Problema C2: equação do plano através do determinante. Equação de um plano: como compor? Tipos de equações planas 2 equações planas

Nesta lição, veremos como usar o determinante para compor equação do plano. Se você não sabe o que é um determinante, vá para a primeira parte da lição - " Matrizes e determinantes». Caso contrário, você corre o risco de não entender nada no material de hoje.

Equação de um plano por três pontos

Por que precisamos da equação do plano? É simples: sabendo disso, podemos calcular facilmente ângulos, distâncias e outras tretas no problema C2. Em geral, esta equação é indispensável. Assim, formulamos o problema:

Tarefa. Existem três pontos no espaço que não estão na mesma linha reta. Suas coordenadas:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

É necessário escrever a equação do plano que passa por esses três pontos. E a equação deve ficar assim:

Ax + Por + Cz + D = 0

onde os números A , B , C e D são os coeficientes que, de fato, você deseja encontrar.

Bem, como obter a equação do plano, se apenas as coordenadas dos pontos são conhecidas? A maneira mais fácil é substituir as coordenadas na equação Ax + By + Cz + D = 0. Você obtém um sistema de três equações que é facilmente resolvido.

Muitos estudantes acham esta solução extremamente tediosa e pouco confiável. O exame de matemática do ano passado mostrou que a probabilidade de cometer um erro computacional é muito alta.

Assim, os professores mais avançados começaram a procurar soluções mais simples e elegantes. E eles acharam! É verdade que a técnica obtida tem maior probabilidade de estar relacionada à matemática superior. Pessoalmente, tive que vasculhar toda a lista federal de livros didáticos para ter certeza de que temos o direito de usar essa técnica sem qualquer justificativa e evidência.

Equação do plano através do determinante

Chega de enrolação, vamos ao que interessa. Para começar, um teorema sobre como o determinante da matriz e a equação do plano estão relacionados.

Teorema. Sejam dadas as coordenadas de três pontos pelos quais o plano deve ser traçado: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Então a equação deste plano pode ser escrita em termos do determinante:

Por exemplo, vamos tentar encontrar um par de planos que realmente ocorrem em problemas C2. Dê uma olhada em como tudo conta rápido:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Compomos o determinante e igualamos a zero:

Abrindo o determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Como você pode ver, ao calcular o número d, ajustei um pouco a equação para que as variáveis x, yez estivessem na sequência correta. Isso é tudo! A equação do plano está pronta!

Tarefa. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Substitua imediatamente as coordenadas dos pontos no determinante:

Expandindo o determinante novamente:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Assim, a equação do plano é obtida novamente! Novamente, na última etapa, tive que mudar os sinais para obter uma fórmula mais “bonita”. Não é necessário fazer isso nesta solução, mas ainda é recomendado - para simplificar a solução adicional do problema.

Como você pode ver, agora é muito mais fácil escrever a equação do plano. Substituímos os pontos na matriz, calculamos o determinante - e pronto, a equação está pronta.

Este poderia ser o fim da lição. No entanto, muitos alunos esquecem constantemente o que está dentro do determinante. Por exemplo, qual linha contém x 2 ou x 3 , e qual linha contém apenas x . Para finalmente lidar com isso, vamos traçar de onde vem cada número.

De onde vem a fórmula com o determinante?

Então, vamos descobrir de onde vem uma equação tão dura com um determinante. Isso irá ajudá-lo a lembrá-lo e aplicá-lo com sucesso.

Todos os planos que ocorrem no Problema C2 são definidos por três pontos. Esses pontos são sempre marcados no desenho, ou mesmo indicados diretamente no texto do problema. Em qualquer caso, para compilar a equação, precisamos escrever suas coordenadas:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considere mais um ponto em nosso plano com coordenadas arbitrárias:

T = (x, y, z)

Tomamos qualquer ponto dos três primeiros (por exemplo, ponto M ) e desenhamos vetores dele para cada um dos três pontos restantes. Temos três vetores:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Agora vamos fazer uma matriz quadrada a partir desses vetores e igualar seu determinante a zero. As coordenadas dos vetores se tornarão as linhas da matriz - e obteremos o mesmo determinante indicado no teorema:

Esta fórmula significa que o volume da caixa construída sobre os vetores MN , MK e MT é igual a zero. Portanto, todos os três vetores estão no mesmo plano. Em particular, um ponto arbitrário T = (x, y, z) é exatamente o que estávamos procurando.

Substituindo pontos e linhas do determinante

Determinantes têm algumas propriedades maravilhosas que tornam ainda mais fácil solução do problema C2. Por exemplo, não importa para nós de qual ponto desenhar vetores. Portanto, os seguintes determinantes fornecem a mesma equação plana que a acima:

Você também pode trocar as linhas do determinante. A equação permanecerá inalterada. Por exemplo, muitas pessoas gostam de escrever uma linha com as coordenadas do ponto T = (x; y; z) bem no topo. Por favor, se for conveniente para você:

Confunde alguns que uma das linhas contém variáveis x , y e z , que não desaparecem ao substituir pontos. Mas eles não devem desaparecer! Substituindo os números no determinante, você deve obter a seguinte construção:

Então o determinante é expandido de acordo com o esquema dado no início da lição, e a equação padrão do plano é obtida:

Ax + Por + Cz + D = 0

Dê uma olhada em um exemplo. Ele é o último na lição de hoje. Vou deliberadamente trocar as linhas para ter certeza de que a resposta será a mesma equação do plano.

Tarefa. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Assim, consideramos 4 pontos:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Primeiro, vamos fazer um determinante padrão e igualá-lo a zero:

Abrindo o determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

É isso, temos a resposta: x + y + z − 2 = 0 .

Agora vamos reorganizar algumas linhas no determinante e ver o que acontece. Por exemplo, vamos escrever uma linha com as variáveis x, y, z não na parte inferior, mas na parte superior:

Vamos expandir o determinante resultante novamente:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Temos exatamente a mesma equação plana: x + y + z − 2 = 0. Então, realmente não depende da ordem das linhas. Resta escrever a resposta.

Assim, vimos que a equação do plano não depende da sequência de linhas. Podemos fazer cálculos semelhantes e provar que a equação do plano não depende do ponto cujas coordenadas subtraímos dos outros pontos.

No problema considerado acima, usamos o ponto B 1 = (1, 0, 1), mas era bem possível tomar C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). Em geral, qualquer ponto com coordenadas conhecidas no plano desejado.

1. Encontre a equação de um plano que passa por um determinado ponto paralelo a dois vetores dados (não colineares)

Observação: 1 via . Tome um ponto arbitrário do plano M (x, y, z). Os vetores serão coplanares porque estão em planos paralelos. Portanto, seu produto misto
Escrevendo esta condição em coordenadas, obtemos a equação do plano desejado:

É mais conveniente calcular esse determinante por expansão na primeira linha.

2 maneiras . Vetores
paralelo ao plano desejado. Portanto, um vetor igual ao produto vetorial de vetores
perpendicular a este plano , ou seja
e
. Vetor é o vetor normal do plano . Se
e
, então o vetor é encontrado pela fórmula:

Equação do plano encontrar por ponto
e vetor normal

2. Encontre a equação de um plano que passa por dois pontos paralelos a um determinado vetor
.(
não colinear).

Observação: 1 caminho. Seja M (x, y, z) um ponto arbitrário do plano. Então os vetores e
estão localizados em planos paralelos, portanto, são coplanares, ou seja, seu produto misto
Escrevendo esta condição em coordenadas, obtemos a equação do plano desejado .

2 maneiras . O vetor normal ao plano desejado será igual ao produto vetorial dos vetores
, ou seja
ou em coordenadas:

Equação do plano desejado encontrado pelo vetor normal e apontar
(ou ponto
) pela fórmula (2.1.1)

(ver exemplo 1 ponto 2.2).

3. Encontre a equação de um plano que passa por um ponto
paralela ao plano 2x – 6y – 3z +5 =0.

Observação: vetor normal encontramos da equação geral do plano dado 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vetor é perpendicular a um determinado plano, portanto, é perpendicular a qualquer plano paralelo a ele. Vetor pode ser tomado como o vetor normal do plano desejado. Componha a equação do plano desejado pelo ponto
e vetor normal
(ver exemplo 1 ponto 2.2).

Responder:

4. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
perpendicular à linha de interseção dos planos 2x + y - 2z + 1 = 0 e

x + y + z - 5 = 0.

Observação: 1 caminho. Os vetores que são perpendiculares a cada um de seus planos (as coordenadas vetoriais são encontradas nas equações gerais dos planos, fórmula (2.2.1)) são perpendiculares à linha de sua interseção e, portanto, são paralelos ao plano desejado. O plano desejado passa pelo ponto
paralelo a dois vetores
(ver tarefa 1 ponto 5).

A equação do plano desejado tem a forma:

Expandindo o determinante de terceira ordem na primeira linha, obtemos a equação desejada.

2 maneiras. Componha a equação do plano pelo ponto
e vetor normal pela fórmula (2.2.1). vetor normal é igual ao produto vetorial dos vetores
,Essa.
Uma vez que os vetores
são perpendiculares à linha de interseção dos planos, então o vetor paralela à linha de intersecção dos planos e perpendicular ao plano desejado.

Vetores (ver fórmula 2.2.1), então

Componha a equação do plano pelo ponto
e vetor normal

(ver exemplo 1 ponto 2.2)

Responder:

5. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos
e
perpendicular ao plano 3x – y + 3z +15 = 0.

Observação: 1 caminho. Vamos escrever as coordenadas do vetor normal do dado n planicidade

3x - y + 3z +15 = 0:
Como os planos são perpendiculares, o vetor paralelo ao plano desejado Componha a equação do plano desejado
que é paralelo ao vetor e passa pelos pontos
(veja a solução do problema 2 ponto 5; 1 via).

Calculando o determinante, obtemos a equação do plano desejado

10x + 15a - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 maneiras. Componha a equação do plano desejado por ponto
e o vetor normal
Vetor

Compomos a equação do plano desejado .

10(x - 2) +15(y - 3) - 5(z + 1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (ver problema 2 ponto 5; 2º método). Divida ambos os lados da equação por 5.

2x + 3y - z - 14 = 0.

Responder: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos

e

Observação: Vamos compor a equação de um plano que passa por três pontos (ver exemplo 1, cláusula 2.3, fórmula 2.3.1).

Expandindo o determinante, obtemos

Responder:

Comente. Para verificar a exatidão do cálculo do determinante, recomenda-se substituir as coordenadas desses pontos por onde passa o plano na equação resultante. Deve haver uma identidade; caso contrário, houve um erro nos cálculos.

7. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
paralelo ao plano x – 4y + 5z + 1 = 0.

Observação: Da equação geral de um plano dado
x – 4y + 5z + 1 = 0 encontre o vetor normal
(fórmula 2.2.1). Vetor perpendicular ao plano desejado
Componha a equação do plano pelo ponto
e vetor normal
(ver exemplo 1; parágrafo 2.2):

x - 4y + 5z + 15 = 0.

Responder: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
paralelo aos vetores

Observação: Veja a solução do problema 1 ponto 5. Resolvemos o problema de uma das formas indicadas.

Responder: x - y - z - 1 = 0.

9. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
perpendicular à linha de interseção dos planos 3x - 2y - z + 1 = 0 e x - y - z = 0.

Observação: Veja a solução do problema 4 ponto 5. Resolvemos o problema de uma das formas indicadas.

Responder: x + 2y - z - 8 = 0.

10. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

perpendicular ao plano 3x – y – 4z = 0.

Observação: Veja a solução do problema 5 ponto 5.

Responder: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

paralela à reta definida pelos pontos A (5; –2; 3) e B (6; 1; 0).

Observação: O plano desejado é paralelo à linha AB, portanto, é paralelo ao vetor
Equação do plano desejado encontramos, como na tarefa 2, parágrafo 5 (uma das formas).

Responder: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. O ponto P (2; -1; -2) serve como base da perpendicular baixada da origem ao plano. Escreva uma equação para este plano.

Observação: Vetor normal para o plano desejado é o vetor
Encontre suas coordenadas. P (2; -1; -2) e O(0; 0; 0)

Essa.
Componha a equação do plano por ponto e vetor normal
(ver exemplo 1, parágrafo 2.2).

Responder: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
paralela ao plano: a) xoy; b) você; c) xoz.

Observação: Vetor
- o vetor unitário do eixo oz é perpendicular ao plano xoy, portanto, é perpendicular ao plano desejado
Compomos a equação do plano no ponto A (0; -1; 2) e

= (0; 0; 1), porque
(ver solução do problema 3, item 5).
z - 2 = 0.

Resolvemos os problemas b) ec) de maneira semelhante.

b)
Onde
(1; 0; 0).

v)
Onde (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Responder: a) z - 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos
e

B (2; 1; –1) perpendicular ao plano: a) xoy; b) xoz.

Observação: O vetor normal do plano xoy é o vetor

= (0; 0; 1) é o vetor unitário do eixo oz. Componha a equação de um plano que passa por dois pontos
e B (2; 1; -1) e perpendicular ao plano com o vetor normal
(0; 0; 1), usando um dos métodos para resolver o problema 5 do parágrafo 5.
y - 1 = 0.

Da mesma forma para o problema b):
onde = (0; 1; 0).

Responder: a) y - 1 = 0; b) x + z - 1 = 0.

15. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos
e

B (2; 3; –1) paralelo ao eixo oz.

Observação: No eixo oz, você pode pegar o vetor unitário = (0; 0; 1). A solução do problema é semelhante à solução do problema 2 ponto 5 (por qualquer meio).

Responder: x - y + 1 = 0.

16. Escreva uma equação para um plano que passa pelo eixo ox e um ponto

Observação: Avião
passa pelo eixo x e, portanto, também pelo ponto O(0; 0; 0). No eixo dos bois, você pode pegar o vetor unitário = (1; 0; 0). Compomos a equação do plano desejado usando dois pontos A(2; –1; 6) e O(0; 0; 0) e o vetor paralela ao plano. (Veja a solução do problema 2 ponto 5).

Responder: 6y + z = 0.

17. Em que valor de A os planos Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 e 2x - y + 2z \u003d 0 serão perpendiculares?

Observação: Das equações gerais dos planos

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 e
2x – y + 2z = 0 vetores normais

= (A; 2; -7) e
= (2; –1; 2) (2.2.1). A condição de perpendicularidade de dois planos (2.6.1).

Responder: A = 8.

18. Em que valor A do plano 2x + 3y - 6z - 23 = 0 e

4x + Ay - 12z + 7 = 0 será paralelo?

Observação:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 e
4x + Ai - 12a + 7 = 0

= (2; 3; -6) e
= (4;A; –12) (2.2.1). Porque
(2.5.1)

Responder: A = 6.

19. Encontre o ângulo entre dois planos 2x + y + z + 7 = 0 e x - 2y + 3z = 0.

Observação:
2x + y + z + 7 = 0 e
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) e
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Responder:

20. Componha as equações canônicas de uma linha reta que passa por um ponto

A (1; 2; -3) paralelo ao vetor =(1; –2; 1).

Observação: Veja a solução do exemplo do parágrafo 3.1.

Responder:

21. Componha equações paramétricas de uma linha reta que passa por um ponto

A (–2; 3; 1) paralelo ao vetor =(3; –1; 2).

Observação: Ver a solução do exemplo do ponto 3.2.

Responder:
.

22. Componha equações canônicas e paramétricas de uma reta que passa pelos pontos A (1; 0; -2) e B (1; 2; -4).

Observação: Veja a solução do exemplo 1 da cláusula 3.3.

Responder: a)
b)

23. Componha equações canônicas e paramétricas de uma linha reta definida como a interseção de dois planos x - 2y + 3z - 4 = 0 e 3x + 2y - 5z - 4 = 0.

Observação: Ver exemplo 1 ponto 3.4. Seja z = 0, então as coordenadas xey do ponto
encontre a partir da solução do sistema

Daí o ponto
, deitado na linha desejada, tem coordenadas

(2; -1; 0). Para encontrar o vetor de direção da linha reta desejada a partir das equações gerais dos planos
x – 2y +3z – 4 = 0 e
3x + 2y - 5z - 4 = 0

encontrar vetores normais =(1; -2; 3) e
=(3; 2; –5).

As equações canônicas da reta são encontradas a partir do ponto
(2; -1; 0) e vetor de direção

(Ver fórmula (3.1.1)).

As equações paramétricas da reta podem ser encontradas pela fórmula (3.2.1) ou pelas equações canônicas:
Nós temos:

Responder:
;
.

24. Através do ponto
(2; -3; -4) desenhe uma linha paralela a uma linha

Observação: Equações canônicas da linha necessária encontrar por ponto
e vetor de direção Porque
então para o vetor de direção em linha reta você pode pegar o vetor de direção reta L. Além disso, veja a solução do problema 23, parágrafo 5 ou exemplo 1, parágrafo 3.4.

Responder:

25. Os vértices do triângulo A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) e C (–1; 3; 5) são dados. Encontre a equação para a mediana do triângulo ABC tirada do vértice B.

Observação: Encontramos as coordenadas do ponto M a partir da condição AM = MC (BM é a mediana do triângulo ABC).

COM deixamos as equações canônicas da reta BM em dois pontos B (2; 4; –1) e
(Ver exemplo 1 ponto 3.3).

Responder:

26. Compor equações canônicas e paramétricas de uma linha reta que passa por um ponto
(–1; –2; 2) paralelo ao eixo x.

Observação: Vetor
– o vetor unitário do eixo x é paralelo à linha reta desejada. Portanto, pode ser tomado como o vetor diretor da linha reta
= (1; 0; 0). Compor as equações de uma linha reta por um ponto

(–1; –2: 2) e o vetor = (1; 0; 0) (ver exemplo ponto 3.1 e exemplo 1 ponto 3.2).

Responder:
;

27. Componha equações canônicas de uma linha reta que passa por um ponto
(3; –2; 4) perpendicular ao plano 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Observação: Da equação geral do plano
5x + 3y – 7z + 1 = 0 encontre o vetor normal = (5; 3; -7). De acordo com a condição, a linha desejada
daí o vetor
Essa. vetor é o vetor de direção da linha reta L: = (5; 3; -7). Compomos as equações canônicas de uma linha reta por um ponto
(3; –2; 4) e vetor de direção

= (5; 3; -7). (Ver exemplo ponto 3.1).

Responder:

28. Componha as equações paramétricas da perpendicular baixada da origem ao plano 4x - y + 2z - 3 = 0.

Observação: Vamos compor a equação da perpendicular desejada, ou seja. reta perpendicular ao plano
4x – y + 2z – 3 = 0 e passando pelo ponto O (0; 0; 0). (Veja a solução do problema 27 ponto 5 e exemplo 1 ponto 3.2).

Responder:

29. Encontre o ponto de interseção de uma linha
e avião

x - 2y + z - 15 = 0.

Observação: Para encontrar o ponto M da interseção de uma linha

EU:
e avião

x - 2y + z - 15 = 0, é necessário resolver o sistema de equações:

;

Para resolver o sistema, transformamos as equações canônicas da linha reta em equações paramétricas. (Ver problema 23, ponto 5).

Responder:

30. Encontre a projeção do ponto M (4; -3; 1) no plano x + 2y - z - 3 = 0.

Observação: A projeção do ponto M no plano será o ponto P - ponto p interseção da perpendicular baixada do ponto M ao plano
e aviões Vamos compor as equações paramétricas da perpendicular MP (veja a solução do problema 28, parágrafo 5).

Vamos encontrar o ponto P - o ponto de interseção da linha MP e o plano (Veja a solução do problema 29 ponto 5).

Responder:

31. Encontre a projeção do ponto A (1; 2; 1) em uma linha reta

Observação: Projeção do ponto A na linha L:
é t pontos Na interseção da linha L e o plano
que passa pelo ponto A e é perpendicular à linha L. Das equações canônicas da reta L, escrevemos o vetor de direção =(3; -1; 2). Avião perpendicular à linha L, então
Então o vetor pode ser tomado como o vetor normal do plano
= (3; –1; 2). Componha a equação do plano ponto A(1; 2; 1) e = (3; –1; 2) (ver exemplo 1 ponto 2.2):
3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. Encontre o ponto B na interseção da linha e do plano (veja o problema 29, parágrafo 5):

Responder:

32. Desenhe uma linha através do ponto M (3; -1; 0) paralela a dois planos x - y + z - 3 = 0 e x + y + 2z - 3 = 0.

Observação: aviões
x – y + z – 3 = 0 e
x + y + 2z - 3 = 0 não são paralelos, porque condição (2.5.1) não for satisfeita:
aviões
cruzar. A linha desejada L, paralela aos planos
paralela à linha de interseção desses planos. (Ver a solução dos problemas 24 e 23 ponto 5).

Responder:

33. Escreva uma equação para um plano que passa por duas linhas

Observação:1 caminho. Componha a equação do plano desejado por ponto
deitado em linha reta , e o vetor normal . Vetor será igual ao produto vetorial dos vetores diretores das linhas
, que encontramos a partir das equações canônicas de linhas
(fórmula 3.1.1): = (7; 3; 5) e

= (5; 5; –3)

Coordenadas do ponto
encontrar a partir das equações canônicas da linha reta

Compomos a equação do plano por ponto
e o vetor normal =(–34; 46; 20) (ver exemplo 1 ponto 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2 maneiras. Encontrando vetores de direção = (7; 3; 5) e = (5; 5; –3) das equações canônicas de linhas
ponto
(0; 2; –1) encontramos a partir da equação

. Tome um ponto arbitrário no plano

M (x; y; z). Vetores
são coplanares, portanto
Desta condição obtemos a equação do plano:

Responder: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
(2; 0; 1) e uma linha reta

Observação: Vamos primeiro certificar-nos de que o ponto
nesta linha reta Ezhit:
ponto
e vetor de direção encontramos a partir das equações canônicas da linha reta
:
(1; -1; -1) e

= (1; 2; -1). Vetor normal do plano desejado
Encontramos as coordenadas do vetor normal, conhecendo as coordenadas =(1; 2; -1) e

= (1; 1; 2):

Compomos a equação do plano pelo ponto
(2; 0; 1) e o vetor normal = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Responder: 5x - 3y - z - 9 = 0.

Para obter a equação geral do plano, analisamos o plano que passa por um determinado ponto.

Sejam três eixos coordenados já conhecidos por nós no espaço - Boi, Oi e Oz. Segure a folha de papel para que fique plana. O plano será a própria folha e sua continuação em todas as direções.

Deixei P plano arbitrário no espaço. Qualquer vetor perpendicular a ele é chamado vetor normal a este plano. Naturalmente, estamos falando de um vetor diferente de zero.

Se qualquer ponto do plano for conhecido P e algum vetor da normal a ele, então por essas duas condições o plano no espaço é completamente determinado(através de um dado ponto, existe apenas um plano perpendicular a um dado vetor). A equação geral do plano ficará assim:

Portanto, existem condições que definem a equação do plano. Para obtê-lo sozinho equação do plano, que tem a forma acima, tomamos o plano P arbitrário ponto M com coordenadas variáveis x, y, z. Este ponto pertence ao plano somente se vetor perpendicular ao vetor(Figura 1). Para isso, de acordo com a condição de perpendicularidade dos vetores, é necessário e suficiente que o produto escalar desses vetores seja igual a zero, ou seja

O vetor é dado por condição. Encontramos as coordenadas do vetor pela fórmula :

Agora, usando a fórmula do produto escalar de vetores , expressamos o produto escalar na forma de coordenadas:

Desde o ponto M(x; y; z)é escolhido arbitrariamente no plano, então a última equação é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto situado no plano P. Por ponto N, não encontrando-se em um determinado plano, , ou seja. igualdade (1) é violada.

Exemplo 1 Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto e é perpendicular a um vetor.

Solução. Usamos a fórmula (1), veja novamente:

Nesta fórmula, os números UMA , B e C coordenadas vetoriais e números x0 , y0 e z0 - coordenadas do ponto.

Os cálculos são muito simples: substituímos esses números na fórmula e obtemos

Multiplicamos tudo o que precisa ser multiplicado e somamos apenas números (que são sem letras). Resultado:

A equação necessária do plano neste exemplo acabou por ser expressa pela equação geral do primeiro grau em relação às coordenadas variáveis x, y, z ponto arbitrário do plano.

Então, uma equação da forma

chamado a equação geral do plano .

Exemplo 2 Construa em um sistema de coordenadas cartesianas retangular o plano dado pela equação .

Solução. Para construir um plano, é necessário e suficiente conhecer quaisquer três de seus pontos que não estejam em uma linha reta, por exemplo, os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

Como encontrar esses pontos? Para encontrar o ponto de intersecção com o eixo Oz, você precisa substituir zeros em vez de x e y na equação dada na declaração do problema: x = y= 0. Portanto, obtemos z= 6. Assim, o plano dado intercepta o eixo Oz no ponto UMA(0; 0; 6) .

Da mesma forma, encontramos o ponto de intersecção do plano com o eixo Oi. No x = z= 0 obtemos y= −3 , ou seja, um ponto B(0; −3; 0) .

E, finalmente, encontramos o ponto de intersecção do nosso plano com o eixo Boi. No y = z= 0 obtemos x= 2 , ou seja, um ponto C(2; 0; 0). De acordo com os três pontos obtidos em nossa solução UMA(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) e C(2; 0; 0) construímos o plano dado.

Considere agora casos especiais da equação geral do plano. Estes são casos em que certos coeficientes da equação (2) desaparecem.

1. Quando D= 0 equação define um plano que passa pela origem, pois as coordenadas de um ponto 0 (0; 0; 0) satisfazem esta equação.

2. Quando A= 0 equação define um plano paralelo ao eixo Boi, uma vez que o vetor normal deste plano é perpendicular ao eixo Boi(sua projeção no eixo Boi igual a zero). Da mesma forma, quando B= 0 avião eixo paralelo Oi, e quando C= 0 avião paralelo ao eixo Oz.

3. Quando A=D= 0 equação define um plano que passa pelo eixo Boi porque é paralelo ao eixo Boi (A=D= 0). Da mesma forma, o plano passa pelo eixo Oi, e o plano através do eixo Oz.

4. Quando A=B= 0 equação define um plano paralelo ao plano de coordenadas xOy porque é paralelo aos eixos Boi (UMA= 0) e Oi (B= 0). Da mesma forma, o plano é paralelo ao plano yOz, e o avião - o avião xOz.

5. Quando A=B=D= 0 equação (ou z= 0) define o plano de coordenadas xOy, pois é paralelo ao plano xOy (A=B= 0) e passa pela origem ( D= 0). Da mesma forma, a equação y= 0 no espaço define o plano de coordenadas xOz, e a equação x= 0 - plano de coordenadas yOz.

Exemplo 3 Componha a equação do plano P passando pelo eixo Oi e ponto.

Solução. Então o plano passa pelo eixo Oi. Então na equação dela y= 0 e esta equação tem a forma . Para determinar os coeficientes UMA e C usamos o fato de que o ponto pertence ao plano P .

Portanto, entre suas coordenadas estão aquelas que podem ser substituídas na equação do plano, que já deduzimos (). Vejamos novamente as coordenadas do ponto:

M0 (2; −4; 3) .

Entre eles x = 2 , z= 3. Nós os substituímos na equação geral e obtemos a equação para nosso caso particular:

2UMA + 3C = 0 .

deixamos 2 UMA no lado esquerdo da equação, transferimos 3 C para o lado direito e obter

UMA = −1,5C .

Substituindo o valor encontrado UMA na equação, obtemos

ou .

Esta é a equação exigida na condição de exemplo.

Resolva você mesmo o problema nas equações do plano e, em seguida, olhe para a solução

Exemplo 4 Determine o plano (ou planos se houver mais de um) em relação aos eixos coordenados ou planos coordenados se o(s) plano(s) for(em) dado(s) pela equação .

Soluções para problemas típicos que ocorrem em testes - no manual "Problemas em um plano: paralelismo, perpendicularidade, interseção de três planos em um ponto" .

Equação de um plano que passa por três pontos

Como já mencionado, uma condição necessária e suficiente para a construção de um plano, além de um ponto e um vetor normal, são também três pontos que não estão em uma linha reta.

Seja dado três pontos diferentes , e , não deitado na mesma linha reta. Como esses três pontos não estão em uma linha reta, os vetores e não são colineares e, portanto, qualquer ponto do plano está no mesmo plano com os pontos , e se e somente se os vetores , e coplanares, ou seja se e apenas se o produto misto desses vetores igual a zero.

Usando a expressão do produto misto em coordenadas, obtemos a equação do plano

(3)

Depois de expandir o determinante, esta equação torna-se uma equação da forma (2), ou seja a equação geral do plano.

Exemplo 5 Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos dados que não estão em uma linha reta:

e determinar um caso particular da equação geral da reta, se houver.

Solução. Pela fórmula (3) temos:

Equação normal do plano. Distância do ponto ao plano

A equação normal de um plano é sua equação, escrita na forma

Pode ser especificado de diferentes maneiras (um ponto e um vetor, dois pontos e um vetor, três pontos, etc.). É com isso em mente que a equação do plano pode ter diferentes formas. Além disso, sob certas condições, os planos podem ser paralelos, perpendiculares, que se cruzam, etc. Vamos falar sobre isso neste artigo. Vamos aprender a escrever a equação geral do plano e não só.

Forma normal da equação

Digamos que existe um espaço R 3 que tem um sistema de coordenadas retangulares XYZ. Vamos definir o vetor α, que será liberado do ponto inicial O. Pela extremidade do vetor α traçamos o plano P, que será perpendicular a ele.

Denote por P um ponto arbitrário Q=(x, y, z). Vamos assinar o vetor raio do ponto Q com a letra p. O comprimento do vetor α é p=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este é um vetor unitário que aponta para o lado, assim como o vetor α. α, β e γ são os ângulos que se formam entre o vetor Ʋ e as direções positivas dos eixos espaciais x, y, z, respectivamente. A projeção de algum ponto QϵП no vetor Ʋ é um valor constante igual a р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Esta equação faz sentido quando p=0. A única coisa é que o plano P neste caso interceptará o ponto O (α=0), que é a origem, e o vetor unitário Ʋ, liberado do ponto O, será perpendicular a P, independentemente de sua direção, o que significa que o vetor Ʋ é determinado com precisão de sinal. A equação anterior é a equação do nosso plano P, expressa em forma vetorial. Mas em coordenadas ficará assim:

P aqui é maior ou igual a 0. Encontramos a equação de um plano no espaço em sua forma normal.

Equação Geral

Se multiplicarmos a equação em coordenadas por qualquer número que não seja igual a zero, obtemos uma equação equivalente à dada, que determina esse mesmo plano. Isso parecerá assim:

Aqui A, B, C são números que são simultaneamente diferentes de zero. Essa equação é chamada de equação geral do plano.

Equações planas. Casos especiais

A equação na forma geral pode ser modificada na presença de condições adicionais. Vamos considerar alguns deles.

Suponha que o coeficiente A seja 0. Isso significa que o plano dado é paralelo ao eixo dado Ox. Neste caso, a forma da equação mudará: Ву+Cz+D=0.

Da mesma forma, a forma da equação mudará sob as seguintes condições:

Em primeiro lugar, se B = 0, então a equação mudará para Ax + Cz + D = 0, o que indicará paralelismo ao eixo Oy.
Em segundo lugar, se С=0, então a equação é transformada em Ах+Ву+D=0, o que indicará paralelismo ao eixo dado Oz.
Em terceiro lugar, se D=0, a equação se parecerá com Ax+By+Cz=0, o que significa que o plano intercepta O (a origem).
Quarto, se A=B=0, então a equação mudará para Cz+D=0, que será paralela a Oxy.
Quinto, se B=C=0, então a equação se torna Ax+D=0, o que significa que o plano para Oyz é paralelo.
Sexto, se A=C=0, então a equação tomará a forma Ву+D=0, ou seja, reportará paralelismo para Oxz.

Tipo de equação em segmentos

No caso em que os números A, B, C, D são diferentes de zero, a forma da equação (0) pode ser a seguinte:

x/a + y/b + z/c = 1,

em que a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Obtemos como resultado Vale a pena notar que este plano cruzará o eixo Ox em um ponto com coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c) .

Levando em conta a equação x/a + y/b + z/c = 1, é fácil representar visualmente a colocação do plano em relação a um determinado sistema de coordenadas.

Coordenadas vetoriais normais

O vetor normal n ao plano P tem coordenadas que são os coeficientes da equação geral do plano dado, ou seja, n (A, B, C).

Para determinar as coordenadas da normal n, basta conhecer a equação geral de um determinado plano.

Ao usar a equação em segmentos, que tem a forma x/a + y/b + z/c = 1, bem como ao usar a equação geral, pode-se escrever as coordenadas de qualquer vetor normal de um determinado plano: (1 /a + 1/b + 1/ Com).

Deve-se notar que o vetor normal ajuda a resolver vários problemas. As mais comuns são tarefas que consistem em provar a perpendicularidade ou paralelismo de planos, problemas em encontrar ângulos entre planos ou ângulos entre planos e linhas.

Vista da equação do plano segundo as coordenadas do ponto e do vetor normal

Um vetor diferente de zero n perpendicular a um determinado plano é chamado normal (normal) para um determinado plano.

Suponha que no espaço de coordenadas (sistema de coordenadas retangulares) Oxyz seja dado:

ponto Mₒ com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
vetor zero n=A*i+B*j+C*k.

É necessário compor uma equação para um plano que passará pelo ponto Mₒ perpendicular à normal n.

No espaço, escolhemos qualquer ponto arbitrário e o denotamos por M (x y, z). Seja o vetor raio de qualquer ponto M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, e o vetor raio do ponto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. O ponto M pertencerá ao plano dado se o vetor MₒM for perpendicular ao vetor n. Escrevemos a condição de ortogonalidade usando o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Como MₒM \u003d r-rₒ, a equação vetorial do plano ficará assim:

Esta equação pode assumir outra forma. Para fazer isso, as propriedades do produto escalar são usadas e o lado esquerdo da equação é transformado. = - . Se denotado como c, a seguinte equação será obtida: - c \u003d 0 ou \u003d c, que expressa a constância das projeções no vetor normal dos vetores de raio dos pontos dados que pertencem ao plano.

Agora você pode obter a forma coordenada de escrever a equação vetorial do nosso plano = 0. Como r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+C*k, temos:

Acontece que temos uma equação para um plano que passa por um ponto perpendicular à normal n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vista da equação do plano de acordo com as coordenadas de dois pontos e um vetor colinear ao plano

Definimos dois pontos arbitrários M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), bem como o vetor a (a′,a″,a‴).

Agora podemos compor uma equação para um determinado plano, que passará pelos pontos disponíveis M′ e M″, bem como por qualquer ponto M com coordenadas (x, y, z) paralelas ao vetor dado a.

Neste caso, os vetores M′M=(x-x′;y-y′;zz′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devem ser coplanares com o vetor a=(a′,a″,a‴), o que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Então, nossa equação de um plano no espaço ficará assim:

Tipo da equação de um plano que intercepta três pontos

Suponha que temos três pontos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que não pertencem à mesma reta. É necessário escrever a equação do plano que passa pelos três pontos dados. A teoria da geometria afirma que esse tipo de plano realmente existe, só que é o único e inimitável. Como este plano intercepta o ponto (x′, y′, z′), a forma de sua equação será a seguinte:

Aqui A, B, C são diferentes de zero ao mesmo tempo. Além disso, o plano dado cruza mais dois pontos: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). Nesse sentido, as seguintes condições devem ser atendidas:

Agora podemos compor um sistema homogêneo com incógnitas u, v, w:

No nosso caso, x, y ou z é um ponto arbitrário que satisfaz a equação (1). Dada a equação (1) e o sistema de equações (2) e (3), o sistema de equações indicado na figura acima satisfaz o vetor N (A, B, C), que não é trivial. É por isso que o determinante desse sistema é igual a zero.

A equação (1), que obtivemos, é a equação do plano. Ele passa exatamente por 3 pontos, e isso é fácil de verificar. Para fazer isso, precisamos expandir nosso determinante sobre os elementos da primeira linha. Segue-se das propriedades existentes do determinante que nosso plano intercepta simultaneamente três pontos inicialmente dados (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ou seja, resolvemos a tarefa proposta diante de nós.

Ângulo diedro entre planos

Um ângulo diedro é uma figura geométrica espacial formada por dois semiplanos que emanam de uma linha reta. Em outras palavras, esta é a parte do espaço que é limitada por esses semiplanos.

Digamos que temos dois planos com as seguintes equações:

Sabemos que os vetores N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) são perpendiculares aos planos dados. Nesse sentido, o ângulo φ entre os vetores N e N¹ é igual ao ângulo ( diedro), que está entre esses planos. O produto escalar tem a forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta levar em conta que 0≤φ≤π.

De fato, dois planos que se cruzam formam dois ângulos (diédricos): φ 1 e φ 2 . Sua soma é igual a π (φ 1 + φ 2 = π). Quanto aos seus cossenos, seus valores absolutos são iguais, mas diferem em sinais, ou seja, cos φ 1 =-cos φ 2. Se na equação (0) substituirmos A, B e C pelos números -A, -B e -C, respectivamente, então a equação que obtemos determinará o mesmo plano, o único ângulo φ na equação cos φ= NN 1 /|N||N 1 | será substituído por π-φ.

Equação do plano perpendicular

Os planos são chamados perpendiculares se o ângulo entre eles for de 90 graus. Usando o material descrito acima, podemos encontrar a equação de um plano perpendicular a outro. Digamos que temos dois planos: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos afirmar que serão perpendiculares se cosφ=0. Isso significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equação do plano paralelo

Paralelos são dois planos que não contêm pontos comuns.

A condição (suas equações são as mesmas do parágrafo anterior) é que os vetores N e N¹, que são perpendiculares a eles, sejam colineares. Isso significa que as seguintes condições de proporcionalidade são satisfeitas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se as condições de proporcionalidade forem estendidas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

isso indica que esses planos coincidem. Isso significa que as equações Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrevem um plano.

Distância ao plano do ponto

Digamos que temos um plano P, que é dado pela equação (0). É necessário encontrar a distância até ele do ponto com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para fazer isso, você precisa trazer a equação do plano P para a forma normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

Neste caso, ρ(x,y,z) é o vetor raio do nosso ponto Q localizado em P, p é o comprimento da perpendicular a P que foi liberada do ponto zero, v é o vetor unitário que está localizado em a direção.

A diferença ρ-ρº do vetor de raio de algum ponto Q \u003d (x, y, z) pertencente a P, bem como o vetor de raio de um determinado ponto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) é tal vetor, cujo valor absoluto da projeção em v é igual à distância d, que deve ser encontrada de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mas

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Então acontece

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Assim, encontraremos o valor absoluto da expressão resultante, ou seja, o d desejado.

Usando a linguagem dos parâmetros, obtemos o óbvio:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Se o ponto dado Q 0 está do outro lado do plano P, assim como a origem, então entre o vetor ρ-ρ 0 e v é, portanto:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

No caso em que o ponto Q 0, juntamente com a origem, está localizado no mesmo lado de P, então o ângulo criado é agudo, ou seja:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Como resultado, verifica-se que no primeiro caso (ρ 0 ,v)> р, no segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente e sua equação

O plano tangente à superfície no ponto de contato Mº é o plano que contém todas as tangentes possíveis às curvas traçadas por este ponto na superfície.

Com esta forma da equação de superfície F (x, y, z) \u003d 0, a equação do plano tangente no ponto tangente Mº (xº, yº, zº) ficará assim:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Se você especificar a superfície na forma explícita z=f (x, y), então o plano tangente será descrito pela equação:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersecção de dois planos

No sistema de coordenadas (retangular) Oxyz está localizado, dois planos П′ e П″ são dados, que se cruzam e não coincidem. Como qualquer plano localizado em um sistema de coordenadas retangulares é determinado por uma equação geral, assumiremos que P′ e P″ são dados pelas equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. Neste caso, temos o n' normal (A', B', C') do plano P' e o n' (A', B', C') normal do plano P'. Como nossos planos não são paralelos e não coincidem, esses vetores não são colineares. Usando a linguagem da matemática, podemos escrever esta condição da seguinte forma: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Seja a linha que está na intersecção de P′ e P″ denotada pela letra a, neste caso a = P′ ∩ P″.

a é uma linha reta que consiste no conjunto de todos os pontos dos planos (comuns) П′ e П″. Isso significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha a devem satisfazer simultaneamente as equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″= 0. Isso significa que as coordenadas do ponto serão uma solução particular do seguinte sistema de equações:

Como resultado, verifica-se que a solução (geral) deste sistema de equações determinará as coordenadas de cada um dos pontos da linha reta, que atuará como o ponto de interseção de П′ e П″, e determinará a reta linha a no sistema de coordenadas Oxyz (retangular) no espaço.

Deixe os pontos M 1 , M 2 , M 3 não estarem em uma linha reta. Como se sabe, três desses pontos determinam exclusivamente um determinado plano p (Fig. 199).

Derivamos a equação do plano R. Seja M um ponto arbitrário no espaço. Obviamente, o ponto M pertence ao plano R se e somente se os vetores

$\overrightarrow(M_(1)M)$, $\overrightarrow(M_(1)M_2)$, $\overrightarrow(M_(1)M_3)$ são coplanares. Uma condição necessária e suficiente para a complanaridade de três vetores é a anulação de seu produto misto (§ 23*, Teorema 2). Portanto, a equação de um plano que passa por três pontos que não estão em uma linha reta pode ser escrita da seguinte forma:

($\overrightarrow(M_(1)M)$, $\overrightarrow(M_(1)M_2)$, $\overrightarrow(M_(1)M_3)$) = 0. (1)

Se os pontos M 1 , M 2 e M 3 são dados por coordenadas em algum sistema de coordenadas cartesianas retangular, então a equação (1) pode ser escrita em coordenadas.

Seja M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 ( X 2 ; no 2 ; z 2), M 3 ( X 3 ; no 3 ; z 3) - pontos dados. Vamos denotar as coordenadas de um ponto arbitrário M do plano p através de x, y e z. Encontre as coordenadas dos vetores incluídos na equação (1):

$\overrightarrow(M_(1)M)$ = ( x - x 1 ; você - você 1 ; z - z 1),

$\overrightarrow(M_(1)M_2)$ = ( x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1),

$\overrightarrow(M_(1)M_3)$ = ( x 3 -x 1 ; no 3 -y 1 ; z 3 -z 1).

O produto misto de três vetores é igual ao determinante de terceira ordem, em cujas linhas estão as coordenadas dos vetores. Portanto, a equação (1) em coordenadas tem a forma

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0\;\; (2)$$

Vamos encontrar a equação do plano que passa por três pontos A ( uma; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; Com), que uma =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Estes pontos situam-se nos eixos coordenados (Fig. 200).

Assumindo na equação (2) x 1 = uma, no 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, no 2 = b, z 2 = 0, x 3 = 0, no 3 = 0, z 3 = Com, Nós temos

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

Expandindo o determinante sobre os elementos da primeira linha, obtemos a equação

bc(x - um) + acy + abz = 0

bcx + acu + abz = abc,

x / uma + y / b + z / c = 1. (3)

A equação (3) é chamada equação do plano em segmentos, uma vez que os números a, b e Com indicar quais segmentos o plano corta nos eixos de coordenadas.

Tarefa. Escreva a equação do plano que passa pelos pontos M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Simplifique a equação resultante. Obtenha a equação do plano dado em segmentos.

A equação (2) neste caso é escrita da seguinte forma:

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

Esta é a equação para este plano. Expandindo o determinante sobre a primeira linha, obtemos

62(X+ 1) +93(s- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3y + 2z - 12 = 0.

Dividindo termo a termo por 12 e transferindo o termo livre da equação para o lado direito, obtemos a equação deste plano nos segmentos

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

Pode-se ver pela equação que este plano corta segmentos nos eixos coordenados, cujos comprimentos são iguais a 6, 4 e 6, respectivamente. Oh intercepta o plano em um ponto com uma abcissa negativa, o eixo UO- em um ponto com uma ordenada positiva, eixo Oz- em um ponto com um pedido positivo.