Perpendicular traçado em um ângulo reto à hipotenusa. Triângulo retângulo

Triângulo retânguloé um triângulo, um dos ângulos é reto, ou seja, é igual a 90 graus.

• O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (na figura é indicado como c ou AB)
• O lado adjacente ao ângulo reto é chamado de perna. Cada triângulo retângulo tem duas pernas (indicadas na figura como uma eb ou AC e BC)

Fórmulas e propriedades do triângulo retângulo

(veja a imagem acima)

a, b- pernas de um triângulo retângulo

c- hipotenusa

α, β - ângulos agudos do triângulo

S- quadrado

h- a altura baixada do topo do ângulo reto para a hipotenusa

m a uma do canto oposto ( α )

m bé a mediana desenhada para o lado b do canto oposto ( β )

m cé a mediana desenhada para o lado c do canto oposto ( γ )

V triângulo retângulo qualquer uma das pernas é menor que a hipotenusa(Fórmulas 1 e 2). Esta propriedade é uma consequência do teorema de Pitágoras.

O cosseno de qualquer um dos ângulos agudos menos de um (Fórmulas 3 e 4). Esta propriedade decorre da anterior. Como qualquer uma das pernas é menor que a hipotenusa, a proporção da perna para a hipotenusa é sempre menor que um.

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas (teorema de Pitágoras). (Fórmula 5). Esta propriedade é constantemente usada na resolução de problemas.

Área de um triângulo retângulo igual a metade do produto das pernas (Fórmula 6)

Soma dos quadrados das medianas para as pernas, é igual a cinco quadrados da mediana da hipotenusa e cinco quadrados da hipotenusa, divididos por quatro (Fórmula 7). Além do acima, há Mais 5 fórmulas, portanto, é recomendável que você também se familiarize com a lição "Mediana de um Triângulo Reto", que descreve com mais detalhes as propriedades da mediana.

Altura um triângulo retângulo é igual ao produto das pernas dividido pela hipotenusa (Fórmula 8)

Os quadrados das pernas são inversamente proporcionais ao quadrado da altura baixada para a hipotenusa (Fórmula 9). Essa identidade também é uma das consequências do teorema de Pitágoras.

Comprimento da hipotenusaé igual ao diâmetro (dois raios) do círculo circunscrito (Fórmula 10). Hipotenusa de um triângulo retângulo é o diâmetro do círculo circunscrito... Esta propriedade é freqüentemente usada na resolução de problemas.

Raio inscrito v triângulo retângulo círculos pode ser encontrada como a metade de uma expressão que inclui a soma das pernas desse triângulo menos o comprimento da hipotenusa. Ou como o produto das pernas, dividido pela soma de todos os lados (perímetro) de um determinado triângulo. (Fórmula 11)
Ângulo senoidal relação do oposto este canto perna para hipotenusa(por definição de seno). (Fórmula 12). Esta propriedade é usada para resolver problemas. Sabendo o tamanho dos lados, você pode encontrar o ângulo que eles formam.

O cosseno do ângulo A (α, alfa) em um triângulo retângulo será igual a atitude adjacente este canto perna para hipotenusa(por definição de seno). (Fórmula 13)

(ABC) e suas propriedades, que são mostradas na figura. Um triângulo retângulo tem uma hipotenusa - o lado oposto ao ângulo reto.

Dica 1: como encontrar a altura em um triângulo retângulo

Os lados que formam um ângulo reto são chamados de pernas. A figura é o lado AD, DC e BD, DC- pernas e lados COMO e SV- hipotenusa.

Teorema 1. Em um triângulo retângulo com um ângulo de 30 °, a perna oposta a esse ângulo quebra a metade da hipotenusa.

hC

AB- hipotenusa;

DE ANÚNCIOS e DB

Triângulo
Existe um teorema:
sistema de comentários CACKLE

Solução: 1) As diagonais de qualquer retângulo são iguais Verdadeiro 2) Se houver um ângulo agudo em um triângulo, então este triângulo é agudo. Não é verdade. Tipos de triângulos. Um triângulo é denominado de ângulo agudo se todos os seus três cantos forem agudos, ou seja, menos de 90 ° 3) Se a ponta estiver ligada.

Ou, em outra entrada,

Pelo teorema de Pitágoras

Qual é a altura em uma fórmula de triângulo retângulo

Altura de um triângulo retângulo

A altura de um triângulo retângulo, desenhada para a hipotenusa, pode ser encontrada de uma forma ou de outra, dependendo dos dados no enunciado do problema.

Ou, em outra entrada,

Onde BK e KC são as projeções das pernas para a hipotenusa (os segmentos em que a altura divide a hipotenusa).

A altura desenhada para a hipotenusa pode ser encontrada através da área de um triângulo retângulo. Se aplicarmos a fórmula para encontrar a área de um triângulo

(metade do produto de um lado pela altura desenhada para este lado) para a hipotenusa e a altura desenhada para a hipotenusa, obtemos:

A partir daqui, podemos encontrar a altura como a razão entre a área dobrada do triângulo e o comprimento da hipotenusa:

Uma vez que a área de um triângulo retângulo é metade do produto das pernas:

Ou seja, o comprimento da altura desenhada para a hipotenusa é igual à razão do produto das pernas para a hipotenusa. Se denotarmos os comprimentos das pernas por aeb, o comprimento da hipotenusa por meio de c, a fórmula pode ser reescrita como

Como o raio de um círculo circunscrito em torno de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa, o comprimento da altura pode ser expresso em termos das pernas e do raio do círculo circunscrito:

Uma vez que a altura desenhada para a hipotenusa forma mais dois triângulos retângulos, seu comprimento pode ser encontrado através das proporções no triângulo retângulo.

De um triângulo retângulo ABK

Do triângulo retângulo ACK

O comprimento da altura de um triângulo retângulo pode ser expresso em termos do comprimento das pernas. Porque

Pelo teorema de Pitágoras

Se você elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade:

Você pode obter outra fórmula para conectar a altura de um triângulo retângulo com as pernas:

Qual é a altura em uma fórmula de triângulo retângulo

Triângulo reto. Nível médio.

Você quer testar sua força e descobrir o resultado de quão pronto você está para o Exame Estadual Unificado ou o OGE?

O principal teorema sobre um triângulo retângulo é o teorema de Pitágoras.

teorema de Pitágoras

A propósito, você se lembra bem do que são pernas e hipotenusa? Se não, olhe para a foto - atualize seus conhecimentos

É bem possível que você já tenha usado o teorema de Pitágoras muitas vezes, mas você já se perguntou por que esse teorema é verdadeiro? Como posso provar isso? Vamos fazer como os gregos antigos. Vamos desenhar um quadrado com um lado.

Você vê como nós dividimos habilmente seus lados em comprimentos e!

Agora vamos conectar os pontos marcados

Aqui, entretanto, observamos algo mais, mas você mesmo olha para o desenho e pensa sobre o porquê disso.

Qual é a área do quadrado maior? Direito, . Uma área menor? Claro, . A área total dos quatro cantos permanece. Imagine que pegamos dois de cada vez e os apoiamos um contra o outro com hipotenos. O que aconteceu? Dois retângulos. Isso significa que a área dos "recados" é igual a.

Vamos juntar tudo agora.

Então, nós visitamos Pitágoras - provamos seu teorema de uma maneira antiga.

Triângulo reto e trigonometria

Para um triângulo retângulo, as seguintes relações são válidas:

O seno de um ângulo agudo é igual à proporção da perna oposta à hipotenusa

O cosseno de um ângulo agudo é igual à proporção da perna adjacente à hipotenusa.

A tangente de um ângulo agudo é igual à proporção da perna oposta para a perna adjacente.

A cotangente de um ângulo agudo é igual à proporção da perna adjacente para a perna oposta.

E mais uma vez, tudo isso na forma de um prato:

Você notou algo muito conveniente? Observe o sinal com atenção.

É muito conveniente!

Testes de igualdade para triângulos retângulos

II. Na perna e hipotenusa

III. Por hipotenusa e ângulo agudo

4. Em uma perna e em uma curva fechada

Atenção! É muito importante aqui que as pernas sejam "adequadas". Por exemplo, se for assim:

ENTÃO TRIÂNGULOS NÃO SÃO IGUAIS, apesar de terem um do mesmo ângulo agudo.

Preciso Em ambos os triângulos, a perna era adjacente, ou em ambos os triângulos, oposta.

Você notou como os sinais de igualdade dos triângulos retângulos diferem dos sinais usuais de igualdade dos triângulos? Dê uma olhada no tópico "Triângulo" e preste atenção ao fato de que para a igualdade dos triângulos "ordinários" você precisa da igualdade de seus três elementos: dois lados e um ângulo entre eles, dois ângulos e um lado entre eles, ou três lados. Mas para a igualdade de triângulos retângulos, apenas dois elementos correspondentes são suficientes. Ótimo, não é?

A situação é aproximadamente a mesma com os sinais de semelhança de triângulos retângulos.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos

III. Na perna e hipotenusa

Mediana em um triângulo retângulo

Considere um retângulo inteiro em vez de um triângulo retângulo.

Vamos desenhar uma diagonal e considerar o ponto de intersecção das diagonais. O que se sabe sobre as diagonais de um retângulo?

O ponto de intersecção da diagonal é dividido pela metade. As diagonais são iguais a

E o que se segue disso?

Então descobriu-se que

Lembre-se desse fato! Ajuda muito!

O que é ainda mais surpreendente é que o inverso também é verdadeiro.

O que você pode obter do fato de que a mediana desenhada para a hipotenusa é igual à metade da hipotenusa? Vamos olhar a foto

Olhe atentamente. Temos :, ou seja, as distâncias do ponto a todos os três vértices do triângulo acabaram sendo iguais. Mas em um triângulo há apenas um ponto, as distâncias das quais cerca de todos os três vértices do triângulo são iguais, e este é o CENTRO DO CÍRCULO DESCRITO. Então o que aconteceu?

Vamos começar com isso “além disso. "

Mas em tais triângulos todos os ângulos são iguais!

O mesmo pode ser dito sobre e

Agora vamos desenhar juntos:

Tenha os mesmos cantos agudos!

Que benefício pode ser derivado dessa similaridade "tripla".

Bem, por exemplo - Duas fórmulas para a altura de um triângulo retângulo.

Vamos escrever a relação das respectivas partes:

Para encontrar a altura, resolvemos a proporção e obtemos A primeira fórmula de "Altura em um triângulo retângulo":

Como você consegue um segundo?

Agora vamos aplicar a similaridade de triângulos e.

Então, vamos aplicar a similaridade :.

O que acontece agora?

Novamente resolvemos a proporção e obtemos a segunda fórmula "Altura em um triângulo retângulo":

Ambas as fórmulas devem ser muito bem lembradas e aquela que for mais conveniente de aplicar. Vamos anotá-los novamente

Pois bem, agora, aplicando e combinando este conhecimento com outros, você resolverá qualquer problema com um triângulo retângulo!

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A propriedade da altura de um triângulo retângulo derrubado pela hipotenusa

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Propriedades do triângulo retângulo

Considere um triângulo retângulo (ABC) e suas propriedades, que são mostradas na figura. Um triângulo retângulo tem uma hipotenusa - o lado oposto ao ângulo reto. Os lados que formam um ângulo reto são chamados de pernas. A figura é o lado AD, DC e BD, DC- pernas e lados COMO e SV- hipotenusa.

Sinais de igualdade de um triângulo retângulo:

Teorema 1. Se a hipotenusa e a perna de um triângulo retângulo são semelhantes à hipotenusa e a perna de outro triângulo, esses triângulos são iguais.

Teorema 2. Se duas pernas de um triângulo retângulo são iguais a duas pernas de outro triângulo, esses triângulos são iguais.

Teorema 3. Se a hipotenusa e o ângulo agudo de um triângulo retângulo são semelhantes à hipotenusa e o ângulo agudo de outro triângulo, esses triângulos são iguais.

Teorema 4. Se uma perna e um ângulo agudo adjacente (oposto) de um triângulo retângulo são iguais a uma perna e um ângulo agudo adjacente (oposto) de outro triângulo, então tais triângulos são iguais.

Propriedades da perna oposta ao ângulo de 30 °:

Teorema 1.

Altura em um triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo com um ângulo de 30 °, a perna oposta a esse ângulo quebra a metade da hipotenusa.

Teorema 2. Se uma perna em um triângulo retângulo é a metade da hipotenusa, então o ângulo oposto é 30 °.

Se a altura for desenhada do vértice de um ângulo reto até a hipotenusa, esse triângulo será dividido em dois menores, semelhantes ao de saída e semelhantes entre si. Isso leva às seguintes conclusões:

1. A altura é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.
2. Cada perna do triângulo é a média proporcional à hipotenusa e aos segmentos adjacentes.

Em um triângulo retângulo, as pernas atuam como alturas. O ortocentro é o ponto em que ocorre a intersecção das alturas do triângulo. Ele coincide com o vértice do canto direito da forma.

hC- a altura que sai do ângulo reto do triângulo;

AB- hipotenusa;

DE ANÚNCIOS e DB- os segmentos que surgiram ao dividir a hipotenusa pela altura.

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TriânguloÉ uma figura geométrica composta por três pontos (vértices) que não estão na mesma linha reta e três segmentos conectando esses pontos. Um triângulo retângulo é um triângulo que tem um dos ângulos de 90 ° (ângulo reto).
Existe um teorema: a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90 °.
sistema de comentários CACKLE

Palavras-chave: triângulo, ângulo reto, perna, hipotenusa, teorema de Pitágoras, círculo

O triângulo é chamado retangular se tem um ângulo reto.
Um triângulo retângulo tem dois lados perpendiculares mutuamente, chamados pernas; seu terceiro é chamado hipotenusa.

• De acordo com as propriedades da perpendicular e oblíqua, a hipotenusa é mais longa do que cada uma das pernas (mas menos do que sua soma).
• A soma dos dois ângulos agudos de um triângulo retângulo é igual ao ângulo reto.
• Duas alturas de um triângulo retângulo coincidem com suas pernas. Portanto, um dos quatro pontos notáveis ​​cai nos vértices do ângulo reto do triângulo.
• O centro do círculo circunscrito de um triângulo retângulo encontra-se no meio da hipotenusa.
• A mediana de um triângulo retângulo, traçada a partir do vértice do ângulo reto até a hipotenusa, é o raio do círculo circunscrito a esse triângulo.

Considere um triângulo retângulo arbitrário ABC e desenhe a altura CD = hc do vértice C de seu ângulo reto.

Ele vai dividir este triângulo em dois triângulos retângulos ACD e BCD; cada um desses triângulos tem um ângulo agudo comum com o triângulo ABC e, portanto, é semelhante ao triângulo ABC.

Todos os três triângulos ABC, ACD e BCD são semelhantes entre si.

A partir da semelhança dos triângulos, as seguintes relações são determinadas:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• c = ac + bc;
• $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

teorema de Pitágoras um dos teoremas fundamentais da geometria euclidiana, que estabelece a relação entre os lados de um triângulo retângulo.

Formulação geométrica. Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído na hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos nas pernas.

Formulação algébrica. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas.
Ou seja, denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo por meio de c, e os comprimentos das pernas por meio de a e b:
a2 + b2 = c2

O teorema inverso de Pitágoras.

Altura de um triângulo retângulo

Para qualquer triplo de números positivos a, b e c, de modo que
a2 + b2 = c2,
há um triângulo retângulo com pernas aeb e uma hipotenusa c.

Sinais de igualdade de triângulos retângulos:

• ao longo da perna e hipotenusa;
• em duas pernas;
• ao longo da perna e canto agudo;
• por hipotenusa e ângulo agudo.

Veja também:
Área de um triângulo, triângulo isósceles, triângulo equilátero

Geometria. 8 Classe. Teste 4. Opção 1 .

DE ANÚNCIOS : CD = CD : BD. Portanto, CD2 = AD ∙ BD. Eles dizem:

DE ANÚNCIOS : AC = AC : AB. Portanto AC2 = AB ∙ DE ANÚNCIOS. Eles dizem:

BD : BC = BC : AB. Portanto, BC2 = AB ∙ BD.

Resolva as tarefas:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. A altura de um triângulo retângulo desenhado para a hipotenusa divide a hipotenusa em segmentos 9 e 36.

Determine o comprimento dessa altura.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. A perna de um triângulo retângulo é 30.

Como faço para encontrar a altura em um triângulo retângulo?

Encontre a distância do vértice do ângulo reto à hipotenusa se o raio do círculo circunscrito sobre este triângulo for 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Verifique suas respostas!

D8.04.1. Segmentos de linha proporcionais em um triângulo retângulo

Geometria. 8 Classe. Teste 4. Opção 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90 °. Pernas AC e BC, hipotenusa AV.

CD é a altura do triângulo desenhado para a hipotenusa.

Projeção AD da perna AC na hipotenusa,

Projeção BD da perna BC na hipotenusa.

A altura CD divide o triângulo ABC em dois triângulos semelhantes (e entre si): Δ ADC e Δ CDB.

A partir da proporcionalidade dos lados como Δ ADC e Δ CDB segue-se:

DE ANÚNCIOS : CD = CD : BD.

A propriedade da altura de um triângulo retângulo derrubado pela hipotenusa.

Portanto, CD2 = AD ∙ BD. Eles dizem: a altura de um triângulo retângulo desenhado para a hipotenusa,existe um valor médio proporcional entre as projeções das pernas na hipotenusa.

A partir da semelhança entre Δ ADC e Δ ACB segue-se:

DE ANÚNCIOS : AC = AC : AB. Portanto AC2 = AB ∙ DE ANÚNCIOS. Eles dizem: cada perna é o valor proporcional médio entre toda a hipotenusa e a projeção dessa perna na hipotenusa.

Da mesma forma, a partir da semelhança entre Δ СDВ e Δ АCB segue-se:

BD : BC = BC : AB. Portanto, BC2 = AB ∙ BD.

Resolva as tarefas:

1. Encontre a altura de um triângulo retângulo desenhado até a hipotenusa se ele dividir a hipotenusa em segmentos de 25 cm e 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. A altura de um triângulo retângulo, desenhado até a hipotenusa, divide a hipotenusa em segmentos 9 e 36. Determine o comprimento dessa altura.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. A altura do triângulo retângulo, desenhado para a hipotenusa, é 22, a projeção de uma das pernas é 16. Encontre a projeção da outra perna.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. A perna de um triângulo retângulo tem 18 e sua projeção na hipotenusa é 12. Encontre a hipotenusa.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. A hipotenusa é 32. Encontre a perna, cuja projeção na hipotenusa é 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. A hipotenusa de um triângulo retângulo é 45. Encontre a perna, a projeção da qual para a hipotenusa é 9.

8. A perna de um triângulo retângulo é 30. Encontre a distância do vértice do ângulo reto à hipotenusa se o raio do círculo circunscrito ao redor desse triângulo for 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. A hipotenusa de um triângulo retângulo é 41, e a projeção de uma das pernas é 16. Encontre o comprimento da altura desenhada do vértice do ângulo reto até a hipotenusa.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. A diferença entre as projeções das pernas na hipotenusa é 15 e a distância do vértice do ângulo reto à hipotenusa é 4. Encontre o raio do círculo circunscrito.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Propriedade: 1. Em qualquer triângulo retângulo, a altura diminuída do ângulo reto (pela hipotenusa) divide o triângulo retângulo em três triângulos semelhantes.

Propriedade: 2. A altura de um triângulo retângulo, largado na hipotenusa, é igual à média geométrica das projeções das pernas para a hipotenusa (ou a média geométrica dos segmentos em que a altura quebra a hipotenusa).

Propriedade: 3. A perna é igual à média geométrica da hipotenusa e a projeção desta perna para a hipotenusa.

Propriedade: 4. A perna contra um ângulo de 30 graus é igual a metade da hipotenusa.

Fórmula 1.

Fórmula 2. onde está a hipotenusa; , pernas.

Propriedade: 5. Em um triângulo retângulo, a mediana desenhada para a hipotenusa é igual à sua metade e é igual ao raio do círculo circunscrito.

Propriedade: 6. Dependência entre os lados e os cantos de um triângulo retângulo:

44. Teorema dos cossenos. Conseqüências: conexão entre diagonais e lados de um paralelogramo; determinação do tipo de triângulo; fórmula para calcular o comprimento da mediana de um triângulo; calcular o cosseno do ângulo do triângulo.

Fim do trabalho -

Este tópico pertence à seção:

Classe. Princípios básicos do programa de colóquio de planimetria

A propriedade dos cantos adjacentes .. determinação de dois cantos adjacentes se um lado é comum aos outros dois formando uma linha reta ..

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Triângulos.

Conceitos Básicos.

Triânguloé uma figura que consiste em três segmentos de linha e três pontos que não se encontram em uma linha reta.

Os segmentos são chamados festas, e pontos - picos.

Soma dos ângulos do triângulo é 180 º.

A altura do triângulo.

Altura do triânguloé uma perpendicular desenhada do topo ao lado oposto.

Em um triângulo de ângulo agudo, a altura está contida dentro do triângulo (Fig. 1).

Em um triângulo retângulo, as pernas são as alturas do triângulo (Fig. 2).

Em um triângulo obtuso, a altura está fora do triângulo (Figura 3).

Propriedades de altura do triângulo:

A bissetriz de um triângulo.

Bissetor de um triânguloé um segmento de linha que divide o canto do vértice e conecta o vértice com um ponto no lado oposto (Fig. 5).

Propriedades bissetoras:

Mediana do triângulo.

Mediana de um triânguloé um segmento que conecta o vértice com o meio do lado oposto (Fig. 9a).

A linha média do triângulo.

Linha média de um triânguloé um segmento que conecta os pontos médios de seus dois lados (Fig. 10).

A linha do meio do triângulo é paralela ao terceiro lado e é igual à metade dele

O canto externo do triângulo.

Canto externo triângulo é igual à soma de dois ângulos internos não adjacentes (Fig. 11).

O canto externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo não adjacente.

Triângulo reto.

Triângulo retânguloé um triângulo com um ângulo reto (fig. 12).

O lado de um triângulo retângulo oposto a um ângulo reto é chamado hipotenusa.

As outras duas partes são chamadas pernas.

Segmentos de linha proporcionais em um triângulo retângulo.

1) Em um triângulo retângulo, a altura desenhada de um ângulo reto forma três triângulos semelhantes: ABC, ACH e HCB (fig. 14a). Assim, os ângulos formados pela altura são iguais aos ângulos A e B.

Fig. 14a

Triângulo isósceles.

Triângulo isóscelesé um triângulo com dois lados iguais (Fig. 13).

Esses lados iguais são chamados lados laterais e o terceiro é base triângulo.

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. (Em nosso triângulo, o ângulo A é igual ao ângulo C).

Em um triângulo isósceles, a mediana desenhada para a base é tanto a bissetriz quanto a altura do triângulo.

Triângulo Equilátero.

Um triângulo equilátero é um triângulo em que todos os lados são iguais (Fig. 14).

Propriedades do triângulo equilateral:

Propriedades notáveis ​​de triângulos.

Os triângulos têm propriedades originais que o ajudarão a resolver problemas com essas formas. Algumas dessas propriedades são descritas acima. Mas nós os repetimos mais uma vez, adicionando alguns outros excelentes recursos a eles:

Testes de igualdade para triângulos.

O primeiro sinal de igualdade: se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então tais triângulos são iguais.

O segundo sinal de igualdade: se o lado e os ângulos adjacentes a ele de um triângulo são iguais ao lado e os ângulos adjacentes a ele do outro triângulo, então tais triângulos são iguais.

O terceiro sinal de igualdade: se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são iguais.

Desigualdade triangular.

Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados.

Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas:

c 2 = uma 2 + b 2 .

Área de um triângulo.

1) A área de um triângulo é igual à metade do produto de seu lado pela altura desenhada para este lado:

ah
S = ——
2

2) A área de um triângulo é igual à metade do produto de quaisquer dois de seus lados pelo seno do ângulo entre eles:

1
S = — AB AC · pecado UMA
2

Um triângulo circunscrito a um círculo.

Um círculo é denominado inscrito em um triângulo se tocar todos os seus lados (Fig. 16 uma).

Um triângulo inscrito em um círculo.

Um triângulo é denominado inscrito em um círculo se o tocar com todos os seus vértices (Fig. 17 uma).

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo (Fig. 18).

Seioângulo agudo x opondo-se perna para a hipotenusa.
É denotado assim: pecadox.

Cosineângulo agudo x triângulo retângulo é a proporção adjacente perna para a hipotenusa.
É denotado assim: cos x.

Tangenteângulo agudo xé a proporção da perna oposta para a perna adjacente.
É denotado assim: tgx.

Co-tangenteângulo agudo xé a proporção da perna adjacente para a perna oposta.
É denotado assim: ctgx.

Regras:

Perna oposta ao canto x, é igual ao produto da hipotenusa e do pecado x:

b = c Pecado x

Perna adjacente ao canto x, é igual ao produto da hipotenusa e cos x:

a = c Cos x

Perna oposta ao canto x, é igual ao produto da segunda etapa e tg x:

b = a Tg x

Perna adjacente ao canto x, é igual ao produto da segunda etapa e ctg x:

a = b Ctg x.

Para qualquer ângulo agudo x:

sin (90 ° - x) = cos x

cos (90 ° - x) = pecado x

Na verdade, não é tão assustador. Claro, as definições "reais" de seno, cosseno, tangente e cotangente devem ser encontradas no artigo. Mas você realmente não quer, certo? Podemos nos alegrar: para resolver problemas sobre um triângulo retângulo, você pode simplesmente preencher o seguinte:

E a esquina? Existe uma perna que fica oposta ao canto, ou seja, a perna oposta (para o canto)? Claro que sim! Isso é uma perna!

Mas e quanto ao ângulo? Olhe atentamente. Qual perna está adjacente ao canto? Claro, a perna. Portanto, para o ângulo, a perna é adjacente, e

Agora, atenção! Olha o que temos:

Você vê como é ótimo:

Agora vamos passar para tangente e cotangente.

Como posso escrever em palavras agora? Qual é a perna em relação ao canto? Oposto, é claro - ele "fica" oposto à esquina. E a perna? Adjacente à esquina. Então, o que nós fizemos?

Vê que o numerador e o denominador estão invertidos?

E agora de novo as esquinas e fez a troca:

Resumo

Vamos escrever resumidamente tudo o que aprendemos.

Teorema de Pitágoras:

O principal teorema sobre um triângulo retângulo é o teorema de Pitágoras.

teorema de Pitágoras

A propósito, você se lembra bem do que são pernas e hipotenusa? Se não, olhe para a foto - atualize seus conhecimentos

É bem possível que você já tenha usado o teorema de Pitágoras muitas vezes, mas você já se perguntou por que esse teorema é verdadeiro? Como posso provar isso? Vamos fazer como os gregos antigos. Vamos desenhar um quadrado com um lado.

Você vê como nós dividimos habilmente seus lados em comprimentos e!

Agora vamos conectar os pontos marcados

Aqui, entretanto, observamos algo mais, mas você mesmo olha para o desenho e pensa sobre o porquê disso.

Qual é a área do quadrado maior?

Direito, .

Uma área menor?

Claro, .

A área total dos quatro cantos permanece. Imagine que pegamos dois de cada vez e os apoiamos um contra o outro com hipotenos.

O que aconteceu? Dois retângulos. Isso significa que a área dos "recados" é igual a.

Vamos juntar tudo agora.

Vamos transformar:

Então, nós visitamos Pitágoras - provamos seu teorema de uma maneira antiga.

Triângulo reto e trigonometria

Para um triângulo retângulo, as seguintes relações são válidas:

O seno de um ângulo agudo é igual à proporção da perna oposta à hipotenusa

O cosseno de um ângulo agudo é igual à proporção da perna adjacente à hipotenusa.

A tangente de um ângulo agudo é igual à proporção da perna oposta para a perna adjacente.

A cotangente de um ângulo agudo é igual à proporção da perna adjacente para a perna oposta.

E mais uma vez, tudo isso na forma de um prato:

É muito conveniente!

Testes de igualdade para triângulos retângulos

I. Em duas pernas

II. Na perna e hipotenusa

III. Por hipotenusa e ângulo agudo

4. Em uma perna e em uma curva fechada

a)

b)

Atenção! É muito importante aqui que as pernas sejam "adequadas". Por exemplo, se for assim:

ENTÃO TRIÂNGULOS NÃO SÃO IGUAIS, apesar de terem um do mesmo ângulo agudo.

Preciso em ambos os triângulos, a perna era adjacente, ou em ambos os triângulos, opostos.

Você notou como os sinais de igualdade dos triângulos retângulos diferem dos sinais usuais de igualdade dos triângulos?

Observe o tópico “e preste atenção ao fato de que para a igualdade dos triângulos“ ordinários ”é necessária a igualdade de seus três elementos: dois lados e um ângulo entre eles, dois ângulos e um lado entre eles, ou três lados .

Mas para a igualdade de triângulos retângulos, apenas dois elementos correspondentes são suficientes. Ótimo, não é?

A situação é aproximadamente a mesma com os sinais de semelhança de triângulos retângulos.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos

I. Em uma curva fechada

II. Em duas pernas

III. Na perna e hipotenusa

Mediana em um triângulo retângulo

Porque isto é assim?

Considere um retângulo inteiro em vez de um triângulo retângulo.

Vamos desenhar uma diagonal e considerar um ponto - o ponto de intersecção das diagonais. O que se sabe sobre as diagonais de um retângulo?

E o que se segue disso?

Então descobriu-se que

1. - mediana:

Lembre-se desse fato! Ajuda muito!

O que é ainda mais surpreendente é que o inverso também é verdadeiro.

O que você pode obter do fato de que a mediana desenhada para a hipotenusa é igual à metade da hipotenusa? Vamos olhar a foto

Olhe atentamente. Temos :, ou seja, as distâncias do ponto a todos os três vértices do triângulo acabaram sendo iguais. Mas em um triângulo há apenas um ponto, as distâncias das quais cerca de todos os três vértices do triângulo são iguais, e este é o CENTRO DO CÍRCULO DESCRITO. Então o que aconteceu?

Vamos começar com este "além disso ..."

Vamos dar uma olhada em e.

Mas em tais triângulos todos os ângulos são iguais!

O mesmo pode ser dito sobre e

Agora vamos desenhar juntos:

Que benefício pode ser derivado dessa similaridade "tripla".

Bem, por exemplo - duas fórmulas para a altura de um triângulo retângulo.

Vamos escrever a relação das respectivas partes:

Para encontrar a altura, resolvemos a proporção e obtemos a primeira fórmula "Altura em um triângulo retângulo":

Pois bem, agora, aplicando e combinando este conhecimento com outros, você resolverá qualquer problema com um triângulo retângulo!

Então, vamos aplicar a similaridade :.

O que acontece agora?

Novamente resolvemos a proporção e obtemos a segunda fórmula:

Ambas as fórmulas devem ser muito bem lembradas e aquela que for mais conveniente de aplicar.

Vamos anotá-los novamente

Teorema de Pitágoras:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas :.

Sinais de igualdade de triângulos retângulos:

• em duas pernas:
• na perna e hipotenusa: ou
• ao longo da perna e ângulo agudo adjacente: ou
• ao longo da perna e o ângulo agudo oposto: ou
• por hipotenusa e ângulo agudo: ou.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos:

• um canto agudo: ou
• da proporcionalidade das duas pernas:
• da proporcionalidade da perna e da hipotenusa: ou.

Seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo

• O seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a proporção da perna oposta para a hipotenusa:
• O cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a proporção da perna adjacente à hipotenusa:
• A tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a proporção da perna oposta para a adjacente:
• A cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a proporção da perna adjacente para a oposta :.

Altura de um triângulo retângulo: ou.

Em um triângulo retângulo, a mediana desenhada a partir do vértice do ângulo reto é a metade da hipotenusa :.

Área de um triângulo retângulo:

• pelas pernas: