Закон за разпределение на случайни величини. Как да съставим закон за разпределение за примери за случайна променлива Начертайте закон за разпределение и намерете математическото очакване

Закон за разпределение на случайна променлива X:

Пример #2. Вероятността за попадение в целта от един стрелец с един изстрел за първия стрелец е 0,8, за втория стрелец - 0,85. Стрелците са произвели един изстрел в целта. Ако приемем попадението в целта за отделните стрелци като независими събития, намерете вероятността за събитието А - точно едно попадение в целта.
Решение.
Да разгледаме събитие А - едно попадение в целта. Възможни опциинастъпването на това събитие е както следва:

1. Първи удар на стрелец, втори пропуснат стрелец: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Първият стрелец пропусна, вторият стрелец уцели целта: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Първият и вторият стрелец поразяват целта независимо един от друг: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

Определение.Дисперсия (разпръскване)Дискретна случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване:

Пример. За горния пример намираме

Математическото очакване на случайна променлива е:

Възможни стойности на квадратното отклонение:

; ;

Дисперсията е:

На практика обаче този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, тъй като води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайна променлива. Затова се използва друг метод.

Изчисляване на дисперсията

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване:

Доказателство.Като вземем предвид факта, че математическото очакване и квадратът на математическото очакване са постоянни стойности, можем да запишем:

Нека приложим тази формула към горния пример:

Свойства на дисперсия

1) Дисперсията на постоянна стойност е нула:

2) Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат:

.

3) Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи:

4) Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи:

Валидността на това равенство следва от свойство 2.

Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити по вероятността за възникване и вероятността на събитието не се среща във всеки опит:

Пример.Заводът произвежда 96% от продуктите от първи клас и 4% от продуктите от втори клас. 1000 артикула се избират на случаен принцип. Позволявам х- броят на продуктите от първи клас в тази извадка. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на случайна променлива.

По този начин законът за разпределение може да се счита за бином.

Пример.Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива х– брой появявания на събитието НОв два независими опита, ако вероятностите за настъпване на това събитие във всеки опит са равни и е известно, че

защото произволна стойност хразпределени според биномния закон, тогава

Пример.Независими тестове се извършват със същата вероятност за възникване на събитието НОвъв всеки тест. Намерете вероятността за възникване на събитие НОако дисперсията на броя на появяванията на събитието в три независими опита е 0,63.

Съгласно дисперсионната формула на биномния закон получаваме:

;

Пример.Тества се устройство, състоящо се от четири независимо работещи устройства. Вероятностите за повреда на всяко от устройствата са съответно равни ; ; . Намерете математическото очакване и дисперсията на броя на повредените устройства.

Вземайки броя на повредените устройства като случайна променлива, виждаме, че тази случайна променлива може да приеме стойности 0, 1, 2, 3 или 4.

За да се състави закон за разпределение на тази случайна променлива, е необходимо да се определят съответните вероятности. Да приемем.

1) Нито едно устройство не се повреди:

2) Едно от устройствата се повреди.

Можем да разграничим най-често срещаните закони на разпределение на дискретни случайни променливи:

• Биномен закон на разпределение
• Закон за разпределение на Поасон
• Геометричен закон на разпределение
• Хипергеометричен закон на разпределение

За дадени разпределения на дискретни случайни променливи изчисляването на вероятностите на техните стойности, както и числените характеристики (математическо очакване, дисперсия и др.) се извършва по определени "формули". Ето защо е много важно да се познават тези видове разпределения и техните основни свойства.

1. Биномен закон на разпределение.

Дискретна случайна променлива $X$ е обект на биномиалното разпределение на вероятностите, ако приема стойностите $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Всъщност случайната променлива $X$ е броят на появяванията на събитието $A$ в $n$ независими опити. Закон за разпределение на вероятностите за случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \точки & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива очакването е $M\left(X\right)=np$, дисперсията е $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример . В семейството има две деца. Приемайки, че вероятностите за раждане на момче и момиче са равни на $0,5$, намерете закона за разпределение на случайната променлива $\xi $ - броят на момчетата в семейството.

Нека случайната променлива $\xi $ е броят на момчетата в семейството. Стойностите, които $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ могат да приемат. Вероятностите за тези стойности могат да бъдат намерени по формулата $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, където $n =2$ - брой независими опити, $p=0.5$ - вероятност за настъпване на събитие в поредица от $n$ опита. Получаваме:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Тогава законът за разпределение на случайната променлива $\xi $ е съответствието между стойностите $0,\ 1,\ 2$ и техните вероятности, т.е.:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\край (масив)$

Сумата от вероятностите в закона за разпределение трябва да бъде равна на $1$, т.е. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = $1.

Очакване $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, стандартно отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\приблизително $0,707.

2. Закон за разпределение на Поасон.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само неотрицателни цели числа $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\над (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Коментирайте. Особеността на това разпределение е, че въз основа на експериментални данни намираме оценките $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, ако получените оценки са близки една до друга, тогава ние имат основание да твърдят, че случайната променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон.

Пример . Примери за случайни променливи, подчинени на закона за разпределение на Поасон, могат да бъдат: броят на автомобилите, които ще бъдат обслужени утре от бензиностанция; броят на дефектните елементи в произведения продукт.

Пример . Заводът изпрати до базата продукти за $500$. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$, равна на броя на повредените продукти; което е равно на $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Нека дискретна случайна променлива $X$ е броят на повредените продукти. Такава случайна променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон с параметър $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятностите на стойностите са $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\наляво(X=6\надясно)=((1^6)\над (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Законът за разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\над (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване и дисперсията са равни едно на друго и са равни на параметъра $\lambda $, т.е. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Геометричен закон на разпределение.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само естествени стойности $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ вдясно)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тогава казваме, че такава случайна променлива $X$ се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Всъщност геометричното разпределение изглежда като изпитания на Бернули към първия успех.

Пример . Примери за случайни променливи, които имат геометрично разпределение, могат да бъдат: броят на изстрелите преди първото попадение в целта; брой тестове на устройството преди първата повреда; броя на хвърлянията на монети преди първия хедс-ъп и т.н.

Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, предмет на геометрично разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\ надясно)/p^ 2$.

Пример . По пътя на движението на рибата до мястото за хвърляне на хайвера има $4$ ключалка. Вероятността риба да премине през всеки шлюз е $p=3/5$. Изградете серия на разпределение на случайната променлива $X$ - броят ключалки, преминали от рибата преди първото спиране на ключалата. Намерете $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Нека случайната променлива $X$ е броят на шлюзовете, преминали от рибата преди първото спиране на шлюза. Такава случайна променлива се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Стойностите, които може да приеме случайната променлива $X са: 1, 2, 3, 4. Вероятностите за тези стойности се изчисляват по формулата: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, където: $ p=2/5$ - вероятност рибата да бъде уловена през шлюза, $q=1-p=3/5$ - вероятността рибата да премине през шлюза, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4 $.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ над(5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ над (5))\cdot ((9)\над (25))=((18)\над (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\над (5))\надясно))^4=((27)\над (125))=0,216.$

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\край (масив)$

Очаквана стойност:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

дисперсия:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ ляво(1-2,176\вдясно))^2+0,24\cdot (\вляво(2-2,176\вдясно))^2+0,144\cdot (\вляво(3-2,176\вдясно))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\приблизително 1,377.$

Стандартно отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\приблизително 1173.$

4. Хипергеометричен закон на разпределение.

Ако има $N$ обекти, сред които $m$ обекти имат даденото свойство. На случаен принцип, без заместване, се извличат $n$ обекта, сред които има $k$ обекта, които имат дадено свойство. Хипергеометричното разпределение дава възможност да се оцени вероятността точно $k$ обекта в извадка да имат дадено свойство. Нека случайната променлива $X$ е броят на обектите в извадката, които имат дадено свойство. Тогава вероятностите на стойностите на случайната променлива $X$:

$P\наляво(X=k\надясно)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\над (C^n_N))$

Коментирайте. Статистическата функция HYPERGEOMET на съветника за функции $f_x$ на Excel ви позволява да определите вероятността определен брой опити да бъдат успешни.

$f_x\до $ статистически$\към$ ХИПЕРГЕОМЕТ$\към$ Добре. Ще се появи диалогов прозорец, който трябва да попълните. В графиката Брой_успехи_в_извадкатапосочете стойността на $k$. образец_размере равно на $n$. В графиката Брой_на_успехите_в_популациятапосочете стойността на $m$. Размер на населениетое равно на $N$.

Математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива $X$, предмет на геометричен закон за разпределение, са $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\над (N))\надясно)\наляво(1-((n)\над (N))\надясно))\над (N-1))$.

Пример . В кредитния отдел на банката работят 5 специалисти с висше финансово образование и 3 специалисти с висше юридическо образование. Ръководството на банката реши да изпрати 3 специалисти за повишаване на квалификацията, като ги подбра на случаен принцип.

а) Направете разпределителна серия на броя на специалистите с висше финансово образование, които могат да бъдат насочени към повишаване на квалификацията;

б) Намерете числените характеристики на това разпределение.

Нека случайната променлива $X$ е броят на специалистите с висше финансово образование сред тримата избрани. Стойности, които $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ могат да приемат. Тази случайна променлива $X$ се разпределя според хипергеометричното разпределение със следните параметри: $N=8$ - размер на популацията, $m=5$ - брой успехи в популацията, $n=3$ - размер на извадката, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - брой успехи в извадката. Тогава вероятностите $P\left(X=k\right)$ могат да бъдат изчислени по формулата: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ върху C_( N)^(n) ) $. Ние имаме:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\приблизително 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\приблизително 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\приблизително 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\приблизително 0,179.$

Тогава серията на разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\край (масив)$

Нека изчислим числените характеристики на случайната променлива $X$ според общи формулихипергеометрично разпределение.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\надясно))\над (8-1))=((225)\над (448))\приблизително 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\приблизително 0,7085.$

Както е известно, случайна величина се нарича променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива се нарича случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.

1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределение може да бъде зададен графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за да се решат някои проблеми, не е необходимо да се знае законът за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. То може да бъде число, което има значението на "средната стойност" на случайна променлива, или число, което показва средният размеротклонение на случайна величина от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

• Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
  За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
• дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2) − 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
  За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
• Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"

Задача 1.

Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях печелят 500 рубли, 10 - 100 рубли, 20 - 50 рубли, 50 - 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.

Решение. Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Представяме получения закон под формата на таблица:

Намерете математическото очакване на X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната случайна променлива X=(брой неуспешни елементи в един експеримент) има следното възможни стойности: x 1 \u003d 0 (нито един от елементите на устройството не е повреден), x 2 \u003d 1 (един елемент е неуспешен), x 3 = 2 (два елемента са неуспешни) и x 4 = 3 (три елемента са неуспешни).

Повредите на елементите са независими една от друга, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формула на Бернули . Като се има предвид, че по условие n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ние определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 \u003d 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

По този начин желаният биномен закон на разпределение X има формата:

На абсцисната ос начертаваме възможните стойности x i, а на ординатната ос - съответните вероятности р i . Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

3. Намерете функцията на разпределение F(x) = P(X

Графика на функцията F(x)

4. За биномното разпределение X:
- математическо очакване М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Случайна величинаНарича се количество, което в резултат на изпитвания, проведени при едни и същи условия, приема различни, най-общо казано, стойности в зависимост от случайни фактори, които не се вземат предвид. Примери за случайни променливи: броят на падналите точки на зара, броят на дефектните продукти в партида, отклонението на точката на удара на снаряда от целта, продължителността на работа на устройството и т.н. Разграничете дискретни и непрекъснати случайни променливи . ОтделенИзвиква се случайна променлива, чиито възможни стойности образуват изброимо множество, крайно или безкрайно (т.е. такова множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани).

непрекъснатоИзвиква се случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват някакъв краен или безкраен интервал от числовата ос. Броят на стойностите на непрекъсната случайна променлива винаги е безкраен.

Случайните променливи ще бъдат обозначени с главни букви от края на латинската азбука: х, Y, . ; стойности на случайна променлива - с малки букви: X, y. . По този начин, хОзначава целия набор от възможни стойности на случайна променлива и Х -Някакво конкретно значение.

разпределителен законДискретна случайна променлива е съответствие, дадено във всякаква форма между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Нека възможните стойности на случайната променлива хса . В резултат на теста случайната променлива ще приеме една от тези стойности, т.е. Ще се случи едно събитие от пълна група несъвместими по двойки събития.

Нека са известни и вероятностите за тези събития:

Закон за разпределение на случайна величина хМоже да се запише под формата на таблица, наречена Близо до разпределениеДискретна случайна променлива:

случайни променливи. Дискретна случайна променлива.
Очаквана стойност

Вторият раздел на теория на вероятноститепосветен случайни променливи , които невидимо ни съпътстваха буквално във всяка статия по темата. И дойде моментът ясно да се формулира какво е то:

Случаен Наречен стойност, които в резултат на теста ще вземе един и единственчислена стойност, която зависи от случайни фактори и не е предвидима предварително.

Случайните променливи обикновено са обозначавампрез * , и техните стойности в съответните малки букви с индекси, например, .

* Понякога се използват както и гръцки букви

Попаднахме на пример на първи урок по теория на вероятностите, където всъщност разгледахме следната случайна променлива:

- броя на точките, които ще паднат след хвърляне на зар.

Този тест ще доведе до един и единственлинията, която не е предвидима (трикове не се вземат предвид); в този случай случайната променлива може да приеме една от следните стойности:

- броят на момчетата на 10 новородени.

Съвсем ясно е, че това число не е предварително известно и в следващите десет родени деца може да има:

Или момчета - един и единственот изброените опции.

И за да поддържате форма, малко физическо възпитание:

- разстояние за скок на дължина (в някои единици).

Дори майсторът на спорта не може да го предвиди 🙂

Какви са обаче вашите хипотези?

Възможно най-скоро набор от реални числабезкрайно, тогава случайната променлива може да вземе безкрайно многостойности от някакъв интервал. И това е фундаменталната му разлика от предишните примери.

По този начин, препоръчително е случайните променливи да се разделят на 2 големи групи:

1) Дискретни (прекъсващ)случайна величина - приема отделно взети, изолирани стойности. Броят на тези стойности със сигурностили безкраен, но изброим.

... бяха изготвени неразбираеми условия? Спешно повторете основи на алгебрата!

2) Непрекъсната случайна променлива - взема всичкочислени стойности от някакъв краен или безкраен диапазон.

Забележка : съкращенията DSV и NSV са популярни в учебната литература

Първо, нека анализираме дискретна случайна променлива, след това - непрекъснато.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина

- това е съответствиемежду възможните стойности на това количество и техните вероятности. Най-често законът е написан в таблица:

Терминът е доста често срещан ред разпространение, но в някои ситуации звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".

И сега много важен момент: тъй като случайната променлива непременноще приеме една от ценностите, тогава се формират съответните събития пълна групаи сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на единица:

или, ако е написано сгънато:

Така например законът за разпределението на вероятностите за точки върху зара има следната форма:

Може да останете с впечатлението, че дискретна случайна променлива може да приема само „добри“ цели числа. Нека разсеем илюзията - те могат да бъдат всякакви:

Някои игри имат следния закон за разпределение на печалбите:

…сигурно отдавна си мечтаете за такива задачи 🙂 Ще ви издам една тайна – аз също. Особено след приключване на работата по теория на полето.

Решение: тъй като една случайна променлива може да приеме само една от трите стойности, се формират съответните събития пълна група, което означава, че сумата от техните вероятности е равна на единица:

Разобличаваме "партизанина":

– по този начин вероятността да спечелите конвенционални единици е 0,4.

Контрол: какво трябва да сте сигурни.

Отговор:

Не е необичайно, когато законът за разпределение трябва да бъде съставен независимо. За тази употреба класическо определение на вероятността, теореми за умножение/събиране за вероятности за събитияи други чипове тервера:

В кутията има 50 лотарийни билета, 12 от които са печеливши, като 2 от тях печелят по 1000 рубли, а останалите - по 100 рубли. Съставете закон за разпределение на случайна променлива - размера на печалбата, ако един билет е изтеглен на случаен принцип от кутията.

Решение: както забелязахте, обичайно е да се поставят стойностите на случайна променлива възходящ ред. Затова започваме с най-малките печалби, а именно рубли.

Общо има 50 - 12 = 38 такива билета и съгл класическа дефиниция:
е вероятността произволно изтеглен билет да не спечели.

Останалите случаи са прости. Вероятността да спечелите рубли е:

И за :

Проверка: - и това е особено приятен момент от такива задачи!

Отговор: изискваният закон за разпределение на изплащането:

Следната задача за самостоятелно решение:

Вероятността стрелецът да уцели целта е . Направете закон за разпределение на случайна променлива - брой попадения след 2 изстрела.

... Знаех си, че ти липсва 🙂 Помним теореми за умножение и събиране. Решение и отговор в края на урока.

Законът за разпределение напълно описва случайна променлива, но на практика е полезно (а понякога и по-полезно) да знаете само част от нея. числови характеристики .

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

С прости думи, това средна очаквана стойностс многократно тестване. Нека случайна променлива приема стойности съответно с вероятности. Тогава математическото очакване на тази случайна променлива е равно на сбор от произведениявсички негови стойности по съответните вероятности:

или в сгънат вид:

Нека изчислим, например, математическото очакване на случайна променлива - броя точки, паднали на зара:

Какво е вероятностното значение на получения резултат? Ако хвърлите зара достатъчно пъти, тогава означавападналите точки ще бъдат близо до 3,5 - и колкото повече тестове правите, толкова по-близо. Всъщност вече говорих подробно за този ефект в урока за статистическа вероятност.

Сега нека си припомним нашата хипотетична игра:

Възниква въпросът: изгодно ли е да играете тази игра? ...кой има впечатления? Така че не можете да кажете „на ръка“! Но на този въпрос може лесно да се отговори чрез изчисляване на математическото очакване, по същество - среднопретеглена стойноствероятности за печалба:

По този начин, математическото очакване на тази игра губещ.

Не вярвайте на впечатления - вярвайте на цифри!

Да, тук можете да спечелите 10 и дори 20-30 пъти подред, но в дългосрочен план неизбежно ще бъдем съсипани. И не бих ви посъветвал да играете такива игри 🙂 Е, може би само за забавление.

От всичко казано по-горе следва, че математическото очакване НЕ Е СЛУЧАЙНА стойност.

Творческа задача за самостоятелно изследване:

Г-н X играе европейска рулетка по следната система: той постоянно залага 100 рубли на червено. Съставете закона за разпределение на случайна величина - нейната печалба. Изчислете математическото очакване на печалбите и го закръглете до копейки. как средно аритметичногуби ли играчът за всеки сто заложени?

справка : Европейската рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор ("нула"). В случай на падане на „червено“, на играча се плаща двоен залог, в противен случай той отива в дохода на казиното

Има много други системи за рулетка, за които можете да създадете свои собствени вероятностни таблици. Но това е случаят, когато не се нуждаем от закони и таблици за разпределение, защото е установено със сигурност, че математическото очакване на играча ще бъде абсолютно същото. Променя се само от система на система дисперсия, за които ще научим в част 2 на урока.

Но преди това ще бъде полезно да опънете пръстите си върху клавишите на калкулатора:

Случайната променлива се дава от собствен закон за разпределение на вероятностите:

Намерете дали е известно, че . Пуснете проверка.

След това се обръщаме към изследването дисперсия на дискретна случайна променлива, и ако е възможно, ТОЧНО СЕГА!!- за да не се губи нишката на темата.

Решения и отговори:

Пример 3 Решение: по условие - вероятността за попадение в целта. Тогава:
е вероятността за пропуск.

Да направим - законът за разпределение на попаденията при два изстрела:

- нито едно попадение. от теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

- един удар. от теореми за събиране на вероятности от несъвместими и умножение на независими събития:

- две попадения. Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Отговор :

Забележка : възможно е да се използват обозначения - това не е важно.

Пример 4 Решение: играчът печели 100 рубли в 18 случая от 37 и следователно законът за разпределение на неговите печалби има следната форма:

Нека изчислим математическото очакване:

Така за всеки сто заложени играч губи средно 2,7 рубли.

Пример 5 Решение: по дефиниция на математическото очакване:

Нека разменим частите и да направим опростения:

по този начин:

Да проверим:

, което трябваше да бъде проверено.

Отговор :

(Отидете на главната страница)

Качествена работа без плагиатство - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Дискретни случайни променливи

Случайна величинаизвиква се променлива, която в резултат на всеки тест приема една неизвестна преди това стойност в зависимост от случайни причини. Случайните променливи се означават с главни латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Според вида си случайните променливи могат да бъдат отделени непрекъснато.

Дискретна случайна променлива- това е такава случайна променлива, чиито стойности могат да бъдат не повече от изброими, тоест или крайни, или изброими. Преброимостта означава, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат изброени.

Пример 1 . Нека дадем примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) броят на гербовете, изпаднали при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) броя на корабите, които са пристигнали на борда (изброим набор от стойности).

г) броя на повикванията, пристигащи в централата (изброим набор от стойности).

1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.

Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон на разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, в първия ред на която са посочени стойностите на $x_1,\dots ,\ x_n$, а във втория ред вероятностите, съответстващи на тези стойности, са $ p_1,\точки,\ p_n$.

$\започнете
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, хвърлени при хвърляне на зара. Такава случайна променлива $X$ може да приеме следните стойности $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите за случайната променлива $X$:

$\започнете
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Коментирайте. Тъй като събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуват пълна група от събития в закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$, сумата на вероятностите трябва да е равна на единица, т.е. $\sum

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Математическо очакване на случайна променливаопределя неговата "централна" стойност. За дискретна случайна променлива, математическото очакване се изчислява като сумата от продуктите на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ и вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, т.е.: $M\наляво(X\надясно)=\сума ^n_ $. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.

Свойства на очакванията$M\ляво(X\дясно)$:

1. $M\left(X\right)$ е между най-малката и най-голямата стойност на случайната променлива $X$.
2. Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.

Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ е между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.

Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с равни математически очаквания могат да се разпръснат различно около техните средни стойности. Например в две студентски групи средната оценка на изпита по теория на вероятностите се оказа 4, но в едната група всички се оказаха добри студенти, а в другата група само тройници и отличници. Следователно има нужда от такава числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.

Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е:

В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Свойства на дисперсия$D\ляво(X\дясно)$:

1. Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
2. Дисперсията от константа е равна на нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
5. Дисперсията на разликата на независимите случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X-Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.

Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.

Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно е, че дисперсията на $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.

4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.

Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.

разпределителна функцияслучайна променлива $X$ е функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\left(x\ дясно)$ )=P\ляво(X 6$, след това $F\ляво(x\дясно)=P\ляво(X=1\дясно)+P\ляво(X=2\дясно)+P\ляво( X=3 \вдясно)+P\вляво(X=4\вдясно)+P\вляво(X=5\вдясно)+P\вляво(X=6\вдясно)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Графика на функцията на разпределение $F\left(x\right)$:

Основни закони на разпределението

1. Биномен закон на разпределение.

Биномиалният закон за разпределение описва вероятността за възникване на събитие A m пъти в n независими опита, при условие че вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна.

Например, търговският отдел на магазин за техника получава средно една поръчка за закупуване на телевизори за 10 обаждания. Напишете закон за разпределение на вероятностите за закупуване на m телевизора. Построете многоъгълник на вероятностното разпределение.

В таблицата m е броят на поръчките, получени от фирмата за покупка на телевизор. C n m е броят на комбинациите от m телевизора по n, p е вероятността за настъпване на събитие А, т.е. поръчване на телевизор, q е вероятността събитие А да не се случи, т.е. без да поръчате телевизор, P m,n е вероятността да поръчате m телевизора от n. Фигура 1 показва многоъгълника на разпределението на вероятностите.

2.Геометрично разпределение.

Геометричното разпределение на случайна променлива има следния вид:

P m е вероятността за възникване на събитие А в опит номер m.
p е вероятността за възникване на събитие А в едно изпитване.
q = 1 - p

Пример. Фирма за ремонт на домакински уреди получи партида от 10 резервни единици за перални машини. Има случаи, когато една партида съдържа 1 дефектен блок. Извършва се проверка до откриване на дефектен блок. Необходимо е да се състави закон за разпределение на броя на проверените блокове. Вероятността блокът да е дефектен е 0,1. Построете многоъгълник на вероятностното разпределение.

От таблицата се вижда, че с увеличаване на числото m вероятността да бъде открит дефектен блок намалява. Последният ред (m=10) комбинира две вероятности: 1 - че десетият блок се е оказал дефектен - 0.038742049 , 2 - че всички проверени блокове са се оказали изправни - 0.34867844. Тъй като вероятността блокът да се провали е относително ниска (p=0,1), вероятността за последното събитие Pm (10 тествани блока) е относително висока. Фиг.2.

3. Хипергеометрично разпределение.

Хипергеометричното разпределение на случайна променлива има следния вид:

Например, съставете закон за разпределение на 7 познати числа от 49. В този пример бяха премахнати общите числа N=49, n=7 числа, M - общите числа, които имат дадено свойство, т.е. правилно познати числа, m е броят на правилно познатите числа сред изтеглените.

Таблицата показва, че вероятността да познаете едно число m=1 е по-висока, отколкото когато m=0. След това обаче вероятността започва бързо да намалява. По този начин вероятността да познаете 4 числа вече е по-малка от 0,005, а 5 е пренебрежимо малка.

4. Закон за разпределение на Поасон.

Случайна променлива X има разпределение на Поасон, ако нейният закон за разпределение има формата:

Np = const
n е броят на опитите, клонящи към безкрайност
p е вероятността събитието да се случи, клоняща към нула
m е броят на повторенията на събитие А

Например, една телевизионна компания получава средно около 100 обаждания на ден. Вероятността да поръчате телевизор марка A е 0,08; B - 0,06 и C - 0,04. Съставете закона за разпределение на поръчките за закупуване на телевизори от марки A, B и C. Постройте многоъгълник на вероятностно разпределение.

От условието имаме: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)

(таблицата не е пълна)

Ако n е достатъчно голямо, за да отиде до безкрайност и p отиде до нула, така че произведението np да отиде до постоянно число, тогава този закон е приближение на закона за биномно разпределение. От графиката може да се види, че колкото по-голяма е вероятността p, толкова по-близо е кривата до оста m, т.е. по-нежен. (фиг.4)

Трябва да се отбележи, че биномиалното, геометричното, хипергеометричното и законите за разпределение на Поасон изразяват разпределението на вероятностите на дискретна случайна променлива.

5. Закон за равномерно разпределение.

Ако плътността на вероятността? (x) е постоянна стойност на определен интервал, тогава законът за разпределение се нарича равномерен. Фигура 5 показва графиките на функцията на разпределение на вероятностите и плътността на вероятността на закона за равномерно разпределение.

6. Закон за нормалното разпределение (закон на Гаус).

Сред законите за разпределение на непрекъснати случайни променливи най-често срещаният е нормалният закон за разпределение. Случайна променлива се разпределя според нормалния закон за разпределение, ако нейната плътност на вероятността има формата:

където
a е математическото очакване на случайна променлива
? - стандартно отклонение

Графиката на плътността на вероятността на случайна променлива с нормален закон на разпределение е симетрична спрямо правата x=a, т.е. x е равно на математическото очакване. Така, ако x=a, тогава кривата има максимум, равен на:

Когато стойността на математическото очакване се промени, кривата ще се измести по оста Ox. От графиката (фиг. 6) се вижда, че при x=3 кривата има максимум, т.к математическото очакване е 3. Ако математическото очакване приеме различна стойност, например a=6, тогава кривата ще има максимум при x=6. Говорейки за стандартното отклонение, както можете да видите от графиката, колкото по-голямо е стандартното отклонение, толкова по-малка е максималната стойност на плътността на вероятността на случайна променлива.

Функция, която изразява разпределението на случайна променлива в интервала (-?, x) и има нормален закон на разпределение, се изразява чрез функцията на Лаплас съгласно следната формула:

Тези. вероятността за случайна променлива X се състои от две части: вероятността, при която x приема стойности от минус безкрайност до a, равна на 0,5, а втората част е от a до x. (фиг.7)

Учим заедно

Полезни материали за студенти, дипломни и курсови работи по поръчка

Урок: Законът за разпределение на дискретна случайна променлива

Законът за разпределение на дискретна случайна променливае съответствието между възможните стойности и техните вероятности. Може да се посочи таблично, графично и аналитично.

Какво е случайна променлива се обсъжда в този урок.

При табличния начин на настройка първият ред на таблицата съдържа възможните стойности, а вторият техните вероятности, т.е.

Това количество се нарича серия на разпределение. дискретна случайна променлива.

X=x1, X=x2, X=xn образуват пълна група, тъй като в един опит случайната променлива ще приеме една и само една възможна стойност. Следователно сумата от техните вероятности е равна на единица, т.е. p1 + p2 + pn = 1 или

Ако наборът от стойности на X е безкраен, тогава Пример 1. Има издадени 100 билета от парична лотария. Играе се една печалба от 1000 рубли и 10 от 100 рубли. Намерете закона за разпределение на случайна променлива X - цената на възможна печалба за собственика на един лотарен билет.

Желаният закон за разпределение има формата:

контрол; 0,01+0,1+0,89=1.
С графичен метод за задаване на закона за разпределение точките се изграждат върху координатната равнина (Xi: Pi) и след това се свързват с прави сегменти. Получената начупена линия се нарича разпределителен полигон.Например 1, разпределителният полигон е показан на фигура 1.

В аналитичния метод за определяне на закона за разпределение е посочена формула, която свързва вероятностите на случайна променлива с нейните възможни стойности.

Примери за дискретни разпределения

Биномиално разпределение

Нека бъдат направени n опита, във всяко от които събитието А се случва с постоянна вероятност p, следователно не се случва с постоянна вероятност р = 1- стр. Помислете за случайна променлива Х-броят на случванията на събитие А в тези n опита. Възможните стойности на X са x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Вероятността за тези възможни

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива се нарича Windows XP Word 2003 Excel 2003 Законите за разпределение на дискретни случайни променливи Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и […]