Задача C2: Уравнение на равнината през детерминанта. Уравнение на равнината: как се съставя? Видове уравнения на равнината 2 уравнение на равнината

В този урок ще разгледаме как да използваме детерминанта за композиране равнинно уравнение... Ако не знаете какво е детерминанта, преминете към първата част на урока - "Матрици и детерминанти". В противен случай рискувате да не разберете нищо в днешния материал.

Уравнение на три точки

Защо изобщо е необходимо уравнението на равнината? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задачата C2. Като цяло това уравнение е задължително. Следователно формулираме проблема:

Задача. В пространството са дадени три точки, които не лежат на една права линия. Техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Необходимо е да се формулира уравнението на равнината, минаваща през тези три точки. Освен това уравнението трябва да изглежда така:

Ax + By + Cz + D = 0

където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност трябва да бъдат намерени.

Е, как да получим уравнението на равнината, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, която е лесна за решаване.

Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишното USE по математика показа, че вероятността да се направи изчислителна грешка е наистина голяма.

Затова най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и елегантни решения. И те го намериха! Вярно е, че полученият прием е по-скоро свързан с висшата математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък с учебници, за да се уверя, че имаме правото да използваме тази техника без никакво оправдание или доказателство.

Уравнение на равнината през детерминанта

Стига текстове, да се залавяме за работа. Като начало, теорема за това как са свързани детерминантата на матрицата и уравнението на равнината.

Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се проведе равнината: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да се запише чрез детерминанта:

Например, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат при проблеми с C2. Вижте колко бързо се брои всичко:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1,0,0);
C1 = (1, 1, 1);

Съставяме детерминанта и го приравняваме на нула:

Разширяване на детерминанта:

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z - 1 - y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = −x;
d = a - b = z - 1 - y - (−x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Както можете да видите, при изчисляването на числото d, аз малко "сресах" уравнението, така че променливите x, y и z да са в правилната последователност. Това е всичко! Уравнението на равнината е готово!

Задача. Приравнете равнината през точките:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Веднага заместваме координатите на точките в детерминанта:

Разширете отново детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

И така, отново се получава уравнението на равнината! Отново на последната стъпка трябваше да сменим знаците в него, за да получим по-„красива“ формула. Изобщо не е необходимо да се прави това в настоящото решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решение на проблема.

Както можете да видите, уравнението на равнината вече е много по-лесно. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминанта - и това е всичко, уравнението е готово.

Това може да завърши урока. Много студенти обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминанта. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред съдържа само x. За да стигнем най-накрая до дъното на това, нека проследим откъде идва всяко число.

Откъде идва формулата за детерминанта?

И така, нека да разберем откъде идва такова сурово уравнение с детерминант. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.

Всички равнини, които се срещат в задача C2, се определят с три точки. Тези точки винаги са отбелязани на чертежа или дори са посочени директно в текста на проблема. Във всеки случай, за да съставим уравнение, трябва да напишем техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Помислете за още една точка от нашата равнина с произволни координати:

T = (x, y, z)

Вземаме произволна точка от първата тройка (например точка M) и рисуваме вектори от нея към всяка от трите оставащи точки. Получаваме три вектора:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Сега ще съставим квадратна матрица от тези вектори и ще приравним нейната детерминанта на нула. Координатите на векторите ще станат редове на матрицата - и ще получим същия детерминант, който е посочен в теоремата:

Тази формула означава, че обемът на паралелепипеда, изграден върху векторите MN, MK и MT, е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.

Замяна на точки и квалификаторни низове

Квалификаторите имат някои страхотни свойства, които го правят още по-лесно решение на проблем C2... Например, за нас няма значение от коя точка да рисуваме вектори. Следователно следните детерминанти дават същото равнинно уравнение като горното:

Можете също да размените редовете на идентификатора. В този случай уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако ви е толкова удобно:

Някои хора са объркани, че един от редовете съдържа променливи x, y и z, които не изчезват, когато точките се заменят. Но и те не трябва да изчезват! Замествайки числата в детерминанта, трябва да получите следната конструкция:

След това детерминантата се разширява по схемата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Вижте един пример. Той е последният в днешния урок. Умишлено ще обърна линиите, за да се уверя, че отговорът е едно и също уравнение на равнината.

Задача. Приравнете равнината през точките:

B 1 = (1, 0, 1);
С = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

И така, ние разглеждаме 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
С = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Първо, нека съставим стандартен детерминант и да го приравним на нула:

Разширяване на детерминанта:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x - 1) + 1 (−1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
d = a - b = y - (2 - x - z) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Това е всичко, получихме отговора: x + y + z - 2 = 0.

Сега нека пренаредим няколко реда в квалификатора и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливите x, y, z, не в долната част, а в горната част:

Отваряме отново получения детерминант:

a = (x - 1) 1 (−1) + (z - 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x - 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Получихме точно същото уравнение на равнината: x + y + z - 2 = 0. Това означава, че наистина не зависи от реда на редовете. Остава да запишем отговора.

И така, ние се уверихме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на линиите. Можете да извършите подобни изчисления и да докажете, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от останалите точки.

В разгледаната по-горе задача използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). По принцип всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.

1. Намерете уравнението на равнина, минаваща през дадена точка, успоредна на два дадени (неколинеарни) вектора

Индикация: 1 начин . Вземете произволна точка от равнината M (x, y, z). Векторите ще бъдат компланарни, тъй като са разположени в успоредни равнини. Следователно техният смесен продукт
Записвайки това условие в координати, получаваме уравнението за желаната равнина:

По-удобно е да се изчисли тази детерминанта, като се разшири по първия ред.

2 начин . вектори
са успоредни на желаната равнина. Следователно, вектор, равен на векторното произведение на векторите
перпендикулярно на тази равнина , т.е.
и
... вектор е нормален вектор на равнината ... Ако
и
, след това векторът се намира по формулата:

Равнинно уравнение намерете по точка
и нормален вектор

2. Намерете уравнението на равнина, минаваща през две дадени точки, успоредни на даден вектор
.(
неколинеарни).

Индикация: 1 начин. Нека M (x, y, z) е произволна точка от равнината. След това вектори и
са разположени в успоредни равнини и следователно компланарни, т.е. тяхната смесена работа
Записвайки това условие в координати, получаваме уравнението на желаната равнина .

2 начин . Нормалният вектор към желаната равнина ще бъде равен на векторното произведение на векторите
, т.е.
или в координати:

Уравнението на необходимата равнина намерено чрез нормален вектор и точка
(или точка
) по формула (2.1.1)

(виж пример 1, точка 2.2).

3. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точката
успоредно на равнината 2x - 6y - 3z +5 = 0.

Индикация:Нормален вектор намираме от общото уравнение на дадената равнина 2x - 6y - 3z +5 = 0 (2.2.1).
вектор перпендикулярна на тази равнина, следователно тя е перпендикулярна на всяка равнина, успоредна на нея. вектор може да се приеме като нормален вектор на желаната равнина. Нека съставим уравнението на желаната равнина в точката
и нормален вектор
(виж пример 1, точка 2.2).

Отговор:

4. Направете уравнението на равнината, минаваща през точката
перпендикулярно на пресечната линия на равнините 2x + y - 2z + 1 = 0 и

x + y + z - 5 = 0.

Индикация: 1 начин. Векторите, перпендикулярни на всяка от нейните равнини (координатите на векторите се намират от общите уравнения на равнините, формула (2.2.1)) са перпендикулярни на линията на тяхното пресичане и следователно са успоредни на желаната равнина. Целевата равнина минава през точката
успоредно на два вектора
(виж задача 1, точка 5).

Уравнението за желаната равнина има вида:

Разширявайки детерминанта от третия ред в първия ред, получаваме необходимото уравнение.

Метод 2. Нека съставим уравнението на равнината по точка
и нормален вектор по формула (2.2.1). Нормален вектор е равно на векторното произведение на векторите
,тези.
Тъй като векторите
са перпендикулярни на пресечната линия на равнините, а след това на вектора успоредно на пресечната линия на равнините и перпендикулярно на желаната равнина.

Вектори (вижте формула 2.2.1), тогава

Нека съставим уравнението на равнината по точка
и нормален вектор

(виж пример 1, точка 2.2)

Отговор:

5. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките
и
перпендикулярно на равнината 3x - y + 3z +15 = 0.

Индикация: 1 начин. Нека запишем координатите на нормалния вектор на дадено n ласкателно

3x - y + 3z +15 = 0:
Тъй като равнините са перпендикулярни, векторът успоредна на целевата равнина Нека съставим уравнението за желаната равнина
което е успоредно на вектора и преминава през точките
(виж решението на задача 2, точка 5; 1 начин).

Изчислявайки детерминанта, получаваме уравнението на желаната равнина

10x + 15y - 5z - 70 = 0
2x + 3y - z - 14 = 0.

Метод 2. Нека съставим уравнението за желаната равнина по точка
и нормален вектор
вектор

Съставяме уравнението на желаната равнина .

10 (x - 2) +15 (y - 3) - 5 (z + 1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (виж задача 2, точка 5; метод 2). Разделете двете страни на уравнението на 5.

2x + 3y - z - 14 = 0.

Отговор: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. Направете уравнението на равнината, минаваща през точките

и

Индикация:Нека съставим уравнението на равнината, минаваща през три точки (виж пример 1, т. 2.3, формула 2.3.1).

Разширявайки детерминанта, получаваме

Отговор:

Коментирайте.За да се провери правилността на изчислението на детерминанта, се препоръчва да се заменят координатите на тези точки, през които равнината преминава в полученото уравнение. Трябва да получите самоличност; в противен случай е допусната грешка в изчисленията.

7. Направете уравнението на равнината, минаваща през точката
успоредно на равнината x - 4y + 5z + 1 = 0.

Индикация:От общото уравнение на дадена равнина
x - 4y + 5z + 1 = 0 намерете нормален вектор
(формула 2.2.1). вектор перпендикулярно на целевата равнина
Нека съставим уравнението на равнината по точка
и нормален вектор
(виж пример 1; клауза 2.2):

x - 4y + 5z + 15 = 0.

Отговор: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. Направете уравнението на равнината, минаваща през точката
успоредно на векторите

Индикация:Вижте решението на задача 1, точка 5. Решаваме задачата по един от посочените начини.

Отговор: x - y - z - 1 = 0.

9... Приравнете равнина през точка
перпендикулярно на пресечната линия на равнините 3x - 2y - z + 1 = 0 и x - y - z = 0.

Индикация:Вижте решението на задача 4, точка 5. Решаваме задачата по един от посочените начини.

Отговор: x + 2y - z - 8 = 0.

10. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките

перпендикулярно на равнината 3x - y - 4z = 0.

Индикация:Вижте решение на проблем 5, точка 5.

Отговор: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките

успоредна на правата, определена от точките A (5; –2; 3) и B (6; 1; 0).

Индикация:Желаната равнина е успоредна на правата AB, следователно е успоредна на вектора
Уравнението на необходимата равнина намираме, както в задача 2, точка 5 (по един от начините).

Отговор: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. Точка P (2; –1; –2) служи за основа на перпендикуляра, спуснат от началото към равнината. Приравнете тази равнина.

Индикация:Нормален вектор към желаната равнина е векторът
Нека намерим координатите му: P (2; –1; –2) и O (0; 0; 0)

тези.
Нека съставим уравнението на равнината по точка и нормален вектор
(виж пример 1, точка 2.2).

Отговор: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. Направете уравнението на равнината, минаваща през точката
успоредно на равнината: а) xoy; б) йоз; в) xoz.

Индикация:вектор
- единичният вектор на оста z е перпендикулярен на равнината xoy, следователно е перпендикулярен на желаната равнина
Съставяме уравнението на равнината в точка A (0; –1; 2) и

= (0; 0; 1), тъй като
(виж решение на проблем 3, т. 5).
z - 2 = 0.

По същия начин решаваме задачи b) и c).

б)
където
(1; 0; 0).

v)
където (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Отговор:а) z - 2 = 0; б) х = 0; в) y + 1 = 0.

14. Направете уравнението на равнината, минаваща през точките
и

B (2; 1; –1) перпендикулярно на равнината: а) xoy; б) xoz.

Индикация:Нормалният вектор на равнината xoy е векторът

= (0; 0; 1) - единичен вектор на оста oz. Нека съставим уравнението на равнината, минаваща през две точки
и B (2; 1; –1) и перпендикулярно на равнината с нормален вектор
(0; 0; 1), като се използва един от методите за решаване на задача 5 от параграф 5.
y - 1 = 0.

По същия начин за задача b):
където = (0; 1; 0).

Отговор:а) y - 1 = 0; б) x + z - 1 = 0.

15. Направете уравнението на равнината, минаваща през точките
и

B (2; 3; –1) успоредно на оста oz.

Индикация:По оста oz можете да вземете единичен вектор = (0; 0; 1). Решението на задачата е подобно на решението на задача 2, точка 5 (по всякакъв начин).

Отговор: x - y + 1 = 0.

16. Направете уравнението на равнината, минаваща през оста на вол и точката

Индикация:Самолет
преминава през оста на вол, следователно, през точката O (0; 0; 0). По оста на вола можем да вземем единичния вектор = (1; 0; 0). Съставяме уравнението на желаната равнина от две точки A (2; –1; 6) и O (0; 0; 0) и вектора успоредно на равнината. (Виж решение на проблем 2, точка 5).

Отговор: 6y + z = 0.

17. При каква стойност на A равнините Ax + 2y - 7z - 1 = 0 и 2x - y + 2z = 0 ще бъдат перпендикулярни?

Индикация:От общите уравнения на равнините

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 и
2x - y + 2z = 0 нормални вектори

= (A; 2; –7) и
= (2; –1; 2) (2.2.1). Условие на перпендикулярност на две равнини (2.6.1).

Отговор:А = 8.

18. При каква стойност на A на равнината 2x + 3y - 6z - 23 = 0 и

4x + Ay - 12z + 7 = 0 ще бъдат успоредни?

Индикация:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 и
4x + Ay - 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) и
= (4; A; –12) (2.2.1). Защото
(2.5.1)

Отговор:А = 6.

19. Намерете ъгъла между двете равнини 2x + y + z + 7 = 0 и x - 2y + 3z = 0.

Индикация:
2x + y + z + 7 = 0 и
x - 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) и
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Отговор:

20. Напишете каноничните уравнения на права линия, минаваща през точка

A (1; 2; –3) успоредно на вектора =(1; –2; 1).

Индикация:Вижте решение на примерна точка 3.1.

Отговор:

21. Направете параметрични уравнения на права линия, минаваща през точка

A (–2; 3; 1) успоредно на вектора =(3; –1; 2).

Индикация:Вижте решение на примерна точка 3.2.

Отговор:
.

22. Напишете каноничните и параметричните уравнения на правата линия, минаваща през точките A (1; 0; –2) и B (1; 2; –4).

Индикация:Вижте решението на пример 1 от параграф 3.3.

Отговор:а)
б)

23. Напишете каноничните и параметричните уравнения на правата линия, дефинирана като пресичане на две равнини x - 2y + 3z - 4 = 0 и 3x + 2y - 5z - 4 = 0.

Индикация:Вижте пример 1, точка 3.4. Нека z = 0, тогава координатите x и y на точката
намираме от решението на системата

Оттук и точката
лежаща на желаната права линия има координати

(2; –1; 0). Да намерим вектора на посоката на желаната права от общите уравнения на равнините
x - 2y + 3z - 4 = 0 и
3x + 2y - 5z - 4 = 0

намерете нормални вектори = (1; –2; 3) и
=(3; 2; –5).

Намираме каноничните уравнения на правата по точката
(2; –1; 0) и вектор на посоката

(Вижте формула (3.1.1)).

Параметричните уравнения на правата линия могат да бъдат намерени по формула (3.2.1) или от каноничните уравнения:
Ние имаме:

Отговор:
;
.

24. Чрез точката
(2; –3; –4) начертайте права линия, успоредна на правата линия

.

Индикация:Канонични уравнения на необходимата права намерете по точка
и направляващ вектор Защото
след това зад вектора на посоката прав можете да вземете вектора на посоката прав Л. По-нататък вижте решението на проблем 23, точка 5 или пример 1, точка 3.4.

Отговор:

25. Дадени са върховете на триъгълника A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) и C (–1; 3; 5). Намерете уравнението за медианата на триъгълник ABC, изтеглено от връх B.

Индикация:Координатите на точка M намираме от условието AM = MC (BM е медиана на триъгълник ABC).

С запазваме каноничните уравнения на правата BM в две точки B (2; 4; –1) и
(Вижте пример 1, точка 3.3).

Отговор:

26. Напишете каноничните и параметричните уравнения на права линия, минаваща през точка
(–1; –2; 2) успоредно на оста на вола.

Индикация:вектор
- единичният вектор на оста x е успореден на желаната права линия. Следователно той може да се приеме като насочващ вектор на правата линия
= (1; 0; 0). Нека съставим уравненията на права линия по една точка

(–1; –2: 2) и вектора = (1; 0; 0) (виж пример т. 3.1 и пример 1 т. 3.2).

Отговор:
;

27. Напишете каноничните уравнения на права линия, минаваща през точка
(3; –2; 4) перпендикулярно на равнината 5x + 3y - 7z + 1 = 0.

Индикация:От общото уравнение на равнината
5x + 3y - 7z + 1 = 0 намерете нормален вектор = (5; 3; –7). По хипотеза, желаната права линия
следователно векторът
тези. вектор е векторът на посоката на правата линия L: = (5; 3; –7). Съставяме каноничните уравнения на права линия по една точка
(3; –2; 4) и вектор на посоката

= (5; 3; –7). (Вижте примерна точка 3.1).

Отговор:

28. Направете параметричните уравнения на перпендикуляра, спуснат от началото към равнината 4x - y + 2z - 3 = 0.

Индикация:Нека съставим уравнението на необходимия перпендикуляр, т.е. права линия, перпендикулярна на равнината
4x - y + 2z - 3 = 0 и преминаващ през точката O (0; 0; 0). (Вижте решението на проблем 27, параграф 5 и пример 1, параграф 3.2).

Отговор:

29. Намерете пресечната точка на права линия
и самолет

x - 2y + z - 15 = 0.

Индикация:Да намерим пресечната точка M на права линия

L:
и самолет

x - 2y + z - 15 = 0, трябва да решите системата от уравнения:

;

За да се реши системата, каноничните уравнения на правата линия се трансформират в параметрични уравнения. (Вижте задача 23, точка 5).

Отговор:

30. Намерете проекцията на точка M (4; –3; 1) върху равнината x + 2y - z - 3 = 0.

Индикация:Проекцията на точка M върху равнината ще бъде точка P - точка n пресичане на перпендикуляра, изпуснат от точка M към равнината
и самолет Нека съставим параметричните уравнения на перпендикуляра МР (виж решението на задача 28, точка 5).

Нека намерим точката P - пресечната точка на правата MP и равнината (Виж решение на проблем 29, точка 5).

Отговор:

31. Намерете проекцията на точка A (1; 2; 1) върху правата

Индикация:Чрез проекция на точка А върху права L:
е т точка В пресечната точка на правата L и равнината
която минава през точка А и е перпендикулярна на правата L. От каноничните уравнения на правата L записваме вектора на посоката = (3; –1; 2). Самолет е перпендикулярна на правата L, следователно,
По този начин векторът може да се приеме като нормален вектор на равнината
= (3; –1; 2). Нека съставим уравнението на равнината по точка А (1; 2; 1) и = (3; –1; 2) (виж пример 1, точка 2.2):
3 (x - 1) - 1 (y - 2) + 2 (z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. Намерете точката B на пресечната точка на правата и равнината (виж задача 29, т. 5):

Отговор:

32. През точка M (3; –1; 0) начертайте права линия, успоредна на две равнини x - y + z - 3 = 0 и x + y + 2z - 3 = 0.

Индикация:Самолети
x - y + z - 3 = 0 и
x + y + 2z - 3 = 0 не са успоредни, т.к условие (2.5.1) не е изпълнено:
Самолети
пресичат се. Търсене на права L, успоредна на равнините
успоредна на пресечната линия на тези равнини. (Вижте решение на задачи 24 и 23 параграф 5).

Отговор:

33. Направете уравнението на равнина, минаваща през две прави

Индикация:1 начин. Нека съставим уравнението за желаната равнина по точка
лежаща на права линия , и нормален вектор ... вектор ще бъде равно на векторното произведение на векторите на посоката на прави линии
, което намираме от каноничните уравнения на правите
(формула 3.1.1): = (7; 3; 5) и

= (5; 5; –3)

Координати на точки
от каноничните уравнения на правата

Начертайте уравнението на равнината по точка
и нормален вектор = (- 34; 46; 20) (виж пример 1, точка 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

Метод 2. Намерете вектори на посоката = (7; 3; 5) и = (5; 5; –3) от каноничните уравнения на правите
Точка
(0; 2; –1) се намира от уравнението

... Вземете произволна точка от равнината

M (x; y; z). вектори
- следователно компланарен,
От това условие получаваме уравнението на равнината:

Отговор: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. Направете уравнението на равнината, минаваща през точката
(2; 0; 1) и права

Индикация:Нека преди всичко се уверим, че точката
на тази линия не l ежит:
Точка
и вектор на посоката намираме от каноничните уравнения на правата
:
(1; –1; –1) и

= (1; 2; –1). Нормален вектор на желаната равнина
Намираме координатите на нормалния вектор, като знаем координатите = (1; 2; –1) и

= (1; 1; 2):

Съставяме уравнението на равнината по точка
(2; 0; 1) и нормален вектор = (–5; 3; 1):

–5 (x - 2) + 3 (y - 0) + 1 (z - 1) = 0.

Отговор: 5x - 3y - z - 9 = 0.

За да получим общото уравнение на равнината, нека анализираме равнината, минаваща през дадена точка.

Нека в пространството има три координатни оси, които вече са ни известни - вол, ойи Оз... Нека държим листа хартия, така че да остане плосък. Равнината ще бъде самият лист и неговото продължение във всички посоки.

Позволявам Ппроизволна равнина в пространството. Всеки вектор, перпендикулярен на него, се нарича нормален вектор към този самолет. Естествено, говорим за ненулев вектор.

Ако някоя точка от равнината е известна Пи някакъв нормален вектор към него, то от тези две условия равнината в пространството е напълно дефинирана(през дадена точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на този вектор). Общото уравнение на равнината ще бъде:

И така, има условия, които определят уравнението на равнината. Да взема себе си равнинно уравнение, който има горната форма, поемаме в самолета Ппроизволен точка М с променливи координати х, г, z... Тази точка принадлежи на равнината само ако вектор перпендикулярно на вектора(Фиг. 1). За това според условието за перпендикулярност на векторите е необходимо и достатъчно скаларното произведение на тези вектори да е равно на нула, т.е.

Векторът се определя от условие. Координатите на вектора намираме по формулата :

.

Сега използваме формулата на векторния точков продукт , ние изразяваме точковото произведение в координатна форма:

От точката M (x; y; z)е избран произволно на равнината, тогава последното уравнение се удовлетворява от координатите на всяка точка, лежаща на равнината П... За точка нне лежи на дадена равнина, т.е. равенството (1) е нарушено.

Пример 1.Приравнете равнина, минаваща през точка и перпендикулярна на вектор.

Решение. Използваме формула (1), погледнете я отново:

В тази формула числата А , Би ° Скоординатите на вектора и числата х0 , г0 и z0 - координати на точката.

Изчисленията са много прости: заместваме тези числа във формулата и получаваме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и събираме само числата (които са без букви). Резултат:

.

Необходимото уравнение на равнината в този пример се оказа изразено чрез общото уравнение от първа степен по отношение на променливи координати x, y, zпроизволна точка на равнината.

И така, уравнение на формата

Наречен общо уравнение на равнината .

Пример 2.Конструирайте в правоъгълна декартова координатна система равнината, дадена от уравнението .

Решение. За да се построи равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три от нейните точки, които не лежат на една права линия, например точките на пресичане на равнината с координатните оси.

Как намирате тези точки? За намиране на пресечната точка с ос Оз, трябва да замените нули в уравнението, дадено в формулировката на проблема, вместо x и играта: х = г= 0. Така че получаваме z= 6. Така дадена равнина пресича оста Озв точката А(0; 0; 6) .

По същия начин намираме пресечната точка на равнината с оста ой... В х = z= 0 получаваме г= −3, тоест точката Б(0; −3; 0) .

И накрая, намираме точката на пресичане на нашата равнина с оста вол... В г = z= 0 получаваме х= 2, тоест точка ° С(2; 0; 0). За трите точки, получени в нашето решение А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) и ° С(2; 0; 0) построете дадената равнина.

Помислете сега специални случаи на общото уравнение на равнината... Това са случаите, когато определени коефициенти на уравнение (2) изчезват.

1. Кога D = 0 уравнение определя равнината, минаваща през началото, тъй като координатите на точката 0 (0; 0; 0) удовлетворяват това уравнение.

2. Кога А = 0 уравнение дефинира равнина, успоредна на оста вол, тъй като нормалният вектор на тази равнина е перпендикулярен на оста вол(проекцията му върху оста воле нула). По същия начин, за B = 0 самолет успоредна ос ой, и при C = 0 самолет успоредно на оста Оз.

3. Кога A = D = 0 уравнението определя равнината, минаваща през оста волтъй като е успоредна на оста вол (А =D = 0). По същия начин равнината минава през оста ой, и равнината през оста Оз.

4. Кога A = B = 0 уравнението дефинира равнина, успоредна на координатната равнина xOyтъй като е успоредна на осите вол (А= 0) и ой (Б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината йОзи самолетът е самолетът xOz.

5. Кога A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) дефинира координатната равнина xOyтъй като е успоредна на равнината xOy (A = B = 0) и минава през началото ( D = 0). По същия начин, уравнението y = 0 в пространството определя координатната равнина xOzи уравнението х = 0 - координатна равнина йОз.

Пример 3.Съставете уравнението на равнината Ппреминаващ през оста ойи точка.

Решение. Значи самолетът минава през оста ой... Следователно в нейното уравнение г= 0 и това уравнение има вида. За определяне на коефициентите Аи ° Сще използваме факта, че точката принадлежи на равнината П .

Следователно сред неговите координати има такива, които могат да бъдат заместени в уравнението на равнината, което вече изведохме (). Отново разглеждаме координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Между тях х = 2 , z= 3. Заместваме ги в общото уравнение и получаваме уравнението за нашия конкретен случай:

2А + 3° С = 0 .

Оставяме 2 Аот лявата страна на уравнението, преместете 3 ° Сот дясната страна и вземете

А = −1,5° С .

Заместване на намерената стойност Ав уравнението, получаваме

или .

Това е уравнението, което се изисква в примерното условие.

Решете сами задачата върху уравненията на равнината и след това вижте решението

Пример 4.Дефинирайте равнина (или равнини, ако са повече от една) спрямо координатните оси или координатните равнини, ако равнината(ите) е определена от уравнение.

Решения на типични проблеми, които възникват върху тестови работи - в ръководството "Проблеми в равнината: успоредност, перпендикулярност, пресичане на три равнини в една точка".

Уравнение на равнина, минаваща през три точки

Както вече споменахме, необходимо и достатъчно условие за построяване на равнина, освен една точка и нормален вектор, са и три точки, които не лежат на една права линия.

Нека са дадени три различни точки и не лежат на една права линия. Тъй като тези три точки не лежат на една права линия, векторите и не са колинеарни и следователно всяка точка от равнината лежи в една и съща равнина с точките и ако и само ако векторите, и компланарен, т.е. ако и само ако смесен продукт на тези векторие равно на нула.

Използвайки израза на смесеното произведение в координати, получаваме уравнението на равнината

(3)

След разкриването на детерминанта това уравнение се превръща в уравнение от вида (2), т.е. общо уравнение на равнината.

Пример 5.Направете уравнение за равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една права линия:

и да се определи специален случай на общото уравнение на права линия, ако има такава.

Решение. По формула (3) имаме:

Нормално уравнение на равнината. Разстояние от точка до равнина

Нормалното уравнение на равнината е нейното уравнение, записано във формата

Може да се задава по различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Имайки предвид това, уравнението на равнината може да има различни форми. Също така, ако са изпълнени определени условия, равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. Ще говорим за това в тази статия. Ще се научим как да съставим общото уравнение на равнината и др.

Нормална форма на уравнението

Да кажем, че има пространство R 3, което има правоъгълна координатна система XYZ. Нека зададем вектор α, който ще бъде освободен от началната точка O. През края на вектора α начертаваме равнина P, която ще бъде перпендикулярна на него.

Означаваме върху произволна точка Q = (x, y, z). Нека запишем радиус вектора на точка Q с буквата p. В този случай дължината на вектора α е равна на p = IαI и Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Това е единичен вектор, който е насочен настрани, подобно на вектора α. α, β и γ са ъглите, които се образуват между вектора Ʋ и положителните посоки на пространствените оси x, y, z, съответно. Проекцията на произволна точка QϵП върху вектора Ʋ е постоянна стойност, която е равна на p: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Горното уравнение има смисъл, когато p = 0. Единственото нещо е, че равнината P в този случай ще пресича точката O (α = 0), която е началото, а единичният вектор Ʋ, издаден от точка O, ще бъде перпендикулярен на P, въпреки посоката си, което означава, че векторът Ʋ се определя с точност до знака. Предишното уравнение е уравнението на нашата равнина P, изразено във векторна форма. Но в координати външният му вид ще бъде така:

P тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме уравнението на равнината в пространството в нормална форма.

Общо уравнение

Ако уравнението в координати се умножи по произволно число, което не е нула, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото, което дефинира същата равнина. Ще изглежда така:

Тук A, B, C са числа, които са различни от нула в същото време. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината.

Уравнения на равнините. Специални случаи

Общото уравнение може да бъде модифицирано при наличие на допълнителни условия. Нека да разгледаме някои от тях.

Да приемем, че коефициентът A е равен на 0. Това означава, че тази равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Vu + Cz + D = 0.

По същия начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:

• Първо, ако B = 0, тогава уравнението ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което ще покаже, че е успоредно на оста Oy.
• На второ място, ако C = 0, тогава уравнението се трансформира в Ax + Vy + D = 0, което ще говори за паралелизъм към дадената ос Oz.
• Трето, ако D = 0, уравнението ще изглежда като Ax + Vy + Cz = 0, което означава, че равнината пресича O (начало).
• Четвърто, ако A = B = 0, тогава уравнението ще се промени на Cz + D = 0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
• Пето, ако B = C = 0, тогава уравнението става Ax + D = 0, което означава, че равнината на Oyz е успоредна.
• Шесто, ако A = C = 0, тогава уравнението ще приеме формата Vy + D = 0, тоест ще отчита паралелизъм на Oxz.

Изглед на уравнение в линейни сегменти

В случай, когато числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:

x / a + y / b + z / c = 1,

в който a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Получаваме в крайна сметка Заслужава да се отбележи, че тази равнина ще пресича оста Ox в точка с координати (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) и Oz - (0,0, c) .

Като се вземе предвид уравнението x / a + y / b + z / c = 1, е лесно да се представи визуално местоположението на равнината спрямо дадена координатна система.

Нормални векторни координати

Нормалният вектор n към равнината P има координати, които са коефициентите на общото уравнение на тази равнина, тоест n (A, B, C).

За да се определят координатите на нормалата n, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадената равнина.

Когато използвате уравнението в сегменти, което има формата x / a + y / b + z / c = 1, както и когато използвате общото уравнение, можете да запишете координатите на всеки нормален вектор на дадена равнина: ( 1 / a + 1 / b + 1 / С).

Трябва да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни проблеми. Най-често срещаните проблеми включват проблема за доказване на перпендикулярност или успоредност на равнините, проблемът за намиране на ъглите между равнините или ъглите между равнините и правите.

Формата на равнинното уравнение според координатите на точката и нормален вектор

Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален (нормален) за дадена равнина.

Да предположим, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) Oxyz са дадени:

• точка Мₒ с координати (xₒ, yₒ, zₒ);
• нулев вектор n = A * i + B * j + C * k.

Необходимо е да се формулира уравнение за равнина, която ще минава през точката Mₒ, перпендикулярна на нормата n.

В пространството изберете произволна точка и я означете с M (x y, z). Нека радиус векторът на всяка точка M (x, y, z) е r = x * i + y * j + z * k, а радиус векторът на точка Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ = xₒ * i + yₒ * j + zₒ * k. Точката M ще принадлежи на дадената равнина, ако векторът МₒМ е перпендикулярен на вектора n. Нека напишем условието за ортогоналност, използвайки точковото произведение:

[МₒМ, n] = 0.

Тъй като МₒМ = r-rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:

Това уравнение може да има и друга форма. За това се използват свойствата на точковото произведение и лявата страна на уравнението се трансформира. = -. Ако го означим като c, тогава получаваме следното уравнение: - c = 0 или = c, което изразява постоянството на проекциите върху нормалния вектор на радиус вектори на дадени точки, които принадлежат на равнината.

Сега можете да получите координатната форма за запис на векторното уравнение на нашата равнина = 0. Тъй като r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, и n = A * i + B * j + C * k, имаме:

Оказва се, че имаме уравнение на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормата n:

A * (x- xₒ) + B * (y- yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Формата на уравнението на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеален на равнината

Нека зададем две произволни точки M ′ (x ′, y ′, z ′) и M ″ (x ″, y ″, z ″), както и вектор a (a ′, a ″, a).

Сега ще можем да съставим уравнение за дадена равнина, която ще минава през съществуващите точки M′ и M″, както и всяка точка M с координати (x, y, z), успоредни на даден вектор a.

Освен това векторите M′M = (x-x ′; y-y ′; zz ′) и M ″ M = (x ″ -x ′; y ″ -y ′; z ″ -z ′) трябва да са еднакви с вектора a = (a ′, a ″, a ‴), което означава, че (M′M, M ″ M, a) = 0.

И така, нашето уравнение на равнина в пространството ще изглежда така:

Изглед на уравнението на равнина, пресичаща три точки

Да предположим, че имаме три точки: (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴), които не принадлежат на една и съща права линия. Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид равнина наистина съществува, но е единствена и неподражаема. Тъй като тази равнина пресича точката (x ′, y ′, z ′), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:

Тук A, B, C са различни от нула в същото време. Също така, дадената равнина пресича още две точки: (x ″, y ″, z ″) и (x ‴, y ‴, z ‴). В тази връзка трябва да бъдат изпълнени следните условия:

Сега можем да съставим хомогенна система с неизвестни u, v, w:

В нашия случай x, y или z е произволна точка, която удовлетворява уравнение (1). Като се има предвид уравнение (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата от уравнения, показана на фигурата по-горе, се удовлетворява от вектора N (A, B, C), който е нетривиален. Ето защо детерминантата на тази система е равна на нула.

Уравнение (1), което получихме, това е уравнението на равнината. Преминава точно през 3 точки и е лесно да се провери. За да направим това, трябва да разширим нашата детерминанта с елементите, разположени в първия ред. От съществуващите свойства на детерминанта следва, че нашата равнина пресича едновременно три първоначално определени точки (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴) . Тоест, ние сме решили поставената пред нас задача.

Двугранен ъгъл между равнините

Двугранният ъгъл е пространствена геометрична фигура, образувана от две полуравнини, които излизат от една права линия. С други думи, това е част от пространството, което е ограничено от тези полуравнини.

Да кажем, че имаме две равнини със следните уравнения:

Знаем, че векторите N = (A, B, C) и N¹ = (A¹, B¹, C¹) са перпендикулярни на дадените равнини. В тази връзка ъгълът φ между векторите N и N¹ е равен на ъгъла (диедър), който е между тези равнини. Точковият продукт е:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

точно защото

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + BB¹ + CC¹) / ((√ (A² + B² + C²)) * (√ (A¹) ² + (B¹) ² + (C¹) ²)).

Достатъчно е да се вземе предвид, че 0≤φ≤π.

Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват два ъгъла (диедър): φ 1 и φ 2. Тяхната сума е равна на π (φ 1 + φ 2 = π). Що се отнася до техните косинуси, техните абсолютни стойности са равни, но се различават по знаци, тоест cos φ 1 = -cos φ 2. Ако в уравнение (0) заменим A, B и C с числа -A, -B и -C, съответно, тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единственият ъгъл φ в уравнението cos φ = NN 1 / | N || N 1 | ще бъде заменен с π-φ.

Уравнение на перпендикулярна равнина

Перпендикулярните равнини са равнини, между които ъгълът е 90 градуса. Използвайки материала, описан по-горе, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на друга. Да предположим, че имаме две равнини: Ax + Vy + Cz + D = 0 и A¹x + B¹y + C¹z + D = 0. Можем да твърдим, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ = 0. Това означава, че NN¹ = AA¹ + BB¹ + CC¹ = 0.

Уравнение за паралелна равнина

Успоредни са две равнини, които не съдържат общи точки.

Условието (техните уравнения са същите като в предишния параграф) е векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, да са колинеарни. Това означава, че са изпълнени следните условия за пропорционалност:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Ако условията за пропорционалност са разширени - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

това показва, че тези равнини съвпадат. Това означава, че уравненията Ax + By + Cz + D = 0 и A¹x + B¹y + C¹z + D¹ = 0 описват една равнина.

Разстояние до равнина от точка

Да кажем, че имаме равнина P, която е дадена от уравнение (0). Необходимо е да се намери разстоянието до него от точката с координати (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. За да направите това, трябва да приведете уравнението на равнината P в нормална форма:

(p, v) = p (p≥0).

В този случай ρ (x, y, z) е радиус векторът на нашата точка Q, разположена върху P, p е дължината на перпендикуляра P, който е освободен от нулевата точка, v е единичният вектор, който е разположени в посока а.

Разликата ρ-ρº на радиус вектора на точка Q = (x, y, z), принадлежаща на P, както и радиус вектора на дадена точка Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) е такъв вектор , абсолютната стойност на проекцията на която върху v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) до П:

D = | (ρ-ρ 0, v) |, но

(ρ-ρ 0, v) = (ρ, v) - (ρ 0, v) = p- (ρ 0, v).

Така се оказва

d = | (ρ 0, v) -p |.

Така ще намерим абсолютната стойност на получения израз, тоест желаното d.

Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:

d = | Axₒ + Buₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Ако дадена точка Q 0 е от другата страна на равнината P, както и началото, тогава между вектора ρ-ρ 0 и v следователно е:

d = - (ρ-ρ 0, v) = (ρ 0, v) -p> 0.

В случай, когато точката Q 0 заедно с началото на координатите се намира от една и съща страна на P, тогава създаденият ъгъл е остър, тоест:

d = (ρ-ρ 0, v) = p - (ρ 0, v)> 0.

В резултат на това се оказва, че в първия случай (ρ 0, v)> p, във втория (ρ 0, v)<р.

Допирателната равнина и нейното уравнение

Допирателната равнина към повърхността в точката на допирателна Mº е равнината, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, начертани през тази точка на повърхността.

С тази форма на уравнението на повърхността F (x, y, z) = 0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка Mº (xº, yº, zº) ще изглежда така:

F x (xº, yº, zº) (x-xº) + F x (xº, yº, zº) (y-yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº) = 0.

Ако зададем повърхността в изричен вид z = f (x, y), тогава допирателната равнина ще бъде описана с уравнението:

z-zº = f (xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y-yº).

Пресичане на две равнини

В координатната система (правоъгълна) се намира Oxyz, са дадени две равнини P ′ и P ″, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина в правоъгълна координатна система се определя от общото уравнение, ще приемем, че P ′ и P ″ са дадени от уравненията Ax + B′y + C′z + D ′ = 0 и A ″ x + B ″ y + C ″ z + D ″ = 0. В този случай имаме нормалата n '(A', B ', C') на равнината P 'и нормалата n ″ (A ″, B ″, C ″) на равнината P ″. Тъй като нашите равнини не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да запишем това условие, както следва: n ′ ≠ n ″ ↔ (A ′, B ′, C ′) ≠ (λ * A ″, λ * B ″, λ * C ″), λϵR. Нека правата линия, която лежи в пресечната точка на P ′ и P ″, ще бъде обозначена с буквата a, в този случай a = P ′ ∩ P ″.

a е права линия, състояща се от множеството от всички точки на (общите) равнини P ′ и P ″. Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща на права линия a, трябва едновременно да отговарят на уравненията A'x + B'y + C'z + D '= 0 и A ″ x + B ″ y + C ″ z + D ″ = 0. Това означава, че координатите на точката ще бъдат конкретно решение на следната система от уравнения:

В резултат на това се оказва, че (общото) решение на тази система от уравнения ще определи координатите на всяка от точките на правата линия, която ще действа като пресечна точка на P ′ и P ″, и ще определи правата линия a в координатната система Oxyz (правоъгълна) в пространството.

Нека точките M 1, M 2, M 3 не лежат на една права линия. Както знаете, три такива точки еднозначно определят определена равнина p (фиг. 199).

Извеждаме уравнението на равнината Р... Нека M е произволна точка в пространството. Очевидно точка M принадлежи на равнината Рако и само ако вектори

\ (\ стрелка надясно (M_ (1) M) \), \ (\ стрелка надясно (M_ (1) M_2) \), \ (\ стрелка надясно (M_ (1) M_3) \) копланарен. Необходимо и достатъчно условие за компланарността на три вектора е равенството на нула на тяхното смесено произведение (§ 23 *, теорема 2). Следователно, уравнението на равнина, минаваща през три точки, които не лежат на една права линия, може да се запише по следния начин:

(\ (\ стрелка надясно (M_ (1) M) \), \ (\ стрелка надясно (M_ (1) M_2) \), \ (\ стрелка надясно (M_ (1) M_3) \)) = 0. (1)

Ако точките M 1, M 2 и M 3 са дадени с координати в някаква правоъгълна декартова координатна система, тогава уравнение (1) може да бъде записано в координати.

Нека M 1 ( х 1 ; г 1 ; z 1), M 2 ( х 2 ; в 2 ; z 2), M 3 ( х 3 ; в 3 ; z 3) - точкови данни. Означаваме координатите на произволна точка M от равнината p през x, yи z... Нека намерим координатите на векторите, включени в уравнение (1):

\ (\ стрелка надясно (M_ (1) M) \) = ( х - х 1 ; y - y 1 ; z - z 1),

\ (\ стрелка надясно (M_ (1) M_2) \) = ( х 2 - х 1 ; г 2 - у 1 ; z 2 - z 1),

\ (\ стрелка надясно (M_ (1) M_3) \) = ( х 3 - х 1 ; в 3 - у 1 ; z 3 - z 1).

Смесеното произведение на три вектора е равно на детерминантата от трети ред, в редовете на който са координатите на векторите. Следователно, уравнение (1) в координати има формата

$$ \ начало (vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \ край (vmatrix) = 0 \; \; (2) $$

Нека намерим уравнението на равнината, минаваща през три точки A ( а; 0; 0), B (0; б; 0), С (0; 0; С), който а =/= 0, б =/= 0, ° С= / = 0. Тези точки лежат върху координатните оси (фиг. 200).

Настройка в уравнение (2) х 1 = а, в 1 = 0, z 1 = 0, х 2 = 0, в 2 = б, z 2 = 0, х 3 = 0, в 3 = 0, z 3 = С, получаваме

$$ \ начало (vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \ end (vmatrix) = 0 $$

Разширявайки детерминантата с елементите на първия ред, получаваме уравнението

пр. н. е(х - а) + acy + abz = 0

bcx + acu + abz = abc,

х / а + г / б + z / ° С = 1. (3)

Уравнение (3) се нарича уравнението на равнината в отсечкитъй като числата а, би Спосочете кои отсечки отрязва равнината по координатните оси.

Задача.Напишете уравнението на равнината, минаваща през точките M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Опростете полученото уравнение. Получаване на уравнението на дадена равнина на сегменти.

Уравнение (2) в този случай се записва, както следва:

$$ \ начало (vmatrix) x + 1 & y-4 & z + 1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \ край (vmatrix) = 0 $$

Това е уравнението на дадената равнина. Разширявайки детерминанта по първия ред, получаваме

62(х+ 1) +93(y - 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2х + 3г + 2z - 12 = 0.

Разделяйки члена на 12 и прехвърляйки свободния член на уравнението в дясната страна, получаваме уравнението на тази равнина на сегменти

$$ \ frac (x) (- 6) + \ frac (y) (4) + \ frac (z) (6) = 1 $$

От уравнението се вижда, че тази равнина отрязва сегменти по координатните оси, чиито дължини са съответно 6, 4 и 6. охпресечена от равнина в точка с отрицателна абциса, оста OU- в точка с положителна ордината, ос Оз- в точка с положително приложение.