Перпендикуляр, начертан от прав ъгъл към хипотенузата. Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник- това е триъгълник, един от ъглите е прав, тоест е равен на 90 градуса.

Страната, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза (на фигурата е обозначена като ° Сили AB)
Страната, съседна на десния ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два крака (означени на фигурата като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

Обозначения на формули:

(виж снимката по-горе)

а, б- катета на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълника

С- квадрат

з- височината, спусната от върха на правия ъгъл до хипотенузата

м а аот противоположния ъгъл ( α )

м бе медианата, изтеглена настрани бот противоположния ъгъл ( β )

m cе медианата, изтеглена настрани ° Сот противоположния ъгъл ( γ )

V правоъгълен триъгълник всеки от катетите е по-малък от хипотенузата(Формули 1 и 2). Това свойство е следствие от Питагоровата теорема.

Косинусът на всеки от острите ъглипо-малко от едно (Формули 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по-малък от хипотенузата, тогава отношението на катета към хипотенузата винаги е по-малко от едно.

Квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катета (теорема на Питагор). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сума от квадрати на медианитекъм катета, е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата на хипотенузата, разделени на четири (Формула 7). В допълнение към горното има Още 5 формули, затова се препоръчва да се запознаете и с урока "Медиана на правоъгълен триъгълник", който описва по-подробно свойствата на медианата.

Височинаправоъгълен триъгълник е равен на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (Формула 8)

Квадратите на катета са обратно пропорционални на квадрата на височината, спусната до хипотенузата (Формула 9). Това тъждество е и едно от следствията на питагоровата теорема.

Дължина на хипотенузатае равна на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност... Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиус v правоъгълен триъгълник кръговеможе да се намери като половината от израз, който включва сбора от краката на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведението на краката, разделено на сумата от всички страни (периметър) на даден триъгълник. (Формула 11)
Синус ъгъл отношение на противоположнототози ъгъл крак към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на задачи. Като знаете размера на страните, можете да намерите ъгъла, който те образуват.

Косинусът на ъгъла A (α, alpha) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на поведение съседентози ъгъл крак към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)

(ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл.

Съвет 1: Как да намерите височината в правоъгълен триъгълник

Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат крака. Страничната снимка AD, DC и BD, DC- крака и страни КАТОи SV- хипотенуза.

Теорема 1. В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°, катетът, противоположен на този ъгъл, разбива половината от хипотенузата.

АБ- хипотенуза;

АДи DB

триъгълник
Има една теорема:
система за коментиране CACKLЕ

Решение: 1) Диагоналите на всеки правоъгълник са равни Правилно 2) Ако в триъгълника има един остър ъгъл, тогава този триъгълник е остър. Не е вярно. Видове триъгълници. Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест под 90° 3) Ако точката лежи върху.

Или в друг запис,

По теоремата на Питагор

Каква е височината във формулата за правоъгълен триъгълник

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, може да се намери по един или друг начин, в зависимост от данните в формулировката на задачата.

Или в друг запис,

Където BK и KC са проекциите на катетите към хипотенузата (сегментите, на които височината разделя хипотенузата).

Височината, изтеглена към хипотенузата, може да се намери чрез площта на правоъгълен триъгълник. Ако приложим формулата, за да намерим площта на триъгълник

(половината от произведението на страната от височината, изтеглена към тази страна) към хипотенузата и височината, изтеглена към хипотенузата, получаваме:

От тук можем да намерим височината като отношението на удвоената площ на триъгълника към дължината на хипотенузата:

Тъй като площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката:

Тоест дължината на височината, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на краката към хипотенузата. Ако обозначим дължините на катетите през a и b, дължината на хипотенузата през c, формулата може да се пренапише като

Тъй като радиусът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, е равен на половината от хипотенузата, дължината на височината може да бъде изразена чрез краката и радиуса на описаната окръжност:

Тъй като височината, изтеглена към хипотенузата, образува още два правоъгълни триъгълника, нейната дължина може да се намери чрез съотношенията в правоъгълния триъгълник.

От правоъгълен триъгълник ABK

От правоъгълен триъгълник ACK

Дължината на височината на правоъгълен триъгълник може да се изрази чрез дължината на краката. Защото

По теоремата на Питагор

Ако поставите на квадрат двете страни на равенството:

Можете да получите друга формула за свързване на височината на правоъгълен триъгълник с краката:

Каква е височината във формулата за правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катета и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - освежете знанията си

Възможно е вече да сте използвали питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да постъпим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате колко умно разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами гледате чертежа и се замисляте защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат? Точно така, . По-малка площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме по две наведнъж и ги опряхме една на друга с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "изрезките" е равна на.

Нека сглобим всичко сега.

Така че посетихме Питагор – доказахме неговата теорема по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник са валидни следните отношения:

Синусът на острия ъгъл е равен на съотношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на съседния крак към противоположния.

И още веднъж, всичко това е под формата на чиния:

Забелязали ли сте едно много удобно нещо? Погледнете внимателно знака.

Много е удобно!

Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници

II. На крака и хипотенузата

III. По хипотенуза и остър ъгъл

IV. На крак и остър ъгъл

Внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако е така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИКИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един и същ остър ъгъл.

Трябва да И в двата триъгълника кракът е бил съседен, или в двата триъгълника, противоположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците? Разгледайте темата "Триъгълник" и обърнете внимание на факта, че за равенство на "обикновените" триъгълници се нуждаете от равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същото е положението със знаците за подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници

III. На крака и хипотенузата

Медиана в правоъгълен триъгълник

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Да начертаем диагонал и да разгледаме пресечната точка на диагоналите. Какво се знае за диагоналите на правоъгълника?

Точката на пресичане на диагонала е наполовина.Диагоналите са равни на

И какво следва от това?

Така се оказа, че

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Каква полза можете да получите от факта, че медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека разгледаме снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме:, тоест разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ на ОПИСАНИЯ КРЪГ. И какво стана?

Нека започнем с това „освен това. ".

Но в такива триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Имайте същите остри ъгли!

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - Две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Нека напишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме Първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник".:

Как се снабдява с втора?

Сега нека приложим сходството на триъгълниците и.

И така, нека приложим сходството:.

Какво се случва сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И двете формули трябва да се запомнят много добре и коя е по-удобна за прилагане. Нека ги запишем отново

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всеки проблем с правоъгълен триъгълник!

Коментари (1)

Разпространението на материали без одобрение е разрешено, ако има връзка dofollow към изходната страница.

Политика за поверителност

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Свойството на височината на правоъгълен триъгълник, паднала от хипотенузата

Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини. В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Благодаря за съобщението!

Вашият коментар е приет, след модериране ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да разберете какво се крие под разфасовката и да получите ексклузивни материали за подготовка за изпит и изпит? Оставете своя имейл

Свойства на правоъгълен триъгълник

Помислете за правоъгълен триъгълник (ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат крака. Страничната снимка AD, DC и BD, DC- крака и страни КАТОи SV- хипотенуза.

Признаци за равенство на правоъгълен триъгълник:

Теорема 1. Ако хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и катета на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 2. Ако два катета на правоъгълен триъгълник са равни на два катета на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 3. Ако хипотенузата и остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и остър ъгъл на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 4. Ако един катет и съседен (противоположен) остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са равни на катет и съседен (противоположен) остър ъгъл на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Свойства на крака, противоположен на ъгъла от 30 °:

Теорема 1.

Височина в правоъгълен триъгълник

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 ° кракът, противоположен на този ъгъл, се счупва до половината от хипотенузата.

Теорема 2. Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, тогава противоположният ъгъл е 30°.

Ако височината се изтегли от върха на прав ъгъл до хипотенузата, тогава такъв триъгълник се разделя на два по-малки, подобни на изходящите и подобни един на друг. Това води до следните изводи:

Височината е средното геометрично (пропорционално средно) на двата сегмента на хипотенузата.
Всеки катет на триъгълника е средната пропорционална на хипотенузата и съседните сегменти.

В правоъгълен триъгълник краката действат като височини. Ортоцентърът е точката, в която се пресичат височините на триъгълника. Той съвпада с върха на десния ъгъл на фигурата.

hC- височината, изходяща от десния ъгъл на триъгълника;

АБ- хипотенуза;

АДи DB- сегментите, възникнали при разделяне на хипотенузата по височина.

Връщане към преглед на референции за дисциплината "Геометрия"

триъгълникТова е геометрична фигура, състояща се от три точки (върхове), които не са на една и съща права линия и три сегмента, свързващи тези точки. Правоъгълен триъгълник е триъгълник, който има един от ъглите от 90 ° (прав ъгъл).
Има една теорема:сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90 °.
система за коментиране CACKLЕ

Ключови думи:триъгълник, прав ъгъл, катет, хипотенуза, питагорова теорема, кръг

Триъгълникът се нарича правоъгълнаако има прав ъгъл.
Правоъгълният триъгълник има две взаимно перпендикулярни страни, наречени крака; се нарича третата му страна хипотенуза.

Според свойствата на перпендикуляра и наклона хипотенузата е по-дълга от всеки от катетите (но по-малка от тяхната сума).
Сумата от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равна на правия ъгъл.
Две височини на правоъгълен триъгълник съвпадат с неговите катети. Следователно една от четирите забележителни точки попада във върховете на правия ъгъл на триъгълника.
Центърът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник се намира в средата на хипотенузата.
Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правоъгълния ъгъл до хипотенузата, е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.

Да разгледаме произволен правоъгълен триъгълник ABC и да начертаем височината СD = hc от върха С на неговия десен ъгъл.

Той ще раздели този триъгълник на два правоъгълни триъгълника ACD и BCD; всеки от тези триъгълници има общ остър ъгъл с триъгълника ABC и следователно е подобен на триъгълника ABC.

И трите триъгълника ABC, ACD и BCD са подобни един на друг.

От сходството на триъгълниците се определят следните отношения:

$$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
c = ac + bc;
$$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
$$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

Питагорова теоремаедна от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Геометрична формулировка.В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху катета.

Алгебрична формулировка.В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.
Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през c и дължините на катетите през a и b:
a2 + b2 = c2

Обратната теорема на Питагор.

Височина на правоъгълен триъгълник

За всяка тройка положителни числа a, b и c такива, че
a2 + b2 = c2,
има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

по протежение на крака и хипотенузата;
на два крака;
по протежение на крака и остър ъгъл;
по хипотенуза и остър ъгъл.

Вижте също:
Площ на триъгълник, равнобедрен триъгълник, равностранен триъгълник

Геометрия. 8 клас. Тест 4. Опция 1 .

АД : CD = CD : BD. Следователно CD2 = AD ∙ BD. Те казват:

АД : AC = AC : АБ. Следователно AC2 = AB ∙ АД. Те казват:

BD : BC = BC : АБ. Следователно BC2 = AB ∙ BD.

Решете задачите:

а) 70 см; Б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; д) 53 см.

2. Височината на правоъгълен триъгълник, начертан на хипотенузата, разделя хипотенузата на отсечки 9 и 36.

Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; Б) 19; ° С) 9; Д) 12; д) 18.

а) 30,25; Б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; д) 32,25.

а) 25; Б) 24; ° С) 27; Д) 26; д) 21.

а) 8; Б) 7; ° С) 6; Д) 5; д) 4.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30.

Как да намеря височината в правоъгълен триъгълник?

Намерете разстоянието от върха на прав ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; Б) 16; ° С) 15; Д) 14; д) 12.

10.

а) 15; Б) 18; ° С) 20; Д) 16; д) 12.

а) 80; Б) 72; ° С) 64; Д) 81; д) 75.

12.

а) 7,5; Б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; д) 7.

Сравнете отговорите!

D8.04.1. Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник

Геометрия. 8 клас. Тест 4. Опция 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90 °. AC и BC катети, AB хипотенуза.

CD е височината на триъгълника, изтеглен към хипотенузата.

AD проекция на AC крак върху хипотенузата,

BD проекция на BC крак върху хипотенузата.

Височината CD разделя триъгълник ABC на два подобни триъгълника (и един спрямо друг): Δ ADC и Δ CDB.

От пропорционалността на страните като Δ ADC и Δ CDB следва:

АД : CD = CD : BD.

Свойството на височината на правоъгълен триъгълник, паднала от хипотенузата.

Следователно CD2 = AD ∙ BD. Те казват: височината на правоъгълен триъгълник, начертан на хипотенузата,има средна пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата.

От приликата между Δ ADC и Δ ACB следва:

АД : AC = AC : АБ. Следователно AC2 = AB ∙ АД. Те казват: всеки катет е средната пропорционална стойност между цялата хипотенуза и проекцията на този катет върху хипотенузата.

По същия начин от сходството на Δ СDВ и Δ АCB следва:

BD : BC = BC : АБ. Следователно BC2 = AB ∙ BD.

Решете задачите:

1. Намерете височината на правоъгълен триъгълник, начертан на хипотенузата, ако той разделя хипотенузата на отсечки 25 cm и 81 cm.

а) 70 см; Б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; д) 53 см.

2. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена до хипотенузата, разделя хипотенузата на отсечки 9 и 36. Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; Б) 19; ° С) 9; Д) 12; д) 18.

4. Височината на правоъгълен триъгълник, начертан до хипотенузата, е 22, проекцията на единия катет е 16. Намерете проекцията на другия катет.

а) 30,25; Б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; д) 32,25.

5. Катетът на правоъгълен триъгълник е 18, а проекцията му върху хипотенузата е 12. Намерете хипотенузата.

а) 25; Б) 24; ° С) 27; Д) 26; д) 21.

6. Хипотенузата е 32. Намерете катета, чиято проекция върху хипотенузата е 2.

а) 8; Б) 7; ° С) 6; Д) 5; д) 4.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 45. Намерете катета, чиято проекция спрямо хипотенузата е 9.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30. Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; Б) 16; ° С) 15; Д) 14; д) 12.

10. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 41, а проекцията на един от катетите е 16. Намерете дължината на височината, изтеглена от върха на правия ъгъл до хипотенузата.

а) 15; Б) 18; ° С) 20; Д) 16; д) 12.

а) 80; Б) 72; ° С) 64; Д) 81; д) 75.

12. Разликата между проекциите на катетите върху хипотенузата е 15, а разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата е 4. Намерете радиуса на описаната окръжност.

а) 7,5; Б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; д) 7.

Имот: 1.Във всеки правоъгълен триъгълник височината, спусната от правия ъгъл (от хипотенузата), разделя правоъгълния триъгълник на три подобни триъгълника.

Имот: 2.Височината на правоъгълен триъгълник, спусната върху хипотенузата, е равна на средното геометрично на проекциите на катетите към хипотенузата (или на средното геометрично на тези отсечки, на които височината разбива хипотенузата).

Имот: 3.Катетът е равен на средната геометрична стойност на хипотенузата и проекцията на този катет към хипотенузата.

Имот: 4.Катетът срещу ъгъл от 30 градуса е равен на половината от хипотенузата.

Формула 1.

Формула 2.където е хипотенузата; , крака.

Имот: 5.В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на неговата половина и е равна на радиуса на описаната окръжност.

Свойство: 6. Зависимост между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник:

44. Теорема за косинусите. Последици: връзка между диагонали и страни на паралелограма; определяне на вида на триъгълника; формула за изчисляване на дължината на медианата на триъгълник; изчисляване на косинуса на ъгъла на триъгълника.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

клас. Програма за колоквиум Основи на планиметрията

Свойството на съседни ъгли .. определяне на два съседни ъгъла, ако едната страна е обща с другите две, образувайки права линия ..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база от произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запишете на страницата си в социалните мрежи:

триъгълници.

Основни понятия.

триъгълнике фигура, състояща се от три отсечки и три точки, които не лежат на една права линия.

Сегментите се наричат партии, и точки - върхове.

Сбор от ъглитриъгълник е равен на 180º.

Височината на триъгълника.

Височина на триъгълнике перпендикуляр, изтеглен от върха към противоположната страна.

В триъгълник с остър ъгъл височината се съдържа в триъгълника (фиг. 1).

В правоъгълен триъгълник катетите са височините на триъгълника (фиг. 2).

В тъп триъгълник височината е извън триъгълника (фигура 3).

Свойства на височината на триъгълника:

Симетрала на триъгълник.

Симетрала на триъгълнике отсечка, която разделя ъгъла на върха наполовина и свързва върха с точка от противоположната страна (фиг. 5).

Свойства на бисектриса:

Медиана на триъгълника.

Медиана на триъгълнике отсечка, свързваща върха със средата на противоположната страна (фиг. 9а).

Дължината на медианата може да се изчисли по формулата:

2б 2 + 2° С 2 - а 2
м а 2 = ——————
4

където м ае медианата, изтеглена настрани а.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към хипотенузата, е половината от хипотенузата:

° С
m c = —
2

където m c- медианата, изтеглена към хипотенузата ° С(Фигура 9в)

Медианите на триъгълника се пресичат в една точка (в центъра на масата на триъгълника) и се разделят на тази точка в съотношение 2: 1, като се брои от върха. Тоест сегментът от върха до центъра е два пъти по-голям от сегмента от центъра до страната на триъгълника (Фигура 9в).

Три медиани на триъгълник го разделят на шест равни триъгълника.

Средната линия на триъгълника.

Средна линия на триъгълнике сегмент, свързващ средните точки на двете му страни (фиг. 10).

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и е равна на половината от нея

Външният ъгъл на триъгълника.

Външен ъгълтриъгълник е равен на сбора от два несъседни вътрешни ъгъла (фиг. 11).

Външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки несъседен ъгъл.

Правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълнике триъгълник с прав ъгъл (фиг. 12).

Страната на правоъгълен триъгълник срещу прав ъгъл се нарича хипотенуза.

Извикват се другите две партии крака.

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник.

1) В правоъгълен триъгълник височината, изтеглена от прав ъгъл, образува три подобни триъгълника: ABC, ACH и HCB (фиг. 14а). Съответно ъглите, образувани от височината, са равни на ъглите A и B.

Фиг.14а

Равнобедрен триъгълник.

Равнобедрен триъгълнике триъгълник с две равни страни (фиг. 13).

Тези равни страни се наричат странични страниа третото е основатриъгълник.

В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни. (В нашия триъгълник ъгъл A е равен на ъгъл C).

В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е едновременно ъглополовящата и височината на триъгълника.

Равностранен триъгълник.

Равностранният триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни (фиг. 14).

Свойства на равностранен триъгълник:

Прекрасни свойства на триъгълниците.

Триъгълниците имат оригинални свойства, които ще ви помогнат успешно да решавате проблеми с тези форми. Някои от тези свойства са описани по-горе. Но ние ги повтаряме още веднъж, добавяйки към тях няколко други страхотни функции:

1) В правоъгълен триъгълник с ъгъл 90º, 30º и 60º б, който лежи срещу ъгъл от 30º, е равен на половината от хипотенузата. И кракъта повече кракб√3 пъти (фиг. 15 а). Например, ако катет b е 5, тогава хипотенузата ° Сзадължително равно на 10, а кракът ае равно на 5√3.

2) В правоъгълен равнобедрен триъгълник с ъгли 90º, 45º и 45º хипотенузата е √2 пъти катета (фиг. 15 б). Например, ако краката са 5, тогава хипотенузата е 5√2.

3) Средната линия на триъгълника е равна на половината от успоредната страна (фиг.15 С). Например, ако страната на триъгълник е 10, тогава успоредната средна линия е 5.

4) В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата (Фигура 9в): m c= s / 2.

5) Медианите на триъгълник, пресичащи се в една точка, се делят на тази точка в съотношение 2: 1. Тоест сегментът от върха до точката на пресичане на медианите е два пъти по-голям от сегмента от точката на пресичане на медианите до страната на триъгълника (Фигура 9в)

6) В правоъгълен триъгълник средата на хипотенузата е центърът на описаната окръжност (фиг. 15 д).

Тестове за равенство за триъгълници.

Първият знак за равенство: ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Вторият знак за равенство: ако страната и прилежащите към нея ъгли на единия триъгълник са равни на страната и ъглите, прилежащи към нея на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Третият знак за равенство: ако три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Неравенство на триъгълник.

Във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.

Питагорова теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:

° С 2 = а 2 + б 2 .

Площ на триъгълник.

1) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата страна от височината, изтеглена към тази страна:

ах
С = ——
2

2) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на всички две от неговите страни от синуса на ъгъла между тях:

1
С = — АБ AC · грях А
2

Триъгълник, описан около окръжност.

Кръг се нарича вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни (фиг.16 а).

Триъгълник, вписан в окръжност.

Триъгълник се нарича вписан в окръжност, ако го докосва с всичките си върхове (фиг. 17 а).

Синус, косинус, тангенс, котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник (фиг. 18).

Синусостър ъгъл х противопоставянекрак към хипотенузата.
Означава се така: гряхх.

косинусостър ъгъл хправоъгълен триъгълник е съотношението съседенкрак към хипотенузата.
Означава се така: cos х.

Тангентаостър ъгъл хе съотношението на противоположния крак към съседния крак.
Означава се така: tgх.

Котангенсостър ъгъл х- Това е съотношението на съседния крак към противоположния.
Означава се така: ctgх.

правила:

Крак срещу ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и греха х:

b = cгрях х

Крак в непосредствена близост до ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и cos х:

a = c Cos х

Крак срещу ъгъла х, е равно на произведението на втория крак и tg х:

b = a Tg х

Крак в непосредствена близост до ъгъла х, е равно на произведението на втория крак и ctg х:

a = b Ctg х.

За всеки остър ъгъл х:

грях (90 ° - х) = cos х

cos (90 ° - х) = грях х

Всъщност изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "реалните" дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да бъдат намерени в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите проблеми за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

А какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположния (за ъгъла) крак? Разбира се има! Това е крак!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в непосредствена близост до ъгъла? Разбира се, кракът. Следователно за ъгъла кракът е съседен и

Сега, внимание! Вижте какво имаме:

Виждате колко страхотно:

Сега да преминем към допирателната и котангенса.

Как мога да го запиша с думи сега? Какъв е кракът по отношение на ъгъла? Срещу, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво направихме?

Виждате ли, че числителят и знаменателят са обърнати?

И сега отново ъглите и направихме размяната:

Резюме

Нека запишем накратко всичко, което научихме.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Виждате колко умно разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами гледате чертежа и се замисляте защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат?

Точно така, .

По-малка площ?

Разбира се,.

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме по две наведнъж и ги опряхме една на друга с хипотенузи.

Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "изрезките" е равна на.

Нека сглобим всичко сега.

Нека трансформираме:

Така че посетихме Питагор – доказахме неговата теорема по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник са валидни следните отношения:

Синусът на острия ъгъл е равен на съотношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на съседния крак към противоположния.

И още веднъж, всичко това е под формата на чиния:

Много е удобно!

Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. На крака и хипотенузата

III. По хипотенуза и остър ъгъл

IV. На крак и остър ъгъл

а)

б)

Внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако е така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИКИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един и същ остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника кракът е бил съседен или в двата триъгълника е противоположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците?

Разгледайте темата „и обърнете внимание на факта, че за равенство на „обикновените“ триъгълници се нуждаете от равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни.

Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същото е положението със знаците за подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници

I. На остър ъгъл

II. На два крака

III. На крака и хипотенузата

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо това е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Да начертаем диагонал и да разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво се знае за диагоналите на правоъгълника?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

- Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Нека започнем с това "освен ..."

Нека разгледаме и.

Но в такива триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Нека напишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всеки проблем с правоъгълен триъгълник!

И така, нека приложим сходството:.

Какво се случва сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и коя е по-удобна за прилагане.

Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

на два крака:
на катета и хипотенузата: или
по протежение на крака и прилежащия остър ъгъл: или
по протежение на крака и срещуположния остър ъгъл: или
по хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

един остър ъгъл: или
от пропорционалността на двата крака:
от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

Синусът на острия ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния катет към хипотенузата:
Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към хипотенузата:
Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния крак към съседния:
Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния крак към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е половината от хипотенузата:.

Площ на правоъгълен триъгълник:

през краката: