmento de uma função que não altera o sinal neste intervalo. Deixe esta figura ser localizada não menos O AXSCISSA EXIS:

Então a área do trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma integral específica. Qualquer integral específica (que existe) tem um significado geométrico muito bom.

Do ponto de vista da geometria, uma certa integral é uma área.

I.e, Uma integral específica (se existe) corresponde geometricamente à área de alguma forma. Por exemplo, considere uma integral específica. A função Integrand define uma curva no plano, localizada acima do eixo (que desejos podem desenhar o desenho), e a própria integral específica é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1.

Esta é uma formulação típica de tarefas. Primeiro eu. o momento mais importante Soluções - Construindo Desenho. E o desenho deve ser construído DIREITO.

Nesta tarefa, a decisão pode parecer com isso.
Execute o desenho (note que a equação define o eixo):

Na programação do segmento, uma função está localizada sobre o eixo, tão:

Responder:

Após a conclusão da tarefa, é sempre útil olhar para o desenho e estimativa, o real acabou. Neste caso, "nos olhos" contamos o número de células no desenho - bem, aproximadamente 9 serão voados, parece a verdade. É bem claro que, se tivéssemos, digamos, responda: 20 unidades quadradas, é óbvio que um erro é feito em algum lugar - na figura de 20 células, claramente não é encaixada, desde a força de uma dúzia. Se a resposta acabou negativa, a tarefa também é decidida incorretamente.

Exemplo 3.

Calcule a área da forma, linhas limitadas e os eixos de coordenadas.

Decisão: Realize o desenho:

Se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo.(ou pelo menos não superior Este eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

Atenção! Não confunda dois tipos de tarefas:

1) Se você é convidado a resolver uma integral simples sem qualquer significado geométrico, então pode ser negativo.

2) Se você é convidado a encontrar a figura da figura usando uma integral específica, a área é sempre positiva! É por isso que na apenas a fórmula considerada aparece menos.

Na prática, a figura é mais frequentemente localizada no semestre superior e inferior, e, portanto, dos gráficos da escola mais simples, vá para exemplos mais significativos.

Exemplo 4.

Encontre a área de uma figura plana, linhas limitadas.

Decisão: Primeiro você precisa desenhar um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em tarefas para a área, estamos mais interessados \u200b\u200bnos pontos de interseção das linhas. Encontre pontos de interseção de parábola e direto. Isso pode ser feito de duas maneiras. O primeiro método é analítico. Nós resolvemos a equação:

Assim, o menor limite de integração, o limite superior da integração.

Desta forma é melhor, se possível, não use.

É muito mais lucrativo e mais rápido construir as linhas da linha, enquanto os limites de integração são esclarecidos como se "por si mesmos". No entanto, uma maneira analítica de encontrar os limites afinal, às vezes é necessário aplicar se, por exemplo, o cronograma é grande o suficiente, ou uma construção treinada não revelou os limites de integração (eles podem ser fracionados ou irracionais). E tal exemplo, também consideramos.

Voltamos à nossa tarefa: mais racional construir uma linha reta e só então parábola. Realizar desenho:

E agora a fórmula de trabalho: Se no segmento alguma função contínua mais ou igual Alguma função contínua, a área da figura, limitada por gráficos dessas funções e direta, pode ser encontrada pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - sobre o eixo ou sob o eixo, e, aproximadamente falando, importante o que é o gráfico acima(em relação a outro horário) e o que - abaixo.

Neste exemplo, é óbvio que no segmento da Parabola está localizado acima em linha reta, e, portanto, é necessário subtrair

Conclusão da solução pode ser assim:

A figura desejada é limitada à parábola de cima e do fundo direto.
No segmento, de acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Exemplo 4.

Calcule a área da forma, linhas limitadas ,,,.

Decisão: Primeiro faça o desenho:

Figura cuja área precisamos encontrar é sombreada em azul (Olhe cuidadosamente na condição - do que a figura é limitada!). Mas na prática, "falha" muitas vezes surge em mente, que você precisa encontrar uma área da figura, que é sombreada com verde!

Este exemplo ainda é útil e o fato de que, nele, a área da figura é considerada usando duas integrais específicas.

Mesmo:

1) Um cronograma reto está localizado no segmento sobre o eixo;

2) No segmento sobre o eixo, há um gráfico de hiperboles.

É claro que o quadrado pode (e necessidade) para se decompor, então:

Certa integral. Como calcular a área da figura

Vá para a consideração de aplicativos de aplicativos integrais. Nesta lição, analisaremos a tarefa típica e mais comum. - Como calcular a forma de plano com uma integral específica. Finalmente, vendo significado em matemática superior - vai encontrá-lo. Pouco. Nós vamos ter que aproximar a vida Área da casa de campo Funções elementares e encontrar sua área usando uma integral específica.

Para o desenvolvimento de material bem sucedido, é necessário:

1) Para entender a integral indefinida pelo menos um nível médio. Assim, os bultos devem estar familiarizados com a lição Não.

2) Para poder aplicar a fórmula Newton Labnny e calcular uma integral específica. Para estabelecer amizades quentes com certas integrais na página Certa integral. Exemplos de soluções.

De fato, a fim de encontrar a área da figura, não há nenhum conhecimento da integral incerta e definida. A tarefa "Calcule a área com a ajuda de uma integral específica" sempre implica a construção do desenhoPortanto, uma questão muito mais relevante será seu conhecimento e habilidades de desenhos de construção. A este respeito, é útil atualizar na memória de gráficos das principais funções elementares, e pelo menos, ser capaz de construir uma linha reta, parabola e hipérbole. Pode ser feito (muitos - necessários) com material metódico e artigos sobre transformações geométricas de gráficos.

Na verdade, com a tarefa de encontrar uma área com a ajuda de uma integral específica, todo mundo é familiar da escola, e nós comeremos pouco para a frente de programa escolar. Este artigo não poderia ser, mas o fato é que a tarefa é encontrada em 99 casos de 100, quando o aluno sofre de uma torre odiosa com entusiasmo que partia do curso de matemática superior.

Materiais deste workshop são apresentados simplesmente, em detalhes e com um mínimo de teoria.

Vamos começar com um trapézio curvilíneo.

Trapézio curvilíneo Uma figura plana é chamada de eixo limitado, em linha reta e um cronograma contínuo sobre um segmento de uma função que não altera o sinal neste intervalo. Deixe esta figura ser localizada não menos O AXSCISSA EXIS:

Então a área do trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma integral específica. Qualquer integral específica (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Certa integral. Exemplos de soluções Eu disse que uma certa integral é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, uma certa integral é uma área.

I.e, uma integral específica (se existe) geometricamente corresponde à área de alguma figura. Por exemplo, considere uma integral específica. A função Integrand define uma curva no plano, localizada acima do eixo (que desejos podem desenhar o desenho), e a própria integral específica é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1.

Esta é uma formulação típica de tarefas. O primeiro e mais importante ponto da decisão - construindo um desenho. E o desenho deve ser construído DIREITO.

Ao construir um desenho, eu recomendo a seguinte ordem: primeiro é melhor construir tudo reto (se eles são) e apenas mais tarde - Parabolas, hiperbolas, horários de outras funções. Gráficos de função são mais lucrativos para construir potochoéCom a técnica de construção de check-in, pode ser encontrada no material de referência. Gráficos e propriedades das funções elementares. Lá você também pode encontrar um material muito útil em relação à nossa lição o material - como construir rapidamente uma parábola.

Nesta tarefa, a decisão pode parecer com isso.
Execute o desenho (note que a equação define o eixo):

Eu não vou acargar um trapézio curvilíneo, é óbvio aqui sobre qual área há um discurso. A decisão continua assim:

Na programação do segmento, uma função está localizada sobre o eixo, tão:

Responder:

Que tem dificuldades com o cálculo de uma certa integral e o uso da fórmula Newton-Leibnia , consulte a palestra Certa integral. Exemplos de soluções.

Exemplo 2.

Calcule a área da forma, linhas limitadas e eixo

Este é um exemplo para auto-decidir. Solução completa e resposta no final da lição.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo?

Exemplo 3.

Calcule a área da forma, linhas limitadas e os eixos de coordenadas.

Decisão: Realize o desenho:

Se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo. (ou pelo menos não superior Este eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Nesse caso:

Atenção! Não confunda dois tipos de tarefas:

1) Se você é convidado a resolver uma integral simples sem qualquer significado geométrico, então pode ser negativo.

2) Se você é convidado a encontrar a figura da figura usando uma integral específica, a área é sempre positiva! É por isso que na apenas a fórmula considerada aparece menos.

Na prática, a figura é mais frequentemente localizada no semestre superior e inferior, e, portanto, dos gráficos da escola mais simples, vá para exemplos mais significativos.

Exemplo 4.

Encontre a área de uma figura plana, linhas limitadas.

Assim, o menor limite de integração, o limite superior da integração.
Desta forma é melhor, se possível, não use.

É muito mais lucrativo e mais rápido construir as linhas da linha, enquanto os limites de integração são esclarecidos como se "por si mesmos". A técnica da cessação para vários gráficos é considerada em detalhes na ajuda Gráficos e propriedades das funções elementares . No entanto, uma maneira analítica de encontrar os limites afinal, às vezes é necessário aplicar se, por exemplo, o cronograma é grande o suficiente, ou uma construção treinada não revelou os limites de integração (eles podem ser fracionados ou irracionais). E tal exemplo, também consideramos.

Voltamos à nossa tarefa: mais racional construir uma linha reta e só então parábola. Realizar desenho:

Repito que na construção atual, os limites de integração são mais desenvolvidos pelo "Automático".

Neste exemplo, é óbvio que no segmento da Parabola está localizado acima em linha reta, e, portanto, é necessário subtrair

Conclusão da solução pode ser assim:

A figura desejada é limitada à parábola de cima e do fundo direto.
No segmento, de acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

De fato, a fórmula da escola para a área do trapézio curvilíneo no meio-plano inferior (ver exemplo simples nº 3) - um caso especial de fórmula . Como o eixo é definido pela equação, e o gráfico de funções está localizado não superior Axis, T.

E agora alguns exemplos por uma decisão independente

Exemplo 5.

Exemplo 6.

Encontre a área das linhas limitadas da figura.

No decorrer da resolução de tarefas para calcular a área com uma integral específica, ocorre uma caixa engraçada às vezes. O desenho é concluído corretamente, cálculos - direita, mas intensificado ... encontrou a área não é a figuraQue é assim que seu servo humilde foi embalado. Aqui está um caso real da vida:

Exemplo 7.

Calcule a área da forma, linhas limitadas ,,,.

Decisão: Primeiro faça o desenho:

... Oh, o desenho de Khrenovynsky saiu, mas tudo parece estar pegando.

Este exemplo ainda é útil e o fato de que, nele, a área da figura é considerada usando duas integrais específicas. Mesmo:

1) Um cronograma reto está localizado no segmento sobre o eixo;

2) No segmento sobre o eixo, há um gráfico de hiperboles.

É claro que o quadrado pode (e necessidade) para se decompor, então:

Responder:

Vá para outra tarefa substantiva.

Exemplo 8.

Calcule a área da forma, linhas limitadas,
Imagine a equação na forma "escola" e execute o desenho atual:

Do desenho, é claro que o limite superior que temos "bom" :.
Mas qual é o limite inferior?! É claro que isso não é um inteiro, mas o que? Pode ser ? Mas onde é a garantia de que o desenho é feito com uma precisão perfeita, pode ser assim. Ou raiz. E se geralmente construímos uma programação indevidamente?

Em tais casos, você tem que gastar tempo extra e especificar os limites de integração analiticamente.

Encontre os pontos de interseção do direto e de parábola.
Para fazer isso, resolva a equação:

,

De fato.

Mais solução é trivial, a principal coisa é não se confundir em substituições e sinais, os cálculos aqui não são os mais simples.

No corte De acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Bem, e na conclusão da lição, considere duas tarefas mais difíceis.

Exemplo 9.

Calcule a área da forma, linhas limitadas,

Decisão: Mostre esta forma no desenho.

Porra, esqueci a programação para assinar, mas para refazer a foto, desculpe, não um hotz. Não herdado, mais curto, dia hoje \u003d)

Para construção de check-in você precisa saber aparência sinusóides (e é geralmente útil saber gráficos de todas as funções elementares), bem como alguns valores sinusais, eles podem ser encontrados em tabela Trigonométrica. Em alguns casos (como nisso), é permitido construir um desenho esquemático no qual os gráficos e limites de integração devem ser refletidos em princípio.

Com os limites da integração, não há problemas aqui, eles seguem diretamente da condição: - "X" varia de zero a "pi". Nós elaboramos uma solução adicional:

No segmento, o gráfico de funções está localizado acima do eixo, então: