Raiz quadrada aritmética (nota 8). Raiz quadrada

Título: Trabalhos independentes e de teste em álgebra e geometria para a 8ª série.

O manual contém trabalhos independentes e de controle sobre todos os tópicos mais importantes do curso de álgebra e geometria na 8ª série.

As obras consistem em 6 variantes de três níveis de dificuldade. Os materiais didáticos destinam-se à organização de trabalhos independentes diferenciados dos alunos.

CONTENTE
ÁLGEBRA 4
Expressão Racional P-1. Reduzindo frações 4
C-2 Adicionando e Subtraindo Frações 5
Frações racionais K-1. Adicionando e subtraindo frações 7
C-3 Multiplicação e divisão de frações. Elevando uma fração à potência de 10
Transformação de Expressão Racional C-4 12
С-5 Proporcionalidade inversa e seu gráfico 14
К-2 frações racionais 16
C-6 Raiz quadrada aritmética de 18
C-7 Equação x2 = a. Função y = y [x 20
С-8 Raiz quadrada de um produto, fração, potência 22
Raiz quadrada aritmética K-3 e suas propriedades 24
C-9 Introdução e remoção de um multiplicador em raízes quadradas 27
C-10 Convertendo expressões contendo raízes quadradas 28
K-4 Aplicando as propriedades da raiz quadrada aritmética 30
P-11 Equações quadráticas incompletas 32
С-12 A fórmula para as raízes de uma equação quadrática 33
С-13 Resolução de problemas usando equações quadráticas. Teorema de Vieta 34
Equações Quadráticas K-5 36
P-14 Equações Racionais Fracionárias 38
С-15 Aplicação de equações racionais fracionárias. Resolução de problemas 39
K-6 Fractional Rational Equations 40
Propriedades C-16 das desigualdades numéricas 43
Desigualdades numéricas K-7 e suas propriedades 44
С-17 Desigualdades lineares com uma variável 47
С-18 Sistemas de desigualdades lineares 48
K-8 Desigualdades lineares e sistemas de desigualdades com uma variável 50
Grau С-19 com indicador negativo 52
Grau K-9 com número inteiro 54
К-10 teste anual 56
GEOMETRIA (de acordo com Pogorelov) 58
С-1 Propriedades e sinais de um paralelogramo. "58
Retângulo C-2. Rhombus. Square 60
Paralelogramo K-1 62
Teorema de С-3 Tales. Linha média do triângulo 63
Trapézio C-4. Linha média do trapézio 66
Trapézio K-2. Linhas médias de um triângulo e um trapézio ... 68
Teorema de Pitágoras C-5 70
С-6 O teorema oposto ao teorema de Pitágoras. Perpendicular e oblíqua 71
Desigualdade do triângulo C-7 73
Teorema de Pitágoras K-3 74
Solução de Triângulo Direito C-8 76
C-9 Propriedades das funções trigonométricas 78
K-4 Triângulo retângulo (teste de generalização) 80
С-10 Coordenadas do ponto médio do segmento. Distância entre pontos. Equação do círculo 82
Equação C-11 de uma linha reta 84
Coordenadas cartesianas K-5 86
С-12 Movimento e suas propriedades. Simetria central e axial. Turn 88
S-13. Transferência paralela 90
С-14 Conceito do vetor. Igualdade de vetores 92
С-15 Ações com vetores em forma de coordenadas. Vetores colineares 94
С-16 Ações com vetores na forma geométrica 95
Produto de ponto C-17 98
Vetores K-6 99
К-7 Exame anual 102
GEOMETRIA (de acordo com Atanasyan) 104
С-1 Propriedades e sinais de um paralelogramo 104
Retângulo C-2. Rhombus. Square 106
К-1 Quadrangles 108
С-3 Área de um retângulo, quadrado 109
С-4 Área do paralelogramo, losango, triângulo 111
Área do trapézio С-5 113
Teorema de Pitágoras C-6 114
K-2 quadrados. Teorema de Pitágoras 116
C-7 Definição de triângulos semelhantes. Propriedade bissetriz do ângulo de um triângulo 118
С-8 Sinais de similaridade de triângulos 120
Semelhança K-3 de triângulos 122
С-9 Aplicação de similaridade para resolução de problemas 124
C-10 Relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo 126
Ê-4 Aplicação de similaridade para solução de problemas. Razões entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo 128
С-11 Tangente ao círculo 130
С-12 Centro e cantos inscritos 132
С-13 Teorema sobre o produto de segmentos de acordes que se cruzam. Os Pontos Maravilhosos do Triângulo 134
С-14 Círculos inscritos e circunscritos 136
Circunferência K-5 137
Adição e subtração de vetor C-15 139
С-16 Multiplicação de um vetor pelo número 141
С-17 Linha média do trapézio 142
Vetores K-6. Aplicando Vetores para Resolução de Problemas 144
К-7 Exame anual 146
RESPOSTAS 148
REFERÊNCIAS 157

PREFÁCIO .
1. Um livro relativamente pequeno contém um conjunto completo de testes (incluindo testes finais) para todo o curso de álgebra e geometria da 8ª série, portanto, é suficiente comprar um conjunto de livros por classe.
Os papéis de teste são elaborados para uma aula, trabalho independente - por 20-35 minutos, dependendo do tópico. Para a conveniência de usar o livro, o título de cada trabalho independente e de teste reflete seu assunto.

2. A coleção permite um controle diferenciado do conhecimento, uma vez que as tarefas são distribuídas em três níveis de complexidade A, B e C. O nível A corresponde aos requisitos obrigatórios do programa, B - ao nível médio de complexidade, as tarefas de nível C são destinadas para alunos com maior interesse em matemática, e também para uso em salas de aula, escolas, escolas de ensino fundamental e médio com estudos avançados de matemática. Para cada nível, existem 2 opções equivalentes adjacentes (como geralmente são escritas no quadro), portanto, um livro na mesa é o suficiente para a lição.

Baixe gratuitamente um e-book em um formato conveniente, assista e leia:
Baixe o livro Auto-estudo e testes de álgebra e geometria para a 8ª série. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, download rápido e gratuito.

• Trabalho independente e de controle em geometria para a série 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Trabalho independente e teste em álgebra e geometria para o 9º ano. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Trabalhos independentes e de controle em álgebra e geometria, grau 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

Olhei novamente para a placa ... E vamos embora!

Vamos começar com um simples:

Só um minuto. isso, o que significa que podemos escrever assim:

Entendi? Aqui está o próximo para você:

As raízes dos números resultantes não são extraídas exatamente? Não importa - aqui estão alguns exemplos:

Mas e se os fatores não forem dois, mas mais? Mesmo! A fórmula de multiplicação da raiz funciona com qualquer número de fatores:

Agora completamente sozinho:

Respostas: Bem feito! Combine, tudo é muito fácil, o principal é saber tabuada!

Divisão de raízes

Descobrimos a multiplicação das raízes, agora iremos proceder à propriedade da divisão.

Deixe-me lembrá-lo de que a fórmula em geral se parece com isto:

Isso significa que a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

Bem, vamos descobrir com exemplos:

Isso é tudo ciência. Aqui está um exemplo:

Nem tudo é tão tranquilo como no primeiro exemplo, mas, como você pode ver, não há nada complicado.

Mas e se uma expressão como esta aparecer:

Você só precisa aplicar a fórmula na direção oposta:

E aqui está um exemplo:

Você também pode encontrar esta expressão:

Tudo é igual, só que aqui você precisa se lembrar de como traduzir frações (se não se lembrar, olhe para o tema e volte!). Lembrei? Agora nós decidimos!

Tenho certeza que você lidou com tudo, tudo, agora vamos tentar construir raízes em grau.

Exponenciação

Mas o que acontece se a raiz quadrada for elevada ao quadrado? É simples, vamos lembrar o significado da raiz quadrada de um número - este é um número cuja raiz quadrada é igual a.

Portanto, se elevarmos um número, cuja raiz quadrada é igual, ao quadrado, o que obtemos?

Bem, claro, !

Vejamos exemplos:

É simples, certo? E se a raiz estiver em um grau diferente? Tudo bem!

Siga a mesma lógica e lembre-se das propriedades e ações possíveis com graus.

Leia a teoria sobre o tema "" e tudo ficará muito claro para você.

Por exemplo, aqui está uma expressão:

Neste exemplo, o grau é par, mas e se for estranho? Mais uma vez, aplique as propriedades de energia e leve em consideração tudo:

Com isso, tudo parece claro, mas como extrair a raiz de um número para uma potência? Por exemplo, este é:

Muito simples, certo? E se o grau for maior que dois? Seguimos a mesma lógica usando propriedades de grau:

Bem, está tudo claro? Em seguida, resolva os exemplos você mesmo:

E aqui estão as respostas:

Introdução sob o signo de raiz

O que não aprendemos a fazer com as raízes! Resta apenas praticar a inserção do número sob o sinal de raiz!

É fácil!

Digamos que temos um número

O que podemos fazer com isso? Bem, é claro, esconda o três sob a raiz, lembrando que o três é a raiz quadrada de!

Por que nós precisamos disso? Sim, apenas para expandir nossas capacidades ao resolver exemplos:

Como você gosta dessa propriedade das raízes? Isso torna a vida muito mais fácil? Para mim, isso mesmo! Somente devemos lembrar que só podemos introduzir números positivos sob o sinal da raiz quadrada.

Resolva este exemplo você mesmo -
Você conseguiu? Vamos ver o que você deve conseguir:

Bem feito! Você conseguiu inserir o número sob o sinal de raiz! Vamos passar para outro igualmente importante - vamos ver como comparar números que contêm a raiz quadrada!

Comparação de raízes

Por que devemos aprender a comparar números que contêm raiz quadrada?

Muito simples. Muitas vezes, em expressões grandes e longas encontradas no exame, obtemos uma resposta irracional (lembra o que é? Você e eu já conversamos sobre isso hoje!)

Precisamos colocar as respostas recebidas em uma linha de coordenadas, por exemplo, para determinar qual intervalo é adequado para resolver a equação. E aí surge um empecilho: não há calculadora no exame, e sem ela como imaginar qual número é maior e qual é menor? É isso mesmo!

Por exemplo, defina qual é maior: ou?

Você não pode dizer logo de cara. Bem, vamos usar a propriedade analisada de inserir um número sob o sinal de raiz?

Então vá em frente:

E, obviamente, quanto maior o número sob o signo da raiz, maior será a própria raiz!

Aqueles. se então,.

Disto concluímos isso com firmeza. E ninguém vai nos convencer do contrário!

Extraindo raízes de grandes números

Antes disso, introduzimos o fator sob o signo da raiz, mas como retirá-lo? Você apenas tem que fatorar e extrair o que é extraído!

Foi possível seguir um caminho diferente e se decompor em outros fatores:

Nada mal, hein? Qualquer uma dessas abordagens está correta, decida o que melhor se adapta a você.

O fatoração é muito útil ao resolver tarefas não padrão como esta:

Não temos medo, mas agimos! Vamos decompor cada fator sob a raiz em fatores separados:

Agora experimente você mesmo (sem calculadora! Não será no exame):

Esse é o fim? Não pare na metade!

Só isso, não é tão assustador, certo?

Ocorrido? Muito bem, isso mesmo!

Agora tente resolver este exemplo:

E um exemplo é um osso duro de roer, então você simplesmente não consegue descobrir como abordá-lo. Mas nós, é claro, podemos resistir.

Bem, vamos começar a fatorar? Observe imediatamente que você pode dividir um número por (lembre-se dos critérios de divisibilidade):

Agora, tente você mesmo (novamente, sem uma calculadora!):

Bem, o que aconteceu? Muito bem, isso mesmo!

Vamos resumir

1. A raiz quadrada (raiz quadrada aritmética) de um número não negativo é um número não negativo cujo quadrado é igual a.
   .
2. Se apenas calcularmos a raiz quadrada de algo, sempre obteremos um resultado não negativo.
3. Propriedades aritméticas da raiz:
4. Ao comparar raízes quadradas, deve-se lembrar que quanto maior o número sob o sinal de raiz, maior será a própria raiz.

Como você gosta da raiz quadrada? Tudo limpo?

Tentamos explicar sem água tudo o que você precisa saber sobre o exame de raiz quadrada.

Agora é sua vez. Escreva-nos se é um assunto difícil para você ou não.

Você aprendeu algo novo ou tudo já estava claro.

Escreva nos comentários e boa sorte nos exames!

Neste artigo, cobriremos os principais propriedades de raiz... Vamos começar com as propriedades da raiz quadrada aritmética, dar suas formulações e dar provas. Depois disso, vamos lidar com as propriedades da raiz aritmética de n-ésimo grau.

Navegação na página.

Propriedades de raiz quadrada

Neste ponto, vamos lidar com o seguinte propriedades da raiz quadrada aritmética:

Em cada uma das igualdades escritas, os lados esquerdo e direito podem ser trocados, por exemplo, a igualdade pode ser reescrita como ... Nesta forma "inversa", as propriedades da raiz quadrada aritmética são aplicadas quando simplificação de expressões tão frequentemente quanto na forma "direta".

A prova das duas primeiras propriedades é baseada na definição da raiz quadrada aritmética e assim por diante. E para substanciar a última propriedade da raiz quadrada aritmética terá que ser lembrada.

Então, vamos começar com prova da propriedade da raiz quadrada aritmética do produto de dois números não negativos: Para isso, de acordo com a definição da raiz quadrada aritmética, basta mostrar que é um número não negativo cujo quadrado é igual a a · b. Vamos fazê-lo. O valor de uma expressão não é negativo como o produto de números não negativos. A propriedade do grau do produto de dois números permite que você escreva a igualdade , e uma vez que pela definição da raiz quadrada aritmética e, então.

Da mesma forma, é provado que a raiz quadrada aritmética do produto dos k fatores não negativos a 1, a 2, ..., a k é igual ao produto das raízes quadradas aritméticas desses fatores. Mesmo, . Essa igualdade implica isso.

Aqui estão alguns exemplos: e.

Agora vamos provar propriedade da raiz quadrada aritmética do quociente: A propriedade do quociente em grau natural nos permite escrever a igualdade , uma , e há um número não negativo. Essa é a prova.

Por exemplo, e .

É hora de desmontar propriedade da raiz quadrada aritmética do quadrado de um número, na forma de igualdade, é escrito como. Para provar isso, considere dois casos: para a≥0 e para um<0 .

Obviamente, a igualdade vale para a≥0. Também é fácil ver que por um<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 e (−a) 2 = a 2. Assim, , como requerido.

aqui estão alguns exemplos: e .

A propriedade da raiz quadrada que acabamos de provar nos permite substanciar o seguinte resultado, onde a é qualquer número real e m é qualquer. Na verdade, a propriedade de elevar uma potência a uma potência nos permite substituir a potência a 2 m pela expressão (a m) 2, então .

Por exemplo, e .

Propriedades da enésima raiz

Primeiro, vamos listar os principais propriedades das n-ésimas raízes:

Todas as igualdades registradas permanecem válidas se os lados esquerdo e direito forem trocados nelas. Nessa forma, eles também são usados ​​com frequência, principalmente para simplificar e transformar expressões.

A prova de todas as propriedades sonoras da raiz é baseada na definição da raiz aritmética do n-ésimo grau, nas propriedades do grau e na definição do módulo do número. Deixe-nos prová-los em ordem de prioridade.

Vamos começar com a prova propriedades da enésima raiz do produto ... Para aeb não negativos, o valor da expressão também não é negativo, como o produto de números não negativos. A propriedade do produto em grau natural nos permite escrever a igualdade ... Pela definição de uma raiz aritmética do enésimo grau e, portanto, ... Isso prova a propriedade da raiz em consideração.

Esta propriedade é provada de forma semelhante para o produto de k fatores: para números não negativos a 1, a 2, ..., a n, e .

Aqui estão alguns exemplos de como usar a propriedade da enésima raiz do produto: e .

Vamos provar propriedade da raiz do quociente... Para a≥0 e b> 0, a condição é satisfeita, e .

Vamos mostrar exemplos: e .

Se movendo. Vamos provar propriedade da enésima raiz de um número elevado à enésima potência... Ou seja, vamos provar que para qualquer a real e m natural. Para a≥0 temos e, o que prova a igualdade, e a igualdade obviamente. Para<0 имеем и (a última passagem é válida devido à propriedade do grau com um expoente par), o que prova a igualdade, e é verdade devido ao fato de que, ao falar sobre a raiz de um grau ímpar, tomamos para qualquer número não negativo c.

Aqui estão alguns exemplos de como usar a propriedade raiz analisada: e .

Passamos à prova da propriedade de uma raiz de uma raiz. Trocaremos os lugares do lado direito e esquerdo, ou seja, comprovaremos a validade da igualdade, o que significará a validade da igualdade original. Para um número não negativo a, a raiz de uma raiz do formulário é um número não negativo. Lembrando a propriedade de elevar um grau a uma potência, e usando a definição de uma raiz, podemos escrever uma cadeia de igualdades da forma ... Isso prova a propriedade sob consideração de uma raiz de uma raiz.

A propriedade de uma raiz de uma raiz de uma raiz, etc. é provada de maneira semelhante. Mesmo, .

Por exemplo, e .

Deixe-nos provar o seguinte. propriedade de redução do expoente de raiz... Para isso, em virtude da definição da raiz, basta mostrar que existe um número não negativo que, quando elevado à potência n · m, é igual a a m. Vamos fazê-lo. É claro que se o número a não for negativo, então a enésima raiz do número a é um número não negativo. Em que , que completa a prova.

Vamos dar um exemplo de uso da propriedade root analisada :.

Vamos provar a seguinte propriedade - a propriedade de uma raiz de um grau da forma ... Obviamente, para a≥0, o grau é um número não negativo. Além disso, seu n-ésimo grau é igual a m, de fato ,. Isso prova a propriedade do grau em consideração.

Por exemplo, .

Vamos continuar. Vamos provar que, para quaisquer números positivos aeb para as quais a condição a , isto é, a≥b. E isso contradiz a condição a

Como exemplo, apresentamos a desigualdade correta .

Finalmente, resta provar a última propriedade da enésima raiz. Vamos primeiro provar a primeira parte desta propriedade, ou seja, vamos provar que para m> n e 0 ... Então, devido às propriedades de um grau com um expoente natural, a desigualdade deve ser satisfeita , ou seja, a n ≤ a m. E a desigualdade resultante para m> n e 0

Da mesma forma, por contradição, é provado que para m> n e a> 1, a condição é satisfeita.

Deixe-nos dar exemplos da aplicação da propriedade provada da raiz em números concretos. Por exemplo, as desigualdades e são verdadeiras.

Bibliografia.