Problème C2 : équation du plan passant par le déterminant. Equation d'un avion : comment composer ? Types d'équations planes 2 équation plane

Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser le déterminant pour composer équation du plan. Si vous ne savez pas ce qu'est un déterminant, passez à la première partie de la leçon - " Matrices et déterminants». Sinon, vous risquez de ne rien comprendre au matériel d'aujourd'hui.

Équation d'un plan par trois points

Pourquoi avons-nous besoin de l'équation du plan ? C'est simple : le connaissant, on peut facilement calculer des angles, des distances et autres conneries dans le problème C2. En général, cette équation est indispensable. Nous formulons donc le problème :

Une tâche. Il y a trois points dans l'espace qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Leurs coordonnées :

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Il faut écrire l'équation du plan passant par ces trois points. Et l'équation devrait ressembler à :

Ax + By + Cz + D = 0

où les nombres A , B , C et D sont les coefficients que, en fait, vous voulez trouver.

Eh bien, comment obtenir l'équation du plan, si seules les coordonnées des points sont connues ? Le moyen le plus simple est de substituer les coordonnées dans l'équation Ax + By + Cz + D = 0. Vous obtenez un système de trois équations qui est facilement résolu.

De nombreux étudiants trouvent cette solution extrêmement fastidieuse et peu fiable. L'examen de mathématiques de l'année dernière a montré que la probabilité de faire une erreur de calcul est très élevée.

Par conséquent, les enseignants les plus avancés ont commencé à chercher des solutions plus simples et plus élégantes. Et ils l'ont trouvé ! Certes, la technique obtenue est plus susceptible d'être liée aux mathématiques supérieures. Personnellement, j'ai dû fouiller dans toute la liste fédérale des manuels scolaires pour m'assurer que nous avons le droit d'utiliser cette technique sans aucune justification ni preuve.

Équation du plan passant par le déterminant

Assez de blabla, passons aux choses sérieuses. Pour commencer, un théorème sur la relation entre le déterminant de la matrice et l'équation du plan.

Théorème. Donnons les coordonnées de trois points par lesquels le plan doit être tracé : M = (x 1 , y 1 , z 1) ; N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Alors l'équation de ce plan peut s'écrire en fonction du déterminant :

Par exemple, essayons de trouver une paire de plans qui apparaissent réellement dans les problèmes C2. Regardez à quelle vitesse tout compte :

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Nous composons le déterminant et le mettons à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 1 1 (z − 1) + 0 0 X + (−1) 1 y = z − 1 − y ;
b = (−1) 1 X + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x ;
ré = une - b = z - 1 - y - (-x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1 ;
ré = 0 ⇒ X - y + z - 1 = 0 ;

Comme vous pouvez le voir, lors du calcul du nombre d, j'ai légèrement modifié l'équation pour que les variables x, y et z soient dans le bon ordre. C'est tout! L'équation de l'avion est prête !

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Remplacez immédiatement les coordonnées des points dans le déterminant:

En développant à nouveau le déterminant :

une = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z ;
b = 1 1 X + 0 0 z + 1 1 y = X + y ;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
ré = 0 ⇒ z − X − y = 0 ⇒ X + y − z = 0 ;

Ainsi, l'équation du plan est à nouveau obtenue ! Encore une fois, à la dernière étape, j'ai dû changer les signes afin d'obtenir une formule plus « belle ». Il n'est pas nécessaire de le faire dans cette solution, mais il est toujours recommandé - afin de simplifier la solution ultérieure du problème.

Comme vous pouvez le voir, il est maintenant beaucoup plus facile d'écrire l'équation du plan. Nous substituons les points dans la matrice, calculons le déterminant - et c'est tout, l'équation est prête.

Cela pourrait être la fin de la leçon. Cependant, de nombreux étudiants oublient constamment ce qui se trouve à l'intérieur du déterminant. Par exemple, quelle ligne contient x 2 ou x 3 , et quelle ligne juste x . Pour enfin faire face à cela, traçons d'où vient chaque numéro.

D'où vient la formule avec le déterminant ?

Alors, voyons d'où vient une équation aussi dure avec un déterminant. Cela vous aidera à vous en souvenir et à l'appliquer avec succès.

Tous les plans qui apparaissent dans le problème C2 sont définis par trois points. Ces points sont toujours marqués sur le dessin, voire indiqués directement dans le texte du problème. Dans tous les cas, pour compiler l'équation, nous devons écrire leurs coordonnées:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considérons un autre point sur notre plan avec des coordonnées arbitraires :

T = (x, y, z)

Nous prenons n'importe quel point parmi les trois premiers (par exemple, le point M ) et en tirons des vecteurs vers chacun des trois points restants. On obtient trois vecteurs :

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Faisons maintenant une matrice carrée à partir de ces vecteurs et assimilons son déterminant à zéro. Les coordonnées des vecteurs deviendront les lignes de la matrice - et nous obtiendrons le même déterminant indiqué dans le théorème :

Cette formule signifie que le volume de la boîte construite sur les vecteurs MN , MK et MT est égal à zéro. Par conséquent, les trois vecteurs se trouvent dans le même plan. En particulier, un point arbitraire T = (x, y, z) est exactement ce que nous recherchions.

Remplacement des points et des lignes du déterminant

Les déterminants ont de merveilleuses propriétés qui facilitent encore plus solution du problème C2. Par exemple, peu importe à partir de quel point dessiner des vecteurs. Par conséquent, les déterminants suivants donnent la même équation plane que celle ci-dessus :

Vous pouvez également échanger les lignes du déterminant. L'équation restera inchangée. Par exemple, beaucoup de gens aiment écrire une ligne avec les coordonnées du point T = (x ; y ; z) tout en haut. S'il vous plaît, si cela vous convient:

Cela confond certains que l'une des lignes contient des variables x , y et z , qui ne disparaissent pas lors de la substitution de points. Mais ils ne doivent pas disparaître ! En remplaçant les nombres dans le déterminant, vous devriez obtenir la construction suivante :

Ensuite, le déterminant est développé selon le schéma donné au début de la leçon et l'équation standard du plan est obtenue:

Ax + By + Cz + D = 0

Jetez un oeil à un exemple. Il est le dernier de la leçon d'aujourd'hui. Je vais délibérément échanger les lignes pour m'assurer que la réponse sera la même équation du plan.

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Ainsi, nous considérons 4 points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Commençons par créer un déterminant standard et égalisons-le à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y ;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − X + 1 − z = 2 − x − z ;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
ré = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Ça y est, on a la réponse : x + y + z − 2 = 0 .

Maintenant, réorganisons quelques lignes dans le déterminant et voyons ce qui se passe. Par exemple, écrivons une ligne avec les variables x, y, z non pas en bas, mais en haut :

Développons à nouveau le déterminant résultant :

une = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z ;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y ;
ré = une - b = 2 - X - z - y ;
ré = 0 ⇒ 2 − X − y − z = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Nous avons exactement la même équation plane : x + y + z − 2 = 0. Donc, cela ne dépend vraiment pas de l'ordre des lignes. Il reste à écrire la réponse.

Ainsi, nous avons vu que l'équation du plan ne dépend pas de la suite des droites. On peut faire des calculs similaires et prouver que l'équation du plan ne dépend pas du point dont on soustrait les coordonnées aux autres points.

Dans le problème considéré ci-dessus, nous avons utilisé le point B 1 = (1, 0, 1), mais il était tout à fait possible de prendre C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). En général, tout point avec des coordonnées connues se trouvant sur le plan souhaité.

1. Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné parallèle à deux vecteurs donnés (non colinéaires)

Noter: 1 voie . Prenons un point quelconque du plan M (x, y, z). Les vecteurs seront coplanaires car ils sont dans des plans parallèles. Par conséquent, leur produit mixte
En écrivant cette condition en coordonnées, on obtient l'équation du plan recherché :

Il est plus commode de calculer ce déterminant par expansion dans la première ligne.

2 voies . Vecteurs
parallèle au plan désiré. Par conséquent, un vecteur égal au produit vectoriel de vecteurs
perpendiculaire à ce plan , c'est à dire.
Et
. Vecteur est le vecteur normal du plan . Si
Et
, alors le vecteur se trouve selon la formule :

Équation plane trouver par point
et vecteur normal

2. Trouver l'équation d'un plan passant par deux points donnés parallèles à un vecteur donné
.(
non colinéaire).

Noter: 1 voie. Soit M (x, y, z) un point quelconque du plan. Alors les vecteurs et
sont situés dans des plans parallèles, ils sont donc coplanaires, c'est-à-dire leur produit mélangé
En écrivant cette condition en coordonnées, on obtient l'équation du plan recherché .

2 voies . Le vecteur normal au plan désiré sera égal au produit vectoriel des vecteurs
, c'est à dire.
ou en coordonnées :

Équation du plan souhaité trouvé par le vecteur normal et pointe
(ou pointe
) par la formule (2.1.1)

(voir exemple 1 point 2.2).

3. Trouver l'équation d'un plan passant par un point
parallèle au plan 2x – 6y – 3z +5 =0.

Noter: vecteur normal on trouve à partir de l'équation générale du plan donné 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vecteur est perpendiculaire à un plan donné, il est donc perpendiculaire à tout plan qui lui est parallèle. Vecteur peut être pris comme vecteur normal du plan recherché. Composez l'équation du plan désiré par le point
et vecteur normal
(voir exemple 1 point 2.2).

Répondre:

4. Écrire une équation pour un plan passant par un point
perpendiculaire à la ligne d'intersection des plans 2x + y - 2z + 1 = 0 et

x + y + z - 5 = 0.

Noter: 1 voie. Les vecteurs perpendiculaires à chacun de leurs plans (les coordonnées vectorielles sont trouvées à partir des équations générales des plans, formule (2.2.1)) sont perpendiculaires à la ligne de leur intersection et, par conséquent, sont parallèles au plan souhaité. Le plan recherché passe par le point
parallèle à deux vecteurs
(voir tâche 1 point 5).

L'équation du plan recherché a la forme :

En développant le déterminant du troisième ordre dans la première ligne, nous obtenons l'équation souhaitée.

2 voies. Composer l'équation du plan par le point
et vecteur normal par la formule (2.2.1). vecteur normal est égal au produit croisé des vecteurs
,celles.
Puisque les vecteurs
sont perpendiculaires à la ligne d'intersection des plans, alors le vecteur parallèle à la ligne d'intersection des plans et perpendiculaire au plan désiré.

Vecteurs (voir formule 2.2.1), puis

Composer l'équation du plan par le point
et vecteur normal

(voir exemple 1 point 2.2)

Répondre:

5. Trouver l'équation du plan passant par les points
Et
perpendiculaire au plan 3x – y + 3z +15 = 0.

Noter: 1 voie. Écrivons les coordonnées du vecteur normal du n donné platitude

3x - y + 3z +15 = 0 :
Comme les plans sont perpendiculaires, le vecteur parallèle au plan désiré Composez l'équation du plan désiré
qui est parallèle au vecteur et passe par les points
(voir la solution du problème 2 point 5 ; 1 voie).

En calculant le déterminant, nous obtenons l'équation du plan souhaité

10x + 15y - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 voies. Composez l'équation du plan désiré par point
et le vecteur normal
Vecteur

On compose l'équation du plan désiré .

10(x - 2) +15(y - 3) - 5(z + 1) = 0 ;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (voir problème 2 point 5 ; 2ème méthode). Divisez les deux membres de l'équation par 5.

2x + 3y - z - 14 = 0.

Répondre: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. Écrivez une équation pour un plan passant par des points

Et

Noter: Composons l'équation d'un plan passant par trois points (voir exemple 1, clause 2.3, formule 2.3.1).

En développant le déterminant, on obtient

Répondre:

Commenter. Pour vérifier l'exactitude du calcul du déterminant, il est recommandé de remplacer les coordonnées de ces points par lesquels le plan passe dans l'équation résultante. Il doit y avoir une identité; sinon, une erreur a été commise dans les calculs.

7. Écrire une équation pour un plan passant par un point
parallèle au plan x - 4y + 5z + 1 = 0.

Noter: De l'équation générale d'un plan donné
x – 4y + 5z + 1 = 0 trouver le vecteur normal
(formule 2.2.1). Vecteur perpendiculaire au plan désiré
Composer l'équation du plan par le point
et vecteur normal
(voir exemple 1 ; clause 2.2) :

x - 4y + 5z + 15 = 0.

Répondre: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. Écrire une équation pour un plan passant par un point
parallèle aux vecteurs

Noter: Voir la solution du problème 1 point 5. Nous résolvons le problème de l'une des manières indiquées.

Répondre: x - y - z - 1 = 0.

9. Écrire une équation pour un plan passant par un point
perpendiculaire à la ligne d'intersection des plans 3x - 2y - z + 1 = 0 et x - y - z = 0.

Noter: Voir la solution du problème 4 point 5. Nous résolvons le problème de l'une des manières indiquées.

Répondre: x + 2y - z - 8 = 0.

10. Trouver l'équation du plan passant par les points

perpendiculaire au plan 3x – y – 4z = 0.

Noter: Voir la solution du problème 5 point 5.

Répondre: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. Trouver l'équation du plan passant par les points

parallèle à la droite définie par les points A (5 ; –2 ; 3) et B (6 ; 1 ; 0).

Noter: Le plan recherché est parallèle à la droite AB, il est donc parallèle au vecteur
Équation du plan souhaité on retrouve, comme dans la tâche 2, le paragraphe 5 (une des voies).

Répondre: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. Le point P (2; -1; -2) sert de base à la perpendiculaire tombée de l'origine au plan. Écris une équation pour ce plan.

Noter: Vecteur normal au plan désiré est le vecteur
Trouvez ses coordonnées P (2; -1; -2) et O(0; 0; 0)

celles.
Composez l'équation du plan par point et vecteur normal
(voir exemple 1, paragraphe 2.2).

Répondre: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. Écrire une équation pour un plan passant par un point
parallèle au plan : a) xoy ; b) yoz ; c) xoz.

Noter: Vecteur
- le vecteur unitaire de l'axe oz est perpendiculaire au plan xoy, donc, il est perpendiculaire au plan recherché
On compose l'équation du plan au point A (0; -1; 2) et

= (0 ; 0 ; 1), car
(voir solution du problème 3, point 5).
z - 2 = 0.

Nous résolvons les problèmes b) et c) de la même manière.

b)
où
(1; 0; 0).

dans)
où (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Répondre: a) z - 2 = 0 ; b) x = 0 ; c) y + 1 = 0.

14. Écrivez une équation pour un plan passant par des points
Et

B (2 ; 1 ; –1) perpendiculaire au plan : a) xoy ; b) xoz.

Noter: Le vecteur normal du plan xoy est le vecteur

= (0 ; 0 ; 1) est le vecteur unitaire de l'axe oz. Composer l'équation d'un plan passant par deux points
et B (2 ; 1 ; –1) et perpendiculaire au plan ayant le vecteur normal
(0 ; 0 ; 1), en utilisant l'une des méthodes de résolution du problème 5 du paragraphe 5.
y - 1 = 0.

De même pour le problème b):
où = (0 ; 1 ; 0).

Répondre: a) y - 1 = 0 ; b) x + z - 1 = 0.

15. Écrivez une équation pour un plan passant par des points
Et

B (2 ; 3 ; –1) parallèle à l'axe oz.

Noter: Sur l'axe oz, vous pouvez prendre le vecteur unitaire = (0 ; 0 ; 1). La solution du problème est similaire à la solution du problème 2 point 5 (par n'importe quel moyen).

Répondre: x - y + 1 = 0.

16. Écrivez une équation pour un plan passant par l'axe ox et un point

Noter: Avion
passe par l'axe des abscisses, et donc aussi par le point O(0; 0; 0). Sur l'axe ox, vous pouvez prendre le vecteur unitaire = (1 ; 0 ; 0). On compose l'équation du plan recherché à l'aide de deux points A(2; –1; 6) et O(0; 0; 0) et du vecteur parallèle au plan. (Voir la solution du problème 2 point 5).

Répondre: 6y + z = 0.

17. À quelle valeur de A les plans Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 et 2x - y + 2z \u003d 0 seront-ils perpendiculaires ?

Noter: A partir des équations générales des plans

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 et
2x – y + 2z = 0 vecteurs normaux

= (A; 2; -7) et
= (2 ; –1 ; 2) (2.2.1). La condition de perpendicularité de deux plans (2.6.1).

Répondre: A = 8.

18. A quelle valeur A du plan 2x + 3y - 6z - 23 = 0 et

4x + Ay - 12z + 7 = 0 sera parallèle ?

Noter:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 et
4x + Ay - 12y + 7 = 0

= (2 ; 3 ; -6) et
= (4;A; –12) (2.2.1). Parce que
(2.5.1)

Répondre: A = 6.

19. Trouvez l'angle entre deux plans 2x + y + z + 7 = 0 et x - 2y + 3z = 0.

Noter:
2x + y + z + 7 = 0 et
x – 2y + 3z = 0

= (2 ; 1 ; 1) et
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Répondre:

20. Composez les équations canoniques d'une droite passant par un point

A (1 ; 2 ; -3) parallèle au vecteur =(1; –2; 1).

Noter: Voir la solution de l'exemple du paragraphe 3.1.

Répondre:

21. Composez les équations paramétriques d'une droite passant par un point

A (–2 ; 3 ; 1) parallèle au vecteur =(3; –1; 2).

Noter: Voir la solution de l'exemple du point 3.2.

Répondre:
.

22. Composer les équations canoniques et paramétriques d'une droite passant par les points A (1 ; 0 ; -2) et B (1 ; 2 ; -4).

Noter: Voir la solution de l'exemple 1 de la clause 3.3.

Répondre: mais)
b)

23. Composez les équations canoniques et paramétriques d'une droite définie comme l'intersection de deux plans x - 2y + 3z - 4 = 0 et 3x + 2y - 5z - 4 = 0.

Noter: Voir exemple 1 point 3.4. Soit z = 0, puis les coordonnées x et y du point
trouver à partir de la solution du système

D'où le point
, situé sur la ligne désirée, a pour coordonnées

(2 ; -1 ; 0). Pour trouver le vecteur directeur de la droite désirée à partir des équations générales des plans
x – 2y +3z – 4 = 0 et
3x + 2a - 5z - 4 = 0

trouver des vecteurs normaux =(1 ; -2 ; 3) et
=(3; 2; –5).

Les équations canoniques de la droite se trouvent à partir du point
(2 ; -1 ; 0) et vecteur de direction

(Voir formule (3.1.1)).

Les équations paramétriques de la droite peuvent être trouvées par la formule (3.2.1) ou à partir des équations canoniques :
Nous avons:

Répondre:
;
.

24. À travers le point
(2 ; -3 ; -4) tracer une ligne parallèle à une ligne

Noter:Équations canoniques de la ligne requise trouver par point
et vecteur de direction Parce que
alors pour le vecteur directeur droit vous pouvez prendre le vecteur de direction L droit Voir plus loin la solution du problème 23, paragraphe 5 ou l'exemple 1, paragraphe 3.4.

Répondre:

25. Les sommets des triangles A (–5 ; 7 ; 1), B (2 ; 4 ; –1) et C (–1 ; 3 ; 5) sont donnés. Trouvez l'équation de la médiane du triangle ABC tiré du sommet B.

Noter: On trouve les coordonnées du point M à partir de la condition AM = MC (BM est la médiane du triangle ABC).

À PARTIR DE on laisse les équations canoniques de la droite BM en deux points B (2 ; 4 ; –1) et
(Voir exemple 1 point 3.3).

Répondre:

26. Composer les équations canoniques et paramétriques d'une droite passant par un point
(–1 ; –2 ; 2) parallèle à l'axe x.

Noter: Vecteur
– le vecteur unitaire de l'axe des x est parallèle à la droite recherchée. Il peut donc être considéré comme le vecteur directeur de la droite
= (1 ; 0 ; 0). Composer les équations d'une droite par un point

(–1 ; –2 : 2) et le vecteur = (1 ; 0 ; 0) (voir exemple point 3.1 et exemple 1 point 3.2).

Répondre:
;

27. Composez les équations canoniques d'une droite passant par un point
(3 ; –2 ; 4) perpendiculaire au plan 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Noter: De l'équation générale du plan
5x + 3y – 7z + 1 = 0 trouver le vecteur normal = (5 ; 3 ; -7). Selon l'état, la ligne souhaitée
d'où le vecteur
celles. vecteur est le vecteur directeur de la droite L : = (5 ; 3 ; -7). On compose les équations canoniques d'une droite par un point
(3 ; –2 ; 4) et vecteur de direction

= (5 ; 3 ; -7). (Voir exemple point 3.1).

Répondre:

28. Composez les équations paramétriques de la perpendiculaire tombée de l'origine au plan 4x - y + 2z - 3 = 0.

Noter: Composons l'équation de la perpendiculaire désirée, c'est-à-dire droite perpendiculaire au plan
4x – y + 2z – 3 = 0 et passant par le point O (0 ; 0 ; 0). (Voir la solution du problème 27 point 5 et l'exemple 1 point 3.2).

Répondre:

29. Trouver le point d'intersection d'une ligne
et avion

x - 2y + z - 15 = 0.

Noter: Pour trouver le point M de l'intersection d'une droite

L :
et avion

x - 2y + z - 15 = 0, il faut résoudre le système d'équations :

;

Pour résoudre le système, on transforme les équations canoniques de la droite en équations paramétriques. (Voir problème 23 point 5).

Répondre:

30. Trouvez la projection du point M (4 ; -3 ; 1) sur le plan x + 2y - z - 3 = 0.

Noter: La projection du point M sur le plan sera point P - point p intersection de la perpendiculaire tombée du point M au plan
et avions Composons les équations paramétriques de la perpendiculaire MP (voir la solution du problème 28, paragraphe 5).

Trouvons le point P - le point d'intersection de la droite MP et du plan (Voir la solution du problème 29 point 5).

Répondre:

31. Trouver la projection du point A (1 ; 2 ; 1) sur une droite

Noter: Projection du point A sur la droite L :
est-ce points A l'intersection de la droite L et du plan
qui passe par le point A et est perpendiculaire à la droite L. A partir des équations canoniques de la droite L, on écrit le vecteur directeur =(3 ; -1 ; 2). Avion perpendiculaire à la ligne L, donc
Alors le vecteur peut être pris comme vecteur normal du plan
= (3 ; -1 ; 2). Composez l'équation du plan le point A(1 ; 2 ; 1) et = (3 ; –1 ; 2) (voir exemple 1 point 2.2) :
3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. Trouver le point B à l'intersection de la droite et du plan (voir problème 29, paragraphe 5) :

Répondre:

32. Tracez une ligne passant par le point M (3 ; -1 ; 0) parallèle à deux plans x - y + z - 3 = 0 et x + y + 2z - 3 = 0.

Noter: Avions
x – y + z – 3 = 0 et
x + y + 2z - 3 = 0 ne sont pas parallèles, car la condition (2.5.1) n'est pas satisfaite :
Avions
couper. La droite désirée L, parallèle aux plans
parallèle à la ligne d'intersection de ces plans. (Voir la solution des problèmes 24 et 23 point 5).

Répondre:

33. Écrivez une équation pour un plan passant par deux droites

Noter:1 voie. Composez l'équation du plan désiré par point
allongé sur une ligne droite , et le vecteur normal . Vecteur sera égal au produit vectoriel des vecteurs directeurs des lignes
, que l'on trouve à partir des équations canoniques des droites
(formule 3.1.1): = (7 ; 3 ; 5) et

= (5; 5; –3)

Coordonnées des points
trouver à partir des équations canoniques de la droite

On compose l'équation du plan par point
et le vecteur normal =(–34; 46; 20) (voir exemple 1 point 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2 voies. Trouver des vecteurs de direction = (7 ; 3 ; 5) et = (5 ; 5 ; –3) à partir des équations canoniques des droites
Indiquer
(0 ; 2 ; –1) nous trouvons à partir de l'équation

. Prendre un point arbitraire sur le plan

M (x; y; z). Vecteurs
sont coplanaires, donc
A partir de cette condition on obtient l'équation du plan :

Répondre: 17x - 23a - 10z +36 = 0.

34. Écrivez une équation pour un plan passant par un point
(2 ; 0 ; 1) et une droite

Noter: Assurons-nous d'abord que le point
sur cette ligne droite Ezhit :
Indiquer
et vecteur de direction on trouve à partir des équations canoniques de la droite
:
(1 ; -1 ; -1) et

= (1 ; 2 ; -1). Vecteur normal du plan désiré
On trouve les coordonnées du vecteur normal, connaissant les coordonnées =(1 ; 2 ; -1) et

= (1; 1; 2):

On compose l'équation du plan par le point
(2 ; 0 ; 1) et le vecteur normal = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Répondre: 5x - 3y - z - 9 = 0.

Pour obtenir l'équation générale du plan, on analyse le plan passant par un point donné.

Soit trois axes de coordonnées déjà connus de nous dans l'espace - Bœuf, Oy Et onces. Tenez la feuille de papier de manière à ce qu'elle reste à plat. Le plan sera la feuille elle-même et sa continuation dans toutes les directions.

Laisser être P plan arbitraire dans l'espace. Tout vecteur qui lui est perpendiculaire est appelé vecteur normal à cet avion. Naturellement, nous parlons d'un vecteur non nul.

Si un point du plan est connu P et un vecteur de la normale à celui-ci, alors par ces deux conditions le plan dans l'espace est complètement déterminé(passant par un point donné, il n'y a qu'un seul plan perpendiculaire à un vecteur donné). L'équation générale du plan ressemblera à :

Donc, il y a des conditions qui définissent l'équation du plan. Pour l'obtenir soi-même équation du plan, qui a la forme ci-dessus, nous prenons le plan P arbitraire indiquer M à coordonnées variables X, y, z. Ce point n'appartient au plan que si vecteur perpendiculaire au vecteur(Fig. 1). Pour cela, selon la condition de perpendicularité des vecteurs, il faut et il suffit que le produit scalaire de ces vecteurs soit égal à zéro, soit

Le vecteur est donné par condition. On trouve les coordonnées du vecteur par la formule :

Maintenant, en utilisant la formule du produit scalaire des vecteurs , on exprime le produit scalaire sous forme de coordonnées :

Depuis le point M(x ; y ; z) est choisi arbitrairement sur le plan, alors la dernière équation est satisfaite par les coordonnées de tout point situé sur le plan P. Pour le point N, ne se trouvant pas sur un plan donné, , c'est-à-dire l'égalité (1) est violée.

Exemple 1 Ecrire l'équation d'un plan passant par un point et perpendiculaire à un vecteur.

Solution. Nous utilisons la formule (1), regardez-la à nouveau :

Dans cette formule, les nombres UNE , B Et C coordonnées vectorielles et nombres X0 , y0 Et z0 - coordonnées des points.

Les calculs sont très simples : nous substituons ces nombres dans la formule et obtenons

Nous multiplions tout ce qui doit être multiplié et additionnons uniquement des nombres (qui sont sans lettres). Résultat:

L'équation requise du plan dans cet exemple s'est avérée être exprimée par l'équation générale du premier degré par rapport aux coordonnées variables x, y, z point arbitraire du plan.

Ainsi, une équation de la forme

appelé l'équation générale du plan .

Exemple 2 Construire dans un repère cartésien rectangulaire le plan donné par l'équation .

Solution. Pour construire un plan, il est nécessaire et suffisant de connaître trois de ses points qui ne se trouvent pas sur une droite, par exemple, les points d'intersection du plan avec les axes de coordonnées.

Comment trouver ces points ? Pour trouver le point d'intersection avec l'axe onces, vous devez substituer des zéros au lieu de x et y dans l'équation donnée dans l'énoncé du problème : X = y= 0 . Par conséquent, nous obtenons z= 6 . Ainsi, le plan donné coupe l'axe oncesà ce point UNE(0; 0; 6) .

De la même façon, on trouve le point d'intersection du plan avec l'axe Oy. À X = z= 0 on obtient y= −3 , soit un point B(0; −3; 0) .

Et enfin, nous trouvons le point d'intersection de notre plan avec l'axe Bœuf. À y = z= 0 on obtient X= 2 , soit un point C(2 ; 0 ; 0) . D'après les trois points obtenus dans notre solution UNE(0; 0; 6) , B(0 ; -3 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0) nous construisons le plan donné.

Considérez maintenant cas particuliers de l'équation générale du plan. Ce sont des cas où certains coefficients de l'équation (2) s'annulent.

1. Quand D= 0 équation définit un plan passant par l'origine, puisque les coordonnées d'un point 0 (0 ; 0 ; 0) satisfont cette équation.

2. Quand A= 0 équation définit un plan parallèle à l'axe Bœuf, puisque le vecteur normal de ce plan est perpendiculaire à l'axe Bœuf(sa projection sur l'axe Bœuf est égal à zéro). De même, lorsque B= 0 avion axe parallèle Oy, et quand C= 0 avion parallèle à l'axe onces.

3. Quand A=D= L'équation 0 définit un plan passant par l'axe Bœuf car il est parallèle à l'axe Bœuf (A=D= 0). De même, le plan passe par l'axe Oy, et le plan passant par l'axe onces.

4. Quand A=B= L'équation 0 définit un plan parallèle au plan de coordonnées xOy car il est parallèle aux axes Bœuf (UNE= 0) et Oy (B= 0). De même, le plan est parallèle au plan yOz, et l'avion - l'avion xOz.

5. Quand A=B=D= 0 équation (ou z= 0) définit le plan de coordonnées xOy, puisqu'il est parallèle au plan xOy (A=B= 0) et passe par l'origine ( D= 0). De même, l'équation y= 0 dans l'espace définit le plan de coordonnées xOz, et l'équation x= 0 - plan de coordonnées yOz.

Exemple 3 Composez l'équation du plan P passant par l'axe Oy et pointe.

Solution. Donc le plan passe par l'axe Oy. Donc dans son équation y= 0 et cette équation a la forme . Pour déterminer les coefficients UNE Et C on utilise le fait que le point appartient au plan P .

Par conséquent, parmi ses coordonnées, il y a celles qui peuvent être substituées dans l'équation du plan, que nous avons déjà dérivée (). Reprenons les coordonnées du point :

M0 (2; −4; 3) .

Parmi eux X = 2 , z= 3 . Nous les substituons dans l'équation générale et obtenons l'équation pour notre cas particulier :

2UNE + 3C = 0 .

Nous partons 2 UNE sur le côté gauche de l'équation, nous transférons 3 C sur le côté droit et obtenez

UNE = −1,5C .

Remplacer la valeur trouvée UNE dans l'équation, on obtient

ou .

Il s'agit de l'équation requise dans l'exemple de condition.

Résolvez vous-même le problème sur les équations du plan, puis examinez la solution

Exemple 4 Déterminez le plan (ou les plans s'il y en a plusieurs) par rapport aux axes de coordonnées ou aux plans de coordonnées si le ou les plans sont donnés par l'équation .

Solutions aux problèmes typiques qui se produisent dans les tests - dans le manuel "Problèmes sur un plan : parallélisme, perpendicularité, intersection de trois plans en un point" .

Équation d'un plan passant par trois points

Comme déjà mentionné, une condition nécessaire et suffisante pour construire un plan, en plus d'un point et du vecteur normal, sont également trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite.

Soit trois points différents , et , ne se trouvant pas sur la même ligne droite. Puisque ces trois points ne se trouvent pas sur une droite, les vecteurs et ne sont pas colinéaires, et donc tout point du plan se trouve dans le même plan avec les points , et si et seulement si les vecteurs , et coplanaire, c'est-à-dire si et seulement si le produit mixte de ces vecteurs est égal à zéro.

En utilisant l'expression du produit mixte en coordonnées, on obtient l'équation du plan

(3)

Après expansion du déterminant, cette équation devient une équation de la forme (2), c'est-à-dire l'équation générale du plan.

Exemple 5Écrivez une équation pour un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur une droite :

et de déterminer un cas particulier de l'équation générale de la droite, s'il y en a un.

Solution. D'après la formule (3) on a :

Équation normale du plan. Distance du point au plan

L'équation normale d'un plan est son équation, écrite sous la forme

Il peut être spécifié de différentes manières (un point et un vecteur, deux points et un vecteur, trois points, etc.). C'est dans cet esprit que l'équation du plan peut prendre différentes formes. De plus, sous certaines conditions, les plans peuvent être parallèles, perpendiculaires, sécants, etc. Nous en parlerons dans cet article. Nous apprendrons à écrire l'équation générale du plan et pas seulement.

Forme normale de l'équation

Disons qu'il existe un espace R 3 qui a un système de coordonnées rectangulaire XYZ. Définissons le vecteur α, qui sera libéré du point initial O. Par l'extrémité du vecteur α, nous dessinons le plan P, qui lui sera perpendiculaire.

Notons P un point arbitraire Q=(x, y, z). On signera le rayon vecteur du point Q avec la lettre p. La longueur du vecteur α est p=IαI et Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

C'est un vecteur unitaire qui pointe latéralement, tout comme le vecteur α. α, β et γ sont les angles qui se forment entre le vecteur Ʋ et les directions positives des axes spatiaux x, y, z, respectivement. La projection d'un point QϵП sur le vecteur Ʋ est une valeur constante égale à р : (р,Ʋ) = р(р≥0).

Cette équation a un sens lorsque p=0. La seule chose est que le plan P dans ce cas coupera le point O (α=0), qui est l'origine, et le vecteur unitaire Ʋ, libéré du point O, sera perpendiculaire à P, quelle que soit sa direction, ce qui signifie que le vecteur Ʋ est déterminé à partir du signe précis. L'équation précédente est l'équation de notre plan P, exprimée sous forme vectorielle. Mais en coordonnées, cela ressemblera à ceci:

P est ici supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation d'un plan dans l'espace sous sa forme normale.

Équation générale

Si nous multiplions l'équation en coordonnées par n'importe quel nombre qui n'est pas égal à zéro, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée, qui détermine ce même plan. Il ressemblera à ceci:

Ici A, B, C sont des nombres simultanément différents de zéro. Cette équation est appelée équation générale du plan.

Équations planes. Cas spéciaux

L'équation sous forme générale peut être modifiée en présence de conditions supplémentaires. Considérons certains d'entre eux.

Supposons que le coefficient A soit 0. Cela signifie que le plan donné est parallèle à l'axe donné Ox. Dans ce cas, la forme de l'équation changera : Ву+Cz+D=0.

De même, la forme de l'équation changera dans les conditions suivantes :

Premièrement, si B = 0, alors l'équation changera en Ax + Cz + D = 0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oy.
Deuxièmement, si С=0, alors l'équation est transformée en Ах+Ву+D=0, ce qui indiquera le parallélisme à l'axe donné Oz.
Troisièmement, si D = 0, l'équation ressemblera à Ax + By + Cz = 0, ce qui signifierait que le plan coupe O (l'origine).
Quatrièmement, si A=B=0, alors l'équation changera en Cz+D=0, qui s'avérera parallèle à Oxy.
Cinquièmement, si B=C=0, alors l'équation devient Ax+D=0, ce qui signifie que le plan à Oyz est parallèle.
Sixièmement, si A=C=0, alors l'équation prendra la forme Ву+D=0, c'est-à-dire qu'elle rapportera le parallélisme à Oxz.

Type d'équation dans les segments

Dans le cas où les nombres A, B, C, D sont non nuls, la forme de l'équation (0) peut être la suivante :

x/a + y/b + z/c = 1,

dans lequel a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Nous obtenons comme résultat Il convient de noter que ce plan coupera l'axe Ox en un point de coordonnées (a,0,0), Oy - (0,b,0) et Oz - (0,0,c) .

En tenant compte de l'équation x/a + y/b + z/c = 1, il est facile de représenter visuellement le placement du plan par rapport au système de coordonnées donné.

Coordonnées vectorielles normales

Le vecteur normal n au plan P a pour coordonnées les coefficients de l'équation générale du plan donné, c'est-à-dire n (A, B, C).

Pour déterminer les coordonnées de la normale n, il suffit de connaître l'équation générale d'un plan donné.

Lors de l'utilisation de l'équation en segments, qui a la forme x/a + y/b + z/c = 1, ainsi que lors de l'utilisation de l'équation générale, on peut écrire les coordonnées de n'importe quel vecteur normal d'un plan donné : (1 /a + 1/b + 1/ de).

Il convient de noter que le vecteur normal aide à résoudre divers problèmes. Les plus courantes sont les tâches consistant à prouver la perpendicularité ou le parallélisme des plans, les problèmes de recherche d'angles entre plans ou d'angles entre plans et droites.

Vue de l'équation du plan en fonction des coordonnées du point et du vecteur normal

Un vecteur n non nul perpendiculaire à un plan donné est dit normal (normal) pour un plan donné.

Supposons que dans l'espace de coordonnées (système de coordonnées rectangulaires) Oxyz soit donné :

point Mₒ de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ);
vecteur nul n=A*i+B*j+C*k.

Il faut composer une équation pour un plan qui passera par le point Mₒ perpendiculaire à la normale n.

Dans l'espace, on choisit n'importe quel point arbitraire et on le note M (x y, z). Soit le rayon vecteur de tout point M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, et le rayon vecteur du point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Le point M appartiendra au plan donné si le vecteur MₒM est perpendiculaire au vecteur n. Nous écrivons la condition d'orthogonalité à l'aide du produit scalaire :

[MₒM, n] = 0.

Depuis MₒM \u003d r-rₒ, l'équation vectorielle du plan ressemblera à ceci:

Cette équation peut prendre une autre forme. Pour ce faire, les propriétés du produit scalaire sont utilisées et le côté gauche de l'équation est transformé. = - . S'il est noté c, alors l'équation suivante sera obtenue: - c \u003d 0 ou \u003d c, qui exprime la constance des projections sur le vecteur normal des rayons vecteurs des points donnés appartenant au plan.

Vous pouvez maintenant obtenir la forme coordonnée de l'écriture de l'équation vectorielle de notre plan = 0. Puisque r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, et n = A*i+B *j+C*k, on a :

Il s'avère que nous avons une équation pour un plan passant par un point perpendiculaire à la normale n :

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vue de l'équation du plan selon les coordonnées de deux points et un vecteur colinéaire au plan

On définit deux points arbitraires M′ (x′,y′,z′) et M″ (x″,y″,z″), ainsi que le vecteur a (a′,a″,a‴).

Nous pouvons maintenant composer une équation pour un plan donné, qui passera par les points disponibles M′ et M″, ainsi que tout point M de coordonnées (x, y, z) parallèles au vecteur a donné.

Dans ce cas, les vecteurs M′M=(x-x′;y-y′;zz′) et M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) doivent être coplanaires au vecteur a=(a',a",a", ce qui signifie que (M'M, M"M, a)=0.

Ainsi, notre équation d'un plan dans l'espace ressemblera à ceci :

Type d'équation d'un plan coupant trois points

Supposons que nous ayons trois points : (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), qui n'appartiennent pas à la même droite. Il faut écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés. La théorie de la géométrie prétend que ce type de plan existe réellement, seulement qu'il est le seul et inimitable. Puisque ce plan coupe le point (x′, y′, z′), la forme de son équation sera la suivante :

Ici A, B, C sont différents de zéro en même temps. De plus, le plan donné coupe deux autres points : (x″,y″,z″) et (x‴,y‴,z‴). A cet égard, les conditions suivantes doivent être respectées :

On peut maintenant composer un système homogène à inconnues u, v, w :

Dans notre cas, x, y ou z est un point arbitraire qui satisfait l'équation (1). Étant donné l'équation (1) et le système d'équations (2) et (3), le système d'équations indiqué dans la figure ci-dessus satisfait le vecteur N (A, B, C), qui est non trivial. C'est pourquoi le déterminant de ce système est égal à zéro.

L'équation (1), que nous avons obtenue, est l'équation du plan. Il passe exactement par 3 points, ce qui est facile à vérifier. Pour ce faire, nous devons étendre notre déterminant sur les éléments de la première ligne. Il résulte des propriétés existantes du déterminant que notre plan coupe simultanément trois points initialement donnés (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Autrement dit, nous avons résolu la tâche qui nous était confiée.

Angle dièdre entre plans

Un angle dièdre est une figure géométrique spatiale formée de deux demi-plans qui émanent d'une ligne droite. Autrement dit, c'est la partie de l'espace qui est limitée par ces demi-plans.

Disons que nous avons deux plans avec les équations suivantes :

On sait que les vecteurs N=(A,B,C) et N¹=(A¹,B¹,C¹) sont perpendiculaires selon les plans donnés. A cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ est égal à l'angle (dièdre) qui est entre ces plans. Le produit scalaire a la forme :

NN¹=|N||N¹|cosφ,

précisément parce que

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Il suffit de prendre en compte que 0≤φ≤π.

En fait, deux plans qui se coupent forment deux angles (dièdres) : φ 1 et φ 2 . Leur somme est égale à π (φ 1 + φ 2 = π). Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égales, mais elles diffèrent par des signes, c'est-à-dire cos φ 1 =-cos φ 2. Si dans l'équation (0) nous remplaçons A, B et C par les nombres -A, -B et -C, respectivement, alors l'équation que nous obtenons déterminera le même plan, le seul angle φ dans l'équation cos φ= NN 1 /|N||N 1 | sera remplacé par π-φ.

Équation du plan perpendiculaire

Les plans sont dits perpendiculaires si l'angle entre eux est de 90 degrés. En utilisant le matériel décrit ci-dessus, nous pouvons trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à un autre. Disons que nous avons deux plans : Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D=0. On peut affirmer qu'ils seront perpendiculaires si cosφ=0. Cela signifie que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Équation du plan parallèle

Parallèles sont deux plans qui ne contiennent pas de points communs.

La condition (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N¹, qui leur sont perpendiculaires, soient colinéaires. Cela signifie que les conditions de proportionnalité suivantes sont satisfaites :

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si les conditions de proportionnalité sont étendues - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

cela indique que ces plans coïncident. Cela signifie que les équations Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 décrivent un plan.

Distance au plan du point

Disons que nous avons un plan P, qui est donné par l'équation (0). Il est nécessaire de trouver la distance à partir du point de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pour ce faire, vous devez mettre l'équation du plan P sous forme normale :

(ρ,v)=p (p≥0).

Dans ce cas, ρ(x,y,z) est le rayon vecteur de notre point Q, situé sur P, p est la longueur de la perpendiculaire P, qui a été libérée du point zéro, v est le vecteur unitaire, qui est situé dans la direction a.

La différence ρ-ρº du vecteur rayon d'un point Q \u003d (x, y, z) appartenant à P, ainsi que le vecteur rayon d'un point donné Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) est tel vecteur dont la valeur absolue de la projection sur v est égale à la distance d, qui doit être trouvée de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) à P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mais

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Il s'avère donc

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Ainsi, nous trouverons la valeur absolue de l'expression résultante, c'est-à-dire le d souhaité.

En utilisant le langage des paramètres, nous obtenons l'évidence :

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Si le point donné Q 0 est de l'autre côté du plan P, ainsi que l'origine, alors entre le vecteur ρ-ρ 0 et v est donc :

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Dans le cas où le point Q 0, avec l'origine, est situé du même côté de P, alors l'angle créé est aigu, c'est-à-dire :

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Il en résulte que dans le premier cas (ρ 0 ,v)> р, dans le second (ρ 0 ,v)<р.

Plan tangent et son équation

Le plan tangent à la surface au point tangent Mº est le plan contenant toutes les tangentes possibles aux courbes tracées par ce point sur la surface.

Avec cette forme de l'équation de surface F (x, y, z) = 0, l'équation du plan tangent au point tangent Mº (xº, yº, zº) ressemblera à ceci :

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Si vous spécifiez la surface sous la forme explicite z=f (x, y), alors le plan tangent sera décrit par l'équation :

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersection de deux plans

Dans le système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz est situé, deux plans П′ et П″ sont donnés, qui se croisent et ne coïncident pas. Comme tout plan situé dans un repère rectangulaire est déterminé par une équation générale, on supposera que P′ et P″ sont donnés par les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dans ce cas, on a la normale n′ (A′, B′, C′) du plan P′ et la normale n″ (A″, B″, C″) du plan P″. Puisque nos plans ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En utilisant le langage des mathématiques, on peut écrire cette condition comme suit : n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Soit la ligne qui se trouve à l'intersection de P′ et P″ soit désignée par la lettre a, dans ce cas a = P′ ∩ P″.

a est une ligne droite constituée de l'ensemble de tous les points des plans (communs) П′ et П″. Cela signifie que les coordonnées de tout point appartenant à la droite a doivent satisfaire simultanément les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x+B″y+C″z+D″= 0. Cela signifie que les coordonnées du point seront une solution particulière du système d'équations suivant :

En conséquence, il s'avère que la solution (générale) de ce système d'équations déterminera les coordonnées de chacun des points de la droite, qui servira de point d'intersection de П′ et П″, et déterminera la droite ligne a dans le système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) dans l'espace.

Soit les points M 1 , M 2 , M 3 ne se trouvent pas sur une droite. Comme on le sait, trois de ces points déterminent de manière unique un certain plan p (Fig. 199).

On déduit l'équation du plan R. Soit M un point quelconque de l'espace. Évidemment, le point M appartient au plan R si et seulement si les vecteurs

$\overrightarrow(M_(1)M)$, $\overrightarrow(M_(1)M_2)$, $\overrightarrow(M_(1)M_3)$ sont coplanaires. Une condition nécessaire et suffisante de la complanarité de trois vecteurs est l'annulation de leur produit mixte (§ 23*, Théorème 2). Par conséquent, l'équation d'un plan passant par trois points qui ne sont pas situés sur une droite peut s'écrire comme suit :

($\overrightarrow(M_(1)M)$, $\overrightarrow(M_(1)M_2)$, $\overrightarrow(M_(1)M_3)$) = 0. (1)

Si les points M 1 , M 2 et M 3 sont donnés par des coordonnées dans un certain système de coordonnées cartésiennes rectangulaires, alors l'équation (1) peut être écrite en coordonnées.

Soit M 1 ( X 1 ; y 1 ; z 1), M2 ( X 2 ; à 2 ; z 2), M 3 ( X 3 ; à 3 ; z 3) - points donnés. Notons les coordonnées d'un point quelconque M du plan p passant par x, y Et z. Trouvez les coordonnées des vecteurs inclus dans l'équation (1):

$\overrightarrow(M_(1)M)$ = ( x-x 1 ; tu - tu 1 ; z-z 1),

$\overrightarrow(M_(1)M_2)$ = ( X 2 -X 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1),

$\overrightarrow(M_(1)M_3)$ = ( X 3 -X 1 ; à 3 -y 1 ; z 3 -z 1).

Le produit mixte de trois vecteurs est égal au déterminant du troisième ordre, dans les lignes duquel se trouvent les coordonnées des vecteurs. Par conséquent, l'équation (1) en coordonnées a la forme

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0 \;\; (2)$$

Trouvons l'équation du plan passant par trois points A ( mais; 0 ; 0), B(0 ; b; 0), C(0; 0; à partir de), lequel mais =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Ces points se trouvent sur les axes de coordonnées (Fig. 200).

En supposant dans l'équation (2) X 1 = mais, à 1 = 0, z 1 = 0, X 2 = 0, à 2 = b, z 2 = 0, X 3 = 0, à 3 = 0, z 3 = à partir de, on a

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

En développant le déterminant sur les éléments de la première ligne, on obtient l'équation

avant JC(x - un) + ace + abz = 0

bcx + acu + abz = abc,

X / une + y / b + z / c = 1. (3)

L'équation (3) est appelée équation du plan en segments, puisque les chiffres un B Et à partir de indiquent quels segments le plan coupe sur les axes de coordonnées.

Une tâche. Ecrire l'équation du plan passant par les points M 1 (-1 ; 4 ; -1), M 2 (-13 ; 2 ; -10), M 3 (6 ; 0 ; 12). Simplifiez l'équation obtenue. Obtenir l'équation du plan donné en segments.

L'équation (2) dans ce cas s'écrit comme suit :

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

C'est l'équation de ce plan. En développant le déterminant sur la première ligne, on obtient

62(X+ 1) +93(v- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2X + 3y + 2z - 12 = 0.

En divisant terme à terme par 12 et en transférant le terme libre de l'équation au côté droit, on obtient l'équation de ce plan dans les segments

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

On peut voir à partir de l'équation que ce plan coupe des segments sur les axes de coordonnées, dont les longueurs sont respectivement égales à 6, 4 et 6. Axe Oh coupe le plan en un point d'abscisse négative, l'axe UO- en un point d'ordonnée positive, axe onces- à un point avec une candidature positive.