Carré en utilisant les exemples intégrés. Trouver la zone de la figure limitée par les lignes Y \u003d F (x), x \u003d g (y)

De la définition, il suit que pour une fonction non négative F (x), un certain intégréiste de la zone du trapézion curviligne, limité par la courbe y \u003d f (x), x \u003d a, x \u003d b axe d'abscisse \u003d 0 (Figure 4.1).

Si la fonction est f (x) n'est pas positive, alors une intégrale spécifique
il est égal à la zone du trapèze curviligne correspondant pris avec un signe moins (Figure 4.7).

Figure 4.7 - Signification géométrique d'une intégrale spécifique pour une fonction inadéquate

Pour une fonction continue arbitraire f (x) une intégrale spécifique
il est égal à la somme de la zone de trapèques curviligne situées sous le graphique de la fonction de fonction (x) et au-dessus de l'axe Abscisse, moins la somme de la zone de trapèze curvilignes couché sur le graphique de la fonction de fonction (x ) et en dessous de l'axe d'abscisse (Figure 4.8).

Figure 4.8 - La signification géométrique d'une intégrale spécifique pour une fonction continue arbitraire F (x) (Le signe plus est marqué par la zone, qui est ajouté et "moins" est celui qui est déduit).

Lorsque vous calculez dans la pratique de la zone de figures curviligne, la formule suivante est souvent utilisée:
où la zone de la figure s'est conclue entre les courbes y \u003d f 1 (x) et y \u003d f 2 (x) sur le segment [A, B] et F 1 (x) et F 2 (x) sont continus Fonctions spécifiées sur ce segment, telles que F 1 (x) ≥ F 2 (x) (voir figures 4.9, 4.10).

Lors de l'étude du sens économique, le dérivé qu'il a été constaté que le dérivé agit comme le taux de variation d'un objet ou d'un processus économique à temps ou d'autre facteur relatif à l'étude. Pour établir la signification économique d'une intégrale spécifique, il est nécessaire de considérer cette vitesse sous la forme d'une fonction de temps ou d'un autre facteur. Ensuite, étant donné qu'une certaine intégrale est un changement de primaire, nous obtenons que dans l'économie, il estime le changement de cet objet (processus) pendant une certaine période (ou avec un certain changement d'un autre facteur).

Par exemple, si la fonction q \u003d q (t) décrit la productivité du travail en fonction de l'heure, alors une certaine intégrale de cette fonction
c'est le volume de produits libérés Q. Time lapse de 0 dt 1.

Méthodes de calcul de certaines intégralessur la base des méthodes d'intégration précédemment discutées (preuves, nous ne réaliserons pas).

Lors de la recherche d'une intégrale indéfinie, nous avons utilisé la méthode de remplacement d'une variable basée sur la formule: F (x) dx \u003d \u003d f ( ((T))  (t) dt, où x \u003d  (t) est une fonction différenable sur l'écart considéré. Pour une intégrale spécifique, la formule de remplacement variable prendra la forme
où
et pour tous.

Exemple 1.. Trouver

Soit t \u003d 2 -x 2. Thendt \u003d -2xdxixdx \u003d - ½dt.

À x \u003d 0 t \u003d 2 - 0 2 \u003d 2. à x \u003d 1t \u003d 2 - 1 2 \u003d 1. Puis

Exemple 2.. Trouver

Exemple 3.. Trouver

La formule d'intégration pour les pièces d'une intégrale spécifique prendra la forme:
où
.

Exemple 1.. Trouver

Soit u \u003d ln (1 + x), DV \u003d DX. Puis

Exemple 2.. Trouver

Calcul des caractéristiques plates à l'aide d'une intégrale spécifique

Exemple 1.Trouver la zone de la figure limitée aux lignes Y \u003d x 2 - 2 et \u003d x.

Le graphique de la fonction y \u003d x 2 - 2 est une parabole avec un point minimum au moins \u003d 0, y \u003d -2; L'axe de l'Abscissa intersecte à des points
. Le graphique de la fonction Y \u003d X est droit, le bissecteur est un quartier de coordonnées non négatifs.

Nous trouvons les coordonnées des points d'intersection de Parabola Y \u003d X 2 - 2 et Direct Y \u003d X, résolvant le système de ces équations:

x 2 - x - 2 \u003d 0

x \u003d 2; y \u003d 2 ou x \u003d -1; y \u003d -1

Ainsi, la figure, dont vous voulez trouver, peut être représentée à la figure 4.9.

Figure 4.9 - Figure délimitée par des lignes Y \u003d x 2 - 2 et \u003d x

Sur le segment [-1, 2] x ≥ x 2 - 2.

Nous utilisons la formule
, croyant f 1 (x) \u003d x; F 2 (x) \u003d x 2 - 2; a \u003d -1; b \u003d 2.

Exemple 2.Trouvez la zone de la figure limitée par les lignes Y \u003d 4 - x 2 et \u003d x 2 - 2x.

Le graphique de la fonction Y \u003d 4 - x 2 est une parabole avec un point maximal à un maximum \u003d 0, y \u003d 4; L'axe Abscissa se coupe aux points 2 et -2. Le graphique de la fonction y \u003d x 2 - 2x-parabola avec un point de minimum à 2x- 2 \u003d 0, x \u003d 1; y \u003d -1; L'axe ABSCISSA intersecte les points 0 et 2.

Nous trouverons les coordonnées de l'intersection des courbes:

4 - x 2 \u003d x 2 - 2x

2x 2 - 2x - 4 \u003d 0

x 2 - x - 2 \u003d 0

x \u003d 2; y \u003d 0 ou x \u003d -1; y \u003d 3

Ainsi, la figure, dont vous avez besoin de trouver, peut être élevée à la figure 4.10.

Figure 4.10 - Figure délimitée par des lignes Y \u003d 4 - x 2 et \u003d x 2 - 2x

Sur le segment [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 - 2x.

Nous utilisons la formule
, croyant f 1 (x) \u003d 4 - - - - x 2; F 2 (x) \u003d x 2 - 2x; a \u003d -1; b \u003d 2.

Exemple 3.Trouvez la zone de la figure limitée aux lignes Y \u003d 1 / x; Y \u003d x 2 et \u003d 4 dans un quartier de coordonnées non négatifs.

Le graphique de la fonction y \u003d 1 / x est une hyperbole, avec X positif qu'il convexe; Les axes de coordonnées sont des asymptotes. Le graphique de la fonction y \u003d x 2 dans un trimestre de coordonnées non négatif est une branche de parabole avec un point d'un minimum au début des coordonnées. Ces graphiques se croisent à 1 / x \u003d x 2; x 3 \u003d 1; x \u003d 1; y \u003d 1.

Un hight y \u003d 4 graphique de la fonction y \u003d 1 / x traverse x \u003d 1/4 et le graphique de la fonction y \u003d x 2 à x \u003d 2 (ou -2).

Ainsi, la figure, dont la surface doit être trouvée peut être représentée à la figure 4.11.

Figure 4.11 - Figure délimitée par des lignes Y \u003d 1 / x; y \u003d x 2 et \u003d 4 dans un quartier de coordonnées non négatifs

La zone souhaitée de la différence dans la différence entre la zone de rectangle d'Avna, qui est de 4 * (2 - ¼) \u003d 7, et la somme des zones de deux tracettes curviligne d'ASFE et SVNF. Nous calculons la zone d'ASF:

Calculez SVNF Square:

Ainsi, la zone souhaitée est de 7 - (LN4 + 7/3) \u003d 14/3 -LN43,28 (unités 2).

Calcul du carré de la figure - C'est peut-être l'une des tâches les plus complexes de la théorie de l'espace. Dans la géométrie de l'école, il est appris à trouver des zones des principales formes géométriques telles que, par exemple, un triangle, un losange, un rectangle, un trapèze, un cercle, etc. Cependant, il est souvent nécessaire de traiter le calcul des carrés de chiffres plus complexes. C'est lorsque vous résolvez de telles tâches, il est très pratique d'utiliser des calculs intégrés.

Définition.

Trapézique curviligne Ils appellent une figure G, limitée par les lignes y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a et x \u003d b, et la fonction f (x) est continue sur le segment [A; b] et ne change pas son signe dessus (Fig. 1).La zone du trapèze curviligne peut être notée par S (G).

Une intégrale spécifique ʃ A B F (x) DX pour la fonction F (x), qui est continue et non négative sur le segment [A; B], et il y a une zone du trapèze curviligne correspondant.

C'est-à-dire de trouver la zone de la figure G, limitée par les lignes y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a et x \u003d b, il est nécessaire de calculer une certaine intégrale ʃ AB F (x ) DX.

De cette façon, S (g) \u003d ʃ a b f (x) dx.

Dans le cas où la fonction y \u003d f (x) n'est pas positive sur [A; b], puis la zone du trapèze curviligne peut être trouvée par la formule S (g) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

Exemple 1.

Calculer la zone de la figure délimitée par les lignes Y \u003d x 3; y \u003d 1; x \u003d 2.

Décision.

Les lignes spécifiées forment une figure ABC, qui est indiquée par l'éclosion sur figure. 2.

La zone souhaitée est égale à la différence entre les zones de trapèze curviligne de la DACE et la place DABE.

Utilisation de la formule S \u003d ʃ A B F (x) DX \u003d S (B) - S (a), nous trouverons les limites d'intégration. Pour ce faire, résolvez le système de deux équations:

(Y \u003d x 3,
(Y \u003d 1.

Ainsi, nous avons x 1 \u003d 1 - la limite inférieure et x \u003d 2 - la limite supérieure.

Donc, S \u003d S DACE - S DABE \u003d ʃ 1 2 x 3 DX - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (sq.).

Réponse: 11/4 kV. unités.

Exemple 2.

Calculer la zone de la figure limitée par les lignes Y \u003d √H; y \u003d 2; x \u003d 9.

Décision.

Les lignes spécifiées forment une figure d'ABC, qui est limitée d'au-dessus du graphique

y \u003d √h, et au-dessous du graphique de la fonction y \u003d 2. La figure résultante est indiquée par l'éclosion sur figure. 3.

La zone souhaitée est S \u003d ʃ A B (√X - 2). Nous trouverons les limites d'intégration: B \u003d 9, pour trouver A, en résolvant le système de deux équations:

(y \u003d √h,
(Y \u003d 2.

Ainsi, nous avons que x \u003d 4 \u003d A est la limite inférieure.

Donc, S \u003d ∫ 4 9 (√x - 2) DX \u003d ∫ 4 9 √x DX -∫ 4 9 2DX \u003d 2/3 x√ x | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (sq.).

Réponse: S \u003d 2 2/3 mètres carrés. unités.

Exemple 3.

Calculer la zone de la figure, limitée par les lignes Y \u003d x 3 - 4x; y \u003d 0; x ≥ 0.

Décision.

Nous construisons un graphique de la fonction y \u003d x 3 - 4x à x ≥ 0. Pour ce faire, trouvez la dérivée du ":

y '\u003d 3x 2 - 4, Y' \u003d 0 à x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1.1 - points critiques.

Si vous décrivez des points critiques sur l'axe numérique et définissez les signes de la dérivée, nous obtenons que la fonction diminue de zéro à 2 / √3 et augmente de 2 / √3 à plus de l'infini. Puis x \u003d 2 / √3 est un point minimal, la valeur minimale de la fonction en min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Nous définissons les points d'intersection du graphique avec les axes des coordonnées:

si x \u003d 0, alors y \u003d 0, et donc, et (0; 0) - le point d'intersection avec l'axe ou l'axe;

si y \u003d 0, alors x 3 - 4x \u003d 0 ou x (x 2 à 4) \u003d 0, ou x (x-2) (x + 2) \u003d 0, où x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ne convient pas, car x ≥ 0).

Points A (0; 0) et dans (2; 0) - Les points d'intersection du graphique avec l'axe OH.

Les lignes spécifiées forment une figure de l'OAV, qui est montrée par l'éclosion sur figure. quatre.

Depuis la fonction y \u003d x 3 - 4x prend (0; 2) une valeur négative, puis

S \u003d | 0 2 (x 3 - 4x) DX |.

Nous avons: 0 2 (x 3 - 4x) DX \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4, d'où S \u003d 4 mètres carrés. unités.

Réponse: S \u003d 4 mètres carrés. unités.

Exemple 4.

Trouvez la zone de la figure limitée par parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, droite x \u003d 0, y \u003d 0 et tangente de ce parabole au point avec l'abscisse x 0 \u003d 2.

Décision.

Premièrement, l'équation est tangente au parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 au point avec l'abscisse x₀ \u003d 2.

Depuis le dérivé y '\u003d 4x - 2, puis à x 0 \u003d 2, nous obtenons k \u003d y' (2) \u003d 6.

Nous trouvons le point de touche d'ordonnée: à 0 \u003d 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 \u003d 5.

Par conséquent, l'équation de tangente a la forme: Y-5 \u003d 6 (x-2) ou y \u003d 6x - 7.

Construire une figure limitée des lignes:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G Y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - Parabola. Points d'intersection avec des axes de coordonnées: A (0; 1) - avec axe ou axe; avec l'axe OH - il n'y a pas de points d'intersection, car Équation 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 n'a pas de solutions (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, c'est-à-dire que le sommet du point b parabola B a coordonnée dans (1/2; 1/2).

Donc, la figure dont la zone est tenue de déterminer est illustrée par l'éclosion sur figure. cinq.

Nous avons: S O A dans D \u003d S OBC-S ADBC.

Nous trouverons les coordonnées du point D de la condition:

6x - 7 \u003d 0, c'est-à-dire x \u003d 7/6, cela signifie DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

DBC Triangle Zone Trouver en fonction de la formule S adbc \u003d 1/2 · DC · BC. De cette façon,

S adbc \u003d 1/2 · 5/6 · 5 \u003d 25/12 kV. unités.

S OABC \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) DX \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + X) | 0 2 \u003d 10/3 (sq. Nourriture.).

Nous obtinons enfin: S O A dans D \u003d S OBC-S ADBC \u200b\u200b\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (SQ. M. UZH).

Réponse: S \u003d 1 1/4 kV. unités.

Nous avons désassemblé des exemples trouver les carrés des figures limitées par les lignes spécifiées. Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous devez être capable de construire sur le plan de la ligne et des graphiques de fonctions, de trouver les points d'intersection des lignes, d'appliquer la formule de recherche de la zone, ce qui implique la présence de compétences et de compétences pour calculer certains intégrales.

le site, avec une copie totale ou partielle de la référence matérielle à la source d'origine est requise.

Avec l'aide d'une intégrale spécifique, il est possible de calculer la zone de chiffres plats, car cette tâche est toujours descendante pour calculer la zone de trapèze curvilignear.

La zone de toute forme dans le système de coordonnées rectangulaires peut être composée de la zone de trapèze curvilignes adjacents à l'axe Oh ou à l'axe Or.

Les tâches de calcul de la zone de chiffres plates sont correctement résolues par le plan suivant:

1. Par l'état de la tâche, faites un dessin schématique

2. Présenter la zone souhaitée comme une quantité ou une différence dans les zones de trapèze curvilignear. À partir de la condition du problème et du dessin, les limites d'intégration de chaque composant du trapèze curviligne sont déterminées.

3. Enregistrez chaque fonction sous forme de y \u003d f (x).

4. Calculez la zone de chaque trapèze curviligne et de la zone de la figure souhaitée.

Considérez plusieurs options pour l'emplacement des chiffres.

une). Laisser sur le segment [ une; B.] Une fonction f (x)ne prend pas valeurs négatives. Puis le calendrier de la fonction y \u003d f (x) Situé au-dessus de l'axe Oh.

S \u003d.

2). Laisser sur le segment [ une; B.] Fonction continue non possée f (x).Puis le calendrier de la fonction y \u003d f (x) Situé sous l'axe Oh:

La zone d'une telle figure est calculée par la formule: S \u003d -

La zone d'une telle figure est calculée par la formule: S \u003d.

quatre). Laisser sur le segment [ une; B.] Une fonction f (x)prend des valeurs positives et négatives. Puis le segment [ une; B.] Vous devez vous diviser dans de telles pièces, dans chacun desquels la fonction ne change pas le signe, puis selon les formules ci-dessus, calculez la zone correspondant à ces pièces et dans les zones trouvées à ajouter.

S 1 \u003d S 2 \u003d - S F \u003d S 1 + S 2

En fait, afin de trouver la superficie du chiffre, il n'existe aucune connaissance de ce type d'intégration incertaine et définie. La tâche "Calculer la zone à l'aide d'une intégrale spécifique" implique toujours la construction du dessinPar conséquent, une question beaucoup plus pertinente sera vos connaissances et vos compétences des dessins de construction. À cet égard, il est utile de rafraîchir dans la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et du moins être capable de construire une ligne droite et Hyperbole.

Le trapézion curviligne est appelé figure plate, limitée à l'axe, droit et un horaire continu sur un segment d'une fonction qui ne change pas le signe de cet intervalle. Laissez cette figure être située pas moins L'axe Abscissa:

Puis la zone du trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale spécifique. Toute intégrale particulière (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

Du point de vue de la géométrie, une certaine intégrale est une zone.

C'est à dire, Une intégrale spécifique (s'il existe) est géométrale correspond à la zone de certaines formes. Par exemple, envisagez une intégrale spécifique. La fonction d'intégrande définit une courbe sur le plan, située au-dessus de l'axe (qui souhaite dessiner le dessin) et l'intégration spécifique elle-même est numériquement égale à la zone du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1.

Ceci est une formulation de tâche typique. Premièrement je. le moment le plus important Solutions - Dessin de bâtiment. Et le dessin doit être construit DROITE.

Dans cette tâche, la décision peut ressembler à cela.
Effectuez le dessin (notez que l'équation définit l'axe):

Sur le programme de segment, une fonction est située sur l'axe, donc:

Répondre:

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et l'estimation, le réel s'est avéré. Dans ce cas, "sur les yeux", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - bien, environ 9 seront pilotés, il semble que la vérité. Il est clair que si nous avions, disons, répondez: 20 unités carrées, il est évident qu'une erreur est faite quelque part - sur la figure de 20 cellules, elle n'est clairement pas montée, de la force d'une douzaine. Si la réponse s'est révélée négative, la tâche est également décidée de manière incorrecte.

Exemple 3.

Calculez la zone de la forme, des lignes limitées et des axes de coordonnées.

Décision: Effectuer le dessin:

Si le trapèze curviligne est situé sous l'axe(ou au moins pas plus élevé Cet axe), puis sa zone peut être trouvée par la formule:

Dans ce cas:

Attention! Ne confondez pas deux types de tâches:

1) Si vous êtes invité à résoudre une simple intégrale sans signification géométrique, cela peut être négatif.

2) Si vous êtes invité à trouver la figure de la figure à l'aide d'une intégrale spécifique, la zone est toujours positive! C'est pourquoi, dans la formule considérée, semble moins.

En pratique, la figure est la plus souvent située dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc des cartes à l'école les plus simples, allez à des exemples plus significatifs.

Exemple 4.

Trouvez la zone d'une figure plate, lignes limitées ,.

Décision: Tout d'abord, vous devez dessiner un dessin. De manière générale, lors de la construction d'un dessin dans les tâches de la région, nous nous intéressons le plus aux points d'intersection des lignes. Trouvez des points d'intersection de la parabole et de direct. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. Nous résolvons l'équation:

Donc, la limite d'intégration inférieure, la limite supérieure de l'intégration.

De cette façon, c'est mieux, si possible, n'utilisez pas.

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de créer les lignes de la ligne, tandis que les limites d'intégration sont clarifiées comme si "par elles-mêmes". Cependant, une manière analytique de trouver les limites après tout, il est parfois nécessaire de postuler si, par exemple, le calendrier est suffisamment important ou une construction formée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnées ou irrationnelles). Et un tel exemple, nous considérons également.

Nous revenons à notre tâche: plus rationnelle construit d'abord une ligne droite et seulement de Parabola. Effectuer le dessin:

Et maintenant la formule de travail: Si sur le segment une fonction continue plus ou égal Une fonction continue, la zone de la figure, limitée par des graphiques de ces fonctions et directes, peut être trouvée par la formule:

Ici, il n'est plus nécessaire de penser où la figure est située - sur l'axe ou sous l'axe, et, à peu près parlant, important quel est le graphique ci-dessus(par rapport à un autre horaire) et quoi - ci-dessous.

Dans cet exemple, il est évident que sur le segment de Parabola est situé au-dessus droit, il est donc nécessaire de soustraire

L'achèvement de la solution peut ressembler à ceci:

La figure souhaitée est limitée à la parabole d'en haut et de fond direct.
Sur le segment, selon la formule correspondante:

Répondre:

Exemple 4.

Calculez la zone de la forme, des lignes limitées ,,,.

Décision: D'abord le dessin:

Figure dont nous avons besoin de trouver est ombré en bleu (Regardez attentivement la condition - que la figure est limitée!). Mais dans la pratique, "glitch" se pose souvent dans la pleine conscience que vous devez trouver une zone de la figure, qui est ombragée de vert!

Cet exemple est toujours utile et le fait que la zone du chiffre est considérée en utilisant deux intégrales spécifiques.

Vraiment:

1) Un horaire droit est situé sur le segment sur l'axe;

2) Sur le segment sur l'axe, il existe un graphique d'hyperboles.

Il est clair que le carré peut (et avoir besoin) de décomposer, donc:

Certaine intégrale. Comment calculer la zone de la figure

Allez à l'examen des applications d'application intégrale. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante. - Comment calculer la forme du plan avec une intégrale spécifique. Enfin, voir la signification dans des mathématiques plus élevées - le trouvera. Peu. Nous devrons nous rapprocher de la vie country Cottage Zone Fonctions élémentaires et trouver sa zone en utilisant une intégrale spécifique.

Pour le développement de matériel réussi, il est nécessaire:

1) Comprendre l'intégrale indéfinie d'au moins un niveau moyen. Ainsi, les théapotes devraient être familières avec la leçon Pas.

2) Pour pouvoir appliquer la formule de la Newton Labnic et calculer une intégrale spécifique. Établir des amitiés chaudes avec certaines intégrales sur la page Certaine intégrale. Exemples de solutions.

En fait, afin de trouver la superficie du chiffre, il n'existe aucune connaissance de ce type d'intégration incertaine et définie. La tâche "Calculer la zone à l'aide d'une intégrale spécifique" implique toujours la construction du dessinPar conséquent, une question beaucoup plus pertinente sera vos connaissances et vos compétences des dessins de construction. À cet égard, il est utile de rafraîchir dans la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires principales, et du moins, être capable de construire une ligne droite, parabole et hyperbole. Cela peut être fait (beaucoup - nécessaire) avec matériau méthodique et des articles sur les transformations géométriques des graphiques.

En fait, avec la tâche de trouver une zone à l'aide d'une intégrale spécifique, tout le monde est familier de l'école et nous mangerons peu de programme scolaire. Cet article n'a même pas pu être, mais le fait est que la tâche se trouve dans 99 cas sur 100, lorsque l'élève souffre d'une tour haineuse avec enthousiasme au cours de la mathématique supérieure.

Les matériaux de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze curviligneaire.

Trapézique curviligne Une figure plate est appelée axe limité, droit et un horaire continu sur un segment d'une fonction qui ne modifie pas le signe de cet intervalle. Laissez cette figure être située pas moins L'axe Abscissa:

Puis la zone du trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale spécifique. Toute intégrale particulière (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Certaine intégrale. Exemples de solutions J'ai dit qu'une certaine intégrale est un nombre. Et maintenant il est temps d'indiquer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, une certaine intégrale est une zone.

C'est à dire, une intégrale spécifique (si elle existe) est géométrique correspond à la zone de certaines figures. Par exemple, envisagez une intégrale spécifique. La fonction d'intégrande définit une courbe sur le plan, située au-dessus de l'axe (qui souhaite dessiner le dessin) et l'intégration spécifique elle-même est numériquement égale à la zone du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1.

Ceci est une formulation de tâche typique. Le premier et le plus important point de la décision - construire un dessin. Et le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant: premier Il vaut mieux construire tout droit (s'ils sont) et seulement plus tard - Parabolas, hyperbolas, horaires d'autres fonctions. Les graphiques de fonction sont plus rentables pour construire potochoeAvec la technique de construction d'enregistrement peut être trouvée dans le matériau de référence. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Là, vous pouvez également trouver un matériau très utile par rapport à notre leçon. Comment construire rapidement une parabole.

Dans cette tâche, la décision peut ressembler à cela.
Effectuez le dessin (notez que l'équation définit l'axe):

Je ne caresserai pas de trapèze curviligne, il est évident ici de quelle zone il y a un discours. La décision continue comme ceci:

Sur le programme de segment, une fonction est située sur l'axe, donc:

Répondre:

Qui a des difficultés avec le calcul d'une certaine intégrale et l'utilisation de la formule de Newton-Leibnia , se référer à la conférence Certaine intégrale. Exemples de solutions.

Exemple 2.

Calculer la zone de la forme, des lignes limitées et un axe

C'est un exemple pour s'auto-décider. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze curviligne est situé sous l'axe?

Exemple 3.

Calculez la zone de la forme, des lignes limitées et des axes de coordonnées.

Décision: Effectuer le dessin:

Si le trapèze curviligne est situé sous l'axe (ou au moins pas plus élevé Cet axe), puis sa zone peut être trouvée par la formule:
Dans ce cas:

Attention! Ne confondez pas deux types de tâches:

1) Si vous êtes invité à résoudre une simple intégrale sans signification géométrique, cela peut être négatif.

2) Si vous êtes invité à trouver la figure de la figure à l'aide d'une intégrale spécifique, la zone est toujours positive! C'est pourquoi, dans la formule considérée, semble moins.

En pratique, la figure est la plus souvent située dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc des cartes à l'école les plus simples, allez à des exemples plus significatifs.

Exemple 4.

Trouvez la zone d'une figure plate, lignes limitées ,.

Donc, la limite d'intégration inférieure, la limite supérieure de l'intégration.
De cette façon, c'est mieux, si possible, n'utilisez pas.

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de créer les lignes de la ligne, tandis que les limites d'intégration sont clarifiées comme si "par elles-mêmes". La technique de la cessation pour divers graphiques est considérée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires . Cependant, une manière analytique de trouver les limites après tout, il est parfois nécessaire de postuler si, par exemple, le calendrier est suffisamment important ou une construction formée n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnées ou irrationnelles). Et un tel exemple, nous considérons également.

Nous revenons à notre tâche: plus rationnelle construit d'abord une ligne droite et seulement de Parabola. Effectuer le dessin:

Je répète que dans la construction actuelle, les limites d'intégration sont le plus souvent découvertes par «Automatique».

Dans cet exemple, il est évident que sur le segment de Parabola est situé au-dessus droit, il est donc nécessaire de soustraire

L'achèvement de la solution peut ressembler à ceci:

La figure souhaitée est limitée à la parabole d'en haut et de fond direct.
Sur le segment, selon la formule correspondante:

Répondre:

En fait, la formule de l'école pour la zone du trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n ° 3) - un cas particulier de formule . Puisque l'axe est défini par l'équation et le graphique de fonction est situé pas plus élevé Axe, T.

Et maintenant quelques exemples pour une décision indépendante

Exemple 5.

Exemple 6.

Trouvez la zone de la figure limitée lignes ,.

Au cours de la résolution de tâches pour calculer la zone avec une intégrale spécifique, un cas amusant se produit parfois. Le dessin est terminé correctement, les calculs - droit, mais intensifiés ... trouvé la zone n'est pas la figureC'est ainsi que votre humble serviteur était emballé. Voici un vrai cas de la vie:

Exemple 7.

Calculez la zone de la forme, des lignes limitées ,,,.

Décision: D'abord le dessin:

... Oh, le dessin de Khrenovynsky est sorti, mais tout semble ramasser.

Cet exemple est toujours utile et le fait que la zone du chiffre est considérée en utilisant deux intégrales spécifiques. Vraiment:

1) Un horaire droit est situé sur le segment sur l'axe;

2) Sur le segment sur l'axe, il existe un graphique d'hyperboles.

Il est clair que le carré peut (et avoir besoin) de décomposer, donc:

Répondre:

Aller à une autre tâche de fond.

Exemple 8.

Calculer la zone de la forme, des lignes limitées,
Imaginez l'équation dans la forme «école» et effectuez le dessin actuel:

Du dessin, il est clair que la limite supérieure que nous avons "bonne" :.
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n'est pas un entier, mais quoi? Peut-être ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une précision parfaite, il se peut que cela pourrait bien être cela. Ou racine. Et si nous avons généralement intégré un calendrier?

Dans de tels cas, vous devez passer du temps supplémentaire et spécifier les limites d'intégration analytiquement.

Trouvez les points d'intersection des points directs et parabolais.
Pour ce faire, résolvez l'équation:

,

En effet.

Une autre solution est triviale, l'essentiel est de ne pas être confondu dans des substitutions et des signes, les calculs ici ne sont pas les plus simples.

Sur la coupe Selon la formule correspondante:

Répondre:

Eh bien, et dans la conclusion de la leçon, considérons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9.

Calculer la zone de la forme, des lignes limitées ,,

Décision: Montrer cette forme dans le dessin.

Bon sang, j'ai oublié le calendrier de signer, mais de refaire la photo, désolé, pas un hotz. Pas hérité, plus court, jour aujourd'hui \u003d)

Pour la construction d'enregistrement, vous devez savoir apparence sinusoïdes (et il est généralement utile de savoir graphes de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusales, elles peuvent être trouvées dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans la présente), il est permis de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être reflétés en principe.

Avec les limites de l'intégration, il n'y a pas de problèmes ici, ils suivent directement de la condition: - "X" varie de zéro à "PI". Nous établissons une autre solution:

Sur le segment, le graphique de fonction est situé au-dessus de l'axe, donc: