Как се умножават отрицателните и положителните числа правило. Видео урок „Умножение и деление на положителни и отрицателни числа

В тази статия ще разгледаме разделянето на положителните числа на отрицателните числа и обратно. Ще дадем подробен анализ на правилото за разделяне на числата с различни знаци, а също така ще дадем примери.

Правилото за разделяне на числата с различни знаци

Правилото за цели числа с различни знаци, получено в статията за разделяне на цели числа, важи и за рационални и реални числа. Ето по-обща формулировка на това правило.

Правилото за разделяне на числата с различни знаци

При разделяне на положително число на отрицателно и обратно, модулът на дивидента трябва да бъде разделен на модула на делителя, а резултатът трябва да бъде записан със знак минус.

В буквален вид изглежда така:

a ÷ - b = - a ÷ b

A ÷ b = - a ÷ b.

Разделянето на числа с различни знаци винаги ще доведе до отрицателно число. Разглежданото правило всъщност свежда разделянето на числата с различни знаци до разделянето на положителни числа, тъй като модулите на дивидента и делителя са положителни.

Друга еквивалентна математическа формулировка на това правило е:

a ÷ b = a b - 1

За да разделите числата a и b, които имат различни знаци, трябва да умножите числото a по реципрочното на числото b, т.е. b - 1. Тази формулировка е приложима за множеството рационални и реални числа, позволява ви да преминете от деление към умножение.

Нека сега разгледаме как да приложим описаната по-горе теория на практика.

Как да разделя числата с различни знаци? Примери за

По-долу ще разгледаме няколко типични примера.

Пример 1. Как да разделя числата с различни знаци?

Разделяне - 35 на 7.

Първо, нека напишем модулите на дивидента и делителя:

35 = 35 , 7 = 7 .

Сега нека разделим модулите:

35 7 = 35 7 = 5 .

Нека добавим знак минус пред резултата и да получим отговора:

Сега нека използваме различна формулировка на правилото и изчислим обратната на 7.

Сега нека направим умножението:

35 · 1 7 = - - 35 · 1 7 = - 35 7 = - 5.

Пример 2. Как да разделя числата с различни знаци?

Ако разделим дробните числа с рационални знаци, дивидентът и делителят трябва да бъдат представени като обикновени дроби.

Пример 3. Как да разделя числата с различни знаци?

Разделете смесеното число - 3 3 22 на десетичната дроб 0, (23).

Модулите на дивидента и делителя са съответно 3 3 22 и 0, (23). Преобразувайки 3 3 22 в обикновена дроб, получаваме:

3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22.

Делителят може да бъде представен и като обикновена дроб:

0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

Сега разделяме обикновените дроби, извършваме намаления и получаваме резултата:

69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 99 23 = - 3 2 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2.

В заключение да разгледаме случая, когато дивидентът и делителят са ирационални числа и са записани като корени, логаритми, степени и т.н.

В такава ситуация коефициентът се записва под формата на числов израз, който е максимално опростен. При необходимост приблизителната му стойност се изчислява с необходимата точност.

Пример 4. Как да разделя числата с различни знаци?

Разделете числата 5 7 и - 2 3.

Съгласно правилото за разделяне на числата с различни знаци, пишем равенството:

5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 2 3.

Нека да се отървем от ирационалността в знаменателя и да получим окончателния отговор:

5 7 2 3 = - 5 4 3 14.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Тази статия предоставя подробен преглед на разделяне на числа с различни знаци... Първо, има правило за разделяне на числата с различни знаци. По-долу са дадени примери за разделяне на положителни числа на отрицателни и отрицателни числа на положителни.

Навигация по страници.

Правилото за разделяне на числата с различни знаци

В статията за разделяне на цели числа е получено правило за разделяне на цели числа с различни знаци. Той може да бъде разширен както до рационални числа, така и до реални числа, като се повтарят всички разсъждения от посочената статия.

Така, правило за разделяне на числа с различни знациима следната формулировка: за да разделим положително число на отрицателно или отрицателно число с положително, дивидентът трябва да бъде разделен на модула на делителя и знакът минус трябва да бъде поставен пред полученото число.

Нека напишем това правило за разделяне, използвайки букви. Ако числата a и b имат различни знаци, тогава е валидна следната формула a: b = - | a |: | b | .

От посоченото правило става ясно, че резултатът от разделянето на числата с различни знаци е отрицателно число. Всъщност, тъй като модулът на дивидента и модулът на делителя са по-положителни от числото, тогава коефициентът им е положително число, а знакът минус прави това число отрицателно.

Обърнете внимание, че разглежданото правило намалява разделянето на числа с различни знаци до разделяне на положителни числа.

Можете да дадете друга формулировка на правилото за разделяне на числа с различни знаци: за да разделите числото a на числото b, трябва да умножите числото a по числото b −1, реципрочното на числото b. Т.е., a: b = a b -1 .

Това правило може да се използва, когато е възможно да се излезе извън обхвата на целите числа (тъй като не всяко цяло число има обратна стойност). С други думи, той е приложим за множеството рационални числа, както и за множеството реални числа.

Ясно е, че това правило за разделяне на числа с различни знаци ви позволява да преминете от деление към умножение.

Същото правило се прилага при разделяне на отрицателни числа.

Остава да се разгледа как се прилага това правило за разделяне на числата с различни знаци при решаване на примери.

Примери за разделяне на числа с различни знаци

Помислете за решения на няколко типични примери за разделяне на числа с различни знациза да научите принципа на прилагане на правилата от предходния параграф.

Пример.

Разделете отрицателното число -35 на положителното число 7.

Решение.

Правилото за разделяне на числата с различни знаци предписва първо намиране на модулите на дивидента и делителя. Модулът на -35 е 35, а модулът на 7 е 7. Сега трябва да разделим модула на дивидента на модула на делителя, тоест трябва да разделим 35 на 7. Спомняйки си как се извършва разделянето на естествените числа, получаваме 35: 7 = 5. Остава последната стъпка от правилото за разделяне на числата с различни знаци - поставете минус пред полученото число, имаме −5.

Ето цялото решение :.

Възможно беше да се изхожда от различна формулировка на правилото за разделяне на числата с различни знаци. В този случай първо намираме реципрочното на делителя 7. Това число е общата фракция 1/7. По този начин, . Остава да се извърши умножението на числата с различни знаци :. Очевидно стигнахме до същия резултат.

Отговор:

(−35):7=−5 .

Пример.

Изчислете коефициента 8: (- 60).

Решение.

По правилото за разделяне на числата с различни знаци имаме 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) ... Полученият израз съответства на отрицателна обикновена дроб (вижте знака за разделяне като линия на фракцията), можете да намалите фракцията с 4, получаваме .

Нека запишем накратко цялото решение :.

Отговор:

.

При разделяне на дробни рационални числа с различни знаци, дивидентът и делителят им обикновено се представят като обикновени дроби. Това се дължи на факта, че не винаги е удобно да се извършва разделяне с числа в друга нотация (например в десетична).

Пример.

Решение.

Модулът на дивидента е равен, а модулът на делителя е 0, (23). За да разделим модула на делимото на модула на делителя, се обръщаме към обикновени дроби.

Нека преведем смесеното число в обикновена дроб: , както и

Тази статия се фокусира върху деление на отрицателни числа... Първо се дава правило за разделяне на отрицателно число на отрицателно, дава се обосновката му и след това се дават примери за разделяне на отрицателни числа с подробно описание на решенията.

Навигация по страници.

Правилото за разделяне на отрицателни числа

Преди да дадем правилото за разделяне на отрицателни числа, нека си припомним смисъла на действието на деленето. Разделянето по същество представлява намиране на неизвестен фактор от известен продукт и известен друг фактор. Тоест, числото c е коефициентът на разделяне на a на b, когато c b = a, и обратно, ако c b = a, тогава a: b = c.

Правилото за разделяне на отрицателни числаследното: коефициентът на разделяне на едно отрицателно число на друго е равен на коефициента на разделяне на числителя на модула на знаменателя.

Нека запишем озвученото правило, като използваме букви. Ако a и b са отрицателни числа, тогава равенството a: b = | a |: | b | .

Равенството a: b = a b −1 е лесно да се докаже, започвайки от свойства на умножение на реални числаи дефиниции на взаимно взаимни числа. Всъщност на тази основа можем да запишем верига от равенства на формата (a b −1) b = a (b −1 b) = a 1 = a, което по силата на значението на разделението, споменато в началото на статията, доказва, че a · b −1 е коефициентът на разделението на a на b.

И това правило ви позволява да преминете от делене на отрицателни числа към умножение.

Остава да се обмисли прилагането на разглежданите правила за разделяне на отрицателни числа при решаване на примери.

Примери за разделяне на отрицателни числа

Нека анализираме примери за разделяне на отрицателни числа... Нека започнем с прости случаи, при които ще разработим приложението на правилото за разделяне.

Пример.

Разделете отрицателното число -18 на отрицателното число -3, след което изчислете коефициента (-5): (- 2).

Решение.

Съгласно правилото за разделяне на отрицателните числа, коефициентът на деление -18 на -3 е равен на коефициента на разделяне на абсолютните стойности на тези числа. Тъй като | −18 | = 18 и | −3 | = 3, тогава (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , остава само да се извърши разделянето на естествените числа, имаме 18: 3 = 6.

По същия начин решаваме втората част на задачата. Тъй като | −5 | = 5 и | −2 | = 2, тогава (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 ... Този коефициент съответства на обикновената дроб 5/2, която може да бъде записана като смесено число.

Същите резултати се получават, ако използвате различно правило за разделяне на отрицателни числа. Всъщност числото −3 е обратно числото, тогава , сега извършваме умножение на отрицателни числа: ... По същия начин,.

Отговор:

(−18): (- 3) = 6 и .

При разделяне на дробни рационални числа е най-удобно да се работи с обикновени дроби. Но ако е удобно, можете да разделите последните десетични дроби.

Пример.

Разделете −0,004 на −0,25.

Решение.

Модулите на дивидента и делителя са съответно 0,004 и 0,25, тогава според правилото за разделяне на отрицателните числа имаме (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• или да извършите разделяне на десетични дроби с колона,
• или преминете от десетични дроби към общи дроби и след това разделете съответните общи дроби.

Нека да разгледаме и двата подхода.

За да разделите 0,004 на 0,25 в колона, първо преместете запетая 2 цифри надясно, като по този начин стигаме до разделяне на 0,4 на 25. Сега правим дълго разделяне:

Така 0,004: 0,25 = 0,016.

Сега нека покажем как би изглеждало решението, ако решим да преобразуваме десетичните дроби в обикновени. Като и тогава и изпълнете

В тази статия ще дадем определение за разделяне на отрицателно число на отрицателно, ще формулираме и обосновем правило, ще дадем примери за разделяне на отрицателни числа и ще анализираме хода на тяхното решение.

Деление на отрицателни числа. Правилото

Нека си припомним същността на операцията по дивизията. Това действие е да се намери непознат множител от известен продукт и известен друг множител. Числото c се нарича фактор на делението на числата a и b, ако произведението c · b = a е вярно. Освен това, a ÷ b = c.

Правилото за разделяне на отрицателни числа

Съотношението на разделяне на едно отрицателно число на друго отрицателно число е равно на коефициента на разделяне на абсолютните стойности на тези числа.

Нека a и b са отрицателни числа. Тогава

a ÷ b = a ÷ b.

Това правило намалява разделянето на две отрицателни числа до разделяне на положителни числа. Това е вярно не само за цели числа, но и за рационални и реални числа. Резултатът от разделянето на отрицателно число на отрицателно число винаги е положително число.

Ето още една формулировка на това правило, подходяща за рационални и реални числа. Дава се с помощта на реципрочни числа и се казва: за да разделите отрицателно число a на неопределено число, умножете по числото b - 1, реципрочното на b.

a ÷ b = a b - 1.

Същото правило, което намалява делението до умножение, може да се използва и за разделяне на числа с различни знаци.

Равенството a ÷ b = a b - 1 може да бъде доказано, като се използва свойството умножение на реални числа и дефиницията на взаимно обратни числа. Нека напишем равенствата:

a b - 1 b = a b - 1 b = a 1 = a.

По силата на дефиницията на операцията за разделяне, това равенство доказва, че има коефициент от разделянето на число на число b.
Нека да преминем към разглеждане на примери.

Нека започнем с прости случаи, преминавайки към по-сложни.

Пример 1. Как да разделим отрицателни числа

Разделяне - 18 на - 3.
Модулите на делителя и дивидента са съответно 3 и 18. Нека запишем:

18 ч - 3 = - 18 ч - 3 = 18 ч 3 = 6.

Пример 2. Как се разделят отрицателни числа

Разделете - 5 на - 2.
По същия начин пишем съгласно правилото:

5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2.

Същият резултат ще се получи, ако използваме втората формулировка на правилото с реципрочно.

5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2.

Разделянето на рационални дробни числа е най-удобно да ги представим под формата на обикновени дроби. Окончателните десетични дроби обаче също могат да бъдат разделени.

Пример 3. Как се разделят отрицателни числа

Разделете - 0, 004 на - 0, 25.

Първо записваме модулите на тези числа: 0, 004 и 0, 25.

Сега можете да изберете един от двата начина:

1. Разделете десетичните дроби в колона.
2. Отидете на дроби и разделете.

Нека разгледаме и двата метода.

1. Извършвайки разделяне на колони от десетични дроби, преместете запетая с две цифри надясно.

Отговор: - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016

2. Сега даваме решението с преобразуването на десетични дроби в обикновени.

0,004 = 4 1000; 0,25 = 25 100 0,004 ÷ 0,25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0,016

Резултатите са същите.

В заключение отбелязваме, че ако дивидентът и делителят са ирационални числа и са посочени по отношение на корени, градуси, логаритми и т.н., резултатът от делението се записва като числов израз, чиято приблизителна стойност се изчислява, ако необходимо.

Пример 4. Как се разделят отрицателни числа

Нека изчислим коефициента на разделяне на числата - 0, 5 и - 5.

0,5 ÷ - 5 = - 0,5 ÷ - 5 = 0,5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Цел 1.Точката се движи по права линия отляво надясно със скорост 4 dm. в секунда и в момента преминава през точка А. Къде ще бъде движещата се точка след 5 секунди?

Лесно е да се разбере, че точката ще бъде на 20 инча. вдясно от А. Нека запишем решението на този проблем в относителни числа. За целта ще се съгласим по следните указания:

1) скоростта вдясно ще бъде обозначена със знак +, а вляво със знак -, 2) разстоянието на движеща се точка от А вдясно ще бъде означено със знак + и вляво с - знак, 3) интервалът от време след настоящия момент със знак + и до настоящия момент със знак -. В нашия проблем са дадени следните числа: скорост = + 4 dm. в секунда, време = + 5 секунди и се оказа, както разбраха аритметично, числото + 20 dm., изразяващо разстоянието на движещата се точка от А за 5 секунди. Според значението на проблема виждаме, че той се отнася до умножение. Следователно е удобно да се напише решението на проблема:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Цел 2.Точката се движи по права линия отляво надясно със скорост 4 dm. в секунда и в момента преминава през точка А. Къде беше тази точка преди 5 секунди?

Отговорът е ясен: точката беше вляво от A на разстояние 20 dm.

Решението е удобно, в съответствие с условията по отношение на знаците и, имайки предвид, че значението на проблема не се е променило, може да се напише, както следва:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Цел 3.Точката се движи по права линия отдясно наляво със скорост 4 dm. в секунда и в момента преминава през точка А. Къде ще бъде движещата се точка след 5 секунди?

Отговорът е ясен: с 20 dm. вляво от А. Следователно, при същите условия по отношение на знаците, можем да напишем решението на този проблем, както следва:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Задача 4.Точката се движи по права линия отдясно наляво със скорост 4 dm. в секунда и в момента преминава през точка А. Къде беше движещата се точка преди 5 секунди?

Отговорът е ясен: на разстояние 20 инча. вдясно от А. Следователно решението на този проблем трябва да бъде написано по следния начин:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Разгледаните проблеми показват как да разширим действието на умножението до относителни числа. Имаме в проблеми 4 случая на умножение на числа с всички възможни комбинации от знаци:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

И във всичките четири случая абсолютните стойности на тези числа трябва да бъдат умножени, на продукта трябва да се даде знак +, когато факторите имат еднакви знаци (1-ви и 4-ти случай) и знакът - когато множителите имат различни знаци(случаи 2 и 3).

От тук виждаме, че произведението не се променя от пермутацията на множителя и множителя.

Упражнения.

Нека направим един пример за изчисление, което включва събиране и изваждане и умножение.

За да не объркаме реда на действията, нека обърнем внимание на формулата

Тук се записва сумата от произведенията на две двойки числа: следователно първо трябва да умножите числото a по числото b, след това да умножите числото c по числото d и след това да добавите получените продукти. Също във формулата

първо трябва да умножите числото b по c и след това да извадите получения резултат от a.

Ако се наложи да се добави произведението от числа a и b към c и да се умножи получената сума по d, тогава човек би написал: (ab + c) d (сравнете с формулата ab + cd).

Ако е необходимо да се умножи разликата между числата a и b по c, тогава те ще напишат (a - b) c (сравнете с формулата a - bc).

Следователно ще установим най-общо, че ако редът на действията не е посочен в скоби, тогава първо трябва да извършим умножение и след това събиране или изваждане.

Нека започнем да изчисляваме нашия израз: първо изпълняваме добавките, написани във всички малки скоби, получаваме:

Сега трябва да извършим умножението вътре в квадратните скоби и след това да извадим получения резултат от:

Сега нека извършим действията в усуканите скоби: първо умножение и след това изваждане:

Сега остава само да се извърши умножение и изваждане:

16. Продукт на няколко фактора.Нека се изисква да се намери

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Тук първото число трябва да се умножи по второто, полученият продукт по третото и т.н. Не е трудно да се установи въз основа на предишното, че абсолютните стойности на всички числа трябва да се умножават помежду си.

Ако всички фактори са били положителни, тогава въз основа на предишния установяваме, че продуктът също трябва да има знак +. Ако някой от факторите е отрицателен

напр. (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

тогава произведението на всички фактори, предшестващи го, ще даде знак + (в нашия пример, (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, от умножаването на получения продукт по отрицателно число (в нашия пример +24 умножено по –1) би получило знака на новия продукт -; умножавайки го по следващия положителен коефициент (в нашия пример –24 по +5), получаваме отново отрицателно число; тъй като всички останали фактори се приемат за положителен, знакът на продукта вече не може да се промени.

Ако имаше два отрицателни фактора, тогава, аргументирайки се както по-горе, те щяха да открият, че първоначално, докато той достигне първия отрицателен фактор, продуктът ще бъде положителен, от умножаването му по първия отрицателен фактор, новият продукт ще се окаже да бъде отрицателен и така би бил и останал, докато достигнем втория отрицателен фактор; след това от умножаването на отрицателно число по отрицателно, новият продукт ще се окаже положителен, който ще остане такъв и в бъдеще, ако другите фактори са положителни.

Ако все още имаше трети отрицателен фактор, тогава продуктът, получен положително от умножаването му по този трети отрицателен фактор, би станал отрицателен; ще остане така, ако всички останали фактори са положителни. Но ако все още има четвърти отрицателен фактор, умножаването по него ще направи продукта положителен. Аргументирайки по същия начин, откриваме, че като цяло:

За да разберете знака на произведението на няколко фактора, трябва да видите колко от тези фактори са отрицателни: ако изобщо няма такива или ако броят им е четен, тогава продуктът е положителен: ако има нечетно число на отрицателни фактори, тогава продуктът е отрицателен.

Така че сега можем лесно да разберем това

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Сега е лесно да се види, че знакът на продукта, както и абсолютната му стойност, не зависят от реда на факторите.

Удобно е, когато се занимавате с дробни числа, да намерите продукта веднага:

Това е удобно, защото не е нужно да правите безполезни умножения, тъй като полученият по-рано дробен израз е намален възможно най-много.