Intervalles d'augmentation des exemples de fonction croissante et descendante. Algorithme pour trouver des lacunes de fonction croissante et descendante

Fonction ascendant, diminuer et extremma

Trouver des intervalles d'augmentation, de diminution et d'extremums est comme une tâche indépendanteet la partie la plus importante d'autres tâches, en particulier, fonction complète de la fonction. Les informations initiales sur l'augmentation, la descente et les extremums de la fonction sont données dans chapitre théorique sur dérivéque je recommande vivement à une étude préliminaire (ou répétition) - également pour la raison pour laquelle le matériau suivant est basé sur le plus dérivé essentielÊtre une continuation harmonieuse de cet article. Bien que, si le temps à bord, il est possible et purement formel des exemples de la leçon d'aujourd'hui.

Et aujourd'hui dans les airs, l'esprit d'une rare unanimité est tordu et je ressens directement que tous ceux qui sont présents sont plus difficiles apprenez à explorer la fonction en utilisant un dérivé. Par conséquent, une bonne terminologie éternelle raisonnable sur les écrans de vos moniteurs apparaît immédiatement.

Pourquoi? L'une des raisons est la plus pratique: pour préciser que vous êtes généralement requis dans une tâche particulière!

Monotonicité de la fonction. Extremum et Fonctions extrêmes

Considérer une fonction. Nous croyions qu'elle continu Sur toute la droite numérique:

Juste au cas où, se débarrasser immédiatement des illusions possibles, en particulier pour les lecteurs qui se sont récemment familiarisés avec intervalles de la fonction symbole. Maintenant nous PAS INTÉRESSÉComme le graphique est situé par rapport à l'axe (ci-dessus, inférieur à celui de l'axe). Pour les autorisations effacées mentalement l'axe et laissez un tableau. Parce que l'intérêt de celui-ci.

Une fonction augmente À l'intervalle, si pour deux points de cet intervalle associé au ratio, l'inégalité est juste. C'est-à-dire que la plus grande valeur de l'argument correspond à la plus grande valeur de la fonction et que son horaire est "ascendante". La fonction de démonstration augmente sur l'intervalle.

De même, une fonction diminuer À l'intervalle, si, pour deux points de cet intervalle, comme, assez inégalité. C'est-à-dire que la plus grande valeur de l'argument correspond à la plus faible valeur de la fonction, et son calendrier est «de haut en bas». Notre fonction diminue à des intervalles .

Si la fonction augmente ou diminue de l'intervalle, elle est appelée strictement monotone À cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie? Comprenez le sens littéral - monotonie.

Vous pouvez également déterminer illicite fonction (condition adoucie dans la première définition) et non-pulmonaire Fonction (condition adoucie dans la 2e définition). Le caractère de nuit ou non gagnant sur l'intervalle est appelé fonction monotone à cet intervalle. (Strict monotony - cas privé "juste" monotony).

La théorie considère également d'autres approches pour déterminer l'augmentation / la diminution de la fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais pour ne pas verser de l'huile de beurre d'huile sur votre tête, nous accepterons des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est clair et pour résoudre de nombreuses tâches pratiques suffisamment.

De cette façon, dans mes articles, pour le libellé "monotonicité de la fonction" sera presque toujours caché intervalles Monotonie stricte (augmentation stricte ou diminution stricte de la fonction).

Le quartier du point. Mots, après quoi les étudiants sont épuisés, qui peuvent, et en horreur, cacher dans les coins. ... bien qu'après le post Limites de Cauchy Déjà, probablement, ne pas cacher, mais seulement frighder \u003d) ne vous inquiétez pas, maintenant, il n'y aura aucune preuve des théorèmes d'analyse mathématique - les environs doivent être nécessaires pour formuler des définitions points d'extrem. Rappelles toi:

Point de quartier L'intervalle contenant ce point est appelé, tandis que l'intervalle est souvent pensé symétrique pour plus de commodité. Par exemple, le point et sa norme est le quartier:

En fait, définitions:

Le point est appelé point de strict maximum, si un existe Son quartier, pour tous Les valeurs dont l'exception du point lui-même sont les inégalités. Dans notre exemple particulier, c'est un point.

Le point est appelé point de strict minimum, si un existe Son quartier, pour tous Les valeurs dont l'exception du point lui-même sont les inégalités. Dans le dessin - point "A".

Noter : L'exigence d'environnement symétrique n'est pas du tout. En outre, important le fait même de l'existence environnement (même minuscule, au moins microscopique) satisfaisant les conditions spécifiées

Points d'appel points extrêmes stricts ou simplement points d'extrem Les fonctions. C'est-à-dire que c'est la durée généralisée des points maximaux et des points minimaux.

Comment comprendre le mot "extremum"? Oui, comme la monotonie. Points extrêmes des diapositives américaines.

Comme dans le cas de la monotonie, en théorie, il existe des postulats incroyables encore plus communs (Dans laquelle, naturellement, les cas stricts considérés sont en train de tomber!):

Le point est appelé point maximum, si un existe ses environs de telle que pour tous
Le point est appelé point minimum, si un existe ses environs de telle que pour tous Les valeurs de cet environnement sont des inégalités.

Notez que, selon les deux dernières définitions, tout point de la fonction-constante (ou la "section lisse" de certaines fonctions) est considéré comme un point maximum et le point de minimum! La fonction, au fait, est en même temps l'incompact et la création, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous allons laisser ces arguments aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours les "collines" traditionnelles et "dépressions" (voir le dessin) avec un "roi de montagne" unique ou "princesse du marais". Comme une variété, rencontre bordattribué soit vers le bas, par exemple, un minimum de fonction au point.

Oui, au fait, sur les actifs royaux:
- la signification est appelée maximum les fonctions;
- la signification est appelée le minimum Les fonctions.

Nom commun - extrêmement Les fonctions.

S'il vous plaît soyez prudent dans les mots!

Points d'extrem - Ce sont des valeurs "ICS".
Extrêmement - valeurs "igarekoy".

! Noter : Parfois, les conditions énumérées appellent les points "X-RAerek", allongé directement sur le graphique de la fonction.

Combien d'extrêmes peuvent être la fonction?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, les sinus sont infiniment de nombreux minima et hauts.

IMPORTANT!Le terme "fonction maximale" pas d'identité Le terme "valeur de fonction maximale". Il est facile de voir que la signification n'est possible que dans la région et la gauche ci-dessus est et "Twist Camarades". De même, la "fonction minimale" n'est pas la même que la "valeur minimale de la fonction", et nous voyons dans le dessin que la valeur est minimale que sur une zone spécifique. À cet égard, les points d'extremum sont également appelés points de l'extremum localet extrêmes - extrêmes locaux. Marcher à pied non loin et global frères. Donc, toute parabole a dans son sommet minimum mondial ou alors global maximum. Ensuite, je ne distinguerai pas les types de extremums et l'explication est exprimée davantage dans l'enseignement général - adjectifs supplémentaires «local» / «global» ne devraient pas trouver la surprise.

Résumons notre petite excursion à la théorie des coups de contrôle: que la tâche "trouve-t-elle les intervalles de la monotonie et le point de la fonction extremum"?

Le libellé encourage à trouver:

- augmenter / diminuer les intervalles de la fonction (beaucoup moins fréquent, non-récupération, non-récupération);

- points de points maximum et / ou minimum (le cas échéant). Eh bien, à l'écart immédiat, il est préférable de trouver les minima / maxima eux-mêmes ;-)

Comment déterminer tout cela? En utilisant une fonction dérivée!

Comment trouver des intervalles d'incrément, descendant
extremum points et fonctions extrêmes?

De nombreuses règles sont essentiellement connues et compréhensibles de leçon sur la signification de la dérivée.

Dérivé Tangens Casse les nouvelles que la fonction augmente tout au long de domaines de définition.

Avec Kotangen et son dérivé La situation est exactement le contraire.

Arksinus sur l'intervalle augmente - le dérivé ici est positif: .
La fonction est déterminée, mais pas différenable. Cependant, à un point critique, il y a un dérivé à droite et une tangentielle droite à droite, et sur l'autre bord - leur visa à gauche.

Je pense que vous ne serez pas beaucoup de difficulté à prendre des arguments similaires pour Arkskosinus et son dérivé.

Tous les cas énumérés, dont beaucoup sont dérivés de table, Je rappelle, suivez directement de définitions dérivées.

Pourquoi étudier la fonction à l'aide d'un dérivé?

Pour mieux savoir ce que ressemble le graphique de cette fonction: Là où il descend "de dessous", où "de haut en bas", où les minimes maxima atteignent (si du tout atteint). Toutes les fonctions ne sont pas si simples - dans la plupart des cas, nous n'avons aucune idée d'un graphique d'une fonction ou d'une autre.

Il est temps d'aller à des exemples plus significatifs et d'envisager algorithme pour l'emplacement des intervalles de monotonie et d'extremum:

Exemple 1.

Trouvez des intervalles d'augmentation / diminution et de la fonction extremum

Décision:

1) Dans la première étape, vous devez trouver zone de définition de la fonctionainsi que de prendre note de la note de point d'écart (s'ils existent). Dans ce cas, la fonction est continue sur l'ensemble du Direct numérique et cette action est formellement dans une certaine mesure. Mais dans certains cas, il y a des passions sérieuses, par conséquent, nous traitons le paragraphe sans mécontentement.

2) Le deuxième point de l'algorithme est dû

préermbeté de l'extremum:

Si au point il y a un extremum, alors les valeurs n'existent pas.

Confondre la fin? Fonction extrême "module x" .

La condition est nécessaire mais pas assezEt la déclaration opposée est assez loin de toujours. Donc, il ne suit pas encore l'égalité que la fonction atteigne un maximum ou un minimum au point. Un exemple classique a déjà été éclairé ci-dessus - il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Mais que ce soit comme cela peut, la condition d'extremma nécessaire dicte la nécessité de trouver des points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation:

Au début du premier article À propos de la fonction graphique J'ai dit comment construire rapidement une parabole sur l'exemple : "... Prenez la première dérivée et l'équivaut à zéro: ... Donc, la solution de notre équation: - C'est à ce stade que le sommet de la parabole est situé ...". Maintenant, je pense que tout le monde est clair pourquoi le sommet de Parabola est à ce stade \u003d) en général, il serait nécessaire de commencer par un exemple similaire ici, mais c'est trop simple (même pour la bouilloire). En outre, l'analogue est à la toute fin de la leçon sur fonction dérivée. Par conséquent, augmentez le degré:

Exemple 2.

Trouvez les intervalles de la mode monotonie et extremum

Ceci est un exemple pour une solution indépendante. Solution complète et un exemple de problème d'échantillon pur de la tâche à la fin de la leçon.

Le moment attendu de la réunion avec des fonctions rationnelles fractionnelles était survenue:

Exemple 3.

Explorez la fonction en utilisant le premier dérivé

Notez comment la variateur peut être reformulée en fait la même tâche.

Décision:

1) La fonction subit des pauses sans fin à des points.

2) Nous détectons des points critiques. Trouvez le premier dérivé et assimilez-le à zéro:

Nous résolvons l'équation. La fraction est nulle, lorsque son numérateur est zéro:

Ainsi, nous obtenons trois points critiques:

3) mettre sur le direct numérique tous les points détectés et méthode d'intervalle Déterminez les signes de la dérivée:

Je vous rappelle que vous devez prendre un point de l'intervalle, calculer la valeur de la dérivée Et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne pas compter, mais de "baise" oralement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuer une substitution: .

Deux plus et un "moins" donnent donc un "moins", et donc le dérivé est négatif et sur l'ensemble de l'intervalle.

Action, comme vous comprenez, vous devez dépenser pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le multiplicateur de numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de tout intervalle, ce qui facilite considérablement la tâche.

Donc, le dérivé nous a dit que la fonction elle-même augmente sur et diminue sur. Le même type d'intervalles est pratique pour fixer l'icône de l'association.

Au point, la fonctionnalité atteint un maximum:
Au point, la fonction atteint un minimum:

Pensez pourquoi vous ne pouvez pas réincarner la deuxième valeur ;-)

Lors de la mise sous tension du point, le dérivé ne change pas le signe, donc la fonction qu'il n'y a pas d'extremum - elle est descendue et reste décroissante.

! Répéter moment important : Les points ne sont pas considérés comme critiques - en eux la fonction non spécifié. En conséquence, ici les extremums ne peuvent pas être en principe (Même si le dérivé change le signe).

Répondre: La fonction augmente sur et diminutions au point est atteinte de fonction maximale: , et au point - minimum :.

Connaissance des intervalles de monotonie et d'extremum et set asymptotami donne une très bonne idée de apparence Fonction graphique. La personne de niveau intermédiaire est capable de déterminer verbalement que le graphique de la fonction comporte deux asymptotes verticales et asymptotes inclinées. Voici notre héros:

Essayez de relier à nouveau aux résultats de l'étude avec un graphique de cette fonctionnalité.
Au point critique de l'extremum n'est pas, mais il y a graphisme d'inflexion (En règle générale, cela se produit dans des cas similaires).

Exemple 4.

Trouver des fonctions extrêmes

Exemple 5.

Trouvez des intervalles de monotonie, de maxima et de la fonction minimale

... directement des vacances "Iksa à Cuba" aujourd'hui, il se trouve ....
Taaapa, qui est là sur Galling proposé de boire pour ça? \u003d)

Dans chaque tâche, il existe ses propres nuances de fond et subtilités techniques qui sont commentées à la fin de la leçon.

Les travaux de graduation sous la forme d'un EXEM pour 11 niveleuses contiennent nécessairement des tâches de calcul des limites, de la diminution des lacunes et d'une augmentation de la fonction dérivée, de la recherche de points d'extrême et de graphiques de construction. Une bonne connaissance de ce sujet vous permet de répondre correctement à quelques questions de l'examen et de ne pas avoir de difficultés à une formation professionnelle ultérieure.

Les fondements du calcul différentiel sont l'un des principaux sujets des mathématiques de l'école moderne. Il étudie l'utilisation du dérivé pour l'étude des dépendances des variables - il s'agit d'un dérivé qu'une augmentation et une diminution de la fonction sans contacter le dessin peut être analysée.

La préparation complète des diplômés à l'examen du portail éducatif "Shkolkovo" aidera profondément à comprendre les principes de différenciation - à faire face à la théorie en détail, à étudier des exemples de tâches typiques et à essayer leurs forces dans des travaux indépendants. Nous vous aiderons à éliminer les lacunes de la connaissance - pour clarifier l'idée des concepts lexicaux des thèmes et des dépendances des valeurs. Les élèves seront en mesure de répéter comment trouver des intervalles de monotonie, ce qui signifie grimper ou diminuer une fonction dérivée sur un certain segment lorsque les points limites s'allument et ne sont pas inclus dans les intervalles trouvés.

Avant de commencer la solution directe de tâches thématiques, nous recommandons d'abord d'accéder à la section "Aide théorique" et répétez les définitions des concepts, règles et formules tabulaires. Ici, vous pouvez également lire comment trouver et enregistrer chaque période de fonction croissante et décroissante sur le graphique dérivé.

Toutes les informations fournies sont décrites sur la forme la plus accessible pour comprendre presque "de zéro". Les matériaux de perception et d'assimilation sont disponibles sur le site de plusieurs formes différentes - la lecture, la visualisation vidéo et la formation directe sous la direction des enseignants expérimentés. Les enseignants professionnels indiqueront en détail comment trouver les lacunes d'augmentation et de descente de la fonction dérivée par analyse et graphique. Pendant les webinaires, vous serez invité à la question de la théorie et en résolvant des tâches spécifiques.

Se souvenir des points principaux du sujet, vérifiez les exemples pour augmenter la dérivée de la fonction, similaire aux tâches des options d'examen. Pour sécuriser appris, regardez le «catalogue» - vous trouverez ici des exercices pratiques pour un travail indépendant. Tâches dans la section de sélection de différents niveaux Difficultés prenant en compte les compétences. Chacun d'entre eux, par exemple, des algorithmes de solutions attachées et des réponses correctes.

Choix de la section "Designer", les étudiants seront en mesure de pratiquer l'étude d'augmenter et de descendre la fonction dérivée sur réel ambassionsconstamment mis à jour avec changements récents et innovations.

Fonction extrême

Définition 2.

Le point $ x_0 $ est appelé point maximum de la fonction $ f (x) $, s'il existe un tel quartier de ce point, qui pour tous $ x $, c'est à partir de ce quartier, l'inégalité est $ f (x) \\ Le F (x_0) $.

Définition 3

Le point $ x_0 $ est appelé point maximum de la fonction $ f (x) $, s'il existe un tel quartier de ce point, qui pour tous $ x $, il appartient à ce quartier une inégalité est $ f (x) \\ GE F (x_0) $.

Le concept de fonction extremum est étroitement lié au concept de fonction critique. Nous introduisons sa définition.

Définition 4.

$ x_0 $ est appelé point critique de la fonction $ f (x) $, si:

1) $ x_0 $ - le point interne de la zone de définition;

2) $ F "\\ Gauche (x_0 \\ droite) \u003d 0 $ ou n'existe pas.

Pour le concept de extremum, vous pouvez formuler des théorèmes dans des conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2.

Une condition suffisante de extremum

Laissez le point $ x_0 $ critique pour la fonction $ y \u003d f (x) $ et réside dans l'intervalle $ (A, B) $. Laissez sur chaque intervalle $ \\ gauche (A, x_0 \\ droite) \\ and \\ (x_0, b) $ dérivé $ f "(x) $ existe et enregistre un signe permanent. Ensuite:

1) Si le $ (A, X_0) de $ (A, x_0) est $ F "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $ et sur la plage $ (x_0, b) $ dérivé $ f" \\ Gauche ( X \\ à droite)

2) Si sur l'intervalle $ (A, x_0) $ dérivé $ f "\\ gauche (x \\ droite) 0 $, puis un point $ x_0 $ est un point minimum pour cette fonction.

3) Si sur l'intervalle $ (A, X_0) $ et sur la plage $ (x_0, b) $ dérivé $ f \\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $ ou dérivé $ f \\ gauche (x \\ droite)

Ce théorème est illustré à la figure 1.

Figure 1. Une condition suffisante pour l'existence d'extrêmes

Exemples d'extrêmes (Fig. 2).

Figure 2. Exemples de points d'extremum

Fonctions de recherche en règle pour l'extrême

2) Trouvez la dérivée de $ f "(x) $;

7) Tirez des conclusions sur la présence de Maxima et de minima à chaque intervalle à l'aide du théorème 2.

Ascension et diminution de la fonction

Nous introduisons, pour commencer, la définition des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

La fonction $ y \u003d f (x) $, déterminée sur la plage de $ x $, s'appelle une augmentation croissante, si pour tous les points $ x_1, x_2 \\ en x $ avec $ x_1 avec $ x_1

Définition 6.

La fonction $ Y \u003d F (x) $, déterminée sur la plage de $ x $, est appelée diminution, si pour tout point $ X_1, x_2 \\ en x $ avec $ x_1f (x_2) $.

Fonction de recherche pour augmenter et décroissant

Explorez les fonctions d'augmentation et de diminution peuvent utiliser une dérivée.

Afin d'étudier la fonction sur les lacunes d'augmentation et de descente, vous devez procéder comme suit:

1) Trouver la zone de définition de la fonction $ f (x) $;

2) Trouvez la dérivée de $ f "(x) $;

3) Trouvez des points dans lesquels l'égalité est $ F \\ Gauche (x \\ droite) \u003d 0 $;

4) Trouvez les points dans lesquels $ f "(x) $ n'existe pas;

5) Marquez sur la coordonnée diriger tous les points trouvés et le champ de détermination de cette fonction;

6) déterminer la valeur de la dérivation $ F "(x) $ sur chaque intervalle obtenu;

7) Faire une conclusion: à intervalles, où $ F "\\ gauche (x \\ droite) 0 $ fonction augmente.

Exemples d'objectifs pour les fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points d'extremum

Exemple 1.

Explorez la fonction pour augmenter et diminuer, et la présence de points de maxima et de bas: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $ 1

Depuis les 6 premiers points coïncident, passons-les.

1) la zone de définition est tous des nombres valides;

2) $ f "\\ gauche (x \\ droite) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f \\ gauche (x \\ droite) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ existe à tous les points de la zone de définition;

5) Coordonner directement:

Figure 3.

6) Déterminez le signe de la dérivée $ F "(x) $ à chaque intervalle:

\\ \\. Il est situé à l'aide des points maximaux et est égal à la valeur maximale de la fonction et le deuxième dessin ressemble davantage à une recherche d'un point maximum sur x \u003d b.

Conditions suffisantes d'augmentation et de fonctionnement descendant

Pour trouver des fonctions hautes et minima, il est nécessaire d'appliquer des signes de tremmum dans le cas où la fonction satisfait ces conditions. Le premier signe est le premier signe.

La première condition suffisante du extremum

Laissez la fonction y \u003d f (x), qui est différenciée dans la zone du point x 0 différenciant dans ε et a une continuité à un point spécifié x 0. D'ici nous obtenons ça

• quand f "(x)\u003e 0 с x x ∈ (x 0 - ε; x 0) et f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• quand f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) > 0 à x ∈ (x 0; x 0 + ε), alors x 0 est un point d'un minimum.

En d'autres termes, nous obtenons leurs conditions de réglage pour le signe:

• lorsque la fonction est continue au point x 0, elle a un dérivé avec une marque de changement, c'est-à-dire C + à - cela signifie que le point est appelé maximum;
• lorsque la fonction est continue au point x 0, il a un dérivé avec un signe changeant C-by +, cela signifie que le point est appelé au minimum.

Pour déterminer correctement les points maximaux et la fonction minimale, vous devez suivre l'algorithme de leur découverte:

• trouver la zone de définition;
• trouver une fonction dérivée sur cette zone;
• déterminer les zéros et les points où la fonction n'existe pas;
• déterminer le signe du dérivé à intervalles;
• sélectionnez Points dans lesquels la fonction change le signe.

Considérez l'algorithme sur l'exemple de la solution de plusieurs exemples pour trouver les extremums de la fonction.

Exemple 1.

Trouvez les points maximum et le minimum de la fonction spécifiée y \u003d 2 (x + 1) 2 x - 2.

Décision

La zone de définition de cette fonction est tous des nombres valides sauf x \u003d 2. Pour commencer, nous trouvons une fonction dérivée et obtenez-en:

y "\u003d 2 x + 1 2 x - 2" \u003d 2 · x + 1 2 "· (x - 2) - (x + 1) 2 · (x - 2)" (x - 2) 2 \u003d 2 · 2 · (X + 1) · (x + 1) "· (x-2) - (x + 1) 2 · 1 (x-2) 2 \u003d 2 · 2 · (x + 1) · (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 \u003d \u003d 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

De là, nous voyons que les zéros des fonctions sont x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, c'est-à-dire que chaque support doit être égal à zéro. Nous notons sur l'axe numérique et obtenez-en:

Maintenant, nous définissons les signes de la dérivée de chaque intervalle. Vous devez sélectionner un point dans l'intervalle, substituer dans l'expression. Par exemple, points x \u003d - 2, x \u003d 0, x \u003d 3, x \u003d 6.

Nous obtenons ça

y "(- 2) \u003d 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 \u003d (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 \u003d 2 · 7 16 \u003d 7 8\u003e 0, cela signifie que l'intervalle est ∞; - 1 a un dérivé positif. De la même manière, nous obtenons que

y "(0) \u003d 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 \u003d 2 · - 5 4 \u003d - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Étant donné que le deuxième intervalle s'est avéré moins de zéro, cela signifie que le dérivé sur le segment sera négatif. Troisièmement avec un moins, quatrième avec un plus. Pour déterminer la continuité, il est nécessaire de faire attention au signe de la dérivée, si cela change, il s'agit donc d'un point d'extrême.

Nous obtenons cela au point x \u003d - 1 La fonction sera continue, cela signifie que le dérivé changera le signe C + à -. Sur le premier signe que nous avons que x \u003d - 1 est un point maximum, puis nous obtenons

y m et x \u003d y (- 1) \u003d 2 · (x + 1) 2 x - 2 x \u003d - 1 \u003d 2 · (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 \u003d 0

Le point x \u003d 5 indique que la fonction est continue et que le dérivé modifiera le signe C - par +. Cela signifie x \u003d -1 est un point d'un minimum et sa découverte a une vue

y m i n \u003d y (5) \u003d 2 · (x + 1) 2 x - 2 x \u003d 5 \u003d 2 · (5 + 1) 2 5 - 2 \u003d 24

Graphique

Répondre: y m a x \u003d y (- 1) \u003d 0, y m i n \u003d y (5) \u003d 24.

Il convient de faire attention au fait que l'utilisation de la première caractéristique suffisante de l'extremum ne nécessite pas de différentiabilité de la fonction avec un point X 0, cela simplifie le calcul.

Exemple 2.

Trouvez les points maximum et la fonction minimale Y \u003d 1 6 x 3 \u003d 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Décision.

La zone de définition de champ est tous des nombres valides. Cela peut être écrit comme un système d'équations de la forme:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, X< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Après cela, il est nécessaire de trouver un dérivé:

y "\u003d 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x > 0 Y "\u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, X< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Le point x \u003d 0 n'a pas de dérivé, car les valeurs des limites unilatérales sont différentes. Nous obtenons cela:

lIM Y "X → 0 - 0 \u003d LIM YX → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 \u003d - 1 2 · (0 - 0) 2 - 4 · (0 - 0) - 22 3 \u003d - 22 3 lim y "x → 0 + 0 \u003d lim y → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 \u003d 1 2 · (0 + 0) 2 - 4 · (0 + 0) + 22 3 \u003d + 22 3.

Il s'ensuit que la fonction est continue au point X \u003d 0, puis calculez

lIM YX → 0 - 0 \u003d lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 \u003d \u003d - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 · 0 - 0) - 8 \u003d - 8 LIM YX → 0 + 0 \u003d lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 \u003d 1 6 · (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 \u003d - 8 Y (0) \u003d 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 0 \u003d 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 \u003d - 8

Il est nécessaire de faire des calculs pour trouver la valeur de l'argument lorsque le dérivé devient égal à zéro:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, X< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3, X\u003e 0 d \u003d (- 4) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 \u003d 4 3 x 3 \u003d 4 + 4 3 2 · 1 2 \u003d 4 + 2 3 3\u003e 0 x 4 \u003d 4 - 4 3 2 · 1 2 \u003d 4 - 2 3 3\u003e 0

Tous les points reçus doivent être notés sur une ligne droite pour déterminer le signe de chaque intervalle. Par conséquent, il est nécessaire de calculer le dérivé sur des points arbitraires pour chaque intervalle. Par exemple, nous pouvons prendre des points avec les valeurs x \u003d - 6, x \u003d - 4, x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6. Nous obtenons ça

y "(- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 > 0 Y "(- 1) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 1 \u003d - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 \u003d 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 Y "(4) \u003d 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x \u003d 4 \u003d 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 \u003d - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

L'image sur le droit est

Nous arrivons donc à ce que vous devez avoir recours au premier signe de l'extremum. Calculer et obtenir ça

x \u003d - 4 - 2 3 3, x \u003d 0, x \u003d 4 + 2 3 3, d'ici, les points maximaux ont une valeur x \u003d - 4 + 2 3 3, x \u003d 4 - 2 3 3

Passons au calcul des bas:

ymin \u003d y - 4 - 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d - 4 - 2 3 3 \u003d - 8 27 3 ymin \u003d y (0) \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 0 \u003d - 8 ymin \u003d y 4 + 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 4 + 2 3 3 \u003d - 8 27 3

Nous calculerons les maximums de la fonction. Nous obtenons ça

ymax \u003d y - 4 + 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d - 4 + 2 3 3 \u003d 8 27 3 ymax \u003d y 4 - 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 4 - 2 3 3 \u003d 8 27 3

Graphique

Répondre:

ymin \u003d y - 4 - 2 3 3 \u003d - 8 27 3 ymin \u003d y (0) \u003d - 8 ymin \u003d y 4 + 2 3 3 \u003d - 8 27 3 ymax \u003d y - 4 + 2 3 3 \u003d 8 27 3 ymax \u003d Y 4 - 2 3 3 \u003d 8 27 3

Si la fonction F "(x 0) \u003d 0 est spécifiée, alors avec son f" "(x 0)\u003e 0 nous obtenons que x 0 est un point minimal si f" "(x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Exemple 3.

Trouver la fonction Maxima et minima Y \u003d 8 x x + 1.

Décision

Nous trouvons d'abord la zone de définition. Nous obtenons ça

D (Y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Il est nécessaire de former la fonction, après quoi nous obtenons

y "\u003d 8 xx + 1" \u003d 8 · x "· (x + 1) - x · (x + 1)" (x + 1) 2 \u003d \u003d 8 · 1 2 x · (x + 1) - x · 1 (x + 1) 2 \u003d 4 · x + 1 - 2 x (x + 1) 2 · x \u003d 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x

A x \u003d 1, le dérivé devient égal à zéro, cela signifie que le point est un extremum possible. Pour clarifier, il est nécessaire de trouver le deuxième dérivé et de calculer la valeur à x \u003d 1. On a:

y "" \u003d 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x "\u003d 4 · (- x + 1)" · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 · X "(x + 1) 4 · x \u003d 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2" · x + (x + 1) 2 · x "(x + 1) 4 · x \u003d 4 · - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 · x \u003d \u003d - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x \u003d \u003d 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ Y "(1) \u003d 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 \u003d 2 · - 4 8 \u003d - 1< 0

Ainsi, en utilisant 2 conditions extrêmes suffisantes, nous obtenons que X \u003d 1 est un point maximum. Sinon, l'enregistrement a la forme Y m et x \u003d y (1) \u003d 8 1 1 + 1 \u003d 4.

Graphique

Répondre: y m et x \u003d y (1) \u003d 4 ..

La fonction Y \u003d F (x) a son dérivé à N-Commander dans le voisinage ε d'un point donné X 0 et dérivé à N + 1 -À commander au point X 0. Alors f "(x 0) \u003d f" "(x 0) \u003d f" "(x 0) \u003d. . . \u003d F n (x 0) \u003d 0.

Il s'ensuit que lorsque n est un nombre pair, X 0 est considéré comme un point de blister lorsque n est un nombre impair, puis x 0 point d'extremum, et f (n + 1) (x 0)\u003e 0, puis x 0 est un point minimum, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Exemple 4.

Trouvez les points maximaux et la fonction minimale Y Y \u003d 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Décision

La fonction source est un tout rationnel, il s'ensuit que la zone de définition est tous des nombres valides. Il est nécessaire de supprimer directement la fonction. Nous obtenons ça

y "\u003d 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 "\u003d 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1 ) 3 4 (x - 3) 3) \u003d \u003d 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) \u003d 1 16 (x + 1) 2 (x - 3 ) 3 (7 x - 5)

Ce dérivé se retournera à zéro à x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 5 7, x 3 \u003d 3. C'est-à-dire que des points peuvent être des points de requête possibles. Il est nécessaire d'appliquer la troisième condition extrême suffisante. La recherche de la deuxième dérivée permet une précision de déterminer la présence d'une fonction maximale et minimale. Le calcul de la deuxième dérivée est fabriqué aux points de son requête possibles. Nous obtenons ça

y "" \u003d 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) "\u003d 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y" ( - 1) \u003d 0 Y "" 5 7 \u003d - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Cela signifie que x 2 \u003d 5 7 est un point maximum. Appliquer 3 fonctionnalités suffisantes, nous obtenons que pour N \u003d 1 et F (n + 1) 5 7< 0 .

Il est nécessaire de déterminer le caractère des points X 1 \u003d - 1, x 3 \u003d 3. Pour ce faire, vous devez trouver la troisième dérivée, calculer les valeurs à ces points. Nous obtenons ça

y "" "\u003d 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3)" \u003d \u003d 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) Y "" "(- 1) \u003d 96 ≠ 0 Y" "" "(3) \u003d 0

Donc, x 1 \u003d - 1 est le point d'inflexion de la fonction, car à N \u003d 2 et F (N + 1) (- 1) ≠ 0. Il est nécessaire d'explorer le point x 3 \u003d 3. Pour ce faire, nous trouvons 4 dérivés et effectuons des calculs à ce stade:

y (4) \u003d 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) "\u003d \u003d 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) Y (4) ( 3) \u003d 96\u003e 0

De ce qui précède, nous concluons que x 3 \u003d 3 est le point d'une fonction minimale.

Graphique

Répondre: x 2 \u003d 5 7 est un point maximum, X 3 \u003d 3 - point d'un minimum d'une fonction donnée.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, sélectionnez-la et appuyez sur Ctrl + Entrée.

Ascension et diminution de la fonction

une fonction y. = f.(x.) s'appelle augmenter sur le segment [ uNE., b.] Si pour une paire de points h. et x ", une inégalité ≤ x f.(x.) ≤ f. (x "), et strictement croissant - si l'inégalité est effectuée f. (x.) F.(x "). De même, des diminutions et une diminution stricte de la fonction sont déterminées. Par exemple, une fonction w. = h. 2 (figure. , a) augmente strictement sur le segment et

(figure. , b) diminue strictement sur ce segment. Les fonctions croissantes sont désignées f. (x.), et diminution f. (x.) ↓. Afin de la fonction différenciable f. (x.) était de plus en plus sur le segment [ mais, b.], c'est nécessaire et assez pour son dérivé f."(x.) était non négatif sur [ mais, b.].

En plus d'augmenter et de descendre, la fonction sur le segment envisage d'augmenter et de réduire la fonction au point. Une fonction w. = f. (x.) est appelé augmenter au point x. 0 s'il y a un tel intervalle (α, β) contenant un point x. 0, qui est pour tout point h. de (α, β), x\u003e x. 0, l'inégalité est effectuée f. (x. 0) ≤ f. (x.), et pour tout point h. de (α, β), x 0, l'inégalité est effectuée f. (x.) ≤ F. (x. 0). De même, il est déterminé à augmenter strictement la fonction au point x. 0. Si un f."(x. 0) > 0, puis fonctionne f.(x.) Augmente strictement au point x. 0. Si un f. (x.) augmente à chaque point de l'intervalle ( uNE., b.), il augmente de cet intervalle.

S. B. STECHKIN.

Grande encyclopédie soviétique. - M.: Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

Regardez quelle est la "fonction croissante et décroissante" dans d'autres dictionnaires:

Les concepts d'analyse mathématique. Fonction f (x) s'appelle une augmentation de la structure d'âge de la population que le rapport du nombre de différents les groupes d'âge population. Dépend des niveaux de fertilité et de mortalité, l'espérance de vie des personnes ... Grand dictionnaire encyclopédique

Les concepts d'analyse mathématique. La fonction F (x) est appelée augmentation sur le segment, si pour une paire de points X1 et X2, a≤x1 ... Dictionnaire encyclopédique

Mateau de concepts. Analyse. F (x) naz. augmenter sur le segment [A, B], si pour une paire de points X1 et X2, et<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

La section mathématiques dans laquelle des dérivés et des différentiels de fonctions et de leur application à l'étude des fonctions sont étudiés. Conception D. et. Dans une discipline mathématique indépendante associée aux noms de I. Newton et Labitsa (seconde moitié de 17 ... Grande Encyclopédie soviétique

La section mathématique, les concepts de dérivés et différentiels sont étudiés dans le rhum et les méthodes de demande de fonctions. Développement D. et. Étroitement liée au développement du calcul intégré. Insiscimer et leur contenu. Ensemble, ils composent la base ... ... Encyclopédie mathématique

Ce terme a d'autres valeurs, voir la fonction. Demande "Affichage" est redirigé ici; Voir aussi Autres valeurs ... Wikipedia

Aristote et Peripaetics - Question aristotélicienne La vie d'Aristote Aristote est née en 384/383. avant JC e. À Stagir, à la frontière avec la Macédoine. Son père nommé Nikomah était médecin au service du roi macédonien Aminte, père Philippe. Avec la famille d'un jeune Aristote ... ... Philosophie occidentale des sources à ce jour

- (CHD), théorie quantique de quarks forts de quarks et de gluons construits sur l'image d'un quantum. Électrodynamique (CAD) basée sur la symétrie d'étalonnage "couleur". Contrairement à la CAD, les fermions du QCD se complèteront. Le degré de liberté quantique. numéro ... ... Encyclopédie physique

I Heart Coeur (Lat. Crew, Grecque. Cardia) Organe musculaire creux, qui, qui, qui fonctionne comme une pompe, fournit un mouvement sanguin et un système de circulation sanguine. Le cœur d'anatomie est situé dans le médiastum avant (MediaStinum) dans la péricardia entre ... ... Encyclopédie médicale

La vie de la plante, comme tout autre organisme vivant, représente un ensemble complexe de processus interdépendants; Le plus essentiel d'entre eux, comme on le sait, le métabolisme avec l'environnement. Mercredi est la source où ... ... ... ... Encyclopédie biologique