Расширение числовых множеств. О расширении множества натуральных чисел

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - добавление нуля. Происходит это еще в начальной школе.

Сначала «О» - знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?

Разделить - значит найти такой х , что: х-0 = а. Возможны два случая:

1) а * х: дг-0 * 0. Это невозможно;

2) а = 0, следовательно, надо найти хг. х-0 = 0. Таких х сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции:

Есть учебники, где основные законы действий считаются справедливыми без необходимых обоснований.

В курсе математики 5-6-х классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений множеств не однозначна. Возможные варианты:

Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.

В основной школе дроби и действия над ними обычно вводятся методом целесообразных задач, придуманным еще С. И. Шохор- Троцким, например, при рассмотрении следующей задачи.

• 1 кг сахарного песка стоит 15 руб. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг?
• - кг?

Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти

От 15. Ученики могут разделить на 3, найдя, сколько стоит одна доля 3

килограмма, и умножить на 2, чтобы определить, сколько стоят две таких доли. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на -.

При введении дробных чисел желательно учитывать опыт учащихся, опираться на него. С дробями ученики встречаются в музыке. Самые распространенные дроби в ней: две четверти, три четверти, переводя на математический язык: две четвертых, три четвертых. Верхняя цифра обозначает количество долей в такте: две или три. Нижняя цифра обозначает длительность этой доли. В пашем случае - это четверть. В размере две четверти звучат марш, польки. В размере три четверти - вальс. Эти воспоминания помогут ученикам связать новые знания с их опытом, что является необходимым условием достижения понимания.

При изучении действий второй ступени рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке возрастания трудности: 1) умножение на целое число; 2) умножение целого числа на смешанное число; 3) умножение дроби на смешанное число; 4) умножение на правильную дробь; 5) умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.

Чтобы показать, что число при делении на правильную дробь увс-

личивается, можно рассмотреть следующую ситуацию: 6: -.

Шесть кружков разрезали на четыре части, частей, конечно, стало больше, чем кружков.

Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.

При любой последовательности изучения дробей есть свои плюсы и минусы.

Если десятичные дроби вводятся раньше обыкновенных, то положительным является то, что:

• десятичные дроби могут быть введены при рассмотрении десятичной системы нумерации целых положительных чисел (первая разрядная единица после запятой - десятые доли единицы, а следующая - сотые...);
• все арифметические действия проще выполняются для десятичных дробей;
• имеют большее практическое применение, чем обыкновенные.

Отрицательным является то, что для обыкновенных дробей всю

теорию дробей надо строить заново, так как нельзя из частного случая делать общие выводы.

Если же обыкновенные дроби вводятся до десятичных, то следует учитывать, что:

• десятичные - частный случай обыкновенных, следовательно, все правила действий - как следствия;
• действия второй ступени для десятичных дробей как совокупности новых разрядных единиц (для действий первой ступени) невозможны;
• действия над некоторыми обыкновенными проще (второй ступени);
• основное свойство дроби только на основе общего понятия о дроби.

Для введения отрицательных чисел используются разные приемы.

Так, для обеспечения мотивации может быть использована проблемная ситуация, близкая опыту ребенка.

Робин Гуд, спасаясь от преследователей, проплыл вверх по реке а км, но, оказавшись перед бродом, вынужден был плыть вниз по реке и проплыл b км. Где он оказался от начала своего пути (на каком расстоянии от входа в реку)? Выписав выражение для нахождения неизвестного: х = а - Ь у необходимо рассмотреть все возможные соотношения между аик

1) а > к, 2) а = Ь; 3) а невыполнимо.

Также отрицательные числа могут быть введены:

• через рассмотрение величин, которые имеют противоположный смысл (А. П. Киселев);
• при рассмотрении характеристик изменений (увеличений и уменьшений) величин;
• па основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси (В. Л. Гончаров);
• через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток (Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский): во время сильных дождей уровень воды в реке поднялся на а см в течение суток. В течение следующих суток уровень воды понизился на b см. Какой будет уровень воды по истечении двух суток? (а - Ь);
• при изображений расстояний на температурной шкале (А. Н. Барсуков).

Эти приемы могут использоваться и как один из аспектов мотивации. Еще одним аспектом является невозможность выполнения какого-либо действия, как в задаче выше.

Введя сравнение и действия над рациональными числами и свойства действий, мы получили числовое поле. Его дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т.е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину.

К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождение логарифма любого положительного числа при любом положительном основании. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до множества действительных чисел.

Положительные рациональные числа.

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.

Признаки делимости.

Теоретико-множественный смысл разности.

Теоретико-множественный смысл суммы.

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Из истории возникновения понятия натурального числа.

2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.

3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля.

4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»

6. Законы сложения.

8. Отношения «больше на» и «меньше на».

9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.

11. Понятие системы счисления.

12. Позиционные и непозиционные системы счисления.

13. Запись и названия чисел в десятичной системе счисления.

14. Сложение в десятичной системе счисления.

15. Умножение в десятичной системе счисления

16. Упорядоченность множества натуральных чисел.

17. Вычитание в десятичной системе счисления.

18. Деление в десятичной системе счисления.

19. Множество целых неотрицательных чисел.

20. Отношение делимости и его свойства.

23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.

24. Понятие дроби.

27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

28. Действительные числа.

МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ

Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерений положительных скалярных величин - длин, площадей, масс, времени др., поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.

В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно, нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

В освоении этого материала учителю поможет материал данного модуля. В нем с учетом подготовки, полученной студентами в школьном курсе математики, представлен геометрический материал, необходимый для обучения младших школьников элементам геометрии.

Студент должен уметь:

Иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы к определению натурального числа и действий над числами, как результата измерения величин;

Решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки в объеме, определенном содержанием обучения;

Решать несложные задачи на доказательство и вычисление числовых значений геометрических фигур;

Изображать на плоскости призму, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, используя правила проектирования.

РАСШИРЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ: ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

Пермский государственный педагогический университет, математический факультет , *****@***ru

В работе представлена история расширения числовых множеств: от натуральных до гиперкомплексных чисел. Показаны условия происхождения новых множеств.

Понятие числа появилось впервые еще в доисторические времена в связи с практической деятельностью человека. При этом натуральные числа возникли из потребностей счета на самых ранних ступенях развития человеческого общества. Наименьшим из натуральных чисел является единица, наибольшего натурального числа не существует. При их сложении и умножении получается натуральное число, но не всегда выполнима операция вычитания, поэтому появляется необходимость рассмотрения целых отрицательных чисел.

Известно, что операция деления также не всегда выполнима на множестве натуральных чисел. Она приводит к новому расширению понятия числа: появлению дробей и рациональных чисел.

Действительные числа появились в процессе дальнейшего расширения понятия числа. Необходимость такого расширения была обусловлена как практическими применениями математики при выражении значения любой величины с помощью вполне определенного числа, так и внутренними потребностями самой математики. Эти потребности были связаны со стремлением расширить область применения ряда операций над числами (извлечение корня, вычисление логарифмов, решение уравнений и т. д.).

Дальнейшее расширение понятия числа связано с введением комплексных чисел. Необходимость введения таких чисел обусловлена развитием теории алгебраических уравнений. При нахождении решений квадратных уравнений, в некоторых случаях (например, x 2 + 1 = 0) приходилось рассматривать корень квадратный из отрицательного числа. Это привело к необходимости рассмотрения и изучения выражений вида a + bi , где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, квадрат которой равен –1 (i 2 = –1) .

Впервые мнимые величины появились в 1545 году в известном труде Джероламо Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах», который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Рафаэле Бомбелли в 1572 году. Он же впервые представил некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида Бытие" href="/text/category/bitie/" rel="bookmark">бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы» .

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в 1707 году в работах Абрахама де Муавра и в 1722 году в работах Роджера Котса.

Символ предложил в 1777 году Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius . Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Леонард Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу в 1747 году пришел Жан Лерон Д’Аламбер, но первое строгое доказательство этого факта, представленное в 1799 году, принадлежит Карлу Фридриху Гауссу. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Обобщением комплексных чисел являются гиперкомплексные числа, получаемые присоединением к множеству вещественных чисел нескольких комплексных единиц i 1, i 2, … , i n. Такие числа имеют вид z = a 0 + a 1i 1 + a 2i 2 + … + anin , где a 0, a 1, … , an – вещественные числа .

Одним из примеров гиперкомплексных чисел являются кватернионы. Кватернионы – это четверки чисел (a , b , c , d ), которые удобно записывать в виде q = a + bi + cj + dk , где a , b , c , d – произвольные действительные числа, а i , j , k – новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах .

Развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее, в 1877 году Фердинард Георг Фробениус строго доказал теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на некоммутативность новых чисел, эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Джеймс Клерк Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки уравнений электромагнитного поля. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ.

Сегодня кватернионы также приносят практическую пользу: они широко используются в 3D графике, компьютерном моделировании и при программировании компьютерных игр .

Библиографический список

1. Комплексные числа // Квант. 1983. №2.

2. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984. С. 139

3. Кантор И .Л., Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973.

4. , Кватернионы // Квант. 1983. №9.

5. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература, 1963. С. 68

6. Martin John Baker Use of quaternions to represent transformations in 3D // URL: http://www. /maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index. htm (дата обращения 30.10.2011)

NUMERICAL SETS EXPANSION: HISTORICAL ASPECT

Kosyakova Yekaterina Pavlovna

Perm State Pedagogical University, mathematical faculty

Numerical sets expansion history is depicted in the article: beginning from natural till hupercomplex numbers. New sets origins are shown.

С дошкольного возраста ребенок оперирует натуральными числами, то производя счет предметов, то пересчитывая множество пальцев на руках. Основным понятием при введении понятия множества натуральных чисел N является отношение , которое определяется следующими аксиомами Пеано.

Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, который называется единицей и обозначается символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента п множества N, существует единственный элемент (п+1) , непосредственно следующий за п .

Аксиома 3. Для каждого элемента п из N существует не более одного элемента (п-1) , за которым непосредственно следует п.

Аксиома 4. Любое подмножество Р множества N совпадает с N , если для него выполняются свойства: 1) 1 содержится в Р ; 2) из того, что п содержится в Р , следует, что и (п+1) содержится в Р .

На основании аксиом Пеано сформулируем определение множества натуральных чисел.

Определение. Множество N, элементы которого удовлетворяют аксиомам 1-4, т.е. находятся в отношении «непосредственно следовать за» , называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральными числами.

Расширением множества натуральных чисел N является множество целых чисел Z, которое является объединением натуральных чисел, числа нуль и чисел противоположных натуральным числам.

Расширением множества целых чисел является множество рациональных чисел Q, представляющее собой объединение целых и дробных чисел. Множество всех чисел представимых в виде несократимой дроби m/n , где m может быть любым целым числом, (не исключая нуля), т.е. m Î Z, а n – натуральное число, т.е. n Î N, составляют множество рациональных чисел. Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и наоборот, любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число.

Существуют числа, которые нельзя представить в виде несократимой дроби, т.е. не принадлежат множеству рациональных чисел. Такие числа составляют множество иррациональных чисел I , их можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 должна выражаться некоторым положительным числом r 2 =1 2 +1 2 (по теореме Пифагора), т.е. таким, что r 2 =2. Число r не может быть целым, 1 2 = 1, 2 2 = 4 и т.д. Число r не может быть и дробным: если r = m/n - несократимая дробь, где n¹1, то r 2 =m 2 /n 2 тоже будет несократимой дробью, где n 2 ¹ 1; значит, m 2 /n 2 не является целым числом, а потому не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается . Аналогично, не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются , , . Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются - ,- ,- .

Множество иррациональных чисел бесконечно. Например, число p, выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби – это иррациональное число.

Множество, элементами которого являются рациональные и иррациональные числа называется множеством действительных чисел и обозначается буквой R. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу. Множество действительных чисел называют также числовой прямой.

Нами рассмотрен процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным, который был связан с потребностями практики и с нуждами самой математики. Необходимость выполнения деления привела от натуральных чисел к понятию дробных положительных чисел; затем операция вычитания привела к понятиям отрицательных чисел и нуля; далее, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррационального числа. Множество, на котором выполнимы все эти операции, есть множество действительных чисел, однако не все операции выполнимы на данном множестве. Например, нет возможности извлечь корень квадратный из отрицательного числа или решить квадратное уравнение х 2 + х + 1 = 0. Значит, есть потребность в расширении множества действительных чисел.

Введем число i , такое, что i 2 = - 1. Это число позволит извлекать корни из отрицательных чисел. Итак, расширением множества действительных чисел есть множество комплексных чисел , которое обозначается буквой С . Подробно, с множеством комплексных чисел, мы познакомимся позже.

Будем пользоваться обозначениями:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел,

R - множество действительных чисел

С - множество комплексных чисел.