Интервали от нарастващи и низходящи функционални примери. Алгоритъм за намиране на пропуски в нарастващата и низходяща функция

Възходящо, намаление и екстремална функция

Намирането на интервали от увеличаване, намаляване и екстремум функция е като независима задачаи най-важната част от други задачи, по-специално, пълна функция на функцията. Първоначалната информация за увеличаване, низходящи и екстремум на функцията е дадена теоретична глава за дериватче силно препоръчвам предварителното проучване (или повторение) - Също така поради причината, че следващият материал се основава най-много основно производнода бъдеш хармонично продължение на тази статия. Въпреки че, ако времето в ръба е възможно и чисто формално тестване на примери за днешния урок.

И днес във въздуха духът на рядко единодушие е изкривен и аз съм пряко чувствам, че всички тези, които присъстват, са по-трудни научете се да изследвате функцията, като използвате дериват. Поради това веднага се появява разумна добра вечна терминология на екраните на вашите монитори.

За какво? Една от причините е най-практична: за да се разбере, че обикновено се изисква в дадена задача!

Монотонност на функцията. Екстремум и екстремни функции

Помислете за някаква функция. Вярвахме, че тя непрекъснато На цялата цифра:

Само в случай, незабавно да се отървете от възможните илюзии, особено за тези читатели, които наскоро запознаха интервали от функцията на символа. Сега САЩ Не се интересуваТъй като графиката е разположена спрямо оста (по-горе, по-долу, където останите остават). За разрешенията психически изтриване на оста и оставете една диаграма. Защото интересът към него.

Функция се увеличава На интервала, ако за две точки от този интервал, свързан със съотношението, неравенството е справедливо. Това означава, че по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията и нейният график е "отдолу нагоре". Демото функцията расте на интервала.

По същия начин функция намаление На интервала, ако за всякакви две точки на този интервал, като, доста неравенство. Това означава, че по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията и нейният график е "отгоре надолу". Нашата функция намалява на интервали .

Ако функцията се увеличи или намалее на интервала, тогава се нарича строго монотонен На този интервал. Какво е монотонност? Разберете буквалния смисъл - монотонност.

Можете също да определите неправомерно функция (омекотяване на състоянието в първата дефиниция) и не-белодробни Функция (омекотяване на състоянието във втората дефиниция). Неуспешното или неизползващото функция на интервала се нарича монотонна функция на този интервал. (Строга монотонност - частна дела "просто" монотонност).

Теорията също така разглежда други подходи за определяне на увеличаването / намаляването на функцията, включително върху полу-интервали, сегменти, но за да не се налива масло масло от главата ви, ние ще се съгласим на открити интервали с категорични дефиниции - това е Ясно и за решаване на много практически задачи.

По този начин, в моите статии, за формулировката "монотонност на функцията" почти винаги ще бъде скрита интервали Строг монотонност (стриктно увеличение или стриктно намаляване на функцията).

Квартал на точката. Думи, след което учениците изтичат, които могат и в ужас да се скрият в ъглите. ... Въпреки след пощата Ограничения на Cauchy. Вече, вероятно, не се крийте, но само леко shudder \u003d) не се притеснявайте, сега няма да има доказателства за теоремите по математически анализ - обкръжението трябва да са необходими за формулиране на дефиниции точки на екстремум. Помня:

Квартал Интервалът, който съдържа тази точка, се нарича, докато интервалът често се смята за симетричен за удобство. Например, точката и нейният стандарт са квартал:

Всъщност, определения:

Точка се нарича точка на строг максимум, ако съществува Нейния квартал, за всички Стойностите, които с изключение на самата точка са неравенство. В нашия конкретен пример това е точка.

Точка се нарича точка на строг минимум, ако съществува Нейния квартал, за всички Стойностите, които с изключение на самата точка са неравенство. В тегленето - точка "А".

Забележка : Изискването за симетрична обстановка изобщо не е. В допълнение, важно самият факт на съществуването Околности (равномерно, поне микроскопично), отговарящи на определените условия

Точки за повикване точки на строг екстремул или просто точки на екстремум Функции. Това означава, че това е обобщеният срок на максималните точки и минимални точки.

Как да разберем думата "екстремум"? Да, точно като монотонност. Крайни точки на американските слайдове.

Както в случая с монотонността, на теория има още по-често срещани невероятни постулати (При което естествено разглежданите строги случаи намаляват!):

Точка се нарича максимална точка, ако съществува обкръжението му за всички
Точка се нарича точка на минимум, ако съществува обкръжението му за всички Стойностите на това околностите са неравенство.

Обърнете внимание, че според последните две дефиниции, всяка точка на константата на функцията (или "гладката секция" на някаква функция) се счита за максимална точка и точка на минимум! Функцията, между другото, е в същото време, некомпактната и безредица, която е монотонна. Въпреки това, ние ще оставим тези аргументи на теоретиците, защото на практика почти винаги обмисляме традиционните "хълмове" и "депресии" (виж чертежа) с уникален "планински крал" или "принцеса на блатото". Като разнообразие, се среща ръб, крайНаградени или надолу, например, минимум функция в точката.

Да, между другото, за кралските активи:
- Значението се нарича максимум функции;
- Значението се нарича минимален Функции.

Често срещано име - крайности Функции.

Моля, внимавайте с думи!

Точки на екстремум - Това са "ICS" ценности.
Крайности - Стойности "Igarekoy".

! Забележка : Понякога изброените термини се обаждат на точки "X-Raerek", лежащи директно върху графиката на функцията.

Колко крайности могат да бъдат функцията?

Нито един, 1, 2, 3, ... и др. до безкрайност. Например, синусът е безкрайно много минимуми и високи.

Важно!Терминът "максимална функция" не идентичност Терминът "максимална функционална стойност". Лесно е да се види, че значението е възможно само в местната област, а лявото по-горе е и "завърши другари". По същия начин, "минималната функция" не е същата като "минималната стойност на функцията" и ние виждаме в чертежа, че стойността е минимално само върху определена област. В това отношение се наричат \u200b\u200bи екстрем точки точки на местния екстремуми крайности - местни крайности. Разходка недалеч и global. братя. Така че, всяка парабола има в горната част глобален минимум или глобален максимум. След това няма да разграничавам видовете екстрем и обяснението се изразява повече в общото образование - допълнителни прилагателни "местни" / "глобални" не трябва да се намират изненада.

Нека обобщим нашата малка екскурзия до теорията на контролните снимки: Какво прави задачата "намират интервалите на монотонността и точката на екстремалната функция"?

Формулировката насърчава да намери:

- увеличаване / намаляване на интервали от функцията (много по-малко често, не може да се възстанови);

- максимални и / или минимални точки (ако има такива). Е, от непосредствена близост, по-добре е да се намерят самите минимуми / максимуми ;-)

Как да определим всичко това? Използване на получена функция!

Как да намерите интервалите на увеличаване, слизане
екстремум точки и екстремни функции?

Много правила са по същество известни и разбираеми от урок по смисъла на деривата.

Тангси производно Прекъсва новината, че функцията се увеличава навсякъде определени области.

С котян и неговата деривация Ситуацията е точно обратното.

Arksinus на интервала нараства - дериватив тук е положителен: .
Функцията се определя, но не е диференцирана. Въпреки това, в критична точка има десен производна и дясна тангенциална, а на другия край - лявата им виза.

Мисля, че няма да имате много трудности да предприемете подобни аргументи за Arkskosinus и нейното производно.

Всички изброени случаи, много от които са деривати на масата, Напомням, следвам директно от деривативни определения.

Защо да изследвате функцията, използвайки производно?

Да знаете по-добре как изглежда графиката на тази функция: Където той отива надолу "отдолу", където "от горе до долу", където mainima minima достига (ако изобщо достига). Не всички функции са толкова прости - в повечето случаи нямаме представа за графика на функция или друга.

Време е да отидем в по-смислени примери и да помислим алгоритъм за местоположението на монотонните и екстремум интервали:

Пример 1.

Намерете интервали от увеличаване / намаляване и екстремум функция

Решение:

1) В първата стъпка трябва да намерите област на дефиниране на функции, както и да се обърне внимание на забележката за пропаст (ако те съществуват). В този случай функцията е непрекъсната по цялата цифрова директна и това действие е официално в известна степен. Но в някои случаи има сериозни страсти, следователно ние третираме параграф, без да пренебрегваме.

2) се дължи втората точка на алгоритъма

предмерност на екстремум:

Ако в момента има екстремум, тогава или стойностите не съществуват.

Объркайте края? Екстремна функция "Модул X" .

Условието е необходимо, но не достатъчноИ обратното изявление е доста далеч от винаги. Така че все още не следва от равенството, че функцията достига максимум или минимум в точката. Класическият пример вече е осветен по-горе - това е кубична парабола и нейната критична точка.

Но ако това може, необходимото крайно състояние диктува необходимостта да се намерят подозрителни точки. За да направите това, намерете деривата и решаване на уравнението:

В началото на първата статия за графична функция Казах как бързо да построя парабола при примера : "... вземете първото дериват и го приравнете към нула: ... така, решението на нашето уравнение: - в този момент се намира върхът на парабола ...". Сега мисля, че всеки е ясно защо върхът на Parabola е в този момент \u003d) като цяло, би било необходимо да започнете с подобен пример тук, но е твърде просто (дори за чайника). В допълнение, аналогът е в самия край на урока функция. Следователно увеличаване на степента:

Пример 2.

Намерете интервалите на монотонността и екстремум функцията

Това е пример за независимо решение. Пълно решение и примерна чиста проба проблем на задачата в края на урока.

Настъпи дългоочакваният момент от срещата с частични рационални функции:

Пример 3.

Разгледайте функцията, използвайки първото производно

Забележете как вариатив може да бъде преформулиран в действителност една и съща задача.

Решение:

1) Функцията страда от безкрайни почивки в точки.

2) откриваме критични точки. Намерете първото производно и го приравнете до нула:

Ние решаваме уравнението. Фракцията е нула, когато числителят е нула:

Така получаваме три критични точки:

3) поставете числото директно всички открити точки и интервал Определете признаците на дериват:

Напомням ви, че трябва да вземете някаква точка от интервала, да изчислите стойността на деривата И определете нейния знак. Това е по-изгодно да не се брои, но "майната" устно. Вземете, например, точка, принадлежаща към интервала, и извършване на заместване: .

Две плюс и един "минус", следователно дават "минус" и следователно производно е отрицателно и на целия интервал.

Действие, както разбирате, трябва да похарчите за всеки от шестте интервали. Между другото, имайте предвид, че мултипликатът на числителя и знаменателят са строго положителни за всяка точка от всеки интервал, който значително улеснява задачата.

Така деривата ни каза, че самата функция се увеличава и намалява. Същият тип интервали са удобни за закрепване на иконата на асоциацията.

В момента функцията достига максимум:
В момента функцията достига минимум:

Помислете защо не можете да превъплъщавате втората стойност ;-)

Когато преминавате през точката, производно не променя знака, така че функцията няма екстремум - тя се спуска и остава низходяща.

! Повторение важен момент : Точките не се считат за критични - функцията в тях неуточнен. Съответно, тук екстремум не могат да бъдат по принцип (Дори ако производно променя знака).

Отговор: Функцията се увеличава и намалява в точката, която се постига максимална функция: и в точката - минимум :.

Познаване на монотонните и екстремните интервали и комплект асимптотами дава много добра представа външен вид Функционални графики. Средното ниво може да определи устно, че графиката на функцията има две вертикални асимптоти и наклонени асимптоти. Ето нашият герой:

Опитайте се да се свържете отново към резултатите от проучването с графика на тази функция.
В критичната точка на екстрема не е, но има инфлексия (Като правило, това се случва в подобни случаи).

Пример 4.

Намерете екстремни функции

Пример 5.

Намерете интервали от монотонност, максимум и минимална функция

... директно някой празник "Икса в Куба" днес се оказва ....
Таапа, който има в галането, предложено да пие за това? \u003d)

Във всяка задача има свои съществени нюанси и технически тънкости, които се коментират в края на урока.

Дипломната работа под формата на Exem за 11-граслатели непременно съдържа задачи за изчисляване на границите, намаляване на пропуските и увеличаване на произведената функция, търсене на екстремумни точки и графики за изграждане. Доброто познаване на тази тема ви позволява правилно да отговаряте на няколко въпроса за изпита и да не изпитате трудности при по-нататъшното професионално обучение.

Основите на диференциалното смятане са една от основните теми на математиката на съвременното училище. Той изследва използването на производно за изследване на зависимостите от променливите - чрез производно може да се анализира увеличаване и намаляване на функцията, без да се свързва с чертежа.

Цялостна подготовка на завършилите на изпита в образователния портал "Школково" ще помогне дълбоко да разбере принципите на диференциация - да се справят подробно с теорията, за да проучат примерите за решаване на типични задачи и да се опитат техните сили в независима работа. Ще ви помогнем да премахнете пропуските в знанието - за да изясним идеята за лексикалните концепции на темите и зависимостите на ценностите. Учениците ще могат да повтарят как да намерят интервали от монотонност, което означава катерене или намаляване на деривативна функция на определен сегмент, когато граничните точки се включат и не са включени в намерените интервали.

Преди да започнете директното решение на тематични задачи, препоръчваме първо да отидете в раздела "Теоретична помощ" и да повторите дефинициите на концепции, правила и таблични формули. Тук можете също да прочетете как да намерите и записвате всеки период на нарастваща и низходяща функция на деривативната графика.

Цялата предоставена информация е очертана в най-достъпната форма, за да се разбере почти "от нулата". Материалите за възприемане и асимилация са достъпни на мястото в няколко различни форми - четене, преглед на видео и директно обучение под ръководството на опитни учители. Професионалните учители ще разкажат подробно как да намерят пропуските в увеличаването и спускането на деривативната функция чрез аналитични и графики. По време на уебградите ще бъдете зададени от въпроса както за теорията, така и чрез решаване на конкретни задачи.

Спомнете си основните точки на темата, проверете примерите, за да увеличите производа на функцията, подобно на задачите на опциите за изследване. За да се осигури научен, погледнете "каталог" - тук ще намерите практически упражнения за независима работа. Задачи в секцията за избор на различни нива Трудности, като се вземат предвид уменията. Всеки от тях, например, прикрепени алгоритми за решения и правилни отговори.

Изборът на раздел "Дизайнер", учениците ще могат да практикуват изследването на увеличаването и спускането на деривативната функция на реално послаждениянепрекъснато се актуализира последните промени и иновации.

Екстремна функция

Определение 2.

Въпросът $ x_0 $ се нарича максимална точка на функцията $ f (x) $, ако има такъв квартал от този момент, който за всички $ x $ е от този квартал неравенството е $ f (x) \\ t le f (x_0) $.

Определение 3.

Точката $ x_0 $ се нарича максимална точка от функцията $ f (x) $, ако има такъв квартал от този момент, който за всички $ x $ е от този квартал, че неравенството е $ f (x) \\ t GE F (x_0) $.

Концепцията за екстремум функция е тясно свързана с концепцията за критична функция. Ние въвеждаме своята дефиниция.

Определение 4.

$ x_0 $ се нарича критична точка от функцията $ f (x) $, ако:

1) $ x_0 $ - вътрешната точка на определената област;

2) $ f "left (x_0] дясно) \u003d 0 $ или не съществува.

За концепцията за екстрема можете да формулирате теореми за достатъчни и необходими условия за неговото съществуване.

Теорема 2.

Достатъчно състояние на екстремум

Нека точката $ x_0 $ е критична за функцията $ y \u003d f (x) $ и се намира в интервал от $ (a, b). Позволете на всеки интервал отляво (A, X_0 надясно) и (x_0, b) $ derivative $ f "(x) $ съществува и запазва постоянен знак. Тогава:

1) Ако $ (a, x_0) от $ (a, x_0) е $ f ", ляво (x])\u003e 0 $, и в диапазона $ (x_0, b) $ derivative $ f" \\ t X вдясно)

2) Ако на интервала $ (a, x_0) $ дериватив $ f "left (x] 0 $, тогава точка $ x_0 $ е минимална точка за тази функция.

3) Ако на интервала $ (a, x_0) $ и в диапазона $ (x_0, b) $ дериватив $ f, ляво (x]\u003e 0 $ или derivative $ f \\ t наляво (x] \\ t

Тази теорема е илюстрирана на фигура 1.

Фигура 1. Достатъчно условие за съществуването на крайности

Примери за крайности (фиг. 2).

Фигура 2. Примери за екстремум точки

Правило Изследователски функции за екстремни

2) Намерете дериват на $ f (x) $;

7) Начертайте заключения относно наличието на максимум и минимуми на всеки интервал, използвайки теорема 2.

Възходящо и намаление на функцията

Ние въвеждаме, да започнем с определението за увеличаване и намаляване на функциите.

Определение 5.

Функцията $ y \u003d f (x) $, определена в диапазона от $ x $, се нарича все по-голям, ако за всички точки $ x_1, x_2 в x $ с $ x_1

Определение 6.

Функцията $ y \u003d f (x) $, определена на $ x $ span, се нарича намаляващ, ако за всички точки $ x_1, x_2 в x $ с $ x_1f (x_2) $.

Изследователска функция за увеличаване и спускане

Разгледайте функциите за увеличаване и намаляване, може да използвате производно.

За да проучите функцията за пропуските в нарастващото и спускане, трябва да направите следното:

1) Намерете областта на дефиницията на функцията $ f (x) $;

2) Намерете дериват на $ f (x) $;

3) Намерете точки, в които равенството е $ f, ляво (x] \u003d 0 $;

4) Намерете точките, в които $ f "(x) $ не съществува;

5) отбелязване на координата, насочвайки всички намерени точки и сферата на определяне на тази функция;

6) определя стойността на $ f (x) $ дериват на всеки получен интервал;

7) направете заключение: на интервали, където $ f "остави (x] 0 $ функция се увеличава.

Примери за цели за функции за увеличаване, намаляване и присъствие на екстремум точки

Пример 1.

Разгледайте функцията за увеличаване и намаляване, и наличието на точки на максимум и спадове: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + $ 1

Тъй като първите 6 точки съвпадат, нека ги прекараме.

1) областта на дефиницията е валидни номера;

2) $ f "лява (x] \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f, ляво (x дясно) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ съществува във всички точки на определената област;

5) Координира директно:

Фигура 3.

6) Определете знака на деривата $ f "(x) $ на всеки интервал:

. Той се намира с помощта на максималната стойност и е равна на максималната стойност на функцията, а вторият чертеж е по-скоро като търсене на максимална точка при x \u003d b.

Достатъчно условия за увеличаване и низходяща функция

За да намерите върхове и минимуми функции, е необходимо да се прилагат признаци на екстремум в случая, когато функцията отговаря на тези условия. Най-често използваният е първият знак.

Първото достатъчно състояние на екстрема

Оставете функцията Y \u003d F (x), която се диференцира в областта на точката X 0, която е различна в ε, и има приемственост в определена точка x 0. Оттук ще го направим

• когато f "(x)\u003e 0 с x ∈ (x 0 - ε; x 0) и f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• когато f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) > 0 при x ∈ (x 0; x 0 + ε), след това x 0 е точка от минимум.

С други думи, ние получаваме условията за определяне на знака:

• когато функцията е непрекъсната в точка X 0, тогава тя има производно с променяща се марка, т.е. c + to -, това означава, че точката се нарича максимум;
• когато функцията е непрекъсната в точка X 0, тогава тя има производно с променящ се знак C - BY +, това означава, че точката се нарича минимум.

За да определите правилно максималните точки и минималната функция, трябва да следвате алгоритъма за тяхното намиране:

• намерете областта на дефиницията;
• намерете деривативна функция в тази област;
• определят нули и точки, където функцията не съществува;
• определяне на знака на деривата на интервали;
• изберете точки, където функцията променя знака.

Помислете за алгоритъма върху примера на решаването на няколко примера, за да намерите екстремуните на функцията.

Пример 1.

Намерете максималните точки и минимум от посочената функция y \u003d 2 (x + 1) 2 x - 2.

Решение

Областта на дефиницията на тази функция е всички валидни числа, с изключение на x \u003d 2. За да започнем, ние намираме деривативна функция и получаваме:

y "\u003d 2 x + 1 2 x - 2" \u003d 2 · x + 1 2 "· (x - 2) - (X + 1) 2 · (x - 2)" (x - 2) 2 \u003d 2 · 2 · (X + 1) · (X + 1) "· (X - 2) - (X + 1) 2 · 1 (x - 2) 2 \u003d 2 · 2 · (X + 1) (X - 2) \\ t - (X + 2) 2 (x - 2) 2 \u003d \u003d 2 · (X + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

От тук виждаме, че нулите на функциите са x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, т.е. всяка скоба трябва да бъде равна на нула. Отбелязваме на числовата ос и получаваме:

Сега определяме признаците на производа на всеки интервал. Трябва да изберете точка в интервала, да замените в израза. Например, точки x \u003d - 2, x \u003d 0, x \u003d 3, x \u003d 6.

Получаваме това

y "(- 2) \u003d 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 х \u003d - 2 \u003d 2 · (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 5) 2) 2 \u003d 2 · 7 16 \u003d 7 8\u003e 0, това означава, че интервалът е ∞; - 1 има положително производно. По същия начин, ние получаваме това

y "(0) \u003d 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 \u003d 2 · - 5 4 \u003d - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Тъй като вторият интервал се оказа по-малък от нула, това означава, че производно на сегмента ще бъде отрицателно. Трето с минус, четвърто с плюс. За да се определи приемствеността, е необходимо да се обърне внимание на знака на производителя, ако се промени, тогава това е екстремумна точка.

Получаваме това в точката x \u003d - 1 функцията ще бъде непрекъсната, това означава, че производно ще промени знака C + на -. На първия знак имаме, че X \u003d - 1 е максимална точка, тогава получаваме

y m и x \u003d y (- 1) \u003d 2 · (x + 1) 2 x - 2 x \u003d - 1 \u003d 2 · (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 \u003d 0

Точката x \u003d 5 показва, че функцията е непрекъсната и производно ще промени знака C - BY +. Това означава x \u003d -1 е точка от минимум и нейното откритие има изглед

y m I N \u003d Y (5) \u003d 2 · (x + 1) 2 x - 2 x \u003d 5 \u003d 2 · (5 + 1) 2 5 - 2 \u003d 24

Графично изображение

Отговор: y m a x \u003d y (- 1) \u003d 0, y m i n \u003d y (5) \u003d 24.

Заслужава да се обърне внимание на факта, че използването на първата достатъчно количество на екстрема не изисква диференцизъм на функцията с точка x 0, това опростява изчислението.

Пример 2.

Намерете максималните точки и минималната функция y \u003d 1 6 x 3 \u003d 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Решение.

Областта на дефиниране на място е валидни номера. Това може да бъде написано като система от уравнения на формуляра:

1 6 x 3 - 2 х 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

След това е необходимо да се намери дериват:

y "\u003d 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x > 0 Y "\u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точката x \u003d 0 няма производно, защото стойностите на едностранните граници са различни. Получаваме това:

lim y "x → 0 - 0 \u003d lim yx → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 х - 22 3 \u003d - 1 2 · (0 - 0) 2 - 4 · (0 - 0) - 22 3 \u003d - 22 3 lim y "x → 0 + 0 \u003d lim yx → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 \u003d 1 2 · (0 + 0) 2 - 4 · (0 + 0) + 22 3 \u003d + 22 3.

От това следва, че функцията е непрекъсната в точка x \u003d 0, след това изчислява

lim yx → 0 - 0 \u003d lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 х 2 - 22 3 х - 8 \u003d \u003d - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 · (0 - 0) - 8 \u003d - 8 lim yx → 0 + 0 \u003d lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 х 2 + 22 3 x - 8 \u003d 1 6 · (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 \u003d - 8 Y (0) \u003d 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 0 \u003d 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 \u003d - 8

Необходимо е да се правят изчисления за намиране на стойността на аргумента, когато деривата стане равна на нула:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3, x\u003e 0 d \u003d (- 4) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 \u003d 4 3 х 3 \u003d 4 + 4 3 2 · 1 2 \u003d 4 + 2 3 3\u003e 0 x 4 \u003d 4 - 4 3 2 · 1 2 \u003d 4 - 2 3 3\u003e 0

Всички получени точки трябва да бъдат отбелязани на права линия, за да се определи знакът на всеки интервал. Следователно е необходимо да се изчисли производството при произволни точки за всеки интервал. Например, можем да вземем точки с стойностите x \u003d - 6, x \u003d - 4, x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6. Получаваме това

y "(- 6) \u003d - 1 2 х 2 - 4 х - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 > 0 Y "(- 1) \u003d - 1 2 х 2 - 4 х - 22 3 x \u003d - 1 \u003d - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 \u003d 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 Y "(4) \u003d 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x \u003d 4 \u003d 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 \u003d - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображението на правия е

Така че, ние стигаме до това, което трябва да прибегнете до първия знак на екстремум. Изчислете и вземете това

x \u003d - 4 - 2 3 3, x \u003d 0, x \u003d 4 + 2 3 3, след това от тук максималните точки имат стойност x \u003d - 4 + 2 3 3, x \u003d 4 - 2 3 3

Нека се обърнем към изчисляването на ниските нива:

ymin \u003d Y - 4 - 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d - 4 - 2 3 3 \u003d - 8 27 3 Ymin \u003d Y (0) \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 0 \u003d - 8 Ymin \u003d Y 4 + 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 х - 8 х \u003d 4 + 2 3 3 \u003d - 8 27 3

Ще изчислим максималните функции. Получаваме това

ymax \u003d Y - 4 + 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d - 4 + 2 3 3 \u003d 8 27 3 Ymax \u003d Y 4 - 2 3 3 \u003d 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x \u003d 4 - 2 3 3 \u003d 8 27 3

Графично изображение

Отговор:

ymin \u003d Y - 4 - 2 3 3 \u003d - 8 27 3 Ymin \u003d Y (0) \u003d - 8 Ymin \u003d Y 4 + 2 3 3 \u003d - 8 27 3 Ymax \u003d Y - 4 + 2 3 3 \u003d 8 27 3 Ymax \u003d Y 4 - 2 3 3 \u003d 8 27 3

Ако функцията F "(x 0) \u003d 0 е зададена, след това с нейната F" "(x 0)\u003e 0 получаваме, че x 0 е минимална точка, ако f" "(x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Пример 3.

Намерете функцията maxima и minima y \u003d 8 x x + 1.

Решение

Първо откриваме областта на дефиницията. Получаваме това

D (Y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо е да се обучава функцията, след което получаваме

y "\u003d 8 xx + 1" \u003d 8 · x "· (X + 1) - X · (X + 1)" (X + 1) 2 \u003d \u003d 8 · 1 2 x · (X + 1) - X · 1 (x + 1) 2 \u003d 4 · x + 1 - 2 x (x + 1) 2 · x \u003d 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x

При X \u003d 1 производно става равно на нула, това означава, че точката е възможен екстрем. За да се изясни, е необходимо да се намери второто производно и да се изчисли стойността при X \u003d 1. Получаваме:

y "" \u003d 4 · - X + 1 (X + 1) 2 · x "\u003d 4 · (- X + 1)" (X + 1) 2 · X - (- X + 1) · X + 1 2 · X "(x + 1) 4 · x \u003d 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x - (- X + 1) · x + 1 2" · X + (x + 1) 2 · x "(x + 1) 4 · x \u003d \u003d 4 · - (x + 1) 2 x - (- X + 1) · 2 х + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 x (x + 1) 4 · x \u003d \u003d - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x \u003d \u003d 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y "" (1) \u003d 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 \u003d 2 · - 4 8 \u003d - 1< 0

Така че, като се използва 2 достатъчно крайбрежни състояния, ние получаваме, че X \u003d 1 е максимална точка. В противен случай записът има формата Y и x \u003d Y (1) \u003d 8 1 1 + 1 \u003d 4.

Графично изображение

Отговор: y m и x \u003d y (1) \u003d 4 ..

Функцията Y \u003d F (X) има производна към N-ред в квартал ε на дадена точка x 0 и производно към n + 1 -там ред в точка x 0. След това f "(x 0) \u003d f" "(x 0) \u003d f" "(x 0) \u003d. . . \u003d F N (x 0) \u003d 0.

От това следва, че когато n е четно число, x 0 се счита за блистерна точка, когато n е нечетно число, след това x 0 точка на екстремум, и f (n + 1) (x 0)\u003e 0, след това x 0 е минимална точка, F (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Пример 4.

Намерете максималните точки и минималната функция Y y \u003d 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Решение

Функцията на източника е цялостна рационална, от това следва, че дефиницията е валидни номера. Необходимо е директно да изтриете функцията. Получаваме това

y "\u003d 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 "\u003d 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) \\ t ) 3 4 (x - 3) 3) \u003d \u003d 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 х - 9 + 4 x + 4) \u003d 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) ) 3 (7 x - 5)

Това производно ще се обърне към нула при x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 5 7, x 3 \u003d 3. Точките могат да бъдат точки на възможния екстрем. Необходимо е да се приложите третото състояние на екстрема. Намирането на второ производно позволява точността да се определи наличието на максимална и минимална функция. Изчисляването на второто производно е направено в точките на евентуалния му екстрем. Получаваме това

y "\u003d 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 х - 5)" \u003d 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 х 2 - 30 х - 3) y "( - 1) \u003d 0 Y "" 5 7 \u003d - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Това означава, че x 2 \u003d 5 7 е максимална точка. Прилагане на 3 достатъчна характеристика, ние получаваме това за n \u003d 1 и f (n + 1) 5 7< 0 .

Необходимо е да се определи характерът на точки X 1 \u003d - 1, X 3 \u003d 3. За да направите това, трябва да намерите третото производно, да изчислите стойностите в тези точки. Получаваме това

y "" \u003d 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 х 2 - 30 х - 3) "\u003d \u003d 1 8 (x - 3) (105 х 3 - 225 х 2 - 45 х + 93) Y "" (- 1) \u003d 96 ≠ 0 Y "" "(3) \u003d 0

Така, x 1 \u003d - 1 е точката на инфлексията на функцията, тъй като при n \u003d 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Необходимо е да се изследва точка x 3 \u003d 3. За да направите това, ние намираме 4 деривати и правим изчисления в този момент:

y (4) \u003d 1 8 (x - 3) (105 х 3 - 225 х 2 - 45 х + 93) "\u003d \u003d 1 2 (105 х 3 - 405 х 2 + 315 х + 57) Y (4) ( 3) \u003d 96\u003e 0

От горепосоченото, заключаваме, че x 3 \u003d 3 е точката на минимална функция.

Графично изображение

Отговор: x 2 \u003d 5 7 е максимална точка, x 3 \u003d 3 - точка на минимална функция.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Възходящо и намаление на функцията

функция y. = е.(х.) се нарича увеличаване на сегмента [ а., б.] Ако за всяка двойка точки х. и х ", а ≤ x неравенство е.(х.) ≤ е. (х ") и стриктно увеличаване - ако се извърши неравенство е. (х.) F.(х "). По същия начин се определя намалява и стриктно намаление на функцията. Например, функция w. = х. 2 (фиг. а) стриктно се увеличава на сегмента и

(фиг. б) стриктно намалява този сегмент. Нарастващите функции са определени е. (х.) и намаляване е. (х.). С цел диференцируема функция е. (х.) все повече се намират на сегмента [ но, б.], необходимо е и достатъчно за производно е."(х.) не бе необходим на [ но, б.].

Заедно с увеличаване и спускане, функцията на сегмента обмисля увеличаване и намаляване на функцията в точката. Функция w. = е. (х.) се нарича увеличение в точката х. 0, ако има такъв интервал (α, β), съдържащ точка х. 0, което е за всяка точка х. от (α, β), x\u003e х. 0, неравенството се извършва е. (х. 0) ≤ е. (х.) и за всяка точка х. от (α, β), x 0, неравенството се извършва е. (х.) ≤ F. (х. 0). По същия начин се определя стриктно увеличаване на функцията в точката х. 0. Ако е."(х. 0) > 0, след това функция е.(х.) Стриктно се увеличава в точката х. 0. Ако е. (х.) увеличаване на всяка точка на интервала ( а., б.), увеличава този интервал.

S. B. Stechkin.

Велика съветска енциклопедия. - т.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Гледайте какво е "увеличаване и намаляване на функцията" в други речници:

Концепциите за математически анализ. Функцията f (x) се нарича увеличение на възрастовата структура на населението, което съотношението на броя на различните възрастови групи население. Зависи от нивата на плодородието и смъртността, продължителността на живота на хората ... Голям енциклопедичен речник

Концепциите за математически анализ. Функция f (x) се нарича увеличаване на сегмента, ако за всяка двойка точки x1 и x2, a≤x1 ... Енциклопедичен речник

Концепции подложка. Анализ. F (x) naz. увеличаване на сегмента [a, b], ако за всяка двойка точки x1 и x2, и<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Естествени науки. Енциклопедичен речник

Разгледайте математическата секция, в която се изследват деривати и диференциали и тяхното прилагане към изследването на функциите. Дизайн D. и. В независима математическа дисциплина, свързана с имената на I. Newton и Labitsa (втората половина на 17 ... Велика съветска енциклопедия

Секцията по математика, концепциите за дериват и диференциал се изследват в рома и методите за кандидатстване за функции. Развитие Г. и. Тясно свързани с развитието на интегрални смятания. Инфинулиране и тяхното съдържание. Заедно те съставляват основата ... ... Математическа енциклопедия

Този термин има други стойности, вижте функцията. Заявка "Дисплей" се пренасочва тук; Виж и други ценности ... Уикипедия

Аристотел и перипатици - Аристотелйски въпрос Животът на Аристотел Аристотел е роден през 384/383. БК д. В Стагир, на границата с Македония. Баща му на име Никома беше лекар в служба на македонския цар Аминте, отец Филип. Заедно със семейството на млад Аристотел ... ... Западна философия от източници до този ден

- (CHD), квантова теория за силни кварки кварки и глюони, построени в образа на квантово. Електродинамика (CAD) въз основа на "цветна" калибрираща симетрия. За разлика от CAD, фермите в QCD ще допълнят. Степента на квантовата свобода. номер ... ... Физическа енциклопедия

Аз сърце сърце (лат. Екипаж, гръцки. Cardia) Кухи фиброиди мускулен орган, който функционира като помпа, осигурява кръвно движение и кръвообращение. Анатомичното сърце се намира в предната MediaStum (Mediastinum) в перикардството между ... ... Медицинска енциклопедия

Животът на растението, като всеки друг жив организъм, представлява сложен набор от взаимосвързани процеси; Най-съществено от тях, както е известно, метаболизма с околната среда. Сряда е източникът, където ... ... ... Биологична енциклопедия